由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程

∂ 2 ∂ 2 FSx = − D ∇ w, FSy = − D ∇ w ∂x ∂y
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，

物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。

h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz

h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法

其中为薄板的弯曲刚度9899薄板的弹性曲面微分方程薄板横截面上的内力称为薄板横截面上的内力称为薄板内力薄板内力是指薄板横截面的单是指薄板横截面的单位宽度上由应力合成的位宽度上由应力合成的主矢量主矢量和和主矩主矩
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
x
2w
2 (z2
2
2
)dz 4
E 3 12(1 2 )
x
2w
(c)
同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 y , yx , yz
也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：
M y
2 2
z
y dz
E
12(1
3
2
)
(
2w y2
2w x2
)
(d)
M yx
2
2
z yxdz
E 3 12(1 2 )
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３ 薄板横截面上的内力
► 薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单 位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,

如图10.4所示，边界上的
扭矩可以变换为等效的横向剪
力，与原来的横向剪力归并为
一个条件，即
z
Vy
FQy
M yx x
这样，自由边的边界条件为
My
yb
0, Vy
yb
FQy
M yx x
yb
0
z
注意到式（10.11）,上式成为
2w y2
2w x2
yb
0,
3w
y
3
(2
)
3w x2y
yb
0
z
dx
FQx
xy
Mx
y
yx xy xz x yz
dy
dx
图10-2 薄板的内力
在x为常数的横截面上，
t2
t2
t2
Mx
t
2
x zdz
,
Mxy
t
2
xyzdz
,
FQx
t
2
xz zdz
在y为常数的横截面上，
（10.9）
t2
t2
t2
My
t
2
y zdz
,
M yx
t
2
yxzdz
,
FQy
a m x ix 0, i m
0 sin a sin a dx a 2, i m
a 0
q sin
i x
a
dx
a 2
n1
Cin
sin
n
b
y
再将上式中的两边都乘以sin jy 然后对y从0到b积分，并注意到
b a m y jy 0, j m
0 sin b sin b dy b 2, j m

由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程薄板弯曲是指在薄板材上施加外力或载荷时，薄板产生的弯曲变形现象。

在薄板弯曲平衡的分析中，我们可以利用应力平衡方程来推导出薄板的弯曲平衡方程。

首先，我们先来了解一下薄板上的应力分布情况。

当薄板弯曲时，沿板的厚度方向，各点的应力不再均匀，而是变化的。

典型的薄板弯曲示意图如下：________=======+y-y=======_______________________(-z)/\(+z)在这个示意图中，x、y、z分别表示三个坐标轴方向，板材由原始平面发生了位移，形成了一个弯曲的曲面。

我们可以假设，板材上各点的应力沿曲面垂直方向，并且沿板材厚度方向的应力相对于板面来说可以忽略不计。

根据这个假设，我们可以得到以下应力方程：σx=σ0+zE(κ-η)σy=0σz=0其中，σx、σy、σz分别表示薄板上各点的应力；σ0表示沿曲面方向的平均应力，称为弯曲应力；E表示薄板材料的弹性模量；κ表示曲率；η表示薄板法线的倾角。

下面我们来推导薄板的弯曲平衡方程。

根据力的平衡原理，薄板的弯矩M必须满足以下条件：dM/dy + q = 0其中，M表示弯矩，q为单位面积上的荷载。

表示单位面积上的荷载，我们可以用物理量p来表示，即：q = p*dz将上述等式代入弯矩方程中，可以得到：dM/dy + p*dz = 0将p替换为σx，则有：dM/dy + σx*dz = 0根据应力平衡方程，我们可以得到：σx=σ0+zE(κ-η)将其代入上式，得到：dM/dy + (σ0 + zE(κ-η))*dz = 0对上式两边同时积分，得到：∫dM + ∫(σ0 + zE(κ-η))*dz = 0即：M+σ0z+E(κ-η)z^2/2=C其中，C是常数。

