一个四翼超混沌系统的多翼效应及其控制电路实现

专利名称：一种具有四簇混沌流的保守系统及其电路实现专利类型：发明专利
发明人：仓诗建,李月,康志君
申请号：CN201910582694.7
申请日：20190628
公开号：CN112152573A
公开日：
20201229
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明涉及一种具有四簇混沌流的保守系统及电路，该电路由三个主通道电路以及两个辅助通道电路组成：第一主通道电路由直流电压源、运算放大器、电阻以及电容组成；第二主通道电路由直流电压源、运算放大器、电阻以及电容组成；第三主通道电路由直流电压源、电池组、运算放大器、电阻以及电容组成；第一辅助通道电路由乘法器组成；第二辅助通道电路由乘法器组成。

本发明提出了具有四簇混沌流的保守系统，并给出了该系统的电路实现。

这种新系统具有守恒的相体积并且可以出现具有四簇混沌流的复杂动力学，在加密算法与密钥构造上更有优势。

该系统在保密通讯领域具有潜在的应用价值。

申请人：天津科技大学
地址：300457 天津市经济技术开发区第十三大街9号天津科技大学艺术与设计学院
国籍：CN
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一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞　李　静　樊　冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京　102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型 本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物　理　学　报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子 系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数 混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1　新混沌系统的奇怪吸引子图　(a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2　新系统的四个序列时域波形图8441物 理 学 报58卷图3　新系统的功率谱图　(a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图 为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响 随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4　新系统的P oincare 映射图　(a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5　a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物 理 学 报58卷图6　b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7　c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1　新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现 混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8　电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物 理 学 报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9　系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10　系统(1)的电路实验相图　(a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物 理 学 报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李　伟、郝建红、祁　兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢　鲲、雷　敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals 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the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。

