6-4 正交补与正交投影

第3讲 实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)． 设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα， 因此有[]),(),(),(2ββααβα≤， 即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ． 例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明 因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+， 即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解 由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ． 故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明 设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα， 由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明 因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α． 首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解 先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明 设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=． 定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明 先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明 采用循环证法。

线性代数中的正交补与正交投影线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间以及线性变换等概念和性质。

正交补与正交投影是线性代数中的两个重要概念，对于理解向量空间的性质和线性变换的特性具有重要意义。

一、正交补在线性代数中，给定一个向量空间V，如果存在一个向量空间W，使得W中的任意向量与V中的任意向量的内积为零，则称W为V的正交补，记作$W=V^{\perp}$。

在实向量空间中，正交补的概念更加容易理解。

例如，对于平面内的一个向量空间V，它的正交补W就是与V所张成的平面垂直的那条直线。

而对于三维空间，V的正交补W则是与V所张成的平面垂直的那个平面。

对于一个向量空间V，它的维数为n，则它的正交补的维数为m = dim(V) - dim(W)。

正交补的维数可以帮助我们判断向量空间的性质以及进行相关计算。

二、正交投影正交投影是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间中的投影操作。

在给定一个向量空间V和一个向量v时，正交投影可以将向量v投影到V上。

具体而言，对于一个向量空间V和一个向量v，V的正交补空间为$V^{\perp}$。

我们想要将向量v在V上进行投影，可以通过正交补空间来实现。

投影操作的思想是，我们将向量v拆分成V上的一个分量和V的正交补空间上的一个分量。

其中，V上的分量可以称为正交投影。

正交投影的计算公式如下：$$P_V=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$$其中，$u$为向量空间V上的一个向量，$v$为待投影的向量。

计算得到的正交投影向量$P_V$与向量空间V中的每个向量都正交，并且长度最短。

正交投影的概念和计算方法在实际应用中经常被使用。

例如，在计算机图形学中，正交投影可以帮助我们实现三维物体在二维屏幕上的投影效果。

三、应用实例1. 线性回归中的正交多项式回归在统计学中，线性回归是一种重要的数据分析方法。

当我们需要对多项式进行回归时，可以使用正交多项式回归方法。

正交多项式回归通过寻找一组正交多项式作为基函数，将输入数据在这组基函数上进行投影。

大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。

在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。

1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。

线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。

希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。

改进的正交投影宽带发射波束零陷展宽算法吴若增【摘要】随着雷达技术的发展,采用宽带发射信号成为大部分雷达系统的主流需求.根据宽带发射信号的特性进行建模,采用时域处理方法,分别构建时变宽带权与点频权,使得发射波束图可以在已知的置零方向上形成宽零陷,并提出改进的正交投影点频权算法,避免矩阵求逆运算,大大减少了运算量.【期刊名称】《舰船电子对抗》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】6页(P42-47)【关键词】宽带发射波束置零;零陷展宽;正交投影【作者】吴若增【作者单位】中国电子科技集团公司第三十八研究所,安徽合肥230088【正文语种】中文【中图分类】TN957.30 引言发射波束置零技术是指在敌方干扰侦察等设备所在方向上发射零点，即发射波束图在所在方向上形成零陷。

由于发射功率极低，使得敌方干扰侦察设备无法对我方雷达进行侦察截获。

但在实战应用中，对于非静止的敌方干扰侦察设备，雷达系统对其方向估计具有一定误差，导致发射波束图零点位置出现偏移。

针对这种情况，将发射波束图零点附近进行零陷展宽，即发射波束零陷展宽技术，使得雷达系统对置零方向估计存在一定误差的条件下，仍具有一定的有效性。

目前许多雷达采用宽带发射信号来满足其战技术指标。

因此本文通过时域处理方式，建立相应的宽带信号阵列发射模型，采用改进的正交投影宽带发射波束零陷展宽算法，在置零方向上形成宽零陷。

1 信号建模与算法流程假设1个均匀线阵，阵元数为L，阵元间距为d。

发射信号采用线性调频脉冲信号，脉冲宽度为T，波束指向方位为α，阵列左起第1个阵元为参考阵元。

在第l个阵元的发射信号包络相对于参考阵元的延时为：τl=ldsinα/c，l=0,1,…,L-1(1)令发射信号为：(2)式中：f0为载频；μ为调频斜率；A(t)为方波包络；宽度为T。