这就是薄板的弯曲平衡方程。

通过这个方程，我们可以分析薄板弯曲时各点的位移和应力分布情况，从而在设计过程中进行合理的选择和优化。

总结起来，由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程，涉及到薄板的应力分布、弯矩方程和力的平衡等内容。

第五章 薄板的弯曲薄板的概念：厚度t<<Min(B,L)()L B Min t 81~51<中厚板 ()L B Min t 81~51> 厚板()()L B Min t L B Min 81~511001~801<< 薄板()L B Min t 1001~801< 薄膜作用在其上的载荷分解为平行于板面和垂直于板面，当仅有平行于板面的力时，就是我们前面讲到的平面应力问题。

现在我们要解决的就是当有垂直于板面的载荷时（板受弯曲作用时），应该如何计算。

两者都有时，又应该如何考虑。

§5.1 薄板弯曲的基本方程一，基本概念1，中面：变形前平分板厚的平面。

2，挠度：中面上各点在垂直于中面上的位移w 。

3小挠度：通常w/t<1/5。

二，基本假定1，变形前垂直于中面上的直线，变形后仍为直线，且仍垂直于弯曲的中面。

该假定类似与材料力学中梁的平面假定。

它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。

0==zy zx γγ 2，变形前后，板的厚度不变，即0=z ε。

板内各点的挠度值仅为x 、y 的函数，而与z 轴无关。

()y x w w ,=。

3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移()00==z u 、()00==z v ，只有z 方向的位移。

4，平行于中面的各层之间互不挤压。

0=z σ三，基本方程利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。

1，几何方程由假定○1，0=∂∂+∂∂=x w z u zx γ，0=∂∂+∂∂=ywz v zy γ，就有： x w z u ∂∂-=∂∂，ywz v ∂∂-=∂∂，积分可得： ()y x f xwzu ,1+∂∂-= ()y x f ywzv ,2+∂∂-=再由假定○3，()00==z u 、()00==z v ，就是中面上各点没有板面的位移，代入上式，可得()()0,,21==y x f y x f 所以x w zu ∂∂-=，ywz v ∂∂-=。

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。

T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。

xy x x yx
z
1
yx
t /2
dz
y O
M xy
z
My
x
t /2
有限单元法
土木工程学院P-21/64Fra bibliotek简写成
t3 M D0 12
(4-1-5) (4-1-4)
前面推导了(4-1-4)
zD0
比较(4-1-4)和(4-1-5)可得用内力矩表示的平板应 力: 12 3 zM
有限单元法
土木工程学院
P-16/64
或简写为：
zD0
1 E D0 2 1 0 0 1 0 1 0 2
(4-1-4)
式中弹性矩阵（平面应力问题）:
有限单元法
土木工程学院
P-17/64
板与梁的比较
M
有限单元法
P-11/64
设A点挠度为w, 则沿x方向倾角(绕y轴) B点挠度
w w dx x
x
w y
w y x
沿y方向倾角(绕x轴) D点挠度
w w dy y
有限单元法
土木工程学院
P-12/64
② 沿x, y 方向位移 作平行于xoz平面,设中面上点A到A1的距离为z， 变形后，A点有挠度w, 同时发生弯曲，曲面沿x方向 的倾角为 w / x , 根据法线假定,则A1点沿x方向 的位移:
有限单元法
土木工程学院
P-24/64
4.2 有限元分析方法
一、矩形单元的典型形式 将图示矩形薄板沿x,y方向划分成若干小矩形 (常取等分)。从中取出一小矩形(单元)，共有四 个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点 视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三 个位移分量：

