(完整版)数值天气预报考试题答案

1 兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 数值天气预报

200 —200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟）

考试时间 姓 名 学 号

题 号 得 分

分 数

主考教师： 隆霄 阅卷教师：

1．对线性平流方程：

0xuatu

Crank-Nicolson的差分格式为：

0)22(21111111xuuxuuatuunjnjnjnjnjnj

分析其稳定性条件和截断误差。(20分)

解:令xta4,则差分格式可以展开为: )(1111111njnjnjnjnjnjuuuuuu

利用冯-纽曼方法,设iIkxnjGeu,1I,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为:

xkIxkIGsin21sin21

由于 1|sin21sin21|||xkIxkIG

所以格式绝对稳定.

利用泰勒展开可以得到:

.......)!2/()(2221ttuttuuunjnjnjnj

所以.......)!2/(221ttutuutunjnjnjnj,时间截断误差为)(tO

类似的方法把11nju,11nju,11nju,11nju在空间域展开,可以得到截断误差为)(2xO

2．对线性平流方程：

0uuucdtxy

其中c=2.5, d=0.2, 0.1,0.004xyt 2 初始条件为：0,1.5sin(2)sin(2)ijuixjy

请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用Fortran语言写出计算程序。

（启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件）。

要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合Fortran语言基本标准。(20分)

答：微分方程的差分格式为:11,,1,1,,1,10222nnnnnnijijijijijijuuuuuucdtxx

启动时刻的差分格式为: 100000,,1,1,,1,10222ijijijijijijuuuuuucdtxx

程序略.

3．试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。（20分）

0xxzgfvtu 其中111()2xxiix

0futv

0xxzHut

解：设方程有如下形式的波动解

)(^tkidIeuu

)(^tkidIevv

)(^tkidIezz

将此解代入差分方程组，并进行消元得

0/sindkdgzIfvuI

0fuvI

sin/0IzHuIkdd

进行消元得频率方程

2222/2sin1)(dkdf

相应的群速度公式为

dkdfcg22sin22

由此可知当kd=π/2时，群速度为0，波能量不能频散。当kd=π时，重力惯性波变为纯惯性振荡。 3 4．已知P坐标系中的连续方程为：0)pyvxu(p，其中ttstPPPPPP，请推导出坐标系中的连续方程。(20分)

解：对任意变量]),,,,(,,[),,,(ttpyxyxFtpyxF有：

pPsFsFsF)()()( (1)

其中s表示x，y，或者t

又 ssppsppsppppsttpttp2)()1()(])([)(1)( (2)

把（2）代入（1）则有：FssFsFP)()( （3）

利用（3）把P坐标系中的连续方程0)pyvxu(p展开有：

0)(•pVyvxuh （4）

又dtpddtdpt)( （5）

所以：])([1][11•hVtp （6）

把（6）代入（4），整理后则有：

0)(•hVt （7）

（7）即是坐标系中的连续方程。

5．原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？(10分)

答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区别。

(2)过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。

(3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描 4 述天气发展的慢过程。

(4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。

(5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所取的时间步长约比过滤模式小一个量级。

6．什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法

可以克服非线性不稳定? (10分)

答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象.

混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为2x,如果非线性作用产生波长小于2x的分量,则网格系统不能正确的分辨,而把它错误的表示成某一种波长大于2x的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差.

非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关.

克服的办法:

(1) 进行空间和时间平滑,滤去短波分量

(2) 在方程中加入人工扩散项

(3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式

(4)构造守恒的差分格式. 5

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