新课标最新北师大版2018-2019学年高一数学(理)第二学期期中模拟检测试卷及答案解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四第二学期期中考试试题高一数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的表格中.1．sin(30)-的值是（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32- 2.已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于（ ）A.(－2，－4)B.(－4，－2)C.(2，4)D.(4，2)3．已知α是第二象限角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角4.向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（ ）A ．AB B ．AC C ．AMD ．BC 5.使函数sin(2)y x θ=+为奇函数的θ的值可以是( )A ．4π B ．2π C ．π D ．32π 6. 在下列区间中，函数sin()4y x π=+是单调递增的是（ ）A.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [],0π-D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC → 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 8．已知△ABC 中，tan A ＝－512，那么cos A 等于( ) A. 1213 B. 513 C ．－1213 D ．－5139. 函数)32sin(3π+=x y 的图像可以看作是把函数x y 2sin 3=的图像作下列移动而得到（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 10.如图是函数)sin(2ϕω+=x y （02><ωπϕ，）的图像，则ϕω、的值是（ ）A ．1110=ω，6πϕ=B ．1110=ω，6πϕ-= C ．2=ω，6πϕ= D ．2=ω，6πϕ-=第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上.11．如果()1cos 2A π+=-，那么sin 2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 12．计算1tan151tan15︒︒-=+ . 13.在△ABC 中，设AB a =，AC b =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用,a b 表示为 .214.函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数2=y 的图像围成一个封闭图形(如图中的阴影部分)，这个封闭图形的面积是__________.15. 如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1， |OC | ＝32，若(),,OC OA OB R λμλμ=+∈则λμ+的值为 .高一数学答题卡一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在下面横线上.11. . 12. . 13. . 14. . 15. .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知3tan =α，求下列各式的值.（1）ααααcos 5sin 2cos 4sin 670-+； （2）.cos 8sin 2122αα-km h的速度向垂直于对岸的方向行17．（本小题满分12分）一艘船从A点出发以23/km h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．驶，同时河水的流速为2/18．（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin θ，－2) 与 b ＝(1，cos θ) 互相垂直，其中 θ ∈(0，π2)． (1) 求sin θ 和 cos θ 的值；(2) 若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0 < φ < π2，求cos φ 的值．19.（本小题满分12分）已知向量()()()6,1,,,2,3,AB BC x y CD ===-- 且//.BC DA(1) 求x 与y 之间的关系式；(2) 若AC BD ⊥，求x,y 的值.20.（本小题满分13分）已知()()x x b a cos ,sin ,3,1==，且函数()()R x b a x f ∈⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期； （2) 求函数()x f 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（3）求函数()x f 的单调递增区间.21．（本小题满分14分）已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝25 5.(1) 求cos(α－β)的值；(2) 若0 < α< π2，－π2< β< 0，且sin β＝－513，求sin α.高一数学期中考试试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C B D C A C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.12 12.33 13.1344AD a b =+ 14.34π 15. 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）（1）2014 ……6分 （2) 1 ……12分17.（本小题满分12分）如图，设−→−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→−AB 表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→−AC 就是船实际航行的速度. ………4分 在ABC Rt ∆中，2||=−→−AB ，32||=−→−BC ，∴22||||||AC AB BC =+222(23)4=+=， ∴23tan 2CAB ∠=3=，∴60CAB ∠=. …………10分故船实际航行速度的大小为4/km h ，方向与水流速间的夹角为60. …………12分 备注:只要步骤完整,答案正确就给满分.18.（本小题满分12分） (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ. ………… 2分又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45. (4)分又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (6)分(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ. ………10分 ∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12. 又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22. …………12分19.（本小题满分12分）（1）(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-+ , ……… 2分//BC DA , (,)BC x y =, (4)(2)0x y y x ∴+--+=. …………5分即20x y +=. ① ……… 6分 （2）(6,1)AC AB BC x y =+=++, (2,3)BD BC CD x y =+=--. ………8分AC BD ⊥, 0AC BD ∴⋅=，即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=,2242150x x y y ∴++--=. ② ……… 10分 ∴由①②得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或63.x y =-⎧⎨=⎩ ………12分20.（本小题满分13分）（1）因为()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=3sin 2cos 3sin πx x x b a x f ，所以函数()x f 的最小正周期是π2=T . ………7分（2) 函数()x f 的最大值是2，取得最大值时自变量x的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,62ππ. ………10分 （3）函数()x f 的单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-62,652ππππ. ………13分 21.（本小题满分14分）(1)∵|a |＝1，|b |＝1， ………2分|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， ………6分|a －b |2＝(255)2＝45， ………7分∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. ………8分(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， ………10分由sin β＝－513得cos β＝1213. (11)分∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365. ………14分。

北师大版高中数学必修五第二学期期中考试高一数学试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的( ) A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于 ( )．A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°3、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245 B ．12C ．445D ．6 4、在△ABC 中，若4:3:2sin :sin :sin =C B A 则A cos 的值为( )A 、87 B 、65C 、21D 、31-5、已知数列{a n }首项为1，且满足n n a nn a 11+=+，那么a n 等于( ) A 、n B 、1+n C 、n n 1+D 、1+n n6、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若asinAsinB ＋bcos 2A ＝2a ，则b a的值为( )A ．2 3B ．22C. 3 D. 27、等差数列{a n }中a 1>0，S 5＝S 8，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在8、如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(31)+米9、定义：称n p 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －1 B ．4n －3C ． 4n －1 D ．4n －510、已知数列{}n a ，{}n b ，它们的前n 项和分别为n A ，n B ，记n n n n n n n b a A b B a c -+=（*∈N n ），则数列{}n c 的前10项和为（ ）A 、1010B A + B 、)(211010B A + C 、1010B A ⋅ D 、1010B A ⋅ 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11、2－1与2＋1的等比中项是________． 12、在△ABC 中，若10103cos =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______. 13、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n a n 2sinπ=，则2014S 的值为14、三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8：5，则此三角形面积为____． 15、等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是___．(填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知a 2－c 2＝b 2－bc ，求：(1)角A 的大小；(2)若4,2=+=c b a ，求c b ,的大小．17、（本题共12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，满足35,473==S a ；n T 是数列{}n b 的前n 项和，满足：)(22*∈-=N n b T n n 。

