数学：2.2提公因式法(第1课时)教案(北师大版八年级下)

4.2提公因式法第1课时提单项式因式分解导学案学习目标：1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式的公因式。

2.会用提取公因式法进行因式分解。

预习案：1、什么叫分解因式？2、整式乘法与分解因式之间的关系。

3、分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果：4、阅读教材P95～96内容问题1：多项式ma +mb +mc 有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？观察下列各式的结构有什么共同特点？①ax-ay ② ma +mb+mc③ 2πR + 2πr 归纳：多项式中都含有的，叫做这个多项式各项的公因式. 自学反馈：确定下列各多项式中的公因式1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a 2 b – 2a b 2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x 3y5、多项式中的公因式是如何确定的？探究案：例：找公因式： 3x 2y 2– 6xy 3 2 x2+ 6 x 3跟踪训练1：写出下列多项式各项的公因式：归纳总结：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式的形式，这种因式分解的方法叫做．3(2)x 7(3)x x 24(637)x x x 22(8121)ab a b b c 872x 222axy y x a 32224x x x 233642a b a b ab例1 ：将下列各式分解因式：例2 ：把9x 2－6xy+3xz 分解因式. 3a 2-9ab 用提公因式法分解因式的步骤跟踪训练2：把下列各式分解因式：例3：小颖解的有误吗？把8a 3b 2 –12ab 3 c + ab 分解因式.解：8 a 3b 2 –12ab 3c + ab= ab ·8a 2b - ab ·12b 2 c +ab ·１= ab(8a 2b - 12b 2c)跟踪训练3：把下列各式分解因式：例4：因式分解– 24x 3–12x 2+28x 跟踪训练4：把下列各式分解因式：5、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？5、现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。

北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案XXX《提公因式法》教案教学目标一、知识与技能让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式．二、过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力．三、情感态度和价值观在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的惯，同时培养学生的合作交流意识．教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．教学难点：让学生识别多项式的公因式教学过程：一、导入新课1、分解因式的概念：2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？学生回忆回答：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.分解因式与整式乘法是互逆运算.3、近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动．每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？学生阐发题意，列出算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数3737×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=（棵）想一想：如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)这种方法就是我们这节课要研究的内容-----提公因式法2、新课研究（一）探究提公因式法的界说1、做一做：多项式ma+mb+m有共同的因式m，多项式ab+bc各项都含有不异的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？测验考试将这几个多项式划分写成几个因式的乘积，并与同伴交换．学生分析讨论，归纳如下：ab+bc：不异的因式是b；ab+bc=b(a+c)3x2+x：相同的因式是x；3x2+x=x(3x+1)mb2+nb-b：不异的因式是b；mb2+nb-b=b(m+n+1)分析：以上多项式的特点是都有共同的因式归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.2、议一议：（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流．引导学生分析，找出公因式：两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有不异的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.以是，多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2 据此由学生自主完成第二问的问题：2x2+6x3=2x2(1+2x)以长进行的因式分化，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的界说吗？学生观察分析，归纳总结：假如一个多项式的各项含有公因式，那末就能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的方式．这种因式分化的方法叫做提公因式法．引导学生总结出找公因式的普通步骤：首先：找各项系数的最大公约数，如2和6的最大公约数是2；其次：找各项中含有的不异的字母，不异字母的指数取次数最低的．（二）例题解析例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x⋅3+x⋅x2=x(3+x2)；（2）7x3-x2=7x2⋅x-7x2⋅3=7x2(x-3)（3）8a3b2-12ab3c+ab=ab⋅8a2b-ab⋅12b2c+ab⋅1=ab(8a2b-12b2c+1)；(4)- 24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x⋅6x2-4x⋅3x+4x⋅7)=-4x(6x2-3x+7)按照以上的做题进程。

2 提公因式法一、教学目标1.知识与技能（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提取公因式法进行因式分解．2.过程与方法（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．3.情感态度及价值观：进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．二、教学重点、难点重点：能观察出多项式的公因式，根据分配律把公因式提出来．难点：（1）正确识别多项式的公因式；（2）整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理．三、教具准备课件.四、教学过程（一）算一算计算： 2976971397⨯+⨯-⨯.师：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？（二）想一想多项式ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式x 2+4x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？ 结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．（三）议一议多项式2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．（四）试一试将下列多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac；（2）x2+4x；（3）mb2+nb–b.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（五）做一做1.将下列多项式进行分解因式：（1）3x+6；（2）7x2–21x；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）–24x3–12x2+28x.学生归纳：提取公因式的步骤：（1）找公因式；（2）提公因式．2.因式分解：a（x–3）+2b（x–3）.引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x-3），并能顺利地进行因式分解．3.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立．（1）2–a=______（a–2）；（2）y–x=______（x–y）；（3）b+a=______（a+b）；（4）（b–a）2=______（a–b）2；（5）–m–n=______（m+n）；（6）–s2+t2=______（s2–t2）.注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．4.将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）；（2）3（m–n）3–6（n–m）2.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．（六）拓展思考把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）（b－a－c）分解因式．通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式（a－b＋c）．（七）反馈练习1.将下列多项式进行分解因式：（1）8x–72；（2）4m3–8m2；（3）a2b–2ab2+ab；（4）–48mn–24m2n3；2.把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）；（2）3a（x–y）–（x–y）；（3）2（y–x）2+3（x–y）；（4）mn（m–n）–m（n–m）2.（八）课堂小结谈谈这节课的收获.（九）教学反思.。