那么发射信号在第l个阵元的表达式为：Sl(t)=S(t-τl)=S(t)wKl(t)(3)(4)式中：wKl(t)为时变宽带权[1-2]。

正交投影的子矩阵许俊莲【摘要】设H是n维复Hilbert空间,Q是定义在H上的正交投影.任给H的子空间M,设dim M=r,在空间分解H=M⊕M⊥下,Q=(A B·B D),其中A∈B(M),B∈B(M⊥,M),D∈B(M⊥).利用算子分块的技巧,对空间进一步分解,讨论了Q的子矩阵A,B,D的性质及其之间的关系以及M上的正交投影P与Q之间的关系.得到了(i)R(P)∩R(Q)={0}(≒)dimR(A)=dimR(B),(ii)R(P)+R(Q)=H(≒)dimR(D)=n -r,(iii)R(P)⊥R(Q)(≒)dimR(A)=0.%Let H be a n - dimensional complex Hilbert space, and Q be an orthogonal projection on H- If M is asubspace of H and dim M = r, then under the space decomposition H= M⊕ M, one has Q = (AB·BD), whereA ∈B(M), B∈B( M,M) ,D∈B( M). By using the technique of block operator matrix, the properties and relations between A, B and D are given, and the relations between P and Q are discussed, where P is an orthogonal projection on M. Furthermore, the following conclusions are obtained; (I) R(P)∩R(Q) = 0 dim TZ(A) = dim R(B);(ii) R(P) +R(Q) =H<<=> dim R(D) =n-r;(iii) R(P) ±R(Q)dim H(A) =0.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(000)003【总页数】5页(P24-28)【关键词】正交投影;子矩阵;算子矩阵;Moore - Penrose逆【作者】许俊莲【作者单位】宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O177.1幂等矩阵虽然是结构比较简单的矩阵,但由于它在统计理论、多值线性分析、经济学、信息传输及广义逆的扰动中具有相当广泛的应用,吸引了一大批国内外学者研究,诸如,BAKSALARY等[1-2]研究了幂等矩阵的线性组合的幂等性和非奇异性.我们知道正交投影是幂等矩阵中的自伴矩阵,它具有一些更好的性质.KOLIHA[3]研究了投影的和与差,GROB[4]研究了正交投影的乘积.而且很多学者把这种结论从有限维Hilbert空间推广到了无限维Hilbert空间上.DU[5]讨论了2个幂等算子线性组合的可逆性.KOLIHA[6]讨论了正交投影差的Fredholm性.由于任何一个无限维空间都存在一个真子空间的维数与其维数相等,因此本文主要讨论有限维空间上的正交投影在一定的空间分解下,它的子矩阵及其值域维数之间的关系.以下给出本文要用的一些符号、概念及其引理.设,是复Hilbert空间, (,)表示从到中有界线性算子的全体所组成的集合并简记为 ().设A(),令(A)和(A)分别表示算子A的值域和零空间,A*表示A的伴随算子.设是的闭子空间,P表示上的正交投影.dim 表示子空间的维数.⊥表示空间的正交补, {0}表示零空间.定义1[7] 设A().如果对于任意的x都有〈Ax,x〉≥0,则称A是一个正算子,记作A≥0.如果〈Ax,x〉>0,则称A是严格正算子,记作A>0.定义2[7] 设A,B().如果〈Ax,x〉≤〈Bx,x〉,则称A≤B.如果A≤I,则称A是压缩算子.如果A<I,则称A是严格压缩算子.如果0≤A≤I,则称A是正压缩算子.定义3[7] 设A().如果A2=A,则称A是一个幂等算子.如果一个幂等算子P满足P*=P,则称P是一个正交投影.定义4[8] 设A(),把满足算子方程组的非零解X()称为A的Moore-Penrose逆,简称广义逆,记为A+.满足上述方程组的解如果存在,则必是唯一的.定义5[9] 设=12为Hilbert空间,算子矩阵其中 A(1), B(2,1),C(1,2),D(2).如果A是可逆的, 则称D-CA-1B为算子A的schur 补.引理1[10] 设和是的2个闭子空间,P和P分别是其上的正交投影,则P和P在空间分解=i下分别具有如下的算子矩阵形式P=I1 0I2 I3 0I4其中1=∩,2=∩⊥, 3=⊥∩,4=⊥∩⊥,5=(12),6=(j). Q是5上的正压缩算子, 0,1不是Q的点谱,D是从6到5上的酉算子.Ii分别表示i (i=1,…,6)上的单位算子,表示正交直和,0Ii表示i (i=1…,6)上的零算子.