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第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，如图1-2所示。
当四面体PABC 无限减小而趋于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。
命平面ABC 的外法线为'n ，则其方向余弦为()()()n z n m y n l x n ===,'cos ,,'cos ,,'cos图1-1dxdydz图1-2dxdydz三角形ABC 上的全应力p 在坐标轴上的投影用z y x p p p ,,代表.根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=.,,yz xz z z xy zy y y zx yx x x m l n p l n m p n m l p ττσττσττσ(1-2)设三角形ABC 上的正应力为n σ，则z y x n np mp lp ++=σ，将式1-2代入，并分别用xy zx yz τττ,,代替yx xz zy τττ,,，即得xy zx yz z y x n lm nl mn n m l τττσσσσ222222+++++=(1-3)设三角形ABC 上的切应力为n τ，则由于222222z y x n n p p p p ++=+=τσ，得 22222-n z y x n p p p στ++=(1-4）由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。
在特殊情况下，如果ABC 是物体上受面力作用的边界面σs ，则z y x p p p ,,成为面力分量z y x f f f ,,，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++=++=++.,,z syz xzzy sxy zyyxszx yxxfm l n f l n m fn m l ττσττσττσ (1-5)应力状态有三种表示方式如下: (1)如图1-2,在图中表示 (2)应力状态矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ][该矩阵为一对称阵。
(3)应力向量[]T ,,,,,zx yz xy z y x τττσσσσ=4、物体内任一点的应变状态过空间一点P 所有方向上的线应变和角应变的集合称为P 点的应变状态，通过该点作三个相互垂直的线元。
该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P 点的应变状态。
三个线应变为z y x εεε,,，三个角应变为：zx yz xy γγγ,,.应变状态的表示方式如下: (1)向量形式[]zx yz xy z y x γγγεεεε,,,,,=(2)矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyxxz xy x εγγγεγγγεε212121212121][ 5、几何方程和物理方程 （1）空间问题的几何方程yu x v x w z u z v y w z w y v x u xy zx yz z y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=γγγεεε，，，，， （1-6） 几何方程的矩阵形式为Lu =ε（在V 内），其中L 为微分算子⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=x z y z x y z y x L 000000000 （2）空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下()[]z y x x E σσμσε+-=1，()[]x z y y E σσμσε+-=1，()[]y x x z Eσσμσε+-=1， z v y w yz∂∂+∂∂=γ，x w z u zx ∂∂+∂∂=γ，yux v xy ∂∂+∂∂=γ (1-7)根据关系Θ-=Eμθ21，其中z y x εεεθ++=为体应变，z y x σσσ++=Θ为体积应力，Θ与θ间的比例常数Eμ21-称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=z z y y x x E E E εθμμμσεθμμμσεθμμμσ211211211，，()()()xy xy zx zx yz yz EE E γμτγμτγμτ+=+=+=121212，，物理方程的矩阵形式为εσD =或σεC =，其中D 为弹性矩阵，C 为柔度矩阵，两矩阵为互逆关系。
()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------------+-=μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ122100012210000001221000000111000111000111)21)(1()01(E D 4、边界条件（1）根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5 (2)空间问题的位移边界条件为()()()w w v v u u s s s ===,,(1-9)5、按位移求解空间问题按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。
将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。
6、按应力求解空间问题按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。
对空间问题来说就是，就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。
(1-8)二、板弯问题基本概念及微分方程1、有关概念(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。
这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。
两个板边之间的厚度δ称为板的厚度，而平分厚度δ的平面称为板的中间平面，或简称为中面。
如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b ，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。
(2)当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。
对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。
横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。
(3)薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。
这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。
2、薄板弯曲问题的计算假定为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。
(1)垂直于中面方向的线应变，即z ε可以不计。
取0=z ε，则又几何方程中的0=∂∂zw，从而得),(y x w w =。
即横向位移w 只是x ，y 的函数，不随z 而变。
因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。
(2)应力分量yz xz ττ,和z σ远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的变形可以不计（注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能不计）。
因为不计xz τ及yz τ所引起的形变，所以有0=zx γ，0=yz γ。
于是由几何方程1-6可以得0,0=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂z v y w x w z u 。
从而得ywz v x w z u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂， (2-1)由于0,0,0===yz zx z γγε，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。
在上述计算假定中虽然采用了0,0,0===yz zx z γγε，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量yz xz ττ,和z σ。
因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于zx z γε,和yz γ的物理方程。
因为不计z σ所引起的形变，所以薄板的物理方程成为()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=-=-=xy xy x y y y x x E E Eτμγμσσεμσσε)1(2,1,1(2-2)(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即0)(,0)(00====z z v u 。
因为yux v y v x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε,,，所以由上式得出中面内的形变分量均为零，即0)(,0)(,0)(000======z xy z y z x γεε(2-3)也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy 面上的投影形状却保持不变。