一个4-D超混沌系统的特性分析及混沌控制设计梁媛;王仁明;王凌云【摘要】本文研究了一个新型的四维超混沌系统的动力学特性和控制设计问题.首先,分析了系统的非线性动力学特性,如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等.其次,基于Lyapunov稳定性理论设计了该系统具有完全未知参数的一个参数估计的自适应律.最后,Matlab的仿真结果验证了分析和设计的正确性和有效性.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(040)006【总页数】5页(P104-108)【关键词】超混沌系统;自适应控制;Lyapunov稳定理论【作者】梁媛;王仁明;王凌云【作者单位】三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002【正文语种】中文【中图分类】TP273超混沌系统一般可以定义为至少存在两个正Lyapunov指数的混沌系统[1]，因而超混沌系统有更复杂的动态行为，如多涡卷混沌吸引子、多个正Lyapunov指数、截面上的Poincare映射非孤立等，这使得对超混沌系统的研究成为极具挑战性的课题．第一个典型的超混沌系统是Rossler超混沌系统[2]，接着其它一些超混沌系统相继出现了，如Chen超混沌系统[3-4]、Lu超混沌系统[5]、Nikolov超混沌系统[6]、Lorenz超混沌系统[7-8]等．由于混沌系统在许多领域有着明显或潜在的应用，如：保密通讯[9-10]，密码系统[11-12]，加密术[13-14]，电子电路[15-16]等，在过去的20年中，对混沌系统的控制研究受到了极大的关注，出现了许多控制方法：最优控制方法[17-18]，自适应控制方法[19]，滑模控制方法[20]，时滞反馈控制方法[21]等．基于超混沌系统丰富的动力学特性和实用性，为了更好地对动力学特性进行分析与控制设计．本文讨论了一个新型四维超混沌系统的动力学特性及控制问题．首先，分析了系统的一些动力学特征，如耗散性、时间序列、相轨迹图、李雅普诺夫指数谱和庞加莱映射．接下来，应用Lyapunov稳定理论分析了超混沌系统的自适应控制问题，并对具有完全未知参数的四维超混沌系统设计了一个参数估计的自适应律．最后，利用Matlab仿真软件对所有设计结果进行了仿真验证，阐述了分析和设计的正确性和有效性．1 系统描述及混沌特性分析1.1 系统描述四维Jerk系统的一般数学模型为其中一阶导数称为速度，二阶导数称为加速度，三阶导数称为Jerk．一个四维Jerk系统的一般方程组形式为：(1)当式(1)中的为关于各变量的多项式时，通过代换可得到诸多更具体的超混沌系统．故本文考虑如下新型四维超混沌系统：(2)其中，x，y，z，w为状态变量，a，b，c，d为系统的正常数参量．1.2 相轨迹和时间序列当系统参数分别为以下数值时，该四维系统是超混沌的a=24，b=125，c=5，d=10 (3)使用Wolf算法计算可知，系统(2)的Lyapunov指数为：L1=2.946，L2=2.083，L3=-2.432，L4=-32.59．由于系统的Lyapunov指数中有两个是正数，说明该新型四维系统是超混沌的．此时，系统(2)的Kaplan-Yorke维数为：可知系统(2)有一个分数Kaplan-Yorke维数的奇异吸引子．若取系统(2)的初始状态为：x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=0.2 (4)则系统的相图、时间序列图及Lyapunov指数谱分别显示在图1、图2和图3中．图1 四维超混沌系统的相图图2 四维超混沌系统的时间序列图图3 四维超混沌系统的Lyapunov指数谱1.3 耗散性超混沌系统(2)可以用向量表示为：(5)其中，(6)通过Liouville定理，可知·f)dxdydzdw (7)其中向量Ω(t)=Φt(Ω)，Φt是f的通量，V(t)为Ω(t)的体积．系统(2)的散度为：(8)其中μ=a+1+c．根据式(3)中选择的参数值，知μ=30>0，将式(8)里·f的值代入到式(7)中，可得(9)即V(t)=exp(-μt)V(0) (10)由于μ>0，从式(10)可知，当t→∞时，V(t)以指数方式趋于0．这显示系统(2)是耗散的．因此，其轨线最终被限定于一个零体积的子集内，并且其渐近运动将止于一个奇异吸引子上．1.4 平衡点当系统(2)的参数值如(3)中所示时，平衡点可由解下列等式获得：(11)即系统(2)在F∈R4的任一点的雅可比矩阵为：(13)在平衡点E0的雅可比矩阵为：(14)雅可比矩阵J0的特征值数值为：λ1=-5，λ2=-68.629 0，λ3=0.421 5，λ4=43.207 4 (15)因此，平衡点E0是不稳定的鞍点．在平衡点E1的雅可比矩阵为：(16)雅可比矩阵J1的特征值数值为：λ1=-0.362 4，λ2=-23.429 4，λ3，4=-3.466 5±26.906 7i (17)因此，平衡点E1也是不稳定的鞍点．1.5 庞加莱映射庞加莱映射是一种有助于形象化混沌折叠特性的分析技术．当参数a=24，b=125，c=5，d=10时，在不同的交叉平面，如x=0，z=32，在图4中显示了x-y、y-z和y-w平面对应的庞加莱映射图．图4 四维超混沌系统的庞加莱映射图2 4-D超混沌系统的自适应控制目标是寻找四维超混沌系统(2)的一种具有参数估计值更新规律的自适应控制，使得当t→∞时，所有状态变量x、y、z、w都收敛于系统的平衡点．假设受控的系统为：(27)其中，x，y，z，w为系统的状态变量，且a，b，c，d为未知的参量．