3 边界条件（续）:
(3) 自由边
a
x
b
在x = a 处自由:
M x (a, y) 0,
2w 2w 2 0 x 2 y x a
y
M xy (a, y) 0, Qx (a, y) 0
M xy 0 Qy x x a
在y = b 处自由:
3w 3w (2 ) 0 2 x3 xy x a
M y (a, y) 0, M xy ( x, b) 0, Qy ( x, b) 0
3w 3w (2 ) 2 0 y3 x y y b
o
x
h b
y
a
z
u( x, y,0) v( x, y,0) 0, w( x, y, z) w( x, y,0)
基本位移函数为中面挠度： w w( x, y)
o
x
一、薄板弯曲理论基础
y
h
b
a
2、基本方程 位移：
w( x, y, z ) w( x, y ) w u ( x, y , z ) z x w v ( x, y , z ) z y
T
实外力： q( x, y), V ( s), M n ( s)
实应力： { } { x , y , xy }T
虚应变：
实内力：{M } {M x , M y , M xy }
虚功方程：
* * * { } { M }d x d y w q d x d y w V ds A A S2 T
M1 y 1 y
单元插值函数：
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3 a11 x 3 y a12 xy 3

z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z

1
Ez

2
(
3w y3

3w yx2
)

1
Ez

2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z


Et3
6(1 2 )
(1 2

z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w

q
or或写成： D4w q
其中：D

Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0

薄板弯曲问题的理论分析洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析薄板弯曲问题的理论分析汽车工程研究院洪兵?胡小仙问题研究?【摘要]本文主要讨论汽车车身上常用的薄板材料的弯曲问题,分析其变形的特征,平衡方程以及相应的边界条件,为薄板的结构分析提供理论基础.主题词:薄板弯曲平衡方程边界条件薄钢板在汽车车身上的使用相当普遍,如顶盖,侧围,地板,门板,前罩板,横梁,纵梁及各种加强件等车身上的主要结构零件均由薄钢板冲压而成,重量占汽车车身总重量的70%以上,在车身结构中,薄钢板具有承载作用,负荷使薄钢板产生扭转,弯曲等变形,其中以弯曲变形最为常见.因此,从理论上分析薄板的弯曲变形问题,对于分析车身结构强度和受力状况是相当必要的.1薄板弯曲变形的基本特征利用材料力学和弹性力学的知识,可以得到三维弹性体的边界平衡方程为_1,2㈣1.1aQ:i(u)nj=&amp;i=1,2,3第一式为弹性体Q内部,第二式为Q的边界.其中,为应力,nj为各面法向,u为应变位移,￡为体积载荷,gi为边界载荷.方程(1)适用于包括薄板在内的一般性三维弹性体,而薄板具有其自身的特点,从这一方程出发可以得到薄板变形的一些特殊性.以薄板的中性面(即弯曲前后无变化的面)作为x,_x平面建立坐标系进行分析.下面就先分别给出两个显着的特征,再进行证明.(1)3】==33=0在薄板弯曲过程中,板的厚度远小于其他两个方向的几何尺寸(如汽车顶盖厚度与长,宽尺寸的差别可以达到200倍以上),因此为了得到弯曲变形,只需要在板平面上加上一个不大的载荷,这一载荷远小于由此而产生的内部的纵向伸缩应力.因此,在平衡方程(1)中,可以略去载荷gi,从而得到3∑(o)n:o()j2ii=gO()j=l此处n=(n,n,n)为边界面的外法向.在车身的结构设计中,不可能允许薄板由于承载产生较大的变形,这对于汽车的安全是有极大隐患的,所以,这里只考虑小变形,可以认为弯曲后薄板的外法向与坐标轴X3平行,即n一(0,0,±1).因此,在板面上有3ni±j3O(3)j=l由于是薄板,可以认为式(3)在板内部也是成立的,于是就得到第一个特征.当然,这个特征是近似的,但至少相对于其他应力分量是极小量.(2)薄板的弯曲变形完全取决于横向位移(即所谓挠度,它只依赖于纵向坐标xl,x),而纵向位移LII~.U2以及应变(~11TM.￡￡12,￡2l则完全由挠度决定.薄板在弯曲变形时,内部的纵向纤维产生拉伸或压缩.在板受载荷向内凹的一面是压收稿日期:2005—08—21问题研究?长安科技2005年第11卷第4期缩,向外凸的一面是拉伸.