引理2[11] 设A(),则(1)A存在广义逆 A+当且仅当(A)是闭的;(2)如果A存在广义逆 A+,则(A+)=(A*),AA+=P(A), A+A=P(A*).引理3[12] 设=12为Hilbert空间,算子矩阵其中A(1)是可逆的,B(2,1)，C(1,2),D(2)，则算子M可逆当且仅当A的schur补D-CA-1B可逆.设是有限维的复Hilbert空间, 且dim =n. Q是定义在上的正交投影. 若是的子空间, 且dim =r, 则在空间分解=⊥下,其中A(), B(⊥,), D(⊥).本文利用算子分块的技巧, 讨论正交投影Q在式(1)分解下, 它的子矩阵A、B及D之间的关系.对空间进一步分解,以便于研究它们之间的关系.首先定义一个上的正交投影, 记为P, 显然(P)=,则P在空间分解=⊥下,根据引理1,对空间进一步分解=则在这种分解下,和Q=I10I50,其中并且dim3=dim4,U0是从4到3上的酉算子. 如果dim3=dim4≠0,则Q0是正压缩的并且0和1不是Q0的特征值. 此时有把式(1)、(2)与式(3)、(4)比较,则A作为空间123上的算子，有并且dim(A)=dim1+dim3,B作为从空间456到空间123中的算子, 有,并且dim(B)=dim3,D作为空间456上的算子,有并且dim(D)=dim4+dim5.在本节中, 对于任给的K(),记和下面首先给出式(1)中Q的子矩阵A,B及D的关系及其性质.性质1 若Q具有矩阵表示(1), 则以下结论成立:(i)A=A2+BB*等价于(ii)B=AB+BD;(iii)D=D2+B*B等价于B.证明由于Q为正交投影, 则有Q2=Q,根据式(1),经过计算可知以上结论成立.性质2 若Q具有矩阵表示(1), 则以下结论成立:(iv) (B)⊆(A), (B)⊆(v) (B*)⊆(D),(B*)⊆(vi)A是压缩的, D是压缩的.证明 (i)由于Q为正交投影, 则I-Q也是正交投影,即有(I-Q)2=I-Q.经过计算可得(i)成立.(ii) 根据I-Q的幂等性, 有则B.同理可得(iii) 因为Q*=Q, 所以A*=A, D*=D,从而可得根据式(5)～(7), 可得(iv)～(vi)成立.有限维空间下, 算子的值域总是闭的,根据引理2,它们的Moore-Penrose逆都是存在的.根据式(5)、(7)可以计算出和的Moore-Penrose逆, 则有根据式(8)～(11), 以下结论成立.性质性质4 (i)A-BD+B*=(iii)D-B*A+B=;(iv)+B*A+B=;(vii)A+BB*=PA;(viii)-BB*=.性质5 (i)dim ()=r-dim(A)+dim (B);(ii)dim ()=n-r-dim(D)+dim (B).证明根据式(5)、(7)可得:可知: dim 2+dim3, dim dim 4+dim 6.再根据dim (A)=dim1+dim3,dim (B)=dim3, dim (D)=dim4+dim5,可得结论(i)、(ii)成立.接下来讨论正交投影P和Q之间的关系.定理1 dim (Q)=dim (A)+dim (D)-dim (B).证明因为dim (Q)=dim1+dim3+dim5,而dim (A)=dim1+dim3,dim(B)=dim3,dim (D)=dim4+dim5, 再根据dim3=dim4,可得定理2 (i)dim (PQ)=dim (QP)=dim (A);(ii)dim (I-PQ)=n-dim (A)+dim(B);(iii)dim (P+Q)=r+dim (D);(iv)dim (P-Q)=r-dim (A)+dim(B)+dim (D);(v)dim (PQ+QP)=dim (A)+dim(B);(vi)dim (PQ-QP)=2dim (B).证明 (i) 因为PQ=I1000,所以dim (PQ)=dim1+dim3. 同理,可得dim (QP)=dim1+dim3.由dim (A)=dim1+dim3,有dim(PQ)=dim (QP)=dim (A).(ii) 因为I-PQ=0I2I5I6,所以dim (I-PQ)=n-dim1=n-dim (A)+dim(B).(iii)因为P+Q=2I1I2I50,所以dim(P+Q)=dim1+dim2+dim3+dim4+dim5=r+dim(D).(iv)因为P-Q=0I2(-I5)0,所以dim (P-Q)=dim2+dim3+dim4+dim5=r-dim (A)+dim (B)+dim (D). (v)因为PQ+QP=2I1000,所以dim (PQ+QP)=dim1+dim3+dim4=dim(A)+dim (B). (vi) 因为PQ-QP=0000,所以dim (PQ-QP)=dim3+dim4=2dim (B).