V1、V2、V3、V4为待设计的自适应控制器．若系统(2)的参数是未知的，设计其自适应控制律为：(28)参数估计值更新律为：(29)这里，a1、b1、c1、d1为不确定参数a、b、c、d的估计值．li(i=1，2，3，…，8)为正常数．则在任意初始状态(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))∈R4下，具有未知参数的四维超混沌系统是全局渐近稳定的．证明：将式(28)代入到式(27)中，可得到如下闭环系统模型：(30)定义李雅普诺夫函数为：(31)其中取李雅普诺夫函数对时间的导数，可得：(32)将式(29)、式(30)代入(32)中可得：l7(c-c1)2-l8(d-d1)2(33)很明显因此，由Lyapunov稳定性定理知，受控系统(27)收敛于系统的平衡点．设系统状态变量的初始值和参数值分别取为：x(0)=2，y(0)=2，z(0)=2，w(0)=2，a=24，b=125，c=5，d=10 (34)取li=0(i=1，2，3，…，8)，并设参数的初值为0．状态变量和参数估计值的运行轨迹仿真结果显示在图5和图6中．图5 自适应控制状态变量图图6 参数估计值更新图由图5和图6可看出，在自适应控制器的作用下，系统状态变量迅速趋于平衡点E0(0，0，0，0)，且系统未知参数的估计值收敛于被给的参数值．说明该控制方法对多未知数的四维超混沌系统可以达到期望的控制效果．3 结论本文讨论了一个新型的四维超混沌系统的混沌特性，如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等．同时，设计了自适应控制律来稳定具有未知参数的新型四维超混沌系统．其设计的有效性和正确性由数值仿真得到了验证．参考文献：【相关文献】[1] SPROTT J C． Elegant Chaos. 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一个新四维超混沌系统的构建与电路实现朱雷;刘艳云;王轩;武花干;周小勇【摘要】利用基本Sprott-B系统仅具有两个涡卷平衡点的特点,通过系统改造与推广,提出一个具有3个平衡点的三维混沌系统,进而通过增加一维线性控制器并反馈至三维系统状态方程,构建出一个新四维超混沌系统.采用相轨图、Lyapunov指数谱和分岔图等动力学工具对超混沌系统进行了仿真分析.结果表明,当参数变化时,系统可以在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变,存在复杂而奇异的动力学行为.研制电子电路并生成了超混沌吸引子,完成了实验验证.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】5页(P206-210)【关键词】超混沌系统;平衡点;Lyapunov指数谱;电路实现【作者】朱雷;刘艳云;王轩;武花干;周小勇【作者单位】江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001;南京航空航天大学电子信息工程学院,南京210016;常州纺织服装职业技术学院机电工程系,江苏常州213164;江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001;南京理工大学电子工程系,南京210094;江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001【正文语种】中文【中图分类】TM132由于超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，因而比混沌系统具有更为复杂的动力学行为，从而在保密通信等工程技术领域具有重要的应用价值[1].长期以来学术界对于超混沌系统的研究与发掘从未停歇，在三维混沌系统状态方程上加载不同的反馈控制器构造四维或更高维的系统，成为一种有效的探索手段.文献[2]和文献[3]分别从Chua系统和Colpitts振荡器模型出发，添加反馈控制器并引入分段线性函数，构造并物理生成了相应的多涡卷超混沌吸引子.除上述从电子电路原型中抽象出的混沌系统以外，更多的研究焦点集中在具有对称蝴蝶混沌吸引子的三维连续混沌系统上.2007年，王光义等学者通过对Lorenz系统施加线性反馈控制器，实现并电路生成了两翼超混沌吸引子[4]；2009年，包伯成等提出一个新三维混沌系统，即Bao系统[5]，并利用线性反馈控制得到相应的超混沌系统[6]；2010年，贾立新等通过对Chen系统进行线性反馈控制，得到一种超混沌Chen系统[7]；包伯成等通过对增广Lü系统进行线性反馈控制，得到一个四翼蝴蝶超混沌系统[8]；2012年，李春来与禹思敏通过对Yang系统的三个状态方程同时施加线性控制器，构建了一种超混沌系统并完成电路实验验证[9]；2014年以来，新的超混沌系统依然在陆续出现[10，11].作为三维连续混沌系统，基本Sprott-B系统[12]由美国学者Sprott于1994年提出，相关的研究报道较少，文献[13]和[14]基于其数学模型分别构建了两种不同的分段线性混沌系统.从相轨图角度看，基本Sprott-B系统具有两翼蝴蝶混沌吸引子，从平衡点角度看，与上文提到的三维两翼蝴蝶混沌系统不同，仅具有两个涡卷平衡点，从这个差别出发，本文尝试对基本Sprott-B系统进行改造，从而提出一个具有3个平衡点的新三维混沌系统，并进一步构建出一个新四维超混沌系统，同时搭建电子电路验证并观察系统生成的两翼蝴蝶超混沌吸引子.