绝密★启用前 北京师范大学附属中学2018-2019学年高一年级下学期期中考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．sin15cos15︒︒的值是( ) A ．14 B ．12 C D ．2 2．cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( ) A ．12 B C ．2 D ．1 3．已知平面向量(1,2),(1,0)a b =-=，则向量3a b +等于（ ） A ．()2,6- B ．()2,6-- C ．()2,6 D ．()2,6- 4．设m R ∈，向量(1,2),(,2)b a m m =-=-，若a b ⊥，则m 等于( ) A ．23- B ．23 C ．－4 D ．4 5．若 ， 是第三象限的角，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 6．下列向量的线性运算正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么a b -等于（ ）A ．1BCD ．2 8．已知向量(1,2),(3,4)a b =-=，则2a a b -⋅=（ ） A ．0 B ．－1 C ．2或－2 D ．12第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 9．()cos 36α︒+()()()cos 54sin 36sin 54ααα︒︒︒-++-= ___________. 10．若3sin()25πα+=，则cos2α=__________. 11．若M(3，－2)，N(－5，－1)且12MP MN =，则P 点的坐标为__________. 12．已知11tan ,tan 34αβ==，则()tan αβ+= __________. 13．在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,角C 等于60，若4,2a b ==，则c 的长为__________. 三、解答题 14．向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===，若,,A B C 三点共线，则求实数k . 15．已知函数()cos cos ,442x x x f x x R =+∈， (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的最大值和最小值. 16．在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，，3cos 54A B b π===（1）求a 的值； （2）求sin C .参考答案1．A【解析】【分析】直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】sin15cos15sin15c 111112sin 3022os15224︒︒︒︒=⨯==⨯=,故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.2．C【解析】【分析】直接逆用两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+()3cos 4515cos302︒︒=-==,故选C. 【点睛】 本题主要考查两角差的余弦公式与特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,3．A【解析】【分析】直接根据平面向量的坐标运算法则求解即可.【详解】因为(1,2),a =-所以()33,6a =-，又因为(1,0)b =，所以()()331,602,6a b +=-++=-，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4．D【解析】【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为(1,2),(,2)b a m m =-=-，且a b ⊥，所以()(1,2)(,2)220a m m m m b ⋅=-⋅-=--=，化为40m -=，解得4m =，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．A【解析】【分析】先由同角三角函数的关系求出 的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为 ， 是第三象限的角， 所以 ，，故选A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．C【解析】分析：由三角形法逐一验证选项中的运算是否正确即可.详解：对于 因为,故 选项错误； 对于 ，，故 选项错误； 对于 ，, 故 选项正确； 对于 ，，故 选项错误，故选C. 点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，注意掌握三角形法则的应用是解题的关键. 7．A【解析】【分析】 先求得12a b ⋅=，再求出2a b -的值，然后开平方即可得结果. 【详解】 因为,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60， 所以111,1,cos601122a b a b a b ==⋅==⨯⨯=， 2221211212a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=， 1a b -=r r ，故选A. 【点睛】 本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.8．A【解析】 【分析】 先求出22145,385a a a b ==+=⋅=-+=，从而可得结果.【详解】因为(1,2),(3,4)a b =-=，所以22145,13245a a a b ==+=⋅=-⨯+⨯=，所以2a a b -⋅=550-=，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+.9．0；【解析】【分析】直接逆用两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数求解即可.【详解】()cos 36α︒+()()()cos 54sin 36sin 54ααα︒︒︒-++-()()3cos 654αα︒︒+--⎡⎤=⎣⎦ cos900==,故答案为0.【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题, 10．725- 【解析】325sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=，2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭，故答案为725-. 11．3(1,)2--【解析】分析：设点(),P x y ，表示出,MP MN ，代入12MP MN =，即可求出点P 的坐标. 详解：设点(),P x y ，则()()3,2,8,1MP x y MN =-+=-，又12MP MN =， 343,1,1222x x y y -=-⎧⎪∴∴=-=-⎨+=⎪⎩， 31,2P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，故答案为31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查了平面向量的坐标运算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.12．711【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式求解即可.【详解】 因为11tan ,tan 34αβ==， 所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 117341111134+==-⨯，故答案为711. 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，意在考查对基本公式的掌握与运用，属于基础题. 13．【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】因为角C 等于60， 4,2a b ==，所以由余弦定理可得2222cos60c a b ab =+-1164242122=+-⨯⨯⨯=，所以c =【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．11k =或2k =-【解析】【分析】先根据向量减法的运算法则求出(4,7)AB k =--，(6,5)BC k =-，再利用向量共线的性质列方程求解即可.【详解】因为(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===，所以(4,7)AB OB OA k =-=--(6,5)BC OC OB k =-=-因为,,A B C 三点共线，所以AB 与BC 共线，∴(4)(5)42k k --=-∴11k =或2k =-【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算．15．（1）4T π=（2）max 2y =，min 2y =-【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为2sin()26x π+，（1）利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；(2)利用三角函数的有界性，可得到函数()f x 的最大值和最小值.【详解】()cos cos ,442x x x f x x R =+∈cos 22x x =+12cos 2222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin()26x π=+ （1）函数()f x 的最小正周期2412T ππ==；（2）因为1sin()122sin()22626x x ππ-≤+≤⇒-≤+≤， 所以max 2y =，min 2y =-.【点睛】本题主要考查三角函数的的周期性及最值，属于中档题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 16．（1）85a =（2）10【解析】【分析】（1）先利用同角三角函数的关系求得4sin 5A =，再利用正弦定理可得结果；（2）根据三角形内角和定理，利用诱导公式，结合（1），由两角和的正弦公式可得结果，【详解】（1）因为3cos 54A B b π===，， 所以4sin 5A =，sin B = 由正弦定理可得，4sin sin 5a b a A B =⇒=85a ∴=； （2）[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin =+A B A B43··525210=+=. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四高一年级期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 2．－630°化为弧度为( )A ．－7π2 B.7π4 C ．－7π16 D ．－7π43．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．35．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ）A ．2ADB ．2DAC ．2BD D ．2DB 6．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，π 7．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是( )8．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．410．已知向量||3=a ，||23=b , 3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角是( ) A ．150︒ B ．120︒C ．60︒D ．30︒11．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关 12．