2017年秋季新版沪科版九年级数学上学期22.2、相似三角形的判定课件8

• (1)△ACP∽△PDB；
• (2)CD2＝AC·BC．
证明：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC＋∠BPD＝60°， ∵∠CAP＋∠APC＝60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；
(2)由(1)得△ACP∽△PDB，∴APDC＝BPCD，∵△PCD 是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，∴CADC＝BCDD，∴CD2＝AC·BD．
核心素养
• 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折 叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
• (1)求证：△BDE∽△BAC；
• 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠D＋∠DHE＝∠B＋ ∠BHF＝90°，而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠DEH
＝∠C＝90°，∴△DEH∽△BCA．
7．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，且∠ADC＝∠ACB．求 证：AC2＝AD·AB．
证明：在△ACD 与△ABC 中，∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴
EDF，△FBC 中，一定相似的是
(B )
A．△ABE∽△EFB C．△BEF∽△FDE
B．△ABE∽△DEF D．△BEF∽△FBC
4．如图，在△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C＝∠E，AD∶DE＝
3∶5，AE＝8，BD＝4，则 DC 的长等于
(A )
A．145 C．230
B．152 D．147
• 5．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，请你添加一个适当 ∠AB的C＝条∠件DE：F(答__案__不__唯_一__)________________，使得

归纳小结
相似图形三角形的判定方法：通过定义（三边对应成比例，三角相等）. 平行于三角形一边的直线. 两角分别相等. 两边对应成比例且夹角相等. 三边对应成比例. 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
拓展提升
1.已知在Rt△ABC中,CD⊥AB垂足为D,DF⊥AC,DG⊥BC, F，G分别为垂足.求证:CF·CA=CG·CB.证明：∵CD⊥AB,DF⊥AC, ∴CD²=CF·CA, ∵CD⊥AB,DG⊥BC, ∴CD²=CG·CB, ∴CF·CA=CG·CB.
◆三边对应成比例两三角形相似.
◆两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似.◆两角对应相等，两三角形相似.
创设情境
观察两副三角尺如图，其中同样角度(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第5课时 直角三角形相似的判定定理
学习目标
学习重难点
重点
Байду номын сангаас难点
1.掌握直角三角形相似的判定.2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.
直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题.
直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法.
回顾复习
1.全等三角形的判定方法有哪些？SSS,SAS,ASA,AAS,HL2.我们学过的相似三角形的判定有哪些？◆平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似.

由此得出，BC=2B′C′
从而
B'C BC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似
22.2.4 相似三角形的判定（4）
课堂小结
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
利用三边 判定三角 形相似
相似三角形的判定定理3的运用
22.2.4 相似三角形的判定（4）
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
DE 2.4 0.6, EF 2.1 0.6, FD 1.8 0.6,
AB 4
BC 3.5
随堂练习 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6. 否
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10. 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)两个三角形在同一图形中. C
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知探究
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角 形相似的方法吗？

∴ △ ABC∽ △ A′B′C′
(三边对应成比例的两个三角形相似.)
15
例4 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝
8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm
．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明
∵
AB 6 1 A′ B′ ＝18＝3
1 那么这两个三角形相似吗？应值边为A13 D判等方．与断时法将A两，？点B个使判的E三用断由长角了三点度形哪角A的全些形开比始
在AC上相移似动是，否可有类以似发的现当
AE＝____3_方_法__呢A？C时，
△时AADDE与△1 ABC相似．此
E
3 AB =__________．
4
活动一：利用刻度尺和量角器画两个三角形，使
它们如的果两条一对个应三边角成形比的例，两并条且边夹与角另相一等个．量三一角量形 的第两三条条对边应对边应的成长比，例计，算它并们且的夹比角与相前等两，条对那应么边这 两的个比三是否角相形等相．似另．两(个简角单是的说否成对：应两相边等对？应你成能比得例出且
夹什角么相结等论的？两个三角形相似 )
B E
（如果一个三角形的两
依据下列各组条件，证明△ABC和△A条′B′边C′相与似另一个三角形的
∠40A°＝，40A°′B，′＝A1B6＝，8A，′CA′＝C3＝01．5，两且个∠条夹三A边角角′＝对 相 形应 等 相成 ， 似比 那 ）例 么 ．， 这9 并 两
1、已知,如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列
7
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似
A
4
3.2
3.2
50°

运用2
如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
证明 AB BC AC AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE
A
D B
E C
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的 三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长 为2，怎样选料可使这两个三角形相似？
22.2相似三角形的判定
第二课时
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的 延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1 两角分别相 等的两个三角形相似.
？ 思考
对于△ABC和△A＇B ＇ C ＇ ， 如果
A＇ ABB＇
AC ， A＇C＇
∠B=∠B＇，这两个三角形一定相似吗？
A
A＇
B＇
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
相似三角形的判定方法
预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两 边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三 角形相似．
定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 定理3 三边成比例的两个三角形相似.
又A A',
ABC ∽ A' B'C '
(2)AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm， A＇B＇=12cm，B＇C＇=18cm，A＇C＇=21cm.
(2) AB 4 1 , BC 6 1 ,
A' B' 12 3 B'C' 18 3 要使两三角形相

