微积分课后题答案

微 积 分 课 后 习 题 答 案

习 题 一

（A）

1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：

（1）74x； （2）321x；

（3）)0(ax； （4）)0,(0axax；

（5）062xx； （6）022xx．

解：

1)由题意去掉绝对值符号可得：747x，可解得j.113．x即)11,3(.

2）由题意去掉绝对值符号可得123x或321x，可解得

11x,53x.即]5,3[)1，1(

3）由题意去掉绝对值符号可得x,解得axa.即)a , (a；

4）由题意去掉绝对值符号可得0xax,解得axxax00，即axax00 , ()

5）由题意原不等式可化为0)2)(3(xx,3x或2x即）（3， 2） ， (.

6）由题意原不等式可化为0)1)(2(xx,解得12x.既1] , 2[.

２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：

（1）xy与xylg10； （2）xy2cos1与xcos2；

（3）)sin(arcsinxy与xy； （4）)arctan(tanxy与xy；

（5）)1lg(2xy与)1lg()1lg(xxy； （6）xxy11lg与)1lg()1lg(xxx．

解：1)不同，因前者的定义域为) , (，后者的定义域为) , 0(；

2)不同,因为当))(2 , )212((23kkxk时，02cos1 x,而0cos2x；

3）不同，因为只有在]2 , 2[上成立；

4）相同；

5)不同，因前者的定义域为) , (11) , ()，后者的定义域为) , 1(；

6）相同

3．求下列函数的定义域（用区间表示）：

（1）1)4lg(xxy； （2）45lg 2xxy；

（3）xxy11； （4）)5lg(312xxxy；

（5）342xxy； （6）xyxlg1131；

（7）xyx1 lgarccos21； （8）6712arccos2xxxy．

解：

1)原函数若想有意义必须满足01x和04x可解得

41 1xx,即)4 , 1()1 , (.

2)原函数若想有意义必须满足0452xx,可解得 50x,即)5 , 0(.

3)原函数若想有意义必须满足011xx,可解得 11x,即)1 , 1(.

4)原函数若想有意义必须满足050302xxx,可解得

5332xx,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [,3].

5)原函数若想有意义必须满足0)1)(3(0342xxxx,可解得

31xx,即 , 3 1 , . 6)原函数若想有意义必须满足0lg100xxx,可解得10100xx,即) , 10()10 , 0(.

7)原函数若想有意义必须满足01012x可解得21010x即]101 , 0()0 , 101[22

8)原函数若想有意义必须满足062xx,1712x可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [.

4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：

（1）43,13,922xxxxy，求)3( , )0(yy；

（2）xxxxxxy1, 1210, 30,1，求)5( , )0( , )3(yyy．

解：

1）原函数定义域为：)4 , 4(

3)0(y 8)3(y.图略

2)原函数定义域为：) , (

31)3(y 3)0(y 9)5(yy(5)＝-9.图略

5．利用xysin的图形，画出下列函数的图形：

(1)1sinxy； （2）xysin2； （3）6sinxy．

解：xysin的图形如下

(1)1sinxy的图形是将xysin的图形沿沿y轴向上平移1个单位

(2)xysin2是将xysin的值域扩大2倍。

y

1

-1 0

π 2π x

y 2

1

0 2π 23 2π x

π 2 y2

0

-2 π

223 2π y

（3）)2sin(xy是将xysin向2移动6个单值。

6．在下列区间中，函数2)2)(1()2sin()(xxxxxxf无界的为（A）．

Ａ．)0 , 1( B．)1 , 0( C．)2 , 1( D．)3 , 2(

解：)(xf是基本初等函数的组合，在其定义域内是连续的。若要使)(xf有界，则在其端点处极限值存在。

3sin181923sin)(lim1xxfx

2sin)(lim0xfx

故选A．

y

1

x 0 665

211-1 7．下列区间中，函数12xy为有界且单调减少的是（C）．

A．) , 1( B．1) , 1( C．1) , 2( D．0) , 3(

解：7.C. 可画出函数图像判断，图略

8．指出下列函数单调增加和单调减少的区间：

（1）24xxy； （2）25xy （3）xxy2log； （4）231xy．

解：

（1）在]2 , 0[上，在]4 , 2[上；

（2）在) , (上；

（3）在) , 0(上；

（4）在)0 , (上，在) , 0(上．

9．设xxf)(在) , 0(上单调减少，b , a是任意正数，则有（C）．

A．)()()(bfafbaf B．babfafbaf)()()(

Ｃ．)()()(bfafbaf Ｄ．babfafbaf)()()(

解:C；

∵ bbfbabafaafbabaf)()()()(设ba则abfbabaf)()(

∴ abfaafbabaf)()()(2 ∴)]()([)(2bfafababaf

∵ 2aba ∴)()()(bfafbaf 10．指出下列函数的奇偶性：

（1）；cossinxxx （2）；xxxtan14

（3）；)1lg(2xx （4）；xxxxaaaa

（5）xcoslg； （6）. 0 x, 1 0 x， 1)(xxxf，

解：1）偶函数；)(cossin)cos()sin()(xfxxxxxxxf

2）奇函数；)(x)tan(1xx)xtan(1x)(44xfxxf

3）奇函数；)(111)1(1)(22xfxxgxxgxf

4）奇函数；)()(xfaaaaxfxxxx

5）非奇非偶函数；)(xf定义域不关于原点对称

6）偶函数.

0 10 1)(xxxxxf

11．判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期：

（1）x2sin； （2）x4sin3；

（3）xxcos； （3）3sin32cos2xx.

解：1）是周期函数，因为x sin)(sin22x,所以周期T。

2）是周期函数，因为x4sin3)4x(4sin3，所以周期4T.

3)不是周期函数。

4）因为2cosx的周期为4，而3sinx的周期为6，所以符合函数周期为12。

12．设)(xf和)(xg均为周期函数，)(xf的周期为2，)(xg的周期为3，问： )()(xgxf，)()(xgxf是否是周期函数，若是，求出它们的周期.

解：是周期函数，且周期都是6。

13．求下列函数的反函数及其定义域：

（1）33xxy，1x； （2）73xy，Rx；

（3）； 0 , )2-lg(1xxy （4）； 50 , 252xxy

（5）； 0 ， x； 0 ， 12xxxy （6）. 21 , )(2, 10 , 122x2xxxy

解：1).1)(x , 3x1)-Y(x

3)71(xy

所以1y 13xyy.

2).R x, 7xy3

Ry 7x3y

3).0 x, 2x)-lg(1y

x2110y

． 0Y ． )101(21xy

4).5x0 ， -25y2x

2225xy

5.y0 25x2y

5)..0 x, 0. , 1y2xxx

.21 , )2(2.10 , 12x2xxxx