要得到y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．锐角α的终边交单位圆于点P (12，m )，则sin α＝________．14．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝________. 15． 已知向量(1,3)=a ，向量(2,1)=-b ，向量(1,1)=c ．若(,)=∈Rc a +b λμλμ，则=λμ_____． 16．在△ABC 中，已知|AB|＝|AC |＝2，且AB ·AC＝2，则这个三角形的形状为____________．三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 17、（本题满分12分）已知角α的终边过点P (1，3)． (1) 求sin(π－α)－sin(π2＋α)的值；(2) 写出满足2cos x －tan α>0的角x 的集合S .18、（本题满分10分）计算3sin (－1200°)tan 113π－cos 585°·tan(－374π)19、（本题满分12分）已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，（x ∈R ） (1) 求f (x )的最大值M 、最小值N 和最小正周期T ；(2) 由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到y ＝f (x )的图像； (3) 写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标．20、（本题满分12分）已知向量a＝(1,1)，向量b＝(1,0)，向量c满足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，求向量c的坐标．21、（本题满分12分）已知向量a＝(1,0)，向量b＝(2,1)．(1) 求|a＋3b|；(2) 当k为何实数时，k a－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？22、（本题满分12分）如右图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.高一年级期中考试数学试题参考答案二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADBABADCBBC二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分）13、32 14、3 15、3216、等边三角形三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)17、（满分12分）解：(1)∵角α的终边过点P (1，3)，可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2，∴sin α＝32，cos α＝12. ∴sin(π－α)－sin(π2＋α)＝sin α－cos α＝3－12. …………6分(2) 由2cos x －tan α>0及tan α＝3，得cos x >32， 由y ＝cos x 的图像可得x 的集合为：S ＝{x |－π6＋2k π<x <π6＋2k π，k ∈Z}．…………12分18．（满分10分）解：原式＝－3sin 120°tan 2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋(－22)×1＝32－22. …………10分19、（满分12分）解： (1) 由已知可得M ＝1，N ＝－1，T ＝2π2＝π. …………2分(2) 变换步骤是：① 把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图像；② 把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像． …………6分(3) 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，即对称轴方程是x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)，即对称中心是(k π2－π6，0)(k ∈Z)． ……12分20、（满分12分）解：设c ＝(x ，y )．由a ·c ＝0，得x ＋y ＝0.…… ①再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2. ………… ② …………4分由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.…………8分又∵b ·c >0，∴x >0， ∴c ＝(1，－1)． …………12分 21、（满分12分）解：(1) ∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58. ……4分(2) ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．∵(ka －b )∥(a ＋3b )，∴7×(－1)＝(k －2)×3. 解得k ＝－13， …………8分∵ka －b ＝－13(a ＋3b )，∴两向量反向． …………12分22、（满分12分）证明：如右图，以C 为坐标原点，以CA 、CB 所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系，设A (a,0)，∵AC ＝BC ， ∴B (0，a )． ……4分∵D 为BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.∴AB＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )． ……6分23CE CA AE CA AB =+=+ ＝(a,0)＋23(－a ，a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a . AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2. …………10分∴AD CE ⋅ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－a 23＋a 23＝0.∴AD ⊥CE . ………… 12分。

2018- 2019 学年下学期北师大附中高中一期中数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分．一、本大题共10小题，共40分．1.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a =2,b=3,c=4,则cosC=( ) A. 14-B.14C. 23-D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到角的余弦值即可.【详解】2,3,4a b c ===，根据余弦定理得到22294161cos .2124b ac C ab +-+-===-故答案为：A.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.2.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a 2 +b 2-c 2=a b,则C=( ) A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到角C 的余弦值，进而得到角C.【详解】2221cos .222b ac ab C ab ab +-===故角.3C π=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.3.ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得到a c =，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】ABC △中，60B =︒，2b ac =,()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形等边三角形.故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.4.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ,则a 的取值范围是( )A.B. (3,5)C.)D.)【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角形的条件得到2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎩【详解】锐角三角形的三边长分别为1, 2, a 则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<⎨⎪>⎪⎪⎩故答案为：A.【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.5. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为 A. 26, 16, 8, B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，9【答案】B 【解析】 由题意知间隔为60050＝12，故抽到号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．6. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ） A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7C. 8,15,12,5D. 8,16,10,6【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得抽样比为40180020=，所以高级职称抽取的人数为1160820⨯=，中级职称抽取的人数为13201620⨯=，初级职称抽取的人数为12001020⨯=，其余人员抽取的人数为1120620⨯=，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D ．考点：分层抽样．【方法点睛】分层抽样满足“每层中抽取的个体数量样本容量＝本层的总个体数量总体数量”，即“1212n n nN N N===或1212::::::n n n N N N =”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A. 4S B. 4πS C. πS D. 2πS 【答案】C 【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 故选C8. .投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512B 12C 712D 34【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含AB 、AB、AB，又()12P A =，()16P B =，所以所事件的概率为()()()()11711112612P P AB P AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=++=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. 25B.710C.45D.910【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图中的数据得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩．甲=15（88+89+90+91+92）=90；设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩．乙=15[83+83+87+99+（90+x）]=88．4+5x，当x=8或9时，．甲≤．乙，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为21 105=；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率14155P=-=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率10.现有A1，A2，．．．．A5,这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为: A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案．