高中数学 常见函数放缩题汇总

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求nk k 12142的值; (2)求证:35112nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422n n n n n,所以122121114212n nnknk (2)因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)1211212144441222nn nnn(2))1(1)1(1)1()1(21211n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11r rr rr r nr nr n nC T rrrnr (4)25)1(123112111)11(nn nn(5)n nn n 21121)12(21(6) nnn221(7))1(21)1(2n n n n n (8)nn nnn nn 2)32(12)12(1213211221(9)kn nk k n n n k kn k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(n n n n (11)21212121222)1212(21nnn n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112n nn n nn nnn nnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123n n nn n n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kk kkk k(15))2(1)1(1n n n n n (15)111)11)((1122222222jij ijij ij i jij i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222n nn (2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2n nn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112n n ini (2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531n nn ,再结合nn n221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nnn n n12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2再证21212121222)1212(21nnn n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211n n例3.求证:35191411)12)(1(62nn n n 解析:一方面: 因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nn knk 另一方面: 1111)1(143132111914112n n n n n n当3n 时,)12)(1(61n n nn n,当1n 时,2191411)12)(1(6nn n n ,当2n时,2191411)12)(1(6n n n n , 所以综上有35191411)12)(1(62nn n n 例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x xx x .数列n a 满足101a .1()nn a f a .设1(1)b a ，，整数11ln a bk a b≥.证明:1ka b .解析: 由数学归纳法可以证明n a 是递增数列, 故若存在正整数k m, 使b a m, 则b a a kk1,若)(k mb a m,则由101ba a m知0ln ln ln11ba a a a a mmm ,km mm k k k ka a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km mm ,于是ba ba b a k a a k)(|ln |11111例5.已知m mmmmn S x N m n 321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnS mn .解析:首先可以证明:nx x n1)1(nk m m m m m m m m k knnn nn111111111])1([01)2()1()1(所以要证1)1()1(11mnmnS mn 只要证:nk m mm m m m m m m nk mnk m m k kn nnnnkm k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证nk m mnk mn k m m k k km kk1111111])1[()1(])1([,即等价于m mmm m k kk mkk 111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna 24,nnna a a T212,求证:23321nT T T T . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnn n nnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnn n n n n nn n nnnnnT 从而231211217131311231321n nnT T T T 例7.已知11x ,),2(1),12(Z kk nn Z k k n n xn,求证:*))(11(21114122454432N nn x x x x x x nn 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122,因为12n nn,所以)1(2122214122n n n nn x x nn 所以*))(11(21114122454432N n nx x x x x x nn 二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N nn nnn.解析:先构造函数有x x x x x11ln 1ln ,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nnnncause nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111n nn n n 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln n n nnnn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22nn n n nn 解析:构造函数xx x f ln )(,得到22ln ln n n nn ,再进行裂项)1(1111ln 222n n nnn,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln x x,)2(1ln nn 例10.求证:nnn 1211)1ln(113121解析:提示:2ln 1ln1ln1211ln )1ln(nn nn nn nn n 函数构造形式:xxx x 11ln ,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(, 首先:ni nABCFxS 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x in nin nin取1i有,)1ln(ln 1n n n ,所以有2ln 21,2ln 3ln 31,…，)1ln(ln 1n n n,n n n ln )1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121n n 另一方面nin ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x xiinninnin 取1i有,)1ln(ln 11n nn ,所以有nn 1211)1ln(,所以综上有nn n 1211)1ln(113121例11.求证:en )!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(n en n 解析:1)1(32]1)1(ln[n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(x xxx x x x(加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xx x x f ,求导,可以得到: 12111)('xx x x f ,令0)('x f 有21x,令0)('x f 有2x,所以0)2()(f x f ,所以2)1ln(x x ,令12nx有,1ln 22nn所以211ln n nn ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln nN nn n n n 例14. 已知112111,(1).2nnna a a nn证明2na e.解析:n nnnna n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1,然后两边取自然对数,可以得到nnna n n a ln )21)1(11ln(ln 1然后运用x x )1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：nnn a nna)2111(21nnna n n a ln )2111ln(ln 21nnnna 211ln 2。

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(1n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证:1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e <+⋅⋅++)311()8111)(911( .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n naa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

导数与函数放缩问题之对数放缩一、典型的不等式：（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，)ln 1x x <>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101xx x x +<<+二、典型例题[]'2213()(ln )(),1()()1,22x f x a x x a R a f x f x x x -=-+∈=>+∀∈例1：已知求证：时，对恒成立。