定理是到(P)+(Q)上的正交投影;是到(P)∩(Q)上的正交投影.定理4 在空间分解=⊥下,以下结论成立:其中dim[(P)∩(Q)]=dim (A)-dim (B);其中dim[(P)∩(Q)]=r-dim(A);其中dim[(P)∩(Q)]=dim (D)-dim (B);其中dim[(P)∩(Q)]=n-r-dim(D).证明 (i)因为P(P)∩(Q)=I100000,由式(9),有因此则dim[(P)∩(Q)]=dim1=dim (A)-dim (B).(ii)因为P(P)∩(Q)=0I20000, 由式(8), 有因此则dim[(P)∩(Q)]=dim2=r-dim (A).(iii)因为P(P)∩(Q)=0000I50,由式(11), 有因此则dim[(P)∩(Q)]=dim5=dim (D)-dim (B).(iv)因为P(P)∩(Q)=00000I6, 根据式(10), 有因此则dim[(P)∩(Q)]=dim6=n-r-dim(D).定理5 (i)(P)∩(Q)={0} ⟺ dim(A)=dim(B);(ii) (P)+(Q)=⟺ dim (D)=n-r;(iii) (P)⊥(Q) ⟺ dim(A)=0.证明 (i) 由于(P)∩(Q)={0}, 即1={0}, 则因为Q0和I3-Q0是可逆的，所以有dim (A)=dim(B)=dim (Q0).反过来, 因为dim (A)=dim1+dim3, dim (B)=dim3, 如果dim (A)=dim(B), 则有dim1=0, 因此1=(P)∩(Q)={0}.(ii) 因为(P)+(Q)=(P+Q)=, 所以P+Q是可逆的. 根据式(3)、(4),可得6={0}.此时因此dim (D)=dim4+dim5=n-r.反过来,若dim (D)=dim4+dim5=n-r,则dim6=0, 即6={0}. 此时,P+Q=2I1I2I5.设因为I3+Q0和I3-Q0是可逆的, 由引理3可得T是可逆的,进而知P+Q 是可逆的. 所以(iii)如果(P)⊥(Q), 则有1=3={0}, 从而可得dim (A)=0.反过来显然.Key words： orthogonal projection; submatrix; operator matrix; Moore-Penrose inverse【相关文献】[1] BAKSALARY J K, BAKSALARY O M. Idempotency of linear combinations of two idempotent matrices [J]. Linear Algebra and its Applications, 2000, 321: 3-7.[2] BAKSALARY J K. Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices[J], Linear Algebra and its Applications, 2004, 388:25-29.[3] KOLIHA J J, RAKEVV, STRAKRABA I. The difference and sum of projectors[J]. Linear Algebra and its Applications, 2004,388: 279-288.[4] GROB J. On the product of orthogonal projectors [J]. Linear Algebra and its Applications,1999, 289: 141-150.[5] DU H K, YAO X Y, DENG C Y. Invertibility of linear combinations of two idempotents[J]. Proceedings of the American Mathematical Society,2005,134:1451-1457.[6] KOLIHA J J, RAKEVV, STRAKRABA I. Fredholm properties of the difference of orthogonal projection in a Hilbert space[J]. Integral Equations and Operator Theory,2005, 52: 125-134.[7] CONWAY J B. A course in functional analysis[M]. New York: Springer-Verlag, 1990.[8] BHATIA R. Matrix analysis[M]. 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第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。

