探索勾股定理课件ppt
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
浙教版八级数学上册27 探索勾股定理 课件(共23张PPT)
x 2
1
17
15
b
初中数学
应用知y识=回0 归生活
2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且 斜边为10cm，求（1）两直角边的长;（2）斜 边上的高线长.
5 3、利用作直角三角形，在数轴上表示点
初中数学
应用知y识=回0 归生活
4、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 求两孔中心A、B之间的距离
数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观 察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力
情感目标:
（1）通过实践、猜想、拼图、证明等操作使学生深刻感受 数学知识的发生发展过程。 （2）介绍我国古代在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生的爱 国情感
初中数学
教学重y=点0 和难点
证明结y论=得0 到定理
a bc
b ca
ac b
cb a
动动手 初中数学
证明结y论=得0 到定理
a
bc
面积c
a
a
面积 （ ab2)
c
面积4•1a 2
b
S大正 S 方 4个形 三 S 角 小形 正方形
（ ab2)-4•1ab c2 即a2+b2=c2
2
初中数学
证明结y论=得0 到定理 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
定理在生产、生活中也有很大的用途。
初中数学
教学y目=标0
知识目标：
教 （1）知道勾股定理的由来，初步理解割补拼接的面积证法。 材 （2）掌握勾股定理，通过动手实践理解勾股定理的证明过程
（3） 能利用勾股定理进行简单的几何计算
分 能力目标： 析 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验 证”的
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
探索勾股定理ppt课件
度的一般步
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
浙教版数学八上2.7探索勾股定理(1) 课件(共23张PPT)
C
A
A
a
图1
a
C
B
图2
合作学习
大正方形的面积:c²
小正方形面积:（b-a）²
阴影部分面积:4× ab
1
2
它们之间的关系是： c 4 ab (b a )
2
2
化简得： a2+b2=c2
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
讲解新知
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理
3.勾股定理的应用
等，则E站应建在距A站______km处．
10
即时演练
解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=（25-x）2+102，
A
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离
90
B
C
40
为130mm
160
即时演练
m
铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为
两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如
图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建
设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相
∴S△ABC= ×BC×AC=6，
∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
《勾股定理》PPT课件
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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八年级数学
探索勾股定理
活动一：温故而知新
y=0
关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?
A
1.直角三角形叫Rt△ 2.两锐角互余∠A+∠B=90° 3.三角形的面积s=1/2ab=1/2hc
b
h
c
a
B
4. 30°所对的直角边等于斜边的一半
5.证明两个直角三角形全等有“HL”
C
本节课我们再来探索直角三角形新的知识
2 2
2
结论：
a b c
2 2
2
思考:大正方形面积怎么求？
a c b a c b
a
c b a b a b c c
a
c b b
(a+b)2= 2 c
ab 2 4 C 2
2 b
c c
a b
=
2 a+
a
证明结论得到定理 y=0 经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别 为a、b,斜边为c，那么 a
S7
1
1
美丽的勾股树
活动六：活学活用
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求： ⑴已知： a＝3， b＝4，求c ⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
a
b
活动六：活学活用
探究 一个门框尺寸如图所示，一 块长3m，宽2.2m的薄木板 能否从门框内通过？为什么？
图1-2
图1-1
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理
正方形A中含 有 9 个小方 格,即A的面积 是 9 单位面 积. B的面积是 9 单位面积. C的面积是 18 单位面 积.
观察图1-2，回答问题：
图1-2
图1-1
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理 1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积. B的面积是 9 单位面 积. C的面积 是 13 单位面 积.
勾 股
弦
赵爽弦图
a
B
c a
朱实
赵爽指出：按弦图， 又可以勾股相乘为朱 实二，倍之为朱实四， 以勾股之差自相乘为 中黄实。加差实，亦 成弦实。
b c
朱实
C
A
b
朱实
朱实
思考:大正方形面积怎么求？
c a c a b b
1 (b a) 4 ab c 2 2
2
b 2ab a 2ab c
2
5 12
1、勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理的主要作用是 在直角三角形中, 已知任意两边求第三边的长。
活动六：活学活用
已 知 S 1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的 值
S3
S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
2m
1m
拓展延伸
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿. 2、池塘边有两点A、 B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上一点， 测得CB=60m， B AC=20m。你能求出A、 B两点间的距离吗？ （结果保留整数）
A
B
C D
A 20
60
C
勾股定理 命题1
观察图1-3，填表：
图1-4
图1-3
毕达哥拉斯发现了 问题2.三个正方形的面积与三角形的边长有什么关系呢?探索勾股定理
观察图1-4，填表：
图1-4
图1-3
1.正方形A中 含有 16 个小 方格,即A的面 积是 16 单位 面积. B的面积是 9 单位面 积. C的面积是 25 单位面 积.
活动三：猜想命题
同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？
问题1：大正方形的面积与两个小正方形的 面积有什么关系？
大正方形的面积=两个小正方形的面积的和
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积. B的面积是 4 单位面 积. C的面积 是 8 单位面 积.
观察图1-1，回答问题：
如果直角三角形的两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 2 2 2. 么a +b =c
x
1、勾股定理： 直角三角形两直角边a、 b平方和， 等于斜边c平方。
a2+b2 =c2
2、 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系.