基本Sprott-B混沌系统[12]状态方程为：与其它典型连续混沌系统如Lorenz系统等相同的是，系统(1)具有一对指标2的鞍焦平衡点S1=(1， 1， 0)和S-1=(-1，-1， 0)，从而呈现出一个两翼蝴蝶混沌吸引子.不同的是，系统(1)缺少一个指标1的鞍点.而从目前四维连续蝴蝶超混沌系统构建的角度来看，一般都是基于现有三维连续混沌系统，通过引入一维线性或非线性控制器并反馈至三维系统方程中获得，大多数情况下，原三维系统中指标1的鞍点对应于四维超混沌系统中唯一的不稳定平衡点，并往往成为生成超混沌吸引子的关键.基于上述思想，本文首先对系统(1)进行一种巧妙地改进，在第3个方程中增加一个线性项-z，并引入正参数a， b， c进行系统推广，从而提出一个新的三维混沌系统，其数学模型为：计算可知系统(2)具有三个平衡点和).当取参数a=10， b=4， c=1时，分别在平衡点Q0、Q1和Q-1处线性化系统(2)并作进一步计算，可以发现，Q0所对应的特征根为，因此，Q0是指标1的鞍点，而Q1和Q-1处则具有相同的特征多项式，其特征根均为λ1=-5.7051，λ2，3=0.3525±3.7280i，因此Q1和Q-1都属于指标2的鞍焦点，显然，系统(2)在系统(1)的基础上补充了指标1的鞍点，为超混沌系统的构建做好了铺垫.数值仿真可以得到此时系统(2)的混沌吸引子，如图1所示.此时系统的3个Lyapunov指数为LE1=0.3639，LE2=-0.0011，LE3=-5.3628，Lyapunov维数为dL=2.068.为了进一步得到超混沌系统，引入线性控制器w，令其变化率为=d(x+y)，并反馈至系统(2)的第一个方程，从而构建出新四维超混沌系统，其数学模型为：对于系统(3)，满足对于g(λ)，根据Routh-Hurwitz判据，由于-bd-ab2c<0，所以E0是不稳定平衡点.展开(6)式，得到f(λ)=λ4+(b+1)λ3+(b+d-abc)λ2+当取参数a=10， b=4， c=1， d=0.5时，数值计算得到四个特征根λ1=-8.6305，λ2=4.5281，λ3=-1，λ4=0.1024，因此平衡点E0为不稳定的鞍点.系统参数变化，动力学行为将随之发生改变，下面从Lyapunov指数谱和分岔图的角度动态观察这一影响.限于篇幅，这里仅分析参数b和d变化对系统的影响，且为了图形清晰起见，这里忽略了第四根负Lyapunov指数LE4.固定参数a=10， c=1， d=0.5，改变参数b，当b∈[0.1，20]时，数值仿真得到系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图，如图3所示.这里x-b分岔图仿真时选择的Poincaré截面为z=0平面.从图3可见，随着b的改变，系统状态在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变.当b∈[0.1，0.7)时，Lyapunov指数LE1=0，LE2，LE3， LE4 < 0，系统处于周期或复杂周期状态；当b∈[0.7，1.5)时，除在b=1.22处存在一个周期窗口以外，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2=0， LE3，LE4 < 0，系统处于微弱的混沌状态；当b∈[1.5，2.3)时，Lyapunov指数LE1=0， LE2， LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态；当b∈[2.3，2.6)时，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2=0， LE3， LE4 <0，系统处于混沌状态；当b∈[2.6，11.3)时，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2 > 0， LE3=0， LE4 < 0，系统处于超混沌状态；当b∈[11.3，20]时，除个别瞬态、微弱的混沌窗口以外，Lyapunov指数LE1=0， LE2， LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态，且为周期3. 固定参数a=10， b=4， c=1，改变参数d，当d∈[0.1，1.6]时，数值仿真得到系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图，如图4所示.这里z-d分岔图选择的Po incaré截面为y=1平面.显而易见，当d∈[0.1，1.06)时，除个别混沌窗口外，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2 > 0， LE3=0， LE4 < 0，系统处于超混沌状态；当d∈[1.06，1.6]时，除个别瞬态混沌窗口以外，Lyapunov指数LE1=0，LE2，LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态.