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5.3 二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加法和减法1.使学生知道怎样将根式化为最简二次根式.2.使学生通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.自学指导：阅读教材第12页至13页的部分，完成以下问题.知识探究1.合并同类项：(1)2x+3x (2)2x2-3x2+5x2解：（1）5x；(2)4x2.这几道题你是运用什么知识做的？加减法则2.化简：（1）53（2）48（3）372m解：（1）153；（2）43；（3）6m2m.3.如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并.自学反馈计算：(1)22+32(2)28-38+58(3)7+27+397(4)33-23+3解：(1)52；(2)82；(3)127；(4)23.活动1 小组讨论例1 计算：(1)9a+25a(2)27+67(3)80+45解：(1)8a；(2)87；(3)75.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？例2计算：(1)212-613+348 (2)(12+20)+(3-5) 解：(1)143；(2)33+5.进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是被开方数相同的二次根式才可合并.活动2 跟踪训练1.下列计算是否正确？为什么？ (1)8-3=83- (2)4+9=49+ (3)32-2=22解：（1）不正确.此式结果为22-3.（2）不正确.此式结果为5.（3）正确.2.计算: (1)80-20+5 (2)18+(98-27) (3)212+27 (4)8+18 (5)16x +64x (6)a 28a +3a 350a (7)18-32+2 (8)75-54+96-108 解：(1)35；(2)102-33；(3)73；(4)52；(5)12x ；(6)17a 22a ；(7)0；(8)6-3.3.教材第13页下框练习.计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.活动3 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。
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2 二次根式的混合运算【教学目标】⒈含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．⒉运用类别的方法,复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．【教学重点】含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．【教学难点】运用类别的方法，复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．【教学过程】一、新课导入⒈计算⑴()zx y x ⋅+2 ⑵()()y x x y +⋅+232⑶()()y x y x 3232-+ ⑷()212+x⒉思考：上面四个运算分别是什么运算？说说使用的运算法则.二、自主探究⒈动脑筋：阅读教材P169-P170，，完成问题。
①5006)2624(21⨯⨯+ 可以先算小括号里面的运算； 也可以选择采用 律，然后对各二次根式化简，最后看能否合并。
这说明二次根式的混合运算是根据 进行.⒉典例精析例1 计算：⑴;2836⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⑵()()2122-+例2 计算: ⑴()();1212+- ⑵().322-例3 计算： ⑴();2232÷+ ⑵.321321-++三、应用迁移(一）变式运用补充知识：互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式()(),22b a b a b a -=-+同时它们的积是有理数，不含有二次根式。
如()12+与)12(-就是互为有理化因式。
练习:32+的有理化因式是________；y x - 的有理化因式是_________．11--+-x x 的有理化因式是_______． 想一想：能否整体平方？ 计算：⑴1212-+ ⑵5151+- （分析：利用平方差公式，分子分母同乘分母的有理化因式，可以使分母有理化）(三)综合运用计算:25)483814122(⨯+-四、归纳小结二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的；二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算。
5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
初中数学试卷 桑水出品5.3 二次根式的加法和减法一、认认真真，书写快乐1．如果最简根式与2a b -= ．2．计算：= ．3．计算：2(3+=，2= ．4．若3a =-262a a --的值为 ．5．计算：10102)(5+=g． 6．已知3xy =，那么的值是 ． 二、仔仔细细，记录自信7合并的是（ ）ABCD．8．下列各式计算正确的是（ ）A23=+ B．(3=+C==9．已知1a b -=，ab =(1)(1)a b +-的值为（ ）A． B． C．2 D110．计算21)的结果是（ ）A1 B．1) C ．1 D ．1-11．下列运算中错误的是（ ）A ．236⨯=B ．233252+=C ．22=D ．2(23)23-=-三、平心静气，展示智慧12．计算：111724981278--+．13．计算：3538154a a a a a -+．14．已知1(75)2x =+，1(75)2y =-，求22x xy y -+的值．15．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．四、拓广探索，游刃有余16．化简求值：当415a = 415b =-22533a ab b a b ++--的值．17．观察下列各式及其化简过程：22322(2)2211+=+⨯+2(21)21=+=；22526(3)232(2)-=-⨯+32=（110221-（22()a b m n m n ±=>中a b ，与m n ，之间的关系．参考答案：一、1．02．23- 3．295+，66362- 4．1- 5．1 6．5±提示：因为3xy =，所以x y ，同号，可能0x >，0y >，也可能0x <，0y <，须分情况讨论． 二、7．B8．C 9．A 10．A 11．D 三、121524 13．10a 14．112． 提示：7x y +=，12xy =， 222311()3722x xy y x y xy -+=+-=-=． 15．222． 提示：小长方形的长为22222．16．先求出8a b +=，1ab =，则原式43=．17．（122210221(7)273(3)(73)73-=-⨯+=-=．（2）a m n =+，b mn =．。
5.3 二次根式加法和减法第1课时 二次根式的加减运算一、选择题1是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①317=1）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式________．三、综合提高题1．已知 2.236）-（）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值． （-（，其中x=32，y=27．1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式，则a 的取值范围是______2._________．3.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）A ．B ．CD ．184.，则它的周长是 cm ．5.下列说法正确的是：(A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a (C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式6.已知x ，y 为实数，且满足y y x ---+1)1(1=0，那么x 2011﹣y 2011=7.计算：①1254551520+-- ② ③1827122+-④32+3－22－33 ⑤50511221832++-）+ ⑧9654+⑩54540290+- ⑴+18－8－32 ⑵)27131(12-- ⑶ 27–45–20+75 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