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。
c
b
a b c
2 2
2
即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾
弦
股
活动五：亲身体念
按图已知直角三角形两直 角边a,b量出斜边c填表 a
图（1） 图（2）
图（3）
b 4 8
c a 2 b2 2 c
5 10 13 25
25
结论
3 6
100 100 169 169
a b c
2 2
直角三角形三边之间的数量关系?
如果直角三角形的两直角边长 分别为a，b，斜边长为c，那么
a b c
2 2 2
A
b
C
c a
B
外国人把结论叫毕达哥拉斯 定理 我国叫
勾股定理
勾股定理——千古第一定理
c a b
活动四：了解中国历史（你知道吗？）
在约公元前1100年，我国古算书《周髀bì 算经》 记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦 是五.在我国古代，人们将直角三角形中的 短的直角边叫做勾， 长的直角边叫做股， 斜边叫做弦．
谢
谢
活动二 听故事 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家，相传2500年 • 前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作 客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只 有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原 来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成 的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯 的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突 破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．
探索勾股定理
活动一：温故而知新
y=0
关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?
A
1.直角三角形叫Rt△ 2.两锐角互余∠A+∠B=90° 3.三角形的面积s=1/2ab=1/2hc
b
h
c
a
B
4. 30°所对的直角边等于斜边的一半
5.证明两个直角三角形全等有“HL”
C
本节课我们再来探索直角三角形新的知识
2 2
2
结论：
a b c
2 2
2
思考:大正方形面积怎么求？
a c b a c b
a
c b a b a b c c
a
c b b
(a+b)2= 2 c
ab 2 4 C 2
2 b
c c
a b
=
2 a+
a
证明结论得到定理 y=0 经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别 为a、b,斜边为c，那么 a
S7
1
1
美丽的勾股树
活动六：活学活用
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求： ⑴已知： a＝3， b＝4，求c ⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
a
b
活动六：活学活用
探究 一个门框尺寸如图所示，一 块长3m，宽2.2m的薄木板 能否从门框内通过？为什么？
图1-2
图1-1
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理
正方形A中含 有 9 个小方 格,即A的面积 是 9 单位面 积. B的面积是 9 单位面积. C的面积是 18 单位面 积.
观察图1-2，回答问题：
图1-2
图1-1
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理 1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积. B的面积是 9 单位面 积. C的面积 是 13 单位面 积.
勾 股
弦
赵爽弦图
a
B
c a
朱实
赵爽指出：按弦图， 又可以勾股相乘为朱 实二，倍之为朱实四， 以勾股之差自相乘为 中黄实。加差实，亦 成弦实。
b c
朱实
C
A
b
朱实
朱实
思考:大正方形面积怎么求？
c a c a b b
1 (b a) 4 ab c 2 2
2
b 2ab a 2ab c
2
5 12
1、勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理的主要作用是 在直角三角形中, 已知任意两边求第三边的长。
活动六：活学活用
已 知 S 1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的 值
S3
S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
2m
1m
拓展延伸
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿. 2、池塘边有两点A、 B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上一点， 测得CB=60m， B AC=20m。你能求出A、 B两点间的距离吗？ （结果保留整数）
A
B
C D
A 20
60
C
勾股定理 命题1
观察图1-3，填表：
图1-4
图1-3
毕达哥拉斯发现了 问题2.三个正方形的面积与三角形的边长有什么关系呢?探索勾股定理
观察图1-4，填表：
图1-4
图1-3
1.正方形A中 含有 16 个小 方格,即A的面 积是 16 单位 面积. B的面积是 9 单位面 积. C的面积是 25 单位面 积.
活动三：猜想命题
同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？
问题1：大正方形的面积与两个小正方形的 面积有什么关系？
大正方形的面积=两个小正方形的面积的和
毕达哥拉斯发现了
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积. B的面积是 4 单位面 积. C的面积 是 8 单位面 积.
观察图1-1，回答问题：
如果直角三角形的两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 2 2 2. 么a +b =c
x
1、勾股定理： 直角三角形两直角边a、 b平方和， 等于斜边c平方。
a2+b2 =c2
2、 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系.
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。
c
b
a b c
2 2
2
即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾
弦
股
活动五：亲身体念
按图已知直角三角形两直 角边a,b量出斜边c填表 a
图（1） 图（2）
图（3）
b 4 8
c a 2 b2 2 c
5 10 13 25
25
结论
3 6
100 100 169 169
a b c
2 2
直角三角形三边之间的数量关系?
如果直角三角形的两直角边长 分别为a，b，斜边长为c，那么
a b c
2 2 2
A
b
C
c a
B
外国人把结论叫毕达哥拉斯 定理 我国叫
勾股定理
勾股定理——千古第一定理
c a b
活动四：了解中国历史（你知道吗？）
在约公元前1100年，我国古算书《周髀bì 算经》 记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦 是五.在我国古代，人们将直角三角形中的 短的直角边叫做勾， 长的直角边叫做股， 斜边叫做弦．
谢
谢
活动二 听故事 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家，相传2500年 • 前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作 客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只 有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原 来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成 的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯 的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突 破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．