§1.2.1 几个常用函数的导数 §1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列结论不正确的是 A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－x2C ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析 对于A ，常数的导数为零，故A 正确；对于B ，y ′＝(x -12)′＝－12x -32＝－12x 3，故B 错误； 对于C ，y ′＝(x 12)′＝12x -12＝12x ，故C 正确；对于D ，y ′＝x ′＝1，故D 正确． 答案 B2．已知曲线f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1， 切点有两个，即可得切线有两条． 答案 B3．曲线y ＝e x在点A (0，1)处的切线斜率为 A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析 由条件得y ′＝e x，根据导数的几何意义， 可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 答案 A4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为 A ．y ＝x －1B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析 由题意，得y ′＝3x 2－2， 所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝3－2＝1. 由直线的点斜式方程，得切线方程为y ＝x －1. 答案 A5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析 通解 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1.所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.优解一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.优解二 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.答案 D6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝(x 4)′＝4x 3.设切点为(x 0，y 0)，则4x 30×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，∴x 0＝1.∴切点为(1，1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.答案 238．已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析 f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0，又f ′(x 0)＝1x 20，所以1x 0＝1x 20，x 0＝1.答案 19．若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 解析 因为y ′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 答案 2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．解析 ∵抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)， ∴1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，其斜率为4，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝12.11．(12分)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解析 设两曲线的交点为(x 0，y 0)，f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax，x ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝12e ，x 0＝e 2.∴两条曲线的交点坐标为(e 2，e)， 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， 所以切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.12．(13分)设抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋a (a 是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l 1，l 2，求a 值变化时l 1与l 2交点的轨迹．解析 将y ＝x ＋a 代入y ＝x 2整理得x 2－x －a ＝0，① 为使直线与抛物线有两个不同的交点， 必须Δ＝(－1)2＋4a >0，所以a >－14.设此两交点为(α，α2)，(β，β 2)，α<β，由y ＝x 2知y ′＝2x ，则切线l 1，l 2的方程为y ＝2αx －α2，y ＝2βx －β 2.设两切线交点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α＋β2y ＝αβ.② 因为α，β是①的解，由根与系数的关系， 可知α＋β＝1，αβ＝－a . 代入②可得x ＝12，y ＝－a <14.从而，所求的轨迹为直线x ＝12上的y <14的部分．。
1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)明目标、知重点1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． 思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2， ④y ＝1x，⑤y ＝x .答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x (x ＋Δx )＝－1x 2(其它类同)， ⑤y ′＝12x.思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？ 答 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考5 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2.思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导． 跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2 2.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝x13，则y′＝13·x－23≠133x；③y ＝1x2＝x －2，则y ′＝－2x －3；④由f (x )＝3x ，知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3. ∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．0，π4]∪3π4，π)B ．0，π)C ．π4，3π4]D ．0，π4]∪π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈0，π4]∪3π4，π)．4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．曲线y ＝1x在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____.答案134解析 y ′＝(12x -)′＝－12·32x -，∴y ′|x ＝a ＝－12·32a -＝－1，∴a ＝134.5．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 A解析 ∵y ＝12x -，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a -)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )．令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 6．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.(2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)＝2sin x2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0， ①y 0＝e x 0， ②k ＝e x 0， ③∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 设e x＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.10．求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝x 7；(3)y ＝－1x5；(4)y ＝ln 3；(5)y ＝x x 3(x >0)．解 (1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝7x 6.(3)y ′＝(－x －5)′＝5x －6＝5x6.(4)y ′＝(ln 3)′＝0.(5)因为y ＝x x 3，所以y ＝52x ，所以y ′＝(52x )′＝52512x -＝5232x ＝5x x 2.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
