第二章 1.2.1 直线方程的点斜式 随堂即时巩固

§2.2.1 直线的点斜式方程班级:_________ 姓名：___________1．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示（ ） A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线 C ．不与坐标轴垂直的直线D ．不与x 轴垂直的直线2．过点()1,2-且倾斜角为150的直线方程为（ ） A 33630x y -++= B 33630x y --= C 33630x y ++=D 33630x y +-=3．若直线()21120k x y k --+-=不过第二象限，则实数k 的取值范围（ ）A ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,+∞D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．直线1l ：310x y -+=，直线2l 过点()1,0，且它的倾斜角是1l 的倾斜角的2倍，则直线2l 的方程为（ ） A ．61y x =+ B ．()61y x =- C ．()314y x =- D ．()314y x =-- 5．(多选)下列四个选项中正确的是（ ） A ．方程21y k x -=+与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线 B ．直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1 C ．直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1D ．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 6．(多选)下面说法中正确的是（ ）A ．经过定点()00,P x y 斜率存在的直线才可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线的斜率都等于2121y y x x -- 7．过点P （2，1）且倾斜角比直线1y x =--的倾斜角小4π的直线的方程是___________.8．直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB +最小时，l 的方程为 ______________ . 9．求满足下列条件的直线方程． （1）过点(4,3)P -，斜率3k =-； （2）过点(3,4)P -，与x 轴平行； （3）过点(5,2)P -，与y 轴平行．10．已知直线l 的倾斜角为60°. （1）若直线l 过点)3,2P-，求直线l 的方程；（2）若直线l 在y 轴上的截距为4，求直线l 的方程.11．已知△ABC 在第一象限，若A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求： （1）边AB 所在直线的方程；（2）边AC 和BC 所在直线的点斜式方程．参考答案1．D 2．D 3．C 4．D 5．BC 6．AC 7．2x = 8．260x y +-=经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为0)k k <（， 则直线l 的方程为4(1)y k x -=-， 令y =0得4(1,0)A k-，令x =0得(0,4)B k -，则444(1)(4)5()5()549OA OB k k k k k k +=-+-=-+=+-+≥+=-，当且仅当4k k-=-，即2k =-时，OA OB +取得最小值. 此时l 的方程为260x y +-=.故答案为：260x y +-= 9．（1）39y x =--；（2）4y =-；（3）5x =．（1）因为直线过点(4,3)P -，斜率3k =-，所以由直线的点斜式方程得直线方程为33(4)y x -=-+，即39y x =--．（2）与x 轴平行的直线的斜率0k =，因为直线过点(3,4)P -，所以由直线的点斜式方程可得直线方程为(4)0(3)y x --=⋅-，即4y =-．（3）与y 轴平行的直线的斜率不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上的点的横坐标均为5，故直线方程为5x =． 10．（1）∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的斜率为tan 603︒= ∵直线l 过点)3,2P-，∴由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()233y x --，即350x y --=.（2）∵直线l 的倾斜角为60°， ∴直线l 的斜率为tan 603︒= ∵直线l 在y 轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方程得直线l 的方程为34y x =+. 11．（1）∵A ，B 两点的纵坐标均为1， ∴AB 边所在直线的方程为y ＝1.（2）∵AB 平行于x 轴，且△ABC 在第一象限，∴k AC ＝tan 60°3k BC ＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，∴直线AC 的方程为y －13x －1)；直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．。

