2020-2021学年北京海淀区初三第一学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年北京海淀区初三第一学期数学期末试卷及答

案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（ ）

A．2 B．3 C．﹣6 D．6

2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围

棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个

部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）

A

． B

．

C

． D

． 3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1

个球，恰好是红球的概率为（ ）

A． B． C． D．1

4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝

4，AD＝3，则AB为（ ）

A．9 B．6 C．3 D．

5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）

A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0 6．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（ ）

A．π B．π C．π D．π

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的

取值可以是（ ）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2

8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（ ）

A．长度为线段

B．斜边为3的直角三角形

C．面积为4的菱形

D．半径为，圆心角为90°的扇形

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．

10．若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a b

（填“＞”、“＝”或“＜”）．

11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的

位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．

12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．

13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活

率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000

成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628

成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902

估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．

14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到

他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝

12m，则旗杆高度DE＝ m．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕

着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 ，

CE的长为 ．

16．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝ ； （2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k 0，b 0（填“＞”，“＝”或

“＜”）．

三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25

题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．解方程：x2﹣4x+3＝0．

18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．

（1）证明：△ABC∽△ACD；

（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．

19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六

寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请

将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．

经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；

用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．

在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：

r2＝ ，

解得r＝75． 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店

员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2

盒数 6 m n

（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；

（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：

①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；

②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），

以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在

反比例函数y＝（x＞0）的图象上．

（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；

（2）判断点C是否在此函数图象上；

（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN

≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．

22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于

点E，且E是AB中点，连接OA．

（1）求证：OA＝OB； （2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．

23.在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，

y2）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．

（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．

①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；

②判断m＜0时，y1与y2的大小关系；

（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．

24.已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），

点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．

（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；

（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；

（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表

示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．

25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ

为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．

在平面直角坐标系xOy中：

（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．

①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 是△AOB关于点B的内联点；

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E

的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（ ）

A．2 B．3 C．﹣6 D．6

【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．

【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），

∴k＝2×3＝6．

故选：D．

2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围

棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个

部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）

A

． B

．

C

． D

． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1

个球，恰好是红球的概率为（ ）

A． B． C． D．1 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个， ∴摸出一个球是红球的概率是，

故选：A．

4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝

4，AD＝3，则AB为（ ）

A．9 B．6 C．3 D．

【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比

例，据此可得结论．

【解答】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC， ∴＝，即，

解得AB＝6，

故选：B．

5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）

A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0

【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0．

【解答】解：A、x﹣1＝0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；

B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；

C、∵△＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；

D、∵△＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意．

故选：C．

6．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（ ）