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在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23…它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29…它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26…再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28…这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30…就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。
奥数数论：中国剩余定理例题及答案（一）展开全文中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
下面通过一系列经典例题讲解，帮助大家学好中国剩余定理。
例1：一个住校生，家里每星期给他36元生活费。
该生每天实际只用生活费5元，某天他小姨到学校看他并给了50元钱，他用此钱买了两本喜爱的课外读物花10元，买学习用具花2元，放假回家后说明情况并给家长交回55元。
问：该生带几个星期的生活费？实际在校住几天？一共有多少钱？花去多少钱？用方法二解：列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）＝（36×22＋50－10－2）÷180＝830÷180 (110)答;1，（110－50＋10＋2）÷36＝2，（括号内□内最小数）2，（110－55）÷5＝11，（括号外□内最小数）336×2＋50＝122，4，122－55＝67。
答：该生带2个星期的生活费，实际住校11天，一共有122元，花去67元。
例2：有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?解答：5和9的公倍数依次是45、90、135、180、225……这些公倍数中，被7除余1的数是2259和7的公倍数依次是63、126、189、252……这其中，被5除余2的是2525和7的公倍数是35、70、105、140、……其中被9除余5的数是140把以上225252140三个数相加，求得225+252+140=617579三个数的最小公倍数是5*7*9=315 617-315=302因此302就是这个年级至少人数。
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×23×1616除以5的余数等于3×3×11＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×23×1919除以5的余数等于3×3×44除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4678967除以9的余数为7知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数性质（二）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃 9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与 b的和除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之和，或这个和除以 c的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39除以 5的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23+19＝42除以 5的余数等于 3+4=7 除以 5的余数为 22.余数的加法定理a与 b的差除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之差。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23－ 16＝7除以 5的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如： 23，14除以 5的余数分别是 3和 4，23－14＝9除以 5的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与 b的乘积除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23×16 除以 5的余数等于 3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23×19 除以 5的余数等于 3×4除以 5的余数，即 2. 乘方：如果 a与 b除以 m的余数相同，那么 a n与b n除以 m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以 9 的余数为 11898除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++a b c 是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：⨯+⨯+⨯±=-，其中k是自然数。
k k270321245[3,5,7]233[3,5,7]也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
例题精讲模块一、余数性质综合【例 1】一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是。
【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11【答案】11【例 2】有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。
这时．又窜来4只猴子。
只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,55的约数有：1、5、11、55，其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.【答案】5【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分【解析】56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
【答案】7【例 3】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3--，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。
【答案】140【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学?【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第10题【解析】 此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。
13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。
【答案】93【例 4】 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
【答案】59【巩固】 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是 。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分【解析】 这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而 [2，3，4，5，6]=60所以这个数最小是 60－1=59。
【答案】59【巩固】n 除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。
n 最小为 。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】n 加上1后变成116~的公倍数，所以1n +最小为169571113720720⨯⨯⨯⨯⨯=，n 最小为720719。
【答案】720719【巩固】 小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。
那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第9题【解析】 那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。
所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具。
【答案】59【巩固】 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。
那么一起做游戏的小朋友至少有 人。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】 这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人【答案】59【例 5】 一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]7,8,9504=，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573+++=，而504950485047787989191÷+÷+÷=⨯+⨯+⨯=，5731913÷=，所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506⨯-=．【答案】1506【例 6】数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有几个？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】[1，2，3，4，5，6]60=．三位数中60的倍数15个．所以，除了119外，还有15114-=（个）．【答案】14【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题【解析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2之后是24，28，32的公倍数，而[24,28,32]672=，所以这批书的本数是k-(k是整数).由于这批书少于1000本，所以k只能为1，这批书有670本.6722【答案】670本【例 7】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。