【详解】根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选：B．【点睛】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分．11.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若b=2，2,=36A B ππ=，则a =_______．【答案】【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理得到sin sin a ba A B=⇒=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦定理的应用属于基础题.12.某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______． 【答案】2 【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得a ，再根据方差的公式计算． 【详解】解：由题可知样本的平均值为1，∴1(0123)15a ++++=，解得1a =-，∴样本的方差为222221[(11)(01)(11)(21)(31)]25--+-+-+-+-=．故答案为：2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．13.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O'A'=2, O'B' =3,则△AOB 的周长为________．【答案】12 【解析】 【分析】先将直观图还原，再计算周长即可.【详解】根据课本知识刻画出直观图的原图为：其中OA=4，OB=3，根据勾股定理得到5,AB =周长为：12. 故答案为：12.【点睛】这个题目考查了直观图和原图之间的转化，原图转化为直观图满足横不变，纵减半的原则，即和x 轴平行或者重合的线长度不变，和纵轴平行或重合的直线变为原来的一半。

2018-2019学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷（AP）试题数：16，总分：01.（单选题，4分）sin15°cos15°=（）A. 14B. √34C. 12D. √322.（单选题，4分）化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A. 12B. √32C.- 12D.- √323.（单选题，4分）已知平面向量a⃗ =（-1，2），b⃗⃗ =（1，0），则向量3a⃗+b⃗⃗等于（）A.（-2，6）B.（-2，-6）C.（2，6）D.（2，-6）4.（单选题，4分）设m∈R，向量a⃗ =（1，-2），b⃗⃗ =（m，m-2），若a⃗⊥ b⃗⃗，则m等于（）A. −23B. 23C.-4D.45.（单选题，4分）若cosα=- 45，α是第三象限的角，则sin（α+ π4）=（）A. −7√210B. 7√210C. −√210D. √2106.（单选题，4分）下列向量的线性运算正确的是（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7.（单选题，4分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| a ⃗−b ⃗⃗ |等于（ ） A.1 B. √2 C. √3 D.28.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（-1，2）， b ⃗⃗ =（3，4），则| a ⃗ |2- a ⃗ • b ⃗⃗ =（ ） A.0 B.-1 C.2或-2 D. 129.（填空题，4分）cos （36°+α）cos （α-54°）+sin （36°+α）sin （α-54°）=___ ． 10.（填空题，4分）若sin （ π2 +α）= 35 ，则cos2α=___ ．11.（填空题，4分）已知M （3，-2），N （-5，-1），且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为___ ． 12.（填空题，4分）已知tanα= 13，tanβ=14 ，则tan （α+β）=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角C 等于60°，若a=4，b=2，则c 的长为___ ．14.（问答题，0分）向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（k ，12）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，5）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．15.（问答题，0分）已知函数 f (x )=2√3sin x 4cos x 4+cos x2，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的最大值和最小值．16.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA= 35，B= π4，b=√2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinC及△ABC的面积．2018-2019学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷（AP）参考答案与试题解析试题数：16，总分：01.（单选题，4分）sin15°cos15°=（）A. 14B. √34C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】：解：因为sin2α=2sinαcosα，所以sin15°cos15°= 12 sin30°= 14．故选：A．【点评】：本题考查正弦的倍角公式．2.（单选题，4分）化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A. 12B. √32C.- 12D.- √32【正确答案】：B【解析】：由两角差的余弦公式可得原式=cos（45°-15°），计算可得．【解答】：解：由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos（45°-15°）=cos30°= √32故选：B．【点评】：本题考查两角差的余弦公式，属基础题．3.（单选题，4分）已知平面向量a⃗ =（-1，2），b⃗⃗ =（1，0），则向量3a⃗+b⃗⃗等于（）A.（-2，6）B.（-2，-6）C.（2，6）D.（2，-6）【正确答案】：A【解析】：按照向量数乘的坐标运算及和运算，直接计算即可．【解答】：解：3a⃗+b⃗⃗ =3（-1，2）+（1，0）=（3×（-1）+1，3×2+0）=（-2，6）故选：A．【点评】：本题考查向量数乘、及和运算的坐标表示，属于基础题．4.（单选题，4分）设m∈R，向量a⃗ =（1，-2），b⃗⃗ =（m，m-2），若a⃗⊥ b⃗⃗，则m等于（）A. −23B. 23C.-4D.4【正确答案】：D【解析】：根据a⃗⊥ b⃗⃗，然后利用向量数量积为0得到关于m的方程，直接求解即可．【解答】：解：a⃗ =（1，-2），b⃗⃗ =（m，m-2），∵ a⃗⊥ b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=m−24=0，m=4．故选：D．【点评】：本题考查了向量的数量积运算，若两向量垂直，则数量积为0．属于基础题型．5.（单选题，4分）若cosα=- 45，α是第三象限的角，则sin（α+ π4）=（）A. −7√210B.7√210 C. −√210D. √210【正确答案】：A【解析】：根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】：解：∵α是第三象限的角 ∴sinα=- √1−1625 =- 35，所以sin （α+ π4 ）=sinαcos π4 +cosαsin π4 =- 35×√22−45 ×√22 =- 7√210． 故选：A ．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 6.（单选题，4分）下列向量的线性运算正确的是（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 【正确答案】：C【解析】：根据平面向量线性运算法则：加法应“首尾相接”，减法应“起点一致，指向被减数”，代入即可判断对错．【解答】：解：选项A ：根据向量加法运算法则， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗≠BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故错误； 选项B ： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故错误； 选项C ：根据向量加法法则， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故正确； 选项D ：根据向量减法法则， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故错误． 故选：C ．【点评】：本题主要考查平面向量的线性运算，学生应熟练掌握加法法则和减法法则，属简单题．7.（单选题，4分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| a ⃗−b⃗⃗ |等于（ ）A.1B. √2C. √3D.2【正确答案】：A【解析】：由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【解答】：解：∵ a ⃗ 、 b ⃗⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60° ∴| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1， a ⃗ • b ⃗⃗ = 12 ∴ |a ⃗−b ⃗⃗|2 = (a ⃗−b ⃗⃗)2= |a ⃗|2+|b ⃗⃗|2−2a ⃗•b ⃗⃗ =1 ∴ |a ⃗−b ⃗⃗| =1 故选：A ．【点评】：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则 a ⃗=√x 2+y 2 或 |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，考查运算能力，属基础题．8.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（-1，2）， b ⃗⃗ =（3，4），则| a ⃗ |2- a ⃗ • b ⃗⃗ =（ ） A.0 B.-1 C.2或-2 D. 12【正确答案】：A【解析】：直接代入数量积求解即可【解答】：解：因为向量 a ⃗ =（-1，2）， b⃗⃗ =（3，4）， 则| a ⃗ |2- a ⃗ • b ⃗⃗ = a ⃗2 - a ⃗ • b ⃗⃗ =（-1，2）•（-1，2）-（-1，2）•（3，4）=（-1）2+22-[（-1）×3+2×4]=0；故选：A ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 9.（填空题，4分）cos （36°+α）cos （α-54°）+sin （36°+α）sin （α-54°）=___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：直接利用两角差的余弦化简求值．【解答】：解：cos （36°+α）cos （α-54°）+sin （36°+α）sin （α-54°） =cos[（36°+α）-（α-54°）]=cos90°=0． 故答案为：0【点评】：本题考查两角差的余弦，是基础的计算题． 10.（填空题，4分）若sin （ π2 +α）= 35 ，则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]- 725【解析】：利用诱导公式化简求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】：解：sin （ π2 +α）= 35 ， 可得cosα= 35 ， cos2α=2cos 2α-1=2× (35)2 -1=- 725． 故答案为：- 725 ．【点评】：本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．11.（填空题，4分）已知M （3，-2），N （-5，-1），且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]P （-1，- 32 ）【解析】：设出点P 坐标，表示出 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点的坐标．