高中数学函数常用函数图形及其基本性质

（2）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质

高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称:常数函数解析式 形 式:f (x )＝b (b ∈R) 图象及其性质:函数f (ｘ)得图象就是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)得直线定 义 域:R值 域:{b} 单 调 性:没有单调性奇 偶 性:均为偶函数[当ｂ=0时,函数既就是奇函数又就是偶函数］反 函 数:无反函数周 期 性:无周期性函 数 名 称:一次函数解析式 形 式:ｆ(x )=kx +ｂ (k ≠0,ｂ∈Ｒ) 图象及其性质:直线型图象、｜k ｜越大,图象越陡;|k ｜越小,图象越平缓;当b =0时,函数ｆ(ｘ)得图象过原点;当b =０且k ＝１时,函数ｆ(x )得图象为一、三象限角平分线;当ｂ=0且k =－1时,函数f (x )得图象为二、四象限角平分线;定 义 域:Ｒ值 域:R单 调 性:当k ＞0时,函数f (x )为Ｒ上得增函数;当k<0时,函数f (ｘ)为Ｒ上得减函数;奇 偶 性:当ｂ＝0时,函数ｆ(x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (ｘ)没有奇偶性;反 函 数:有反函数。

［特殊地,当ｋ＝－1或b ＝０且ｋ=1时,函数f (ｘ)得反函数为原函数f (x )本身]周 期 性:无函 数 名 称:反比例函数解析式 形 式:f (x )= (k ≠０)图象及其性质:图象分为两部分,均不与坐标轴相交,当k 〉０时,函数f (x )得图象分别在第一、第三象限;当ｋ<０时,函数ｆ(x )得图象分别在第二、第四象限;双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别就是曲线得两条渐近线;图象成中心对称图形,对称中心为原点;图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为y =x 、y =-x ;定 义 域:值 域:单 调 性:当ｋ〉0时,函数f (x )为与上得减函数;当k 〈0时,函数ｆ(x )为与上得增函数;奇 偶 性:奇函数反 函 数:原函数本身 周 期 性:无函 数 名 称:变式型反比例函数解析式 形 式:f (ｘ)= (c ≠0且 d ≠0)图象及其性质:图象分为两部分,均不与直线、直线相交,当ｋ〉0时,函数f (x )得图象分别在直线与直线形成得左下与右上部分;当k<０时,函数f (ｘ)得图象分别在直线与直线形成得左上与b右下部分;双曲线型曲线,直线与直线分别就是曲线得两条渐近线;图象成中心对称图形,对称中心为点;图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为、;反 函 数:周 期 性:无函 数 名 称:二次函数 解析式 形 式:一般式: 顶点式:两根式:图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为或,与轴得交点为;②当时,抛物线得开口向上,此时函数图象有最低点;当时,抛物线得开口向下,此时函数图象有最高点; ③当时,函数图象与轴有两个交点,当时,函数图象与轴有一个交点,当时,函数图象与轴没有交点; ④横坐标关于对称轴对称时,纵坐标相等;当时,横坐标距对称轴近则函数值小,当时,横坐标距对称轴近则函数值大;⑤函数均可由函数平移得到;定 义 域:R值 域:当时,值域为;当时,值域为单 调 性:当时,上为减函数,上为增函数;当时,上为减函数,上为增函数;奇 偶 性:当时,函数为偶函数;当时,函数为非奇非偶函数反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数周 期 性:无函 数 名 称:指数函数 解析式 形 式:图象及其性质:①函数图象恒过点,与 轴不相交,只就是无限靠近;②函数与得图象关于轴对称;③当时,轴以左得图象夹在在直线与轴之间,轴以右得图象在直线以上;当时,轴以左得图象在直线以上,轴以右得图象夹在在直线与轴之间;f (x )=④第一象限内,底数大,图象在上方;定 义 域:R值 域:单 调 性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;奇 偶 性:无反 函 数:对数函数周 期 性:无 函 数 名 称:对数函数解析式 形 式: 图象及其性质:①函数图象恒过点,与轴不相交,只就是无限靠近;②函数与得图象关于轴对称;③当时,轴以下得图象夹在在直线与轴之间,轴以上得图象在直线以右;当时,轴以下得图象在直线以右,轴以上得图象夹在在直线与轴之间;④第一象限内,底数大,图象在右方;定 义 域:R值 域:单 调 性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;［与系数函数得单调性类似,因为两函数互为反函数]奇 偶 性:无 反 函 数:指数函数周 期 性:无函 数 名 称:对钩函数解析式 形 式:图象及其性质:①函数图象与轴及直线不相交,只就是无限靠近;②当时,函数有最低点,即当时函数取得最小值;③当时,函数有最高点,即当时函数取得最大值;定 义 域:值 域:单 调 性:在与上函数为增函数;在与上函数为减函数;奇 偶 性:奇函数反 函 数:定义域内无反函数周 期 性:无 2、3函数单调性(考点疏理+典型例题+练习题与解析)2.３函数单调性【典型例题】例1、(１)则a 得范围为( D)A 。

