2.3内积空间中的正交和投影

第3讲 实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)． 设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα， 因此有[]),(),(),(2ββααβα≤， 即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ． 例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明 因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+， 即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解 由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ． 故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明 设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα， 由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明 因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α． 首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解 先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明 设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=． 定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明 先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明 采用循环证法。

内积空间的正交基与正交投影内积空间是数学中一个重要的概念，它在向量空间中定义了向量之间的内积运算。

在内积空间中，有两个重要的概念：正交基和正交投影。

本文将介绍内积空间的概念，探讨正交基的性质以及正交投影的应用。

一、内积空间的定义和性质内积空间是一个向量空间，其中定义了向量间的内积运算。

一个内积空间必须满足以下条件：1. 正定性：对于任意非零向量x，有内积⟨x, x⟩大于0，并且仅当x 为零向量时等于0。

2. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有内积的线性性质：⟨ax + y, z⟩ = a⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩。

3. 对称性：对于任意向量x和y，有内积的对称性质：⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩。

内积空间的一个重要性质是Cauchy-Schwarz不等式，它表明对于任意向量x和y，有|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。

二、正交基的定义和性质在内积空间中，如果一个向量组中的向量两两正交且非零，那么这个向量组称为正交基。

正交基的一个重要性质是，内积空间中的任意向量都可以由正交基线性表示。

假设V是一个n维内积空间，{v_1, v_2, ..., v_n}是V的一个正交基，那么对于任意向量x ∈ V，可以将x表示为线性组合的形式：x =c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n，其中c_1, c_2, ..., c_n为常数。

三、正交投影的定义和应用正交投影是内积空间中的一个重要应用，它可以将一个向量投影到另一个向量上，得到其在后者上的正交投影。

设V是一个内积空间，W是V的一个子空间，对于任意向量x ∈V，将其正交投影到W上的向量记作Proj_W(x)。

那么Proj_W(x)满足以下两个条件：1. Proj_W(x) ∈ W，即正交投影的结果在子空间W中。

2. 向量x - Proj_W(x)与W上的所有向量正交，即内积⟨x -Proj_W(x), w⟩ = 0，对于任意w ∈ W成立。

第3讲 实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)． 设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα， 因此有[]),(),(),(2ββααβα≤， 即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ． 例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明 因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+， 即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解 由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ． 故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明 设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα， 由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明 因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α． 首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解 先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明 设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=． 定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明 先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明 采用循环证法。

内积空间正交与投影内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在理论和应用中都有广泛的应用。

在内积空间中，正交和投影是两个重要的概念和操作。

本文将介绍内积空间中正交和投影的概念，以及它们的性质和应用。

一、内积空间内积空间是一个定义了内积运算的线性空间。

内积是一种将向量对应到一个复数的运算，它满足线性性、对称性、正定性和共轭对称性。

内积运算可以用来衡量向量之间的夹角、长度和相似性。

在内积空间中，我们可以定义向量的正交性。

如果两个向量的内积为零，则称它们是正交的。

内积为零意味着两个向量之间没有共享的部分，它们在空间中相互垂直。

二、正交性的性质正交的向量在内积空间中具有一些重要的性质。

1. 任意向量与零向量正交：对于任意向量v，它与零向量的内积为零，即< v, 0 > = 0。

这是因为零向量不包含任何信息，与任意向量都没有共享的部分。

2. 向量与自身正交：对于任意向量v，它与自身的内积等于它的长度的平方，即< v, v > = ||v||^2。

这是因为内积可以表示向量的长度和夹角，向量与自身夹角为零。

3. 三角不等式：对于任意两个向量v和w，它们的内积的绝对值不超过它们的长度的乘积，即|< v, w > | ≤ ||v|| ||w||。

这个性质表明，内积可以衡量向量之间的相似性和夹角，两个向量之间的内积越大，它们越相似。

三、投影在内积空间中，我们可以利用向量的投影来进行向量的近似表示和问题的简化。

投影可以将一个向量分解成两个正交向量的和，其中一个向量是原向量在另一个向量上的投影，另一个向量是原向量与投影正交的部分。

投影的计算公式为：projv(w) = < w, v > / ||v||^2 * v。

其中，projv(w)表示向量w在向量v上的投影。

投影的应用非常广泛，例如在最小二乘法中，可以利用向量的投影来寻找一个向量在一个子空间上的最佳近似；在图像处理中，可以利用投影来实现图像的压缩和重构。