【解答】：解：设点P （x ，y ），则 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x-3，y+2）， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-8，1）； 又 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ {x −3=−4y +2=12，∴x=-1，y=- 32 ； ∴P （-1，- 32）．故答案为：P （-1，- 32）．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题． 12.（填空题，4分）已知tanα= 13，tanβ=14 ，则tan （α+β）=___ ． 【正确答案】：[1] 711【解析】：由已知直接利用两角和的正切求解．【解答】：解：∵tanα= 13，tanβ=14 ，∴tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=13+141−13×14= 711．故答案为： 711 ．【点评】：本题考查两角和的正切，是基础的计算题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角C 等于60°，若a=4，b=2，则c 的长为___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：由已知利用余弦定理即可求解．【解答】：解：∵角C 等于60°，若a=4，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，可得c= √a 2+b 2−2abcosC = √42+22−2×4×2×12 =2 √3 ．故答案为：2 √3 ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.（问答题，0分）向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（k ，12）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，5）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．【正确答案】：【解析】：由条件和向量的坐标运算求出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出k 的值．【解答】：解：由题意得， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4-k ，-7）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6，k-5）， ∵A 、B 、C 三点共线，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（4-k ）（k-5）+42=0，即k 2-9k-22=0， 解得k=-2或k=11．综上知，当k=-2或k=11时，A 、B 、C 三点共线【点评】：本题考查了向量共线的坐标条件，以及向量的坐标运算，属于基础题． 15.（问答题，0分）已知函数 f (x )=2√3sin x 4cos x 4+cos x2，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：利用倍角公式及两角差的正弦化简． （1）直接利用周期公式求周期；（2）由化简后的函数解析式可得函数的最值．【解答】：解：由 f (x )=2√3sin x 4cos x 4+cos x2 ， 得 f (x )=√3sin x 2+cos x 2 = 2sin (x 2+π6) ． （1）函数f （x ）的最小正周期 T =2π12=4π ；（2）函数f （x ）的最大值为2，最小值为-2．【点评】：本题考查倍角公式及两角差的正弦，考查三角函数周期与最值的求法，是基础题． 16.（问答题，0分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosA= 35 ，B= π4 ，b= √2 ．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinC及△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，再由正弦定理求得a的值．（Ⅱ）在△ABC中，根据sinC=sin（A+B），利用两角和的正弦公式运算求得sinC的值．再根据△ABC的面积为s= 12absinC，运算求得结果．【解答】：解：（Ⅰ）因为cosA= 35，A是△ABC内角，所以sinA= 45，由正弦定理：asinA =bsinB，知a45= √2sinπ4，解得a= 85．（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= 45 × √22+ 35× √22= 7√210，△ABC的面积为：s= 12 absinC= 12× 85× √2 × 7√210= 2825．【点评】：本题主要考查正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四高一年级期中考试数学试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 2．－630°化为弧度为( )A ．－7π2 B.7π4 C ．－7π16 D ．－7π43．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x ＝( )A ．9B ．6C ．5D ．35．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ）A ．2ADB ．2DAC ．2BDD ．2DB6．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π4，π7．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是( )8．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B.2 C ．2 D ．410．已知向量||3=a ，||23=b , 3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒11．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关 12．要得到y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．锐角α的终边交单位圆于点P (12，m )，则sin α＝________．14．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－11π3＝________. 15． 已知向量(1,3)=a ，向量(2,1)=-b ，向量(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 16．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝2，且AB ·AC ＝2，则这个三角形的形状为____________．三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 17、（本题满分12分）已知角α的终边过点P (1，3)．(1) 求sin(π－α)－sin(π2＋α)的值；(2) 写出满足2cos x －tan α>0的角x 的集合S .18、（本题满分10分）计算3sin (－1200°)tan 113π－cos 585°·tan(－374π)19、（本题满分12分）已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，（x ∈R ）(1) 求f (x )的最大值M 、最小值N 和最小正周期T ； (2) 由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到y ＝f (x )的图像； (3) 写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标．20、（本题满分12分）已知向量a ＝(1,1)，向量b ＝(1,0)，向量c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，求向量c的坐标．21、（本题满分12分）已知向量a＝(1,0)，向量b＝(2,1)．(1) 求|a＋3b|；(2) 当k为何实数时，k a－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？22、（本题满分12分）如右图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.高一年级期中考试数学试题参考答案二、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 123456789101112答案CADBABADCBBC二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分）13、3214、3 15、3216、等边三角形三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)17、（满分12分）解：(1)∵角α的终边过点P (1，3)，可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2，∴sin α＝32，cos α＝12.∴sin(π－α)－sin(π2＋α)＝sin α－cos α＝3－12. …………6分(2) 由2cos x －tan α>0及tan α＝3，得cos x >32，由y ＝cos x 的图像可得x 的集合为：S ＝{x |－π6＋2k π<x <π6＋2k π，k ∈Z}．…………12分18．（满分10分）解：原式＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4 ＝3·323＋(－22)×1＝32－22. …………10分19、（满分12分）解： (1) 由已知可得M ＝1，N ＝－1，T ＝2π2＝π. …………2分(2) 变换步骤是：① 把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图像；② 把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像． …………6分(3) 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，即对称轴方程是x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)，即对称中心是(k π2－π6，0)(k ∈Z)． (12)分20、（满分12分）解：设c ＝(x ，y )．由a ·c ＝0，得x ＋y ＝0.…… ①再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2. ………… ② …………4分由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.…………8分又∵b ·c >0，∴x >0， ∴c ＝(1，－1)． …………12分 21、（满分12分）解：(1) ∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58. ……4分(2) ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．∵(ka －b )∥(a ＋3b )，∴7×(－1)＝(k －2)×3. 解得k ＝－13， …………8分∵ka －b ＝－13(a ＋3b )，∴两向量反向． …………12分22、（满分12分）证明：如右图，以C 为坐标原点，以CA 、CB 所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系，设A (a,0)，∵AC ＝BC ， ∴B (0，a )． ……4分∵D 为BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.∴AB ＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )． ……6分23CE CA AE CA AB =+=+＝(a,0)＋23(－a ，a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a .AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2. …………10分∴AD CE ⋅＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－a 23＋a 23＝0.∴AD ⊥CE . ………… 12分。