数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。

奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。

高中数学目录高中数学目录一、数与式1. 数的概念和表示方法2. 数的四则运算3. 有理数的性质和运算4. 无理数与实数5. 根式的性质和运算6. 数与式的转化与运算二、函数与方程1. 函数的概念与性质2. 常用函数及性质：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算与复合函数4. 方程的概念与解法5. 一元二次方程及其应用6. 二次函数与一元二次方程的关系三、平面几何1. 直线与曲线的性质与判定2. 三角形的性质与判定3. 三角形的相似与斜边比4. 圆与其相关概念：弧长、扇形面积等5. 平行线与平行四边形的性质6. 直角三角形与勾股定理四、空间几何1. 空间坐标系的建立与直线的方程2. 点、线、面及其关系3. 空间图形的投影与解析几何4. 球面与球体的性质与判定5. 空间中的向量及其运算6. 空间中的距离与角度五、解析几何1. 向量的基本概念与性质2. 向量的线性运算与数量积3. 向量的投影与夹角4. 向量的坐标表示与运算5. 平面的向量方程与法向量6. 直线与平面的位置关系六、概率与统计1. 基本概念与频率分布表2. 概率的基本理论与计算3. 多元统计与统计图表4. 概率与统计的应用：抽样、估计与检验5. 离散型与连续型随机变量6. 事件的独立与相关性七、数学思维与解题方法1. 数学证明与推理2. 分析与解决问题的方法3. 数学模型与实际问题4. 数学中的逻辑与推理5. 数学中的归纳与演绎6. 数学思维与创造力的培养以上是高中数学的目录，涵盖了数与式、函数与方程、平面几何、空间几何、解析几何、概率与统计以及数学思维与解题方法等内容。

通过学习这些内容，可以为学生打下坚实的数学基础，提高他们的数学素养和解题能力。

希望学生们能够通过高中数学的学习，培养出良好的逻辑思维和分析问题的能力，为未来的学习和工作打下良好的数学基础。

998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。

f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

高中数学函数的必考性质高中数学函数的必考性质一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。

专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。

本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。

复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。

【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。

解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。

令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。

故集合A 中的元素最多为6个。

（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。

高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳（上）函数是高中数学中一个非常重要的知识点，是数学中的基础概念之一。

函数的研究和应用贯穿于高中数学的整个教学过程。

下面将对高中数学中函数的知识点进行系统的归纳总结。

一、函数的定义及其表达方式1. 函数的定义函数是指在两个集合之间有规律地对应元素的关系。

一般地，设A、B是两个非空集合，则f是从A到B的函数，如果对于任意的a∈A，有且只有一个b∈B与之对应，即f(a)=b，称b是a的像，a是b的原像，记作f：A→B。