进一步的相轨图仿真研究表明，当1.06 ≤ d< 1.4时，系统呈现出单翼周期吸引子，当1.4 ≤ d ≤ 1.6时，呈现出对称两翼周期吸引子.且在单翼周期区域中，隐藏着局部的吸引子共存窗口，例如，当d=1.1时，参数初值(x0， y0， z0， w0)分别为(1， 1， 1， 1)和(1， 1， 1，-1)时，分别对应着右吸引子和左吸引子.根据系统(3)的微分方程组，可以设计并制作硬件实现电路，如图5所示.这里τ=R0C0为积分电路时间常数，也是时间尺度变换因子，为了保证实验观测效果，取R0=100 kΩ，C0=0.1 μF，从而电路生成的超混沌信号在相轨图不变的情况下，时间域被压缩100倍.为了保证电路实现精度，集成运算放大器和模拟乘法器分别选择了TI公司的TL084和MPY634集成芯片，并采用±12 V线性电源电压供电，电阻采用了多圈电位器精密调节得到，而电容则采用大量CBB电容精密测量筛选获得.当取电阻Ra=2 kΩ，Rb=5 kΩ，Rd=40 kΩ，电压-5c V为-5 V时，对应于系统(3)的参数a=10， b=4， c=1， d=0.5.采用高分辨率的安捷伦数字示波器DSO7054B进行实验观测，可以精密捕获超混沌系统的相轨迹，实验结果如图6所示.通过与图2对比可以发现，电路工作后得到的超混沌吸引子与数值仿真结果保持一致，上述电路可以准确实现本文所构建的超混沌系统.本文从仅具有两个涡卷平衡点的基本Sprott-B混沌系统出发，巧妙地在第3个方程中增加一个线性项-z，并引入正参数进行系统推广，提出一个具有3个平衡点的新三维混沌系统，新混沌系统与基本Sprott-B系统具有不同的拓扑结构与混沌吸引子.在此基础上，引入线性控制器w并反馈至新三维混沌系统的第一个方程，从而构建出一个新四维超混沌系统，典型参数下的Lyapunov指数计算表明系统处于超混沌状态，而相轨图仿真表明系统具有两翼蝴蝶超混沌吸引子.在对系统的耗散性、平衡点稳定性分析的基础上，结合Lyapunov指数谱和分岔图等动力学分析手段对系统参数的影响进行了详细分析，结果表明，参数b的变化可以导致系统状态在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变，参数d的变化可以导致系统状态在周期与超混沌之间演变，且在单翼周期区域中，隐藏着局部吸引子共存窗口.在理论分析和仿真研究的基础上，设计了相应的硬件电路并进行了实验验证，通过对超混沌吸引子的观察，证实了本文所提出的新四维超混沌系统是一个物理可实现的系统.。

一种新的多翼蝴蝶超混沌吸引子及其电路设计陶思言;林达;曾晓辉【摘要】在Lorenz系统的基础上,通过增加一个状态方程,并设计一种新的分段线性函数,构造了一个新的四维超混沌系统.通过数值仿真,对系统的相图、Lyapunov 指数谱和分岔图进行了研究.结果表明新的四维超混沌系统能产生六翼蝴蝶超混沌吸引子.最后,设计了相应的电路,电路仿真结果与数值仿真结果相一致,验证了该系统的可实现性.%Based on Lorenz system,a novel four-dimension hyper-chaotic system is presented via adding a state equation and designing a new piecewise linear function in this paper. Through the numerical simulation,the phase diagrams,Lyapunov exponential spectrums and bifurcation diagrams of the system are studied. The numerical simulation result shows that the four-dimension hyper-chaotic system is able to generate six-wing butterfly hyper-chaotic attractors. Furthermore,an electronic circuit is designed to implement the system. The circuit simulation results are in agreement with the numerical simulation results,which verify the realizability of the system.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2015(040)011【总页数】3页(P170-172)【关键词】混沌;Lorenz系统;多翼蝴蝶超混沌吸引子;电路设计【作者】陶思言;林达;曾晓辉【作者单位】四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡 643000;四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡 643000;四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡 643000【正文语种】中文【中图分类】O415.5自1963年Lorenz构造第一个混沌系统以来［1］，人们对构造不同数量和不同形状的混沌吸引子产生了极大的兴趣。