例2 10()ln(1)210.1x f x a x x a x ≥=+++-≥+若，恒成立，求的范围*3.()ln (1)1()(1)11122...ln 23f x x xx f x a x a n n N nn=≥≥-≥∈+++<例已知函数当时，若恒成立，求的取值范围；（）求证：当且时，2()ln 0()0.f x x ax x x f x a =--∀>≥例4：已知对都有恒成立，求的范围三、巩固练习()ln 1,(1)()0(2)ln 10.xf x ax x f x a e x x x-=--≥++-≥练习1：已知若恒成立，求的取值范围；证明：练习2：已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.练习3：已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．导数与函数放缩问题之对数放缩一、典型的问题：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，)ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101xx x x +<<+二、典型例题[]'2213()(ln )(),1()()1,22x f x a x x a R a f x f x x x -=-+∈=>+∀∈例1：已知求证：时，对恒成立。

数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

“放缩法”解不等式的8个例⼦，难题轻松解决！添加或舍弃⼀些正项（或负项）若多项式中加上⼀些正的值，多项式的值变⼤，多项式中加上⼀些负的值，多项式的值变⼩。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加⼀些项，使不等式⼀边放⼤或缩⼩，利⽤不等式的传递性，达到证明的⽬的。

本题在放缩时就舍去了，从⽽是使和式得到化简.先放缩再求和（或先求和再放缩）此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分⼦变为常数，再对分母进⾏放缩，从⽽对左边可以进⾏求和. 若分⼦, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之⼀变为常量，分式的放缩对于分⼦分母均取正值的分式。

如需放⼤，则只要把分⼦放⼤或分母缩⼩即可；如需缩⼩，则只要把分⼦缩⼩或分母放⼤即可。

先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）本题先采⽤减⼩分母的两次放缩，再裂项，最后⼜放缩，有的放⽮，直达⽬标.放⼤或缩⼩“因式”本题通过对因式放⼤，⽽得到⼀个容易求和的式⼦，最终得出证明.逐项放⼤或缩⼩本题利⽤，对中每项都进⾏了放缩，从⽽得到可以求和的数列，达到化简的⽬的。

固定⼀部分项，放缩另外的项此题采⽤了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不⼀定从第⼀项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

利⽤基本不等式放缩本题通过化简整理之后，再利⽤基本不等式由放⼤即可.先适当组合, 排序, 再逐项⽐较或放缩以上介绍了⽤“放缩法”证明不等式的⼏种常⽤策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的⽅法，有时还需要⼏种⽅法融为⼀体。

在证明过程中，适当地进⾏放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。

因此，使⽤放缩法时，如何确定放缩⽬标尤为重要。

要想正确确定放缩⽬标，就必须根据欲证结论，抓住题⽬的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题⽬的类型，采⽤恰到好处的放缩⽅法，才能把题解活，从⽽培养和提⾼⾃⼰的思维和逻辑推理能⼒，分析问题和解决问题的能⼒。

高中数学导数常见放缩不等式导数常见放缩不等式是高中数学学习中不可遗漏的一个重点内容，它通过对导函数的性质进行分析和推导，引出了许多常用的不等式。

在学习过程中，我们需要理解和掌握这些不等式的性质，以便在数学实践中灵活应用。

下面是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍：一、极值问题1. 定理1：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果在x1和x2两点处取得了极值，那么f'(x1)=f'(x2)=0。

2. 定理2：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果f(x)在[a,b]上有两个极值，一个是局部极大值，一个是局部极小值，那么在两个极值点之间必存在一个驻点。

二、中值定理3. 定理3：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

三、平均值不等式4. 定理4：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么f(x)在[a,b]上的平均值f(c)满足f(c)=(1/(b-a))*∫[a,b]f(x)dx，且在[a,b]的任意一点x0处有f(x0)-f(c)=[(x0-c)/(b-a)]*[f(b)-f(a)]。

四、柯西-Schwarz不等式5. 定理5：f(x)和g(x)在[a,b]上可导，那么[(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2]<=∫[a,b]f(x)^2dx * ∫[a,b]g(x)^2dx。

五、泰勒公式6. 定理6：f(x)在点x0处n+1阶可导，那么当|x-x0|<=h时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

以上就是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍，掌握好这些重要的定理和公式，将有助于我们在数学学习和实践中有更好的应用。

教师訚威学生严斯文上课时间学科数学年级高三教材版本课题压轴题专题练习———放缩法重难点数列与函数的放缩法的训练教学过程证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nkk12142的值; (2)求证:35112<∑=nkk.奇巧积累:(1)⎪⎭⎫⎝⎛+--=-<=1211212144441222nnnnn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+nnnnnnnCCnn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+nnnn(5)nnnn21121)12(21--=-(6) nnn-+<+221(7))1(21)1(2--<<-+nnnnn (8)nnn nnnn2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+nnnn (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<nnnnnnn(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----nnnnnnnnnnnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-<⋅=nnnnnnnnnnnn11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=nnnnnnn(13)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn<-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .例6.已知n n n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <.例15.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明例16.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.(I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}nA 与曲线x y 2=（x ≥0）上的点列{}nB 满足nOB OAn n1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3N n nn f bn∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。