2018-2019学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则A. B. C. D.2.已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A. B. C. D.3.在中，，，则一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4.已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是A. B. C. D.5.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为A. 26，16，8，B. 25，17，8C. 25，16，9D. 24，17，96.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A. 12，24，15，9B. 9，12，12，7C. 8，15，12，5D. 8，16，10，67.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是A. 4SB.C.D.8.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A. B. C. D.9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A. B. C. D.10.现有，，，这5个球队进行单循环比赛全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场当比赛进行到一定阶段时，统计，，，这4个球队已经赛过的场数分别为：队4场，队3场，队2场，队1场，则队比赛过的场数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，则______．12.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，若该样本的平均值为1，则样本方差为______．13.如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为______．14.正方体的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥的体积小于的概率为______．15.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为______．16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且C为锐角，则面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，已知，．Ⅰ求AB的长；Ⅱ求BC边上的中线AD的长．18.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．求角B的大小；若的面积为，且，求的值．19.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组5第2组a第3组27x第4组b第5组3yⅠ分别求出，，，的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20.某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：出租天数34567车辆数330575型车出租天数34567车辆数101015105试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系只需写出结果；Ⅱ现从出租天数为3天的汽车仅限A，B两种车型中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金单位：万元随投资收益单位：万元的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立．判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．22.将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．Ⅰ若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；Ⅱ当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；Ⅲ求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由余弦定理可得：．故选：A．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，可得：，根据余弦定理得：，又，所以．故选：B．把已知条件移项变形得到，然后利用余弦定理表示出cos C的式子，把变形得到的式子代入即可求出cos C的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，属于基础题．3.答案：D解析：解：由余弦定理得：，又，，，，，的形状是等边三角形．故选：D．由余弦定理且得，再由，得，得，得，得的形状是等边三角形本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．4.答案：B解析：解：三边长分别为1、2、a，且为锐角三角形，当2为最大边时，设2所对的角为，根据余弦定理得：，，，解得；当a为最大边时，设a所对的角为，根据余弦定理得：，，解得：，综上，实数a的取值范围为故选：B．由的三边长，根据余弦定理的推论得到为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a的取值范围．本题考查了三角形的形状判断以及余弦定理的应用问题，利用了分类讨论的思想，解题关键是利用余弦定理推论得出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．5.答案：B解析：解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．本题主要考查系统抽样方法．6.答案：D解析：解：因为，故各层中依次抽取的人数分别是，，，，故选：D．先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．本题主要考查分层抽样方法．7.答案：C解析：解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为4S，故此正方形的边长为，故此圆柱的底面直径为，故此圆柱的底面半径为，故圆柱的底面面积为：，故选：C．根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是4S，出圆柱底面圆的直径，代入面积公式计算．本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆柱的几何特征是解答的关键．8.答案：C解析：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得，，则，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为；故选：C．根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得、，进而可得，由对立事件的概率计算，可得答案．本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系互斥、对立等．9.答案：C解析：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，则乙的平均成绩当或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率故选：C．由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．10.答案：B解析：解：根据题意，，，，，五支球队进行单循环比赛，已知队赛过4场，所以队必须和，，，这四个球队各赛一场，已知队赛过3场，队已和队赛过1场，那么队只能和，，中的两个队比赛，又知队只赛过一场也就是和队赛过的一场，所以队必须和、各赛1场，这样满足队赛过2场，从而推断队赛过2场．故选：B．根据题意，分析可得队必须和，，，这四个球队各赛一场，进而可得队只能和，，中的两个队比赛，又由队只赛过一场，分析可得队必须和、各赛1场，据此分析可得答案．此题主要考合情推理的应用，利用队比赛场数得出队、队比赛过的对应球队是解题关键．11.答案：解析：解：因为，，由正弦定理，则有．故答案为：．直接利用已知和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理，考查运算能力，属于基础题．12.答案：2解析：【分析】本题考查了平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．根据平均数公式先求出a，再求出方差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3的平均数是1，即有，易得，根据方差计算公式得故答案为2．13.答案：12解析：解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长，高，，直角三角形OAB的周长为．故答案为：根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长，高，，然后求三角形的周长即可．本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．14.答案：解析：解：正方体的棱长为1，正方体的体积．当四棱锥的体积小于时，设它的高为h，则，解之得则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，求得使得四棱锥的体积小于的长方体的体积四棱锥的体积小于的概率．故答案为：．求出当四棱锥的体积等于时，点M到平面ABCD的距离等于，可得当M 到平面ABCD的距离小于时，四棱锥的体积小于利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率本题考查几何概型，概率的求法，给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．15.答案：解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为．则该三棱锥的表面积为．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为然后由三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．利用正弦定理求出，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用三角形面积公式得出最大面积．【解答】解：因为，又，所以，又C为锐角，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为．故答案为．17.答案：解：Ⅰ由，，所以，由正弦定理得，，即；Ⅱ在中，，由余弦定理得，，所以，所以．解析：Ⅰ由同角公式和正弦定理，解方程可得AB；Ⅱ在中，运用两角和的余弦公式和余弦定理，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：，即，，将利用正弦定理化简得：，，在中，，，，又，则．的面积为，，，，又，，由余弦定理得：，，则．解析：结合三角形的内角和定理及诱导公式可得，再对已知，利用正弦定理化简可求B；结合三角形的面积公式，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要具备综合应用公式的能力．19.答案：解：Ⅰ第1组人数，所以总人数，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以；Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，．故所求概率为．解析：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属于中档题．Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．20.答案：解：由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．