形变在整个厚度方向连续地从压缩方向变到拉伸方向,根据数学上连续函数的罗尔定理,可知必然存在—个既没有压缩,又没有拉伸的中性面,在中性面两侧的变形方向相反.由于是均质材料,所以中性面x,-J-~,于上下板面,即位于板厚的中间.根据坐标设定,可知变形前的中性面为Xl--X平面,即x3=O.在中性面上,三个方向的位移分别为u=u=0,u=u(XI,x2)(4)由于板厚度很小,可以认为挠度u沿着薄板厚度方向是一致的,即u3(x1,x2,x3)≈u(xl'x2)(5)根据推导出的第一个特征,考虑到是小变形,并记中性面的横向位移(即挠度),w=u于是有变关系)一)-lT(11)==l2此即三维弹性问题的Hook定理.其中,E为材料的弹性模量,为材料的泊松比,仅为线膨胀系数,下为温升.同时也可以得到薄板弯曲的应变能体密度w一~-1-琳e22.2](12)(6)2薄板弯曲变形的变分形式和平衡方程由此即可得到应变s与无穷小旋转角通过挠度W的表达式20xi一袅2(7)lq=争磬一争磬+磬{产等一=等一磬(8)}:=争一如杂令曲率一},i,j=l,2,这就是中性面经过弯曲后的曲率张量的一阶近似,容易得到s----X3KⅡ,Kij=Kjii,j=l,2(9)对式(8)分别求X1xX的偏导,可以得到一Kl2,一I(22(10):K根据以卜分析.可以得到薄板弯曲的府力府F面便用变分原理分析薄板的弯曲变形.不考虑热效应(即温升下=0),于是Ho0k 定理式(11)和应变能式(12)通过关系式(9), 可用曲率K表示为],f(1-v)ZKi2i+(ZKk)l(14)1-vlk=l"其中,符号函数6ij:{:--≠ji.由于中性面对称于上下板面,设板厚为h,令MijJ—Il,2X3%dx,,i,j=1,2(15)将式(14)代入式(15)雷得到MD【(1一)K+(∑k=lKkk)6J(16)其中,D:—.进一步写为2啦一Ⅳ洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析M11=D(K11+1JK22),M22=D(vK11+),M12=M21=D(1一r)K12(17)此即薄板弯曲变形的Hook定理,此处刻画"应变"的是曲率K刻画"应力"的是M根据式(15)可知M的力学意义即为力矩,其中M..表示x.方向断面上绕+x轴的弯矩,M表示x方向断面上绕一x.轴的弯矩,M.表示x:方向断面上绕+x轴的扭矩, M.表示x.方向断面上绕一x.轴的扭矩.比例常数D即为材料的抗弯刚度.类似地计算应变能面积密度,可得到外功势能F(w)=』P3wdx1dx2+Iq3wdl+IⅡ,dl(18)要从变分原理导出薄板弯曲的平衡方程,就需要建立Green公式,即运用Gauss积分公式把Dw,v1变为区域Q上只含v本身而不含其导数的表达式.由于此处D(w,v1中含有v的二阶导数,因此需要两次运用Gauss积分公式.汽车车身上使用的薄板一般为成品钢板材,可以认为是等厚均质材料,即在Q内E,P.h等为常数,于是相应的平衡解W有足够的光滑度以保证Gauss积分公式的合法性.经过理论推导可得到Green公式1.1D(w,V):llMij(w)Kj(v)dx.d】【2:一』喜+讪一l(w)dl+[(w)】=-)(19)由式(18),式(19)可得附一:一I(窆dxd】【2+In(Q)+i=1d]【i.J砸l. -q3)vdI+dll(w)+m-)dl问题研究?+∑[M(w)】):0(20)其中ft:Q3i:喜警J'a:∑iJ=12(21)1一aQ:MZMij,ninjFIaQ:M=∑M1n.(22)可以从力学意义上理解各个系数,P,表示作用在板Q上的横向载荷,q,表示作用在边界aQ上的横向载荷,m.表示作用在边界aQ上的弯矩载荷,Q,i表示xi方向断面上的横向剪力,Q,表示法向为n的断面上的横向剪力,M表示法向为n的断面上绕切向t的弯矩,一M表示同一断面上绕法向n的扭矩. 由于v在Q内部,边界aQ以及点P;上的任意性,根据式(20)可以得到薄板弯曲的平衡方程和边界条件Q:一2-P.(23)IQ,n(w)+-q3aQ:lM(w):ml(24)l[M(w)】;=0i=l2一,m将式(21),Hook定理(17)以及曲率K的定义代人式(23),得到用挠度W表示的薄板弯曲方程毒OX蔷0誓OX)+2矗1D(卜1X1,…～l2 最告誓+警p(25)这是关于挠度的四阶椭圆型偏微分方程. 对于{习质等厚度的薄板,由于D,1J均为常数,方程可以简化为双调和方程Q:DAw=p3(26)29问题研究?长安科技2005年第11卷第4期3薄板弯曲变形的边界条件根据以上分析可知,薄板弯曲的平衡方程(25)或(26)是关于挠度w的四阶椭圆型偏微分方程,在定解时一般要在边界上规定两个边界条件.根据汽车车身的具体情况, 可以将边界条件分为三类.第一类边界条件是规定几何约束,又可分两种情况.(1-1)规定横向位移,即:已知.f27)(1-2)规定切向转角,即F"60,(W)=CD已知,或:一已知.