微积分第二版课后习题答案

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微积分第二版课后习题答案

【篇一：微积分(上册)习题参考答案】

0.1

1.（a）是（b）否（c）是（d）否

2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是

1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.

f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{

{2,3,4},{1,2,3,4}.

4. a?b

5. a?b

6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,

②如果x?c，则x?b，所以x?a

a-(b-c)?(ab)惹(ac).

再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).

若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.

①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是

x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).

综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。 20. cda.

21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};

禳1镲

xx?r,睚

2镲铪

参考答案 禳禳11镲镲

，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚

镲镲44铪铪禳1镲

a=睚-1,-,0,1,2,7.

镲4铪

xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.

b-c

b-c;

(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹

a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};

b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}

22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0

3

23~25. 略。

26. (a)f不是a到b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应；（b）f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a

和e对应；

(c)f是a到b的一个映射；

（d）f是a到b的映射。 27. f1:a?b:f(x)

x＃1,0

y＃1,0

z 1}

0,f(y)=0,f(z)=0

f2:a?b:f(x)0,f(y)=0,f(z)=1 f3:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=0

f4:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=1 f5:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=0

f6:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=1 f7:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=0

f8:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=1

共有8种映射

28. (a)此映射为满射，但非单射；（b）此映射双射，其逆映射为f

-1

(y)=y-c；

(c)此映射为双射，其逆映射为f-1:b?a f-1(x)=

（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。 29. f:z?a，

f(x)=2x ； f

+

-1

x

； 2

x. 2

:a?z+f-1(x)=

,当偶数时.?2+

-n+1

,当n为奇数时.??2

31.（a）m3n（b）m￡n （c）m=n 32.g?f(a)=b,

g?f(b)=c,g?f(c)=c,g?f(d)=b. g?f(x)x.

33. g?f:a?c,

34. 证明：因为对x a，必有(x,y)未ab（因为b非空）使p1(x,y)=x，所以p1为满射.同理可证p2为满射。

p1为单射的充要条件是b只有一个元素；p2为单射的充要条件是

a只有一个元素。

习题0.2

xx0}1. {.2. xx3 或 x-1. 3. x4kpx(4k+2)p,k ?.

4. xx2.

5.严格单调减少.

6.严格单调增加.

7.单调减少.

8.严格单调增加. 9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数. 12.非奇非偶函数. 13.证明：若

x11

{}{}

{}

x2，则有f(x1)=

11

，f(x2)=，所以，f(x1)1x1x2

f(x2)，因此f是

一对一的. f(x)=

11-1

的反函数为f(y)=，所以，反函数为其自身。定义域为{x,x10}.

yx

14. f

-1

(x)=-x?(0, ).

15.证明：若x11x2，则f(x1)=

1-x11-x2

，f(x2)=，反证，如果f(x1)=f(x2)?2x1

1+x21+x1

f(x2)，即f是一对一的.

2x2，

即x1=x2矛盾，所以，f(x1)1由y=

1-y1-x1-x-1

得x=，因此f的反函数为f(x)=，即为其自身，定义域为

1+y1+x1+x1}.

{xx?

16. f

-1

(x)=-x (0,1).17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.

19.证明：反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对x1x2，有 f(x1)f(x2) 另一方面：-x1-x2，所以有f(x1)=f(-x1)f(-x2)=f(x2)，矛盾。

20.非周期函数. 21.略 22. 是。例如，f(x)=

11

sin,g(x)=x，在(0,+ xx

)皆无界，但f(x)g(x)=sin

1

在x

(0,+ )有界.

23.证明：对m0，存在x0=上无界。 24. f(g(x))=2;

2x

1

x0)=m+1m使f( (0,1)，

m+1

，所以f(x)在(0,1)

g(f(x))=2x.

2

骣111

=25. f(f(x))=1-， f(f(f(x)). =)，x ff(x)xx桫

26. f(x)=arccosu,u=v,27. f(x)=logbu+e，u=

u

2v

2

v=cosw,w=ex+lnx.

122

，wt=1+x，v=s，s=tanx. w

28. f(x)=e,u=-x+2v,v=sinx.

29. f(x)=cotu，u=e，v=wt,w=,t=lnx.

v

1x 1. 数列的极限

习题1.1

1.不能，例如取an=(-1),a=0,e=2,3,4,5,6,?.

2.不能，例如取

an=1+(-1),n=1,2,3,?,a=0. 3.能，因为对e0，必存在正整数k，使

nn

1

4.存在一个e00，对任何n0，总存在n0n，使an0-a e0.

5.提示：利用数列极限定义.

6~11. 略。 12.提示：按极限定义，可取e=

a2

.

13.提示：利用极限定义，可取e=

a-b

. 14.提示：按极限定义证明. 2

15.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立. 17.当{yn}无界时，有以下各种情况：（1）{xnyn}极限仍为零，例如，xn=

1,n2

yn=n,n=1,2,3,?； 1

,yn=n,n=1,2,3,?； n

（2）{xnyn}极限存在，但非零，例如，xn=（3）{xnyn}极限不存在，例如：xn=

或 xn=

1

,yn=n2,n=1,2,3,? n

1n

1+(-1)n,n=1,2,3,? ，yn=轾臌n

2k+1

18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明. 11119.利用极限的定义. 20. {(2k+1)(-1)}:1,,,?,,?.

35

2k+1

21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.

23.（1）1. （2）1.（3）0.（4）9. （5）0. 24. （1）0. （2）

31

. （3）0.（4）4. （5）.（6）0. 2311a+b

（7）. （8）.（9）-. （10）1.

522

n

n+1

25.不一定，例如：xn=1+(-1),yn=1+(-1)26.不一定，例如xn=(-1),yn=(-1)

n

,n=1,2,3,?.

,n=1,2,3,?.

27. {xn+yn}必发散。反证，因为若{xn+yn}收敛，则有

yn=(xn+yn)-xn 与已知矛盾.

28.不一定，例如xn=1+(-1),yn=1+(-1)

n

n+1

{yn}收敛，

,n=1,2,3,?.

an(-1)n

=1，例如：an=,n=1,2,3,?. 29.必有liman+1=a，但不能推出lim

n?n?ann+1

30.当pq时，为￥；当p=q时，为

apbq

；当pq时，为0.

【篇二：微积分2习题答案】