Ⅱ出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ辆A类型车出租的天数的平均数；50辆B类型车出租的天数的平均数．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．解析：Ⅰ由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；Ⅱ利用古典概型的概率计算公式即可得出；Ⅲ可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．熟练掌握古典概型的概率计算公式、平均数和方差的计算公式及其意义是解题的关键．21.答案：解：对于函数模型，当时，是单调递增函数，则，显然恒成立，若函数恒成立，即不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求；时，有意义，，，设恒成立，恒成立，即，，当且仅当时取等号，，，故a的取值范围为解析：研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；先求出，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．22.答案：解：Ⅰ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；Ⅱ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，可得此填数法的“特征值”为；Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为．若则有因为若，即，则，．所以．即不论何种情况，总有．解析：Ⅰ当时，任意填一种，计算可得所求值；Ⅱ当时，考虑最中间填1，调整边上的两数，使得此填数法的“特征值”为Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，讨论其中的两数，考虑两种情况，由不等式的性质即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．。

试卷第1页，总5页 2018秋季高一数学期中模拟试卷（理科） 试卷副标题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（每小题5分，共60分） 1．设全集U={1，2，3，4，5}，∁U （A ∪B ）={1}，A ∩（∁U B ）={3}，则集合B=（ ） A ．{1，2，4，5} B ．{2，4，5} C ．{2，3，4} D ．{3，4，5} 2．已知函数f （x ）=3sin （2x +）的最小正周期为T ，则将函数f （x ）图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．y=﹣3sin （2x +） B ．y=﹣3cos （2x +） C ．y=3sin （2x +） D ．y=3cos （2x +） 3．设偶函数f （x ）=log a |ax +b |在（0，+∞）上单调递增，则f （b ﹣2）与f （a +1）的大小关系是（ ） A ．f （b ﹣2）=f （a +1） B ．f （b ﹣2）＞f （a +1） C ．f （b ﹣2）＜f （a +1） D ．不能确定 4．在扇形AOB 中，∠AOB=2，且弦AB=2，则扇形AOB 的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．2sin1 5．设f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ），则使得f （x +1）＜f （2x ﹣2）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）∪（3，+∞） B ．（1，3） C ．（﹣∞，）∪（1，+∞） D ．（，1） 6．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，将函数f （x ）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）（ ）试卷第2页，总5页 A ．有一个对称中心 B ．有一条对称轴 C ．在区间上单调递减 D ．在区间上单调递增7．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．B ．4C ．3D ． 8．正三角形ABC 的边长为2，△ABC 直观图（斜二测画法）的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．29．下列说法正确的是（ ）A ．若，都是单位向量，则=B ．方向相同或相反的非零向量叫做共线向量C ．若，，则D ．若=，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形10．已知，，，是平面向量，下列命题中真命题的个数是（ ） ①（•）•=•（•） ②|•|=||||③|+|2=（+）2 ④•=•⇒=．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣4）=﹣f （x ），在[0，2]上f （x ）是增函数，则下列结论：①若0＜x 1＜x 2＜4，且x 1+x 2=4，则f （x 1）+f （x 2）＞0；②若0＜x 1＜x 2＜4，且x 1+x 2=5，则f （x 1）＞f （x 2）；③若方程f （x ）=m 在[﹣8，8]内恰有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=±8，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个试卷第3页，总5页 12．已知函数g （x ）=a ﹣x 2（≤x ≤e ，e 为自然对数的底数）与h （x ）=2lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+2] B ．[1，e 2﹣2] C ．[+2，e 2﹣2] D ．[e 2﹣2，+∞） 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每小题5分，共20分） 13．幂函数y=f （x ）的图象经过点（2，8），则f （log 4）= ． 14．设函数 f （x ）=，则函数 f （log 26）的值为 ． 15．已知函数f （x ）=1﹣2a x ﹣a 2x （a ＞0，且a ≠1），求函数f （x ）的值域． 16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y=k （x ﹣3）上存在一点P ，圆x 2+（y ﹣1）2=1上存在一点Q ，满足=3，则实数k 的最小值为 ． 三．解答题（共70分） 17．（8分）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）A ＞0，ω＞0，|φ|＜的图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 18．（8分）已知函数． （1）设f （x ）的定义域为A ，求集合A ； （2）判断函数f （x ）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明． 19．（9分）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°．（临界状态不考虑） （1）试将横断面中水的面积A （m 2）表示成水深h （m ）的函数； （2）确定函数的定义域和值域； （3）画出函数的图象．试卷第4页，总5页20．（12分）即将开工的上海与周边城市的城际列车路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次．每天来回次数t 是每次拖挂车厢个数n 的一次函数．（1）写出n 与t 的函数关系式；（2）每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数y 最多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）21．（10分）已知函数f （x ）=﹣x 2+2ax +1﹣a ，（1）若a=2，求f （x ）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f （x ）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a 的值．22．（10分）已知函数f （x ）=﹣x 2+2ax ﹣3a ．（Ⅰ）若函数f （x ）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数f （x ）存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f （x ）在[1，3]上的最大值．23．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①对任意的实数x ，y ，有f （x +y +1）=f （x ﹣y +1）﹣f （x ）f （y ）；②f （1）=2；③f （x ）在[0，1]上为增函数．（Ⅰ）求f （0）及f （﹣1）的值；（Ⅱ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a ，b ，c 为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f （x ）＞1．试卷第5页，总5页2018秋季高一数学期中模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共60分）1．【分析】根据题意和集合的基本运算可知1∉B，3∈A，3∉B，问题得以解决．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={1}，A∩（∁U B）={3}，则1∉B，3∈A，3∉B，则B={2，4，5}，故选：B．2．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x +）的最小正周期为T==π，则将函数f（x）图象向左平移=个单位后，所得图象对应的函数为y=f（x +）=3sin（2x ++）=3cos（2x +），故选：D．3．【分析】由条件可得b=0，a＞1，故f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），故a+1＞2，由函数的单调性求出f（a+1）＞f（2），由此求得结论．【解答】解：偶函数f（x）=log a|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，故b=0，a＞1．故f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），故a+1＞2，f（a+1）＞f（2）．综上，f（b﹣2）＜f（a+1），故选：C．4．【分析】由已知可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S AOB=r2α．∵∠AOB=2，且弦AB=2，∴可得：α=2，r=，∴扇形的面积为S AOB =r2α==．故选：B．5．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在1[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x ﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x ﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．6．【分析】首先由最小正周期得到ω=2，然后由左移过点得到φ，然后选择正确答案．【解答】解：由已知函数的最小正周期为π，得到ω=2，又函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数解析式为y=sin（2x+φ+）图象过点P（0，1），得到sin（φ+）=1，得到φ=；所以f（x）=sin（2x +）；故选：B．7．【分析】由三视图还原原几何体，得到截面为等腰梯形，求出其上下底边的长度及高，代入梯形面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，23截面是等腰梯形FHDE ，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为． ∴该截面的面积为S=． 故选：A ．8．【分析】由已知中正△ABC 的边长为2，可得正△ABC 的面积，进而根据△ABC 的直观图△A′B′C′的面积S′=S ，可得答案．