(28)对于这两种几何约束,变分问题中的虚位移v必须满足相应的化零约束条件F】:v=0,F:=0(29)dn而应变能泛函照旧,但外功势能则改为一fq,vdl+m-dOvdl}(30)于是可以利用Green公式,由变分原理得到平衡方程(23),而边界条件则改为F:Q3n+:q,(31)aft—F:M咖(w)=ml(32)恰好补足了几何约束(27),(28)式以外的边界条件.也就是说,当在边界某段上规定了横向位移w后,当地的任何横向载荷q 就不起作用了,同理,规定了切向转角(1)i后, 当地的切向弯矩mi也不起作用了.第二类边界条件是规定载荷即力学边界条件,也分两种情况.(2—1)F上规定横向载荷q,.由式(36),边界条件的数学形式为Qn(w)+_q3(33)它表示在边界上的横向剪力平衡,包含有w 的三阶导数,此处可以认为是板边界上的扭30矩落差产生有效的横向剪力,和Q一al起与外载荷q平衡.(2—2)r上规定弯矩载荷m..由式(24),边界条件的数学形式为r2:M(w)=ml(34)它表示边界上的弯矩平衡.此外,从式(24)还可以看出,当边界aQ的角点Pi不受载荷时,扭矩M在该点为连续.若在Pi有点载荷,则在外功势能一F(v) 中应增加"点项"v(pi),此时可导出Pi点的平衡方程Pi:[M(w)]:=(35)它表示扭矩在点Pi处必有跳跃,以产生有效的横向点力而与点载荷ri平衡.需要指出的是,力学边界条件是变分问题的自然边界条件,与内部平衡方程一样都是在势能达到极小值时自动得到满足的,它们其实就是边界上的平衡方程.在这里,自然边界条件包含w的二阶或三阶导数,解析形式非常复杂,变分原理的优越性在此就得到了充分的体现.第三类边界条件是弹性支承,出现于板在边界上或板面上与外界有弹性耦合时,可分为三种情况.(3一1)r3上除横向载荷q外,还承受正比于挠度w的横向弹性反力一CoW,co&gt;O为弹性耦合常数.此时r上单位长度有弹性能,对外功势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为Q3~(w)++c0w-q3(36)(3-2)F3~I~,T弯矩载荷In.外,还承受正比于切向转角的弹性反矩一cco=c,el&gt;0为弹性耦合常数.此时上F3上单位长度有弹性能,对外功洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为r3:M(w)--C1m-(37)f3—31板面上与外界有弹性耦合,即弹性地基板.设在Q的子域Q上承受正比于挠度的横向弹性反力一cw,c&gt;0为弹性耦合常数. 此时板面Q,的单位面积上有弹性能,对总势能和虚功泛函均有贡献,可以得到板体Q 内的平衡方程为Q～Q:Q:在工程实际中,可以根据材料的受力状态,在上述三类边界条件中任取两个,并且在不同的区段上可以有不同的取法,因此可能出现很复杂的组合.应该注意,边界条件(1—1)对(2—1)或(3—1),(1—2)对(2—2)或(3—2)是互相矛盾的,不能同时选取.另外,在实际的结构中,由于形状和受力状态复杂,计算量非常巨大,必须使用有限元软件进行分析处理.运用有限元对薄问题研究?板进行分析,常使用以下三种板元:不完全双三次矩形~(Adini—Clough—Melosh元),不完全三次三角形元(Zienkiewicz元)和完全二次三角形元(Morley元).4结束语经过一系列的理论分析,推导出了薄板弯曲变形的平衡方程及边界条件,为实践中对薄板材料的结构和受力状态进行分析提供了理论基础.当然,在工程实际中,各种材料的结构和受力非常复杂,仅依靠理论的分析计算是不够的,必须有相关试验进行实际的验证和调整.参考文献[1】冯康.弹性结构的数学理论.上海交通大学出版社.1996年4月第1版[2】钱伟长.弹性力学.科学出版社,1980年9月第1版[3】孙国钧.材料力学.上海交通大学出版社,2002年6月第1版[4】章仰文,邵国年.数学分析.上海交通大学出版社, 2000年7月第1版责任编辑曾莉(上接第26页)建模,并用非线性接触算法求解.在本文中,利用非线性有限元软件ABAQUS实现.(3)通过仿真表明,后端盖刚度过低,导致在螺栓力作用下发生较大翘曲变形,使得与密封垫失去接触,导致密封失效,仿真结果与试验现象相符合.(4)优化后的结构在后端盖边缘处增加了加强筋,并适当调整了中间加强筋的位置和大小,经仿真和试验验证,达到密封要求.参考文献I1]BelytschoT.,"uw.K.,MoranB.NonlinearFinite ElementsforContinuaandStructl?res,JohnWileyand SonsLtd,2000【2】王勖成有限单元法.北京:清华大学出版}土2o03 【3】ABAQUSInc.ABAQUS有限元软件6.4版入门指南.北京:清华大学出版社,2004【4】ABAQUSInc.ABAQUSAnalysisUsersManua1. ABAQUSInc.2003责任编辑曾莉31,托监啦: ∑:∑。

