微分几何课后答案

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民族学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字） 课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1

试卷类型：A 考试时间：2006-12-

适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分）

1 (C)；2 (D)；3 (A)；4 (A)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x≤1,其弧长总长= 2 ；

2、Γ：r=(acost, asint, t)的单位切向量是 (-asint, acost, 1)/(a2+1) ；

3、Γ：r=(cost, sint, t)的主法向量β= (−cost, −sint,0) ；

4、曲面上切向du:dv是渐进方向的条件,用第二基本量表示为 Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 ；

5、Rodrique方程dn=λdr是 主 方向应当满足的方程。

三、判断题（每小题2分共10分）

1 (╳)；2 (╳)；3 ()；4 ()；5 ()。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t 的曲率；

解：r'=(−sint,cost,1); ds/dt=2; (2分) r''=(−cost, −sint,0)=β; k=|dβ/ds|=| dβ/dt|/2=1/2; (3分)

1 《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 向量(),3,rttta具有固定方向，则a=___t__。

⒉ 非零向量()rt满足,,0rrr的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线

⒊ 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由,确定的平面

是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()rrt在点0()rt的单位切向量是，则曲线在0()rt点的法平面方

程是__________________________。

⒌ 曲线()rrt在t = 1点处有2，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率

(1)=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)zzxy在点000(,,)xyz的法线方程是_____________________。

2 二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线

12、曲线()rrt在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子___A___不正确。

A、2rrkr B、3rrkr C、kr D、2rrrrr

13、对于曲面的第一基本形式2222,IEduFdudvGdvEGF__D___。

A、0 B、0 C、0 D、0

三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）

21、已知圆柱螺线cos,sin,rttt，试求

微分几何主要习题解答

24 §4.直纹面和可展曲面

1. 证明曲面r=}32,2,31{2432vuuuvuvu是可展曲面.

证法一： 已知曲面方程可改写为r=},2,{432uuu+v}32,,31{2uu，令()aur=},2,{432uuu，()bur=}32,,31{2uu，则r=()aur+ v()bur，且()bur0，这是直纹面的方程 ，它满足

(',,')abbrrr=23226412334013uuuuuu=0 ,所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一： 曲面的方程可改写为 r=()avr+ u()bvr，其中()avr={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()bvr={-sinv, cosv,1} ，易见()bvr0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')abbrrr=2sincos2cossin2sincos1cossin0vvvvvvvvvv=0，所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为 r=()aur+ v()bur，其中()aur={0,0,au+b},()bur={cosu,sinu,0}.易见()bur0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')abbrrr=00cossin0sincos0auuuu=a0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。

证 挠曲线（C）:()aasrr的主法线曲面为 1():()()srasvsrrr,因为(,,)arrr&&=(,,)0rrrr，故1():()()srasvsrrr不是可展曲面。

1 习题答案1

p.41 习题2.3

1. 求下列曲线的曲率：

(2) ()

323

()3,3,3rtttttt=−

+；(4) ()

33

()cos,sin,cos2rtttt

=.

解. (2) ()

22

()31,2,1rtttt

=−

+

，()

2

|()|

3

21rtt

=+,

()

()6,

1,rttt

=−, ()

22

()()181,2,1rtrttt

t

=−−+,

()

2

|()()|

18

21rtrtt

=+,

221

3(1)t

=

+.

(4) ()1

()sin23cos,3sin,4

2rtttt

=−

−，5

|()||sin2|

2rtt

=,

()()1

()cos23cos,3sin,4sin

23sin,3cos,0

2rttttttt

=−−+,

()()

21

()()sin23cos,3sin,43sin,3cos,0

4rtrtttttt

=−−

()

23

sin24cos,4sin,34ttt=−−，

25

|()()|sin2

4rtrtt

=，2

25|sin2|t

=，(2(21)tk

+).

4. 求曲线222

229,

3xyz

xz

++=





−=



在()

2,2,1处的曲率和密切平面方程.

解. 设曲线的弧长

参数方程为()()(),(),()rsxsyszs=, ()

(0)

2,2,1r=，

0(0)r

=，

00(0)r

=. 则(),(),()xsyszs满足题给的方程组，所以有

2222

212,26xyyz+=+=.

对上式求导得

222

20,20,1xxyyyyzzxyz+=+=++=. (1)

再求导，得

22

2

2

2(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz+=−++=−+++=. (2)

在()

2,2,1处，由(1)解出2xyz=−

=

，1

3x=. 不妨设122

333,,xyz==−=. 所以

()

()

01

,,1,2,2

3xyz

==

−.

代入(2)得