2. 函数的表达方式（1）显式表达式：y=f(x)，y是关于x的函数，f(x)是y的表达式。

（2）参数方程：x=f(t)，y=g(t)，t是参数，x和y均为t的函数。

（3）极坐标方程：r=f(θ)，θ是极角，r是极径。

二、函数的性质及其应用1. 奇偶性设f(x)是定义在R上的函数，如果对于任意x有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。

如果对于任意x有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。

奇偶性可以通过图像的对称性来判断。

2. 周期性设f(x)是定义在R上的函数，如果存在一个正数T，使得对于任意x有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T称为函数的周期。

周期性可以通过函数的图像来判断。

3. 单调性设f(x)是定义在[a,b]上的函数，如果对于任意的x1<x2有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不降的；如果对于任意的x1<x2有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)<f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)>f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递减的。

4. 函数的极限当自变量趋近于某一值的时候，函数值也会趋近于某一值，这种趋近可以用极限来描述。

1.指数函数0(>=a a y x 且)1≠a图像：性质：恒过定点（0,1）；当0=x 时，1=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)0,(-∞∈x 时，),1(+∞∈y ；当),0(+∞∈x 时，)0,1(∈y .2.对数函数0(log >=a x y a 且)1≠a对数运算法则：N M MN a a a log log log += N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式）aNN b b a log log log =（换底公式） 图像x)1>(=a y x性质：恒过定点（1,0）；当1=x 时，0=y ；当1>a 时，y 单调递增，当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y .当10<<a 时，y 单调递减，当)1,0(∈x 时，),0(+∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，)0,(-∞∈y .指数函数和对数函数的关系：互为反函数3.初等函数⑴：2x y ±= 图像2x y = ：开口向上，)0,(-∞∈x 时，),0(+∞∈y ，函数单调递减；),0(+∞∈x ，时，),0(+∞∈y ，函数单调递增，且是偶函数。

2x y -= ：开口向下，)0,(-∞∈x 时，)0,(-∞∈y ，函数单调递增；),0(+∞∈x ，时，)0,(-∞∈y ，函数单调递减。

)0(>a x )10(<<a x性质：图像都是关于y 轴对称 ⑵：3x y = 图像性质：R y R x ∈∈,，函数是增函数，也是奇函数 ⑶：1-=x y 图像x性质：R x ∈且0≠x ，R y ∈且0≠y ；函数在)0,(-∞∈x 内和),0(+∞∈x 内都是单调递减，且函数是奇函数。

反比例函数类的图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。

也是比较常考常用的。

下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。

1、画图方法步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。

例1 作321xyx+=+的图像解：()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。

因此渐近线的交点就是（-1,2）。

画出渐近线并画图函数图像如下注意到该函数恒过点（0,3），中点为（-1,2）例2 作341xyx-=-的图像解析：()3113413111xxyx x x---===----显然是将（0,0）平移到了（1,3）画出渐近线并作函数图像如下。

这里需要注意，分子为-1，实际上该函数图像是由1y x=-平移得来的。

2、核心性质 通过以上作图，很容易观察到ax b y cx d +=+具备如下性质 （1）d x c ≠-（2）a y c≠ （3）恒过点(0,)bd（4）中心对称点为,d a c c ⎛⎫⎪⎝⎭3、习题小练 求值域：（1）32(0)1x y x x+=>+ （2）4[3,6]2y x x =∈- （3）1(1,2]3x y x x -+=∈-+ （4）34[3,5]1x y x x -=∈- （5）42(1,0]1x y x x -+=∈-- 解：画图各个函数的图像，从图像上看即可。

画图略。

答案如下（1）(2,3)y ∈（2）[2,4]y ∈（3）1[,1)5y ∈-（4）511[,]24 y∈（5）(3,2]y∈--。

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。

文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。

文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。

文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。

文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。

通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。

1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。

在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。

物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。

函数是数学体系中的核心和基础。

函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。

对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。

函数也是解决实际问题的重要工具。

在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。

在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。

函数概念的重要性不言而喻。

高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。

2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。

函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。

在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。

本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。

高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。

而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。

1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

其图像的画法是按定义域的划分分别作图。