1.2 直线的方程第1课时 直线方程的点斜式学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线方程的点斜式思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理 点斜式方程知识点二 直线方程的斜截式思考1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？ 答案 将k 及点(0，b )代入点斜式直线方程，得y ＝kx ＋b .思考2方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零．思考3对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.梳理斜截式方程1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线方程的点斜式例1根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．考点题点解(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.如图(3)所示． (4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.如图(4)所示．反思与感悟 求直线的点斜式方程的思路跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程． (1)过点(－1，2)，倾斜角为135°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为－7. 考点 题点解 (1)y －2＝－(x ＋1)． (2)y ＋1＝0. (3)y ＝32(x ＋7)． 类型二 直线方程的斜截式例2 求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过点P (0，4)，斜率为2；(2)与直线y ＝－x ＋1在y 轴上的截距相等，且过点Q (2，2)； (3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 考点 题点解 (1)y ＝2x ＋4.(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q (2，2)， 故k ＝2－12－0＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋1.(3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. 反思与感悟 直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y 轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件． (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .跟踪训练2 (1)直线y ＝ax －1a的图像可能是( )考点 题点 答案 B解析 由题意知，斜率与在y 轴上的截距异号，故选B.(2)已知斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程l ，若直线l 过点(1，1)，求m 的值． 考点 题点解 由直线方程的斜截式，得直线方程为y ＝2x ＋m . ∵直线l 过点(1，1)，将x ＝1，y ＝1代入方程y ＝2x ＋m ，1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.1．斜率为4，且过点(2，－3)的直线方程是( ) A ．y ＋3＝4(x －2) B ．y －3＝4(x －2) C ．y －3＝4(x ＋2) D ．y ＋3＝4(x ＋2)考点 题点 答案 A2．已知直线x －ay ＝4在y 轴上的截距是2，则a 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2考点 题点 答案 C解析 直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a＝2，得a ＝－2.3．某直线l 1过点A (2，－3)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则这条直线l 1的点斜式方程为______________________． 考点 题点答案 y ＋3＝3(x －2)4．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标为________． 考点题点答案(2，3)解析直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2，3)．5．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，且该直线的斜率是直线y＝x＋7斜率的2倍；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．考点题点解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.一、选择题1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2，0)的所有直线 B ．通过点(2，0)的所有直线C ．通过点(2，0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2，0)且除去x 轴的所有直线 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 C解析 易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0考点 直线的斜截式方程题点 直线斜截式方程与图像的关系 答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.3．直线3x ＋2y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－23，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3考点 题点 答案 C解析 由3x ＋2y ＋6＝0，得y ＝－32x －3，则k ＝－32，b ＝－3.4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A．k1<k2且b1<b2B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2D．k1>k2且b1<b2考点题点答案 A解析设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A.5．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)考点题点答案 D解析如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，k OA＝3，k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．6．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点()A．(1，2) B．(－2，1)C．(2，－1) D．(2，1)考点题点答案 B解析 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2，1)． 7．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 B解析 ①中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．8．方程y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 表示的直线可能是( )考点 题点 答案 D解析 在A 中，一条直线的斜率与y 轴上的截距均大于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，在y 轴上的截距小于零，即ab <0，故A 不可能．经分析知B 和C 也均不可能，故选D.二、填空题9．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4.10．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． 考点 直线的斜截式方程题点 直线的斜截式方程与图像的关系 答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.11．设直线l 的倾斜角是直线y ＝3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程为______________________． 考点 题点 答案 y ＝33x ±3 解析 直线y ＝3x ＋1的倾斜角为60°， 则l 的倾斜角为30°， ∴l 的斜率为tan 30°＝33. 又l 与y 轴的交点到x 轴的距离为3， ∴l 在y 轴的截距为±3， ∴l 的方程为y ＝33x ±3. 12．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 考点 题点答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2，2]．三、解答题13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程．考点 直线的斜截式方程题点 直线斜截式方程的应用解 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35. 四、探究与拓展14．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________． 考点 直线的斜截式方程题点 求直线的斜截式方程答案 y ＝34x ±3 解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ， 令y ＝0，得x ＝－4b 3， 由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12，|b |＋43|b |＋53|b |＝12， 4|b |＝12，∴b ＝±3，∴所求直线方程为y ＝34x ±3. 15．如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1，2)，求过点P 且与直线l 所夹的角为30°的直线l ′的方程．考点题点解 设直线l ′的倾斜角为α′，由直线l 的方程y －2＝3(x －1)知，直线l 的斜率为3，则倾斜角为60°.当α′＝90°时，满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的方程为x ＝1；当α′＝30°时，也满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l ′的方程为y －2＝33(x －1)，即y ＝33(x －1)＋2. 综上，所求直线l ′的方程为x ＝1或y ＝33(x －1)＋2.。

2.2.1直线的点斜式方程教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的点斜式方程.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.教学目标与核心素养教学重难点1.教学重点：掌握直线方程的点斜式并会应用2.教学难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．课前准备多媒体教学过程一、情境导学笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”.在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域.他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力.对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学.因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”.笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的.依照这种思想他创立了“解析几何学”.我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0,y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？二、探究新知在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率y-3x-0=2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?通过对解析几何创始人，数学家笛卡尔的介绍，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线点斜式方程.一、直线的点斜式方程名称 已知条件 示 意 图 方程 使用范围 点斜式 点P (x 0,y 0) 和斜率ky -y 0=k (x -x 0)斜率存在的直线点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.3.当直线与x 轴平行或重合时,方程可简写为y=y 0.特别地,x 轴的方程是y=0;当直线与y 轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x 0.特别地,y 轴的方程是x=0.1.直线l 的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l 的斜率是( ) A.2 B.-1 C.3 D.-3 答案:C2.方程k=y -y 0x -x 0与y -y 0=k (x -x 0)一样吗?答案:不一样.后者表示过点(x 0,y 0)且斜率为k 的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x 0,y 0).二、直线的斜截式方程 名称 已知条件示 意 图方程使用范围y五、课时练教学反思本课在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受.。