微积分二课后题答案

第五章

习题5-1

1.求下列不定积分：

1 2(5)xxdx; 2 2(1)xxdx;

3 3exxdx； 4 2cos2xdx；

5 23523xxxdx； 6 22cos2dcossinxxxx.

解 5151732222222210(1)(5)(5)573ddddxxxxxxxxxxxC

2. 解答下列各题：

1 一平面曲线经过点1,0,且曲线上任一点x,y处的切线斜率为2x-2,求该曲线方程；

2 设sinx为fx的一个原函数,求()fxdx；

3 已知fx的导数是sinx,求fx的一个原函数；

4 某商品的需求量Q是价格P的函数,该商品的最大需求量为1000即P=0时,Q=1000,已知需求量的变化率边际需求为Q′P=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系.

解 1设所求曲线方程为y=fx,由题设有f′x=2x-2,

又曲线过点1,0,故f1=0代入上式有1-2+C=0得C=1,所以,所求曲线方程为

2()21fxxx.

2由题意有(sin)()xfx,即()cosfxx,

故 ()sinfxx,

所以 ()sinsincosdddfxxxxxxxC.

3由题意有()sinfxx,则1()sincosdfxxxxC

于是 12()(cos)sinddfxxxCxxCxC.

其中12,CC为任意常数,取120CC,得()fx的一个原函数为sinx.

注意 此题答案不唯一.如若取121,0CC得()fx的一个原函数为sinxx.

4由1()1000()ln33PQP得

将P=0时,Q=1000代入上式得C=0

所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQP. 习题5-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立：

1 dx = dax+ba≠0； 2 dx= d7x-3；

3 xdx= d52x； 4 xdx= d1-2x；

5 3xdx= d3x4-2; 6 2exdx= d2ex；

7 2exdx= d1+2ex; 8 dxx= d5ln｜x｜;

9 2d1xx = d1-arcsinx; 10 2d1xxx= d21x;

11 2d19xx= darctan3x; 12 2d12xx= darctan2x;

13 32x-2dx= d2x-3x； 14 cos23x-1dx= dsin23x-1.

解 1(1)()(0)()ddddaxbaxaxaxba

2.求下列不定积分：

1 5edtt; 2 3(32)xdx;

3 d12xx; 4 3d23xx;

5 sindttt; 6 dlnlnlnxxxx;

7 102tansecdxxx; 8 2edxxx;

9 dsincosxxx; 10 22dtan11xxxx;

11 deexxx; 12 2d23xxx;

13 343d1xxx; 14 3sindcosxxx;

15 21d94xxx; 16 32d9xxx;

17 2d21xx; 18 d(1)(2)xxx;

19 2cos()dtt; 20 2cos()sin()dttt; 21 sin2cos3dxxx; 22 coscosd2xxx;

23 sin5sin7dxxx; 24 3tansecdxxx;

25 arctand(1)xxxx; 26 22d(arcsin)1xxx;

27 lntandcossinxxxx; 28 21lnd(ln)xxxx;

29 222d,0xxaax; 30 23d(1)xx;

31 29dxxx; 32 2d1xxx;

33 2d11xx; 34 d,0axxaax;

35 224dxxx; 36 222dxxxx;

37 2sec()d1tanxxx; 38 (1)d(1e)xxxxx提示：令xte.

解 5555111(1)5(5)555edededetttttttC

利用教材§例16及公式20可得:

原式=222222211arcsinarcsinarcsin2222xaxaxaxaxCxaxCaaa.

30令tan,(,)22ππxtt,则2secddxtt.

所以223231seccossinsec(1)(tan1)ddddxttttttCtxt

22tan,sin11 原式xxxttCxx.

31令3sec,(0,)2πxtt,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时

故 22293tan3sectan3tan3(sec1)3secddddxtxtttttttxt

3tan3ttC.

由3sec,(0,)2πxtt得29tan3xt, 又由3secxt得33sec,cos,arccos3xtttxx,

又令x=3sect,类似地可得被积函数在x<-3上的不定积分.

综上所述有

229393arccosdxxxCxx.

32令sin,(,)22ππxtt,则cosddxtt.

33令sin,(,)22ππxtt,则cos,ddxtt

34 222222211()2ddddaxxxxaxxaaxaxaxax

22arcsinxaaxCa.

35令2sin,(,),2cos22ππddxttxtt,

所以 2222242cos2coscotcsc4sindddddxtxtttttttxt

24cotarcsin2xxttCCx.

36 2222222222222ddddxxxxxxxxxxxxxxxxx

由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt,

当x>0时,此时t>0

当x≤-2时,此时102t

综上所述:原式= 222ln212xxCxxxx.

37 2222secsec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tandddxxxxxCxxxx.

38令ex=t,则x=lnt,dx=1tdt.

习题5-3

1.求下列不定积分：

1 sindxxx; 2 edxxx;

3 arcsindxx; 4 ecosdxxx;

5 2esin d2xxx; 6 2tandxxx; 7 2edttt; 82(arcsin)dxx;

9 2esindxxx; 10 3edxx;

11cos(ln)dxx; 122(1)sin2dxxx;

13ln(1)dxxx; 1422cosd2xxx;

1532lndxxx; 16sincosdxxxx;

172cotcscdxxxx; 18 22(1)edxxxx;

191(lnln)dlnxxx; 20eln(1e)dxxx;

21 23sindcosxxx; 22222ln(1)d(1)xxxxx;

232ed(1)xxxx; 24arctan322ed(1)xxxx.

解 (1)sincoscoscoscossindddxxxxxxxxxxxxC

而 cos2cos2cos22sin2cos22sin2eddeeededexxxxxxxxxxxxxx

10令3xt,则32,3ddxtxtt

11令lnx=t,则,ededttxxt,

于是 213sin2tanseclnsectancosdxxxxCxxx,

所以 23sin11tanseclnsectancos22dxxxxCxxx.

22222222222222ln(1)11(22)ln(1)()(1)21ln(1)111(1)2(1)2111ln(1)12(1)2(1)1dd dd xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx令x=tant, (,)22ππt,则dx=sec2tdt

∴原式=222ln(1)2(1)21xxxCxx. 于是 arctanarctan13222(1)21(1)eedxxxxxCxx,