微积分课后题答案习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limnxn=a,则对任何自然数k，有limnxn+k=a.

证：由limnnxa，知0，1N，当1nN时，有

取1NNk，有0，N，设nN时（此时1nkN）有

由数列极限的定义得 limnkxxa.

2. 试利用不等式ABAB说明：若limnxn=a,则limn∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.

证：

而 nnxaxa

于是0，,使当时，有NnN

nnxaxa 即 nxa

由数列极限的定义得 limnnxa

考察数列 (1)nnx，知limnnx不存在，而1nx，lim1nnx，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) limn222111(1)(2)nnn=0；

(2)

limn2!nn=0.

证：（1）因为 222222111112(1)(2)nnnnnnnnnn

而且 21lim0nn，2lim0nn，

所以由夹逼定理，得

222111lim0(1)(2)nnnn.

（2）因为22222240!1231nnnnn，而且4lim0nn，

所以，由夹逼定理得 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

(1) xn=11ne，n=1,2,…；

(2) x1=2,xn+1＝2nx,n=1,2,….

证：（1）略。

（2）因为122x，不妨设2kx，则

故有对于任意正整数n，有2nx，即数列nx有上界，

又 1(2)nnnnxxxx，而0nx,2nx，

所以 10nnxx 即 1nnxx，

即数列是单调递增数列。

综上所述，数列nx是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※. 证明：0limxxf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

证：先证充分性：即证若00lim()lim()xxxxfxfxa，则0lim()xxfxa.

由0lim()xxfxa及0lim()xxfxa知：

10,0,当010xx时，有()fxa，

20当020xx时，有()fxa。

取12min,，则当00xx或00xx时，有()fxa，

而00xx或00xx就是00xx，

于是0,0，当00xx时，有()fxa，

所以

0lim()xxfxa.

再证必要性：即若0lim()xxfxa，则00lim()lim()xxxxfxfxa,

由0lim()xxfxa知，0,0，当00xx时，有()fxa，

由00xx就是 00xx或00xx，于是0,0，当00xx或00xx时，有()fxa. 所以

00lim()lim()xxxxfxfxa

综上所述，0limxxf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

2. (1) 利用极限的几何意义确定0limx (x2+a),和0limx1ex；

(2) 设f(x)= 12e,0,,0,x xxax，问常数a为何值时，0limxf(x)存在.

解：（1）因为x无限接近于0时，2xa的值无限接近于a，故20lim()xxaa.

当x从小于0的方向无限接近于0时，1ex的值无限接近于0，故10lime0xx.

（2）若0lim()xfx存在，则00lim()lim()xxfxfx，

由（1）知 22000lim()lim()lim()xxxfxxaxaa，

所以，当0a时，0lim()xfx存在。

3. 利用极限的几何意义说明limxsinx不存在.

解：因为当x时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线yA，亦即()yfx不以直线yA为渐近线，所以limsinxx不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当0x时，tan,sinxx都是无穷小量，但由sincostanxxx（当0x时，cos1x）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x时，2x与x都是无穷大量，但22xx不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当0x时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tancot1xx不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；

(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；

(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；

(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；

(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但limxxsinx≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；

(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1；

（2）正确，见教材§定理3；

（3）错误，例当0x时，cotx为无穷大量，sinx是有界函数，cotsincosxxx不是无穷大量；

（4）正确，见教材§定理2；

（5）错误，例如当0x时，1x与1x都是无穷大量，但它们之和11()0xx不是无穷大量；

（6）正确，因为0M，正整数k，使π2π+2kM，从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222fkkkkM，即sinyxx在(,)内无界，又0M，无论X多么大，总存在正整数k，使π>kX，使(2π)πsin(π)0fkkkM，即x时，sinxx不无限增大，即limsinxxx；

（7）正确，见教材§定理5；

（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f(x)= 234x,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；

(3) f(x)= 1ex,x→0+，x→0-； (4) f(x)= 2-arctanx,x→+∞;

(5) f(x)= 1xsinx,x→∞; (6) f(x)= 21x211x，x→∞.

解：（1）22lim(4)0xx因为，即2x时，24x是无穷小量，所以214x是无穷小量，因而234x也是无穷大量。

（2）从()lnfxx的图像可以看出，10limln,limln0,limlnxxxxxx，所以，当0x时，x时，()lnfxx是无穷大量；

当1x时，()lnfxx是无穷小量。

（3）从1()exfx的图可以看出，1100lime,lime0xxxx，

所以，当0x时，1()exfx是无穷大量；

当0x时，1()exfx是无穷小量。

（4）πlim(arctan)02xx， 当x时，π()arctan2fxx是无穷小量。

（5）当x时，1x是无穷小量，sinx是有界函数，

 1sinxx是无穷小量。

（6）当x时，21x是无穷小量，211x是有界变量，

 22111xx是无穷小量。

习题2-4

1.若0limxxf(x)存在，0limxxg(x)不存在，问0limxx［f(x)±g(x)］,

0limxx［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?

解：若0limxxf(x)存在，0limxxg(x)不存在，则

（1）0limxx［f(x)±g(x)］不存在。因为若0limxx［f(x)±g(x)］存在，则由()()[()()]gxfxfxgx或()[()()]()gxfxgxfx以及极限的运算法则可得0limxxg(x)，与题设矛盾。

（2）0limxx［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：()sinfxx，1()gxx，则0limsin0xx，01limxx不存在，但0limxx［f(x)·g(x)］=01limsin0xxx存在。

又如：()sinfxx，1()cosgxx，则π2limsin1xx，π21limcosxx不存在，而

0limxx［f(x)·g(x)］π2limtanxx不存在。

2. 若0limxxf(x)和0limxxg(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明0limxxf(x)≥0limxxg(x).

证：设0limxxf(x)=A，0limxxg(x)=B，则0，分别存在10，20，使得当010xx时，有()Afx，当020xx时，有()gxB

令12min,，则当00xx时，有

从而2AB，由的任意性推出AB即

00lim()lim()xxxxfxgx.

3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则

limn12nnnnmaaa=A,

其中A=max{a1,a2,…，am}.