在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。

加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。

例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。

例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。

例3． n 维向量空间n K 是线性空间。

例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。

二．简单性质1．零元素是唯一的。

2．负元素唯一。

3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。

4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。

线代第六版知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换以及矩阵理论。

第六版线性代数教材通常会对这些核心概念进行深入讲解，并可能包含一些新的理论发展或应用实例。

以下是对线性代数第六版可能包含的一些关键知识点的总结：1. 向量与向量空间：向量是具有大小和方向的量，向量空间是向量的所有可能线性组合的集合。

理解向量空间的基、维数以及向量在不同基下的表示是基础。

2. 矩阵运算：矩阵是数字的有序排列，可以进行加法、乘法、转置和求逆等运算。

矩阵的乘法规则、矩阵的行列式以及矩阵的秩是矩阵理论的核心内容。

3. 线性变换：线性变换是保持向量加法和标量乘法的函数。

理解线性变换的矩阵表示、特征值和特征向量是理解线性变换的关键。

4. 特征值与特征向量：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们与矩阵的对角化密切相关。

特征值问题在许多领域都有应用，如量子力学和经济学。

5. 正交性与正交投影：正交性是向量空间中的一种特殊关系，正交投影是将一个向量投影到另一个向量或向量空间上的操作。

理解正交基和正交补是解决许多几何和代数问题的基础。

6. 内积空间：内积空间是定义了内积运算的向量空间，它允许我们定义向量的长度和夹角。

欧几里得空间是最常见的内积空间。

7. 二次型：二次型是表达为变量的二次多项式的函数。

它们在优化问题和几何中有着广泛的应用。

8. 线性方程组：线性方程组是线性代数中最基本的问题之一。

解线性方程组的方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵方法。

9. 矩阵分解：矩阵分解是将矩阵表示为更简单矩阵的乘积。

常见的矩阵分解有LU分解、QR分解和奇异值分解（SVD）。

10. 应用：线性代数在工程、物理、计算机科学、经济学和统计学等领域都有广泛的应用。

理解线性代数的基本概念对于解决这些领域的问题至关重要。

这些知识点构成了线性代数第六版教材的主要内容，为学习者提供了一个坚实的理论基础和丰富的应用实例。

通过深入学习这些概念，可以更好地理解和应用线性代数在现代科学和工程中的重要性。

一、报考情况分析1.招生目录招生年份：2023年招生专业：070100 数学研究方向：01 代数及其表示02 几何、拓扑与分析03 图论与组合优化04 微分方程理论及其应用05 计算、几何力学与控制拟招生人数：5考试科目：①101 思想政治理论②201 英语一③601 数学分析④847高等代数复试要求及相关说明：笔试科目:综合数学基础知识笔试(含复变函数、实变函数、常微分方程、近世代数、拓扑学)。

面试内容:外语口语听力测试；综合基础知识面试。

2.复试分数线2023年复试分数线：单科（45/45/68/68），总分 347；招生计划：18 人，参加复试 22 人。

3.录取名单二、考试大纲及参考书目847 高等代数1．考试内容1. 一元多项式理论：最大公因式与因式分解，重因式，不可约多项式，复数域上的不可约多项式，实数域上的不可约多项式，有理系域上的不可约多项式，多元多项式环。

2. 行列式：行列式的定义，行列式的计算及性质，Laplace展开定理。

3. 线性方程组理论：Cramer法则，Gauss消元法，维向量的线性相（无）关性，向量组的秩和矩阵的秩，线性方程组有解的判别，线性方程组解的结构。

4. 矩阵：矩阵的混合运算，方阵的行列式，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，正交矩阵，欧几里得空间。

5. 矩阵的相抵与相似：矩阵的相抵，广义逆矩阵，矩阵的相似，矩阵的特征值和特征向量，矩阵可对角化的条件，实对称矩阵的对角化。

6. 二次型：二次型及其标准形，实二次形的规范形，正定二次型与正定矩阵。

7. 线性空间：线性空间的结构，子空间以及子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构，商空间。

8. 线性映射：线性映射及其运算，线性映射的核与象，线性映射的矩阵表示，线性变换的特征值与特征向量，线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayle定理，线性变换的最小多项式，幂零变换的结构，线性变换的Jordan标准形，线性函数与对偶空间。

投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当P2= P。

另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。

用数学的语言描述，就是：，使得，并且在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。

这就是投影变换最直白的例子。

可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量(x, y, z) 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 (x, y, 0)。

这样的一个变换就是一个投影变换。

它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。

这是在x-y平面上的投影。

这个变换可以用矩阵表示为因为对任意一个向量 (x, y, z) ，这个矩阵的作用是：注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的z分量等于0），那么经过变换P后不会有改变。

也就是说这个变换在子空间x-y平面上是恒等变换，这证明了P的确是一个投影。

另外，所以P = P2，这也证明P的确是投影。

基本性质变换T是沿着k方向到直线m上的投影。

T的像空间是m而零空间是k。

这里假定投影所在的向量空间V是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。

假设子空间U与W分别为P的像空间与零空间（也叫做核）。

那么按照定义，有如下的基本性质:1.P在像空间U上是恒等变换：2.整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和：。

也就是说，空间里的每一个向量v，都可以以唯一的方式写成两个向量u与w的和：v= u+ w，并且满足、。

事实上，每一个向量v都可以写成。

P(v)显然在像空间中，而另一方面，所以v−P(v)在零空间中。

如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。

在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。