2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷及解析
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2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )
A．1yx B．2yx C．2(4)yx D．1yx
2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．（2分）抛物线2(2)1yx的顶点坐标为( )
A．(2,1) B．(2,1) C．(2,1) D．(2,1)
4．（2分）在ABC中，CACB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作C，则C与AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为( )
A．30 B．60 C．90 D．120
6．（2分）把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为xm，依题意，可列方程为( )
A．22(2)xx B．22(2)xx C．2(2)2xx D．22xx
7．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，
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则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是( )
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C
8．（2分）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率nm 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是( )
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）已知y是x的函数，且当0x时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可）
10．（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．
11．（2分）若点1(1,)Ay，2(2,)By在二次函数22yx的图象上，则1y，2y的大小关系为：1y 2y（填“”，“ ”或“” )．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点(2,0)A，点(0,1)B．将线段BA绕点B旋转180得到线段BC，则点C的坐标为 ．
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13．（2分）若关于x的方程220xxk有两个不相等的实数根，则k的取值范围为
．
14．（2分）如图，PA，PB分别切O于点A，B，Q是优弧AB上一点，若40P，则Q的度数是 ．
15．（2分）小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为 cm．(取3.1)
16．（2分）给定二元数对(,)pq，其中0p或1，0q或1．三种转换器A，B，C对(,)pq的转换规则如下：
规则
a．转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．
转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．
转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．
b．在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．
（1）在图1所示的“ABC”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为 ；
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（2）在图2所示的“①C②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“
C ”．（写出一种组合即可）．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：2680xx．
18．（5分）已知a是方程22710xx的一个根，求代数式(27)5aa的值．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2(3)1yax经过点(2,1)．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
20．（5分）如图，在RtABC中，90ACB，30BAC，将线段CA绕点C逆时针旋转60，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若1BC，求线段BD的长．
21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这
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个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：O（纸片），其半径为r．
求作：一个正方形，使其面积等于O的面积．
作法：①如图1，取O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A，B处；
④取CB的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG．
正方形AEFG即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线l为O的切线，其依据是 ．
（2）由②③可知，ACr，ABr，则MC ，MA （用含r的代数式表示）．
（3）连接ME，在RtAME中，根据222AMAEEM，可计算得2AE （用含r的代数式表示）．
由此可得OAEFGSS正方形．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程2(2)10xmxm．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若0m，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．
23．（5分）如图，ABC内接于O，高AD经过圆心O．
（1）求证：ABAC；
（2）若8BC，O的半径为5，求ABC的面积．
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24．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ；
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
25．（6分）如图，AB为O的直径，弦CDAB于E，连接AC，过A作AFAC，交O于点F，连接DF，过B作BGDF，交DF的延长线于点G．
（1）求证：BG是O的切线；
（2）若30DFA，4DF，求FG的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线23(0)yaxbxa上．
（1）求该抛物线的对称轴；
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（2）已知0m，当222mxm时，y的取值范围是13y．求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当2nxn时，y的取值范围是3335nyn．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
27．（7分）如图，在ABC中，90BAC，1ABAC，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BECD，连接DE，过点A作AMDE于M．
（1）依题意补全图，用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为 ，使得12ANDE成立，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d．则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点1(0,2)P，2(3,3)P，3(3,0)P中，O的“倍点”是 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，点(1,1)A．若点(,3)Et是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的O上存在线段MN的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T组成的图形的面积．
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