x
Mxy
Mx
z
My
Myx
Qx
y
Qy
• 内力由挠度表示
将应力的表达式代入积分得到
M
x


D(
2w x 2

v
2w y 2
)

D(K x

vK
y
)
M
y


D(
2w y 2

v
2w x 2
)

D(K
y

vK x
)
M
xy

M
yx

D1 2w
xy
Qx

D 2w x
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0
2
z


Et 3 6(1 v2 )

1 2
-
z t
2
1


z t
4w
z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。
• 薄板的平衡微分方程
利用板上面的边界条件 z zt q ，得：


m1,3,5... n1,3,5...
m2 a2

n2 b2
mn(
m2 a2

n2 b2
)2
sin
mx
a
sin
ny
b
M y
16q0 4


m2 a2
2
mn( m m1,3,5... n1,3,5...

n2
b2 n2 )2
sin
mx sin a
ny b

由于不计 z 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的
物理方程是相同的。
x

1 E
x y
y

1 E
y x
xy

2
1
E



xy
（9－2）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－1 有关概念及计算假定
2
E 3

12 1 2

2w x2


2w y 2

（a）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（2）应力分量 xy
由公式（9－4）知， xy 合成的主矢量为零；
应力分量 xy 合成横截面内的扭矩
§9－2 弹性曲面的微分方程
（5）用挠度 w 表示更次要应力分量 z
利用平衡微分方程（7－1）的第三式（不考虑体力）
z xz yz
z
x y
（c）
将应力分量（9－5）代入（c）
z E
z 2 1 2