感悟新知
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
知2－练
∴ AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD.
∴△BEF ∽△CDF，△BEF ∽△AED.∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝3BE，∴△BEF与△CDF的相似比k1＝CBDE＝BAEB＝
1 3
；
△
BEF
与
△
AED
的
相
似
比
k2
＝
BE AE
＝
1 4
；
△
CDF
知1－练
感悟新知
知识点 2 平行线截三角形相似的定理
知2－讲
1. 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的
延长线)相交，截得的三角形与原三示，
∵ DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
书写两个三角形相似时，要把表示对应顶 点的大写字母写在对应的位置上.
感悟新知
知2－练
解题秘方：判断是用“平行线截线段成比例”，还是用 “平行线截三角形相似的对应边成比例”解 题是关键.
解：由题意知BD⊥AB，AC⊥AB，∴ BD∥AC. ∴△ACE∽△BDE. ∴ BADC＝ABEE，即A1C＝1.60－.20.2 . ∴ AC＝7 米.
感悟新知
知2－练
3-1.
感悟新知
知2－讲
2. 作用 本定理是相似三角形判定定理的预备定理， 它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相 等、对应边成比例.
感悟新知
特别提醒
知2－讲
根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有
BC∥DE，图22.2-4 ①②很像大写字母A，故我们称之为
“A”型相似；图22.2-4 ③
很像大写字母X，故我们

故当 AB＝3 时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
小林给出的解法你认为正确吗？为什么？若不正确，请给
出正确的解答过程．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过 程如下： 分两种情况考虑： (1)在 Rt△ABC 和 Rt△ACD 中， 若 Rt△ABC∽Rt△ACD，则AACB＝AADC， ∴AB6 ＝ 26，解得 AB＝3.
判定 思路
顶角相等， 等腰三角形，找一对底角相等，
底和腰对应成比例
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
几 种 常 见 的 图
注：对于第5条双垂图中有：①AB2＝BD·BC； 形 ②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD.
但对于第6条中仅有AC2＝CD·BC
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定 反思
图22－2－14
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
[解析] 要说明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形， 观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B ＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例 即可．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°. 又∵C 是线段 BD 的中点，BD＝4， ∴BC＝CD＝2，∴CE＝ CD2＋DE2＝ 5. ∵AC＝2 5，BC＝2， ∴AC∶CE＝BC∶DE＝2∶1， ∴Rt△ABC∽Rt△CDE.
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：(1)Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.理由如下：
∵AA′CC′＝174＝2，BB′CC′＝63＝2，∴AA′CC′＝BB′CC′. 又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.

• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一1时22分11秒13:22:118 November 2021
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时22 分11秒下午1时22分13:22:1121.11.8
下课了 !
结束寄语
•不经历风雨，怎么见 彩虹.,没有人能随随
便便成功!
22.2相似三角形的判定
复习提问 我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？
1、平行于三角形一边直线定理 ∵DE‖BC，∴⊿ADE∽⊿ABC
A
D
E
B
C
2、判定定理1： ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，∴⊿ABC∽⊿ABC
3、直角三角形中的一个重要结论
C
A
D
∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴⊿ABC∽⊿ACD∽⊿CDB
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午1时22分21.11.813:22November 8, 2021
B´
C´
A
判定定理2的几何格式：
AB AC , A A
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB AC
∴△A´B´C´∽△ABC

AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC
1
2
求证：△ABC∽△CDE。 B C
D
证明：
∵AB⊥BD、ED⊥BD∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90°∴∠A=∠2
∴△ABC∽△CDE
能力与提高
如图所示：已知Rt△ABC和 A
Rt△DEF不相似，其中∠C、∠F
为直角。能否将两个三角形分别分 C
过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则有： △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B，∠B=∠B′ ∴∠ADE=∠B′ 又∵∠A=∠A′，AD=A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′(ASA) ∴△A′B′C′∽△ABC
定理1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （可简单说成：两个角分别相等的两个三角形相似）
A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中相似的三角形；
F
（2）请由其中的一对相似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形相似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
相似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，

AB AC
都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们 的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′、∠C与∠C′是否相等?
新课讲解
1.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角
形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相
⇔△ABC∽△A′B′C′.
新课讲解
要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等， 三条 边成比例； (2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性：即若
△ABC∽△A′B′C′△A′B′C′∽△A″B″C″，△ABC∽△A″B″C″；
(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形 可以看作是相似比是1的相似三角形．
作△ABC与△A1B1C1,使得∠A=∠A1,∠B=∠B1,这时它们
的第三个角满足∠C=∠C1吗?分别度量这两个三角形
的边长,计算 AB , BC , AC A1B1 B1C1 A1C1
,你有什么发现?把你的结果与
邻座的同学比较,你们的结论一样吗?△ABC与△A1B1C1
相似吗?
新课讲解
1.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角 分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三 角形相似)．
新课讲解
证明：∵EF 垂直平分AD， ∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3. 又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠B＝∠4. 又∵∠BFA＝∠AFC， ∴△ABF∽△CAF.
新课讲解
知识点03 似三角形判定定理2
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′, AB 和 AC