【解答】解：∵正△ABC 的边长为2，∴正△ABC 的面积S== 设△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为S′则S′=S=×=故选：C ．9．【分析】利用单位向量的定义判断A 的正误；共线向量判断B 的正误；平行向量的性质判断C 的正误；平行向量判断D 的正误即可． 【解答】解：若，都是单位向量，则=，显然不正确，因为单位向量的方向不一定相同；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，满足共线向量的定义，正确； 若，，则，当时，不成立，所以C 不正确； 若=，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形，不正确，因为这四个点可能在一条直线上．故选：B ．10．【分析】根据向量数量积的定义与运算性质、向量模的公式，对各项中的等式依次加以分析，可得只有③中的等式是正确的，其它各项都可以举出反例，从而不正确．【解答】解：对于①，由于向量的数量积是一个实数所以（•）•是与向量共线的一个向量，•（•）是与向量共线的一个向量，而与不一定共线，故（•）•≠•（•），得①不正确；对于②，由向量数量积的定义，可得•=||•||cosθ，其中θ是两个向量的夹角因此|•|=||•||•|cosθ|≤||•||，得②不正确；对于③，根据向量模的公式得|+|=∴|+|2=（+）2成立，可得③正确；对于④，由向量数量积的定义，可得•=•即、在上的投影相等，不一定有=，故④不正确因此正确的命题只有③故选：A．11．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x1）＞f（x1﹣4）=f（﹣x2）=﹣f（x2）；则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确；②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确；③当m＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．当m＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确；故选：D．4512．【分析】由已知，得到方程a ﹣x 2=﹣2lnx ⇔﹣a=2lnx ﹣x 2在上有解，构造函数f （x ）=2lnx ﹣x 2，求出它的值域，得到﹣a 的范围即可． 【解答】解：由已知，得到方程a ﹣x 2=﹣2lnx ⇔﹣a=2lnx ﹣x 2在上有解．设f （x ）=2lnx ﹣x 2，求导得：f′（x ）=﹣2x=，∵≤x ≤e ，∴f′（x ）=0在x=1有唯一的极值点， ∵f （）=﹣2﹣，f （e ）=2﹣e 2，f （x ）极大值=f （1）=﹣1，且知f （e ）＜f（），故方程﹣a=2lnx ﹣x 2在上有解等价于2﹣e 2≤﹣a ≤﹣1．从而a 的取值范围为[1，e 2﹣2]． 故选：B ．二．填空题（每小题5分，共20分）13．【分析】设幂函数f （x ）=x α，则由f （x ）图象经过点（2，8），可得 （2）α=8，求得α的值，可得函数的解析式，从而求得f （log 4）的值．【解答】解：设幂函数f （x ）=x α， 则由f （x ）图象经过点（2，8）， 可得 （2）α=8，∴α=3， 故幂函数f （x ）=x 3， ∴f （log4）==﹣8，故答案为：﹣8．14．【分析】推导出函数f（log26）=f（log26+1）=，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（log26）=f（log26+1）==6×2=12．故答案为：12．15．【分析】利用换元法把原函数转化为二次函数，由二次函数的单调性求函数的值域．【解答】解：设a x=t，则t＞0，则原函数化为g（t）=1﹣2t﹣t2=﹣（t+1）2+2，∵对称轴t=﹣1∉（0，+∞），∴g（t）=﹣（t+1）2+2在（0，+∞）上是减函数，∴g（t）＜g（0）=1，故函数f（x）的值域为（﹣∞，1）．16．【分析】设P、Q的坐标，代入直线与圆的方程，由=3得出坐标关系，再由直线与圆的关系求出k的取值范围，从而求出实数k的最小值．【解答】解：【解法一】设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．6【解法二】设P（x，y），Q（x0，y0）；则+（y0﹣1）2=1①；由=3，得，即，代入①化简得x2+（y﹣3）2=9；∴点P的轨迹是圆心为（0，3），半径为3的圆的方程，又点P在直线kx﹣y﹣3k=0上，如图所示；则直线与该圆有公共点，即圆心到直线的距离为d≤r；∴≤3，解得﹣≤k≤0；∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．三．解答题（共70分）17．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由点（，5）在函数图象上，求出φ的值，可得函数的解析式．（2）令2kπ﹣≤x +≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，结合x∈[0，2π]，可得函数的增区间．【解答】解：（1）∵由函数的图象可得A=5，T=π﹣=，∴求得T=3π，ω==．7∵点（，5）在函数图象上，可得：×+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=5sin （x +）．（2）令2kπ﹣≤x +≤2kπ+，k∈z，求得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈z，又∵x∈[0，2π]，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为：[0，]，[，2π]．18．【分析】（1）由x2﹣1≠0，能求出函数的定义域．（2）函数在（1，+∞）上单调递减，利用定义法能进行证明．【解答】解：（1）∵函数．∴由x2﹣1≠0，得x≠±1，∴函数的定义域为{x∈R|x≠±1}…（4分）（2）函数在（1，+∞）上单调递减．…（6分）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，…（8分）∵x1＞1，x2＞1，∴．又x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴△y＜0．∴函数在（1，+∞）上单调递减．…（12分）19．【分析】（1）利用梯形的面积公式表示出即可；（2）由h的范围，求出A 的范围；（3）画出函数的图象．【解答】解：（1）A=（2+2h+2）h=h2+2h（0＜h≤1.8）；（2）由题意得：h∈（0，1.8]，A∈（0，6.84]；（3）画出函数A=h2+2h的图象，8如图示：．20．【分析】（1）由题意，设t=kn+b，由过点（4，16），（7，10）可得解析式；（2）代入化简可得y=﹣440（n2﹣12n），从而利用二次函数的求函数的最值及最值点，化为实际问题即可．【解答】解：（1）这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，则设t=kn+b，则k==﹣2，代入点（4，16）得，16=﹣2×4+b，解得，b=24，则t=﹣2n+24（1≤n＜12，n∈N）．（2）每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，则y=tn×110×2=2（﹣220n2+2 640n）=﹣440（n2﹣12n），则当n=6时，总人数最多为15840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人．21．【分析】（1）若a=2，化简f（x）=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3，利用对称轴以及开口方向，判断单调区间，然后求解最小值．（2）对称轴为x=a，通过当a≤0时，；当0＜a＜1时，当a≥1时，求解最大值，推出a即可得到结果．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，所以函数f（x）在区间[0，3]上是增加的，在区间[2，3]上是减少的，有又f（0）=﹣1，f（3）=29∴f（x）min=f（0）=﹣1（2）对称轴为x=a当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减少的，则f（x）max=f（0）=1﹣a=3，即a=﹣2；…（6分）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增加的，在区间[a，1]上是减少加的，则f（x）max=f（a）=a2﹣a+1=3，解得a=2或﹣1，不符合；当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增加的，则f（x）max=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=3，解得a=3；综上所述，a=﹣2或a=322．【分析】（Ⅰ）由已知得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=a，根据函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，可得实数a的取值范围．（Ⅱ）由判别式△≥0，求得实数a的取值范围．（Ⅲ）①当a=1时，根据函数f（x）在[1，3]上是减函数，求得f（x）max 的值；②当a=2时，根据函数f（x）在[1，2]上是增函数，在（2，3]上是减函数，求得f（x）max的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）=﹣x2+2ax﹣3a=﹣（x﹣a）2+a2﹣3a，∵函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．（Ⅱ）因为函数y=f（x）存在零点，∴△=（2a）2﹣4×（﹣1）×（﹣3a）≥0，即a2﹣3a≥0，解得a≤0，或a≥3，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）．（Ⅲ）①当a=1时，函数f（x）=﹣x2+2x﹣3在[1，3]上是减函数，于是，f （x）max=f（1）=﹣2．②当a=2时，函数f（x）=﹣x2+4x﹣6在[1，2]上是增函数，在（2，3]上是减函数，于是，f（x）max=f（2）=﹣2．23．【分析】（Ⅰ）赋值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=﹣1，y=1及条件②可求得f（﹣1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，在①中取x=﹣1，根据奇函数定义即可证明；（Ⅲ）因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c10＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需证f （a）+f（b）＞f（c），由a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度可得1≥1﹣＞1﹣＞0，由f（x）在[0，1]上的单调性及①即可证明；【解答】解：（Ⅰ）因为对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f （x）f（y），取x=y=0，得f（1）=f（1）﹣[f（0）]2，解得f（0）=0，取x=﹣1，y=1，得f（1）=f（﹣1）﹣f（﹣1）f（1），又f（1）=2，所以2=f（﹣1）﹣2f（﹣1），解得f（﹣1）=﹣2，所以f（﹣1）=﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，证明如下：取x=﹣1，得f（y）=f（﹣y）﹣f（﹣1）f（y），即f（y）=f（﹣y）+2f（y），所以f（﹣y）=﹣f（y），即对任意实数y，有f（﹣y）=﹣f（y）；所以函数f （x）为奇函数；（Ⅲ）（i）证明：因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，为了证明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三边的长”，只需证f（a）+f（b）＞f（c），因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以1＞＞＞0，1≥1﹣＞1﹣＞0，又因为f（x）在[0，1]上为增函数，所以f （）＞f （）＞0，f（1﹣）＞f（1﹣）＞0，所以f（a）+f（b）=f（a）﹣f（﹣b）=f（1﹣）•f （）＞f（1﹣）•f （）=f（2﹣c）﹣f（2），在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1﹣c得f（2﹣c）=f（c）；11。