2
4

z2


4
w

上式对z积分
（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
u z0 0, z0 0
所以由几何方程可以得出：
x z0 0,
y z0 0, 0 xy z0
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但
它在 xy面上投影的形状却保持不变。

d
z
d
2
z
d
2
（d）
zy yz ，将（9-5）式代入（c）式， 由于 zx xz、
z E d2 2 4 ( z ) w 2 z 2(1 ) 4
E d2 z3 4 z ( z ) w F3 ( x, y ) 2 3 2(1 ) 4
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
2 2w 2w F D w M y D y 2 x 2 ， Sy y
M xy M yx 2w D(1 ) xy
（9-10）
图9-3
薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为 正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。
平板，简称板。 （2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。
（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
（c）
（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效 剪力。总的分布剪力是：

2
（板面）上，三个应力边界条件也已精
确满足。
⑷ 只有板边的边界条件尚未考虑，它 们将作为求解微分方程（f）的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
思考题
试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲
问题的异同。
第九章 薄板弯曲问题
薄板内力
§9-3 薄板横截面上的内力
薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面 上 ( 1) ,由应力合成的主矢量和主矩。 求薄板内力的目的：
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在xy面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述三个计算假定，并应用这 三个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
第九章 薄板弯曲问题
内力符号
My
x
Mx
M yx M xy
M xy
M yx M yx dy y
Mx
z
M y My dy y
M x dx x
M xy dx x
y
FSy
FSx
FSy FSy dy y
FSx FSx dx x
第九章 薄板弯曲问题
中面内力平衡条件
w 取 εz 0 ，由 z 0 ，得 z
w w( x, y).
故中面法线上各点，都具有相同 的横向位移，即挠度w。（直法线假设）
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy 和 z 远小于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。 薄板中的应力，与梁相似，也分为三个 数量级： 弯应力 ζ x ,ζ（合成弯矩 M x ,M y） y

应力平衡方程推导应力平衡方程是固体力学中的一条基本方程，描述了力学系统中各点处的应力分布。

对于一个小体素（微元）来说，应力平衡方程可以推导为以下形式：考虑一个小体素在三个坐标轴上分别受到的力和力偶。

在x轴方向上，小体素受到的力可以表示为：∑Fx = ∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx = 0其中，∑Fx 表示在x轴方向上作用于小体素的力的矢量和，σxx、τyx、τzx 分别表示小体素在x轴方向上的正应力、剪应力和剪应力。

∂σxx/∂x 表示σxx 关于 x 的偏导数，表示 x 方向上的应力变化率。

类似地，∂τyx/∂y 和∂τzx/∂z 分别表示τyx 和τzx 关于 y 和 z 的变化率。

Fx 表示在 x 方向上外界对小体素施加的体积力。

将它们相加应为 0，即∑Fx = 0。

同理，我们可以得到在 y 轴和 z 轴方向上的应力平衡方程为：∑Fy = ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y + ∂τzy/∂z + Fy = 0∑Fz = ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0其中，τxy、τxz、τyz 分别表示小体素在 yz 平面上的剪应力，σyy、σzz 分别表示小体素在 y、z 轴上的正应力。

∂τxy/∂x、∂τxz/∂x 和∂τyz/∂y 分别表示τxy、τxz 和τyz 关于 x 和 y 的变化率，∂σyy/∂y 和∂σzz/∂z 分别表示σyy 和σzz 关于 y 和 z 的变化率。

将以上三个方程相加，得到整体应力平衡方程：∑Fx + ∑Fy + ∑Fz = 0即：∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx + ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y +∂τzy/∂z + Fy + ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0这就是通常所说的应力平衡方程。