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华师大版八年级数学上册课件：14.1 勾股定理(共24张PPT)

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最新华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理PPT

最新华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理PPT
可以发现，按（1）（3）所画的三角形都是直角三角 形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不 是直角三角形.
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都
满足a2+b2=c2.
对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
直角边： a 和 b 斜边 ： c
探索直角三角形三边的关系 A
b
c
C
a
B
想一想
如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图 中用阴影画出的三个正方形， 两个小正方形P、 Q的面积之和与 大正方形R的面积有什么关系?
（1）三个正方形的面积关系： Sp + SQ = SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2+ BC2 = AB2 (直角边)2 + (直角边)2 = (斜边)2
练一练 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶
上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这
一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
解：在Rt△ABC中，
BC2 =52 -42 =9，
BC>0
4
BC=3(km)
C
B
4
答：飞机飞过的距离是 A
3 km.
如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长.
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被
选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的

八年级上华东师大版14.1勾股定理课件

八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。

1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)

1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)

分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否
通过，只要比较距厂门中线0.8米处的
高度与车高即可.如图所示，点D在离厂
门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相
交于点H.
讲授新课
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD OC 2 OD2 12 0.82 0.6，
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解： 设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
可见高度上有0.4米的余量，因此卡
车能通过厂门.
讲授新课
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的
顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到
地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，
∠ABC =90°，BC=8米，AB＋
AC=16米．若设AB=x米，则
AC=(16-x)米，然后根据勾股定理

90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋



AC·AD＝ ×4×3＋ ×5×12＝36.




∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
讲授新课
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示

1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张

1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理

华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套

华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套

解： 在 Rt△ABC 中， 斜边不确定， 这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理， 得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知： 直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积， 故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.

数学(华师大版)八年级上册课件：14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的证明及简单

数学(华师大版)八年级上册课件：14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的证明及简单
勾 股 定 理
SA+SB=SC
C A
B 图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 4 4 8
C
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？ ⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
SA+SB=SC
C Aa c
b B
A 图乙 a
Bb c C
图甲
SA+SB=SC
图甲 图乙 2.观察图乙，小方格
A的面积 4 9 的边长为1.⑴正方形A、B、
B的面积
4
16
C的面积各为多少？ ⑵正方形A、B、C的面积
C的面积 8 25 有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
米？
ห้องสมุดไป่ตู้
C 3km B
4km 4km
A
例4 邮递员从车站O正东1km的邮局A出发， 先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到 C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该 邮递员与邮局的距离为多少km？
C 4km B
6 k
E
3km 1km
m OA
5km
D
例5、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它
如图：已知四个全等的直角三角形的两直
角边长分别为a和b，斜边长为c。利用这
些直角三角形拼成一个大的正方形，来
说明：a2 + b2 = c2
b
b
b

华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件


锐角三角形
（，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；

华师大版初中数学八年级上册14.1勾股定理第一课时课件 (共15张PPT)

教师寄语
----李老师与同学们共勉
创设情景
它标志着我 国古代数学 的成就！
弦图
这个弦图里由那些 基本图形组成？它 蕴涵了怎样的数学 知识呢？你想知道 些什么呢？
探索新知
观察图1-1，着色的三个 正方形的面积，然后思考 他们之间的面积有什么样 的数量关系。 9 个小方格 正方形A中含有___ 9 个单位面 即A的面积是____ 积； 9 个小方 正方形B中含有____ 9 个单 格，即B的面积是____ 位面积； 18 个小方 正方形C中含有____ 格，即C的面积是____ 18 个单 位面积；
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方。
3、应用勾股定理解决生活中实际问题
分类作业 促进发展
必做题：教材P111习题1、2题
同步练习（直角三角形三边关系）
选做题：利用我们今天所学的知识设 计一个图案
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道什么。—毕达哥拉斯
索
11/1/2018
数学世界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A
C
B
图1-5
图1-6
勾股定理
勾
a
弦c
股 b
我们发现直角三角形两 直角边的平方和等于斜 边的平方，如果用a、b 和c分别表示直角三角形 的两直角边和斜边，那 么一定有a2+ b2= c2 这种关系我们称为勾股 定理。

八年级上华东师大版14.1勾股定理课件

邪至日2=勾2+股2
陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的.
勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940 年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达·芬奇和美国总统 詹姆士·阿·加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
可要当心噢！
在直角△ABC中， a=3， b=4， 则求c的值？
已知∠ACB=90°,
A
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
D
求CD的长.
3
C
B
4
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x
12 5
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
BC=2.16, CA=5.41,
根据勾股定理得
A B A 2 C B 2 C 5 .4 2 1 2 .1 26
≈4.96（米）
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a
最早是由1700
多年前三国时
期的数学家赵
b
c 爽为《周髀算
b
经》作注时给
b a
出的，他用面 积法证明了勾
股定理
c
你能用面积法
证明勾股定理
吗？
勾股定理的证明(二)

华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件


D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆
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(3)如果一个直角三角形的两条边长分别 是5厘米和12厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
在直角△ABC中， =3， b=4， 则求c的值？
已知∠ACB=90°,
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
A D 3 C B
求CD的长.
4
求下列直角三角形中未知边的长: 8 17 5 12
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？ (2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？ (3) 在直角△ABC中，∠c=90°， 若a:c=5:13,b=24,求a,c的长
国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家多年 《周髀算经》中。
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比 伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载， 商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商 高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子 （公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾， 日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即 邪至日2=勾2+股2 陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。 人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的. 勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多， 1940年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达· 芬奇和美国 总统詹姆士· 阿· 加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两
直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?
A
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)
Q
C
R
B
图2 图3
9 9
16 4
25 13
P
图2
A
R
Q
C
P、Q、 R面积 关系
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172 即：X=√172-82 =15 52+ 122= X2 即：X=√52+122 =13
B a
几何语言： c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知） ∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟ b
A
C
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
c 2 = a 2 + b2
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a 2= c 2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b 2 = c 2 －a 2
b c a
2
a
例题1:
在直角△ABC中, ∠C=90°,a,b,c分别为∠A, ∠B ,∠C的对边. (1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
P
图3
B
直角三 角形三 边关系
(每一小方格表示1平方厘米)
Q P
图1-3
R
R
Q
P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
Q P
图3
R
R
1 7 4 3 4 2
2
S正方形R
Q
P
图4
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
5
13
C
12
B
概括
揭示了直角三角形三条边的 关系
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a b b b c a
最早是由1700 多年前三国时 期的数学家赵 c 爽为《周髀算 经》作注时给 出的，他用面 积法证明了勾 股定理
你能用面积法 证明勾股定理 吗？
勾股定理的证明(二)
b a c c b c c a b
a b
a
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
教学目标：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决 相关问题；感受数学文化的价值和我国传统数学的成就。
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
活动一

A
观察左图：
（1）正方形P的面积是 R （2）正方形Q的面积是 （3）正方形R的面积是 1 1 2 平方厘米。 平方厘米。 平方厘米。
P
C Q B
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
上面三个正方形的 面积之间有什么关 系？
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗？
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
1 2 2 1 S梯形= (a+b)(a+b) = (a +b )+ ab 2 2 1 2 1 1 2 S梯形 = c +2 · ab = c +ab 2 2 2
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法