§14．3．因式分解第1 课时提公因式法教学目标（一）知识与技能1．因式公解、公因式．2．用提公因式法分解因式．（二）方法与过程1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．2．了解公因式概念和提取公因式的方法．3．会用提取公因式法分解因式．（三）情感、态度与价值观在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．教学重点会用提公因式法分解因式．教学难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．教学方法引导发现法．教学过程一．温故而知新计算：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．(1)、a(b+c) （2）、(a+b)(a-b) （3）p(a+b+c)（学生在运算与交流中积累解题经验）这几个计算题实际就是整式的乘法，整式乘法也可以理解将几个整式的积的形式转化为一个多项式的形式，有时为了需要，也可以将一个多项式转化为几个整式的积的形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．三．新课探究分析讨论，探究新知．把下列多项式写成整式的乘积的形式（逆向思维）（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ (3)am+bm+cm=__________ 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．小试牛刀：下列变形中，属于因式分解的是：（1）、a（b+c）=ab+ac （2）x3+2x2-3=x2(x+2)-3 （3）a2-b2=（a+b）（a-b）可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．你能试着将多项式pa+pb+pc 进行因式分解吗？由p（a+b+c）=pa+pb+pc可得pa+pb+pc=p（a+b+c）．（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？多项式中各项都有一个公共的因式p，（3）中各项都有一个公共因式m，我们叫这些公共因式为各自多项式的公因式。

山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第二章，提公因式法第一课时》教案北师大版教学目标：1.让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.2.通过找公因式，培养学生的观察能力.3.在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点与难点：重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.难点：正确识别多项式的公因式.教法及学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围.教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：多媒体课件.教学过程一、温故知新，引入新课（教师投影问题）1、多项式的分解因式的概念：把一个多项式__________________的形式，叫做把这个多项式分解因式.2、整式乘法与分解因式之间的关系？3、下面由左到右的变形，哪些是分解因式？（1）(a+3)(a–3)=a2-9（2）m2-4=(m+2)(m-2)（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（4）10x2-5x=5x(2x-1)4、找出下列多项式中各项中含有的相同因式？（1）ac+bc（2）3x2+x（3）30mb2+5nb（4）3x+6（5）a2b–2ab2 +ab（6）(a–3)–b(a–3)（独立思考、交流，学生小组间竞争抢答.）生：1、把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.生：2、整式乘法与分解因式之间是互逆运算关系.生：3、（2）和（4）是分解因式，其它不是.生：4、（1）相同因式是c；（2）相同因式是x；（3）相同因式是5b；（4）相同因式是3.师：同学们回答的很好，特别是第4题大家找的很对，这节课我们一起学习一下：第二章的第二节提公因式法.（教师板书课题）设计意图：通过复习多项式分解因式的概念、整式乘法与分解因式之间的关系及判断哪些是分解因式，让学生进一步理解分解因式；根据多项式找各项中含有的相同因式，为引出新课加以铺垫.二、合作探究，获取新知师：通过刚才题目你能叙述多项式各项的公因式的概念吗？（学生口述概念，教师投影概念.）多项式各项的公因式概念：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（教师投影《练一练》）说出下列各式的公因式：（1）b2+nb（2）7x2-21xm（3）8a3b2–12ab3+ab（4）7x3y2–42x2y 3（5）2(x-y)2+(x–y) （6）2(x-y)2+6(x–y)（学生回答各题，教师纠错.）师：怎样确定多项式的公因式？（学生小组交流，选代表回答，教师归纳.）系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；注：多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式.设计意图：由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力，在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．议一议：多项式3x2–6x3中各项的公因式是什么？因为系数：最大公约数 3字母：相同字母指数：x最低次幂：x2所以，3x2-6x3的公因式是3x2.提公因式法-分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.即：3x2–6x3=3x2(1–2x)．设计意图：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．三、学以致用，解决问题例1将下列各式分解因式：（1）3x+x3；（2）7x2-21x；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）-24x3+12x2-28x．（学生板演，教师纠错.）（1）解：3x+x3=x·3–x x2=x(3+x2)（2）解：7x2-21x=7x x-7x 3=7x (x-3)（3）解：8a3b2–12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c)（4）解：-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2 +28x)=-(4x 6x2-4x3x+4x 7)=-4x(6x2-3x+7)师：正确的找出多项式各项的公因式，并正确分解因式应注意哪些地方？（独立思考、交流，师生共同归纳.）1、多项式是几项，提公因式后也剩几项.2、当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后该项剩余1（不能漏写1).3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？（独立思考、交流，师生共同归纳.）提公因式法与单项式乘多项是互为逆运算关系.设计意图：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．随堂练习：1、写出下列多项式各项的公因式：（1）ma+mb（2）4kx–8ky （3）5y3+20y2（4）a2b–2ab2+ab2、下列多项式进行分解因式：（1）8x–2xy（2）a2b–5ab （3）4m3–6m2（4）a2b–5ab2+9b（5）–a2+ab–ac（6）–2x2+4x2+2x设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．四、回顾课堂，盘点收获1.提公因式法是最基本的分解因式的方法之一，其一般步骤是什么？2.提公因式法的关键是什么？3.如何检验分解因式正误？4.你还有什么新的认识与体会吗？(学生畅所欲言，不足教师补充.)设计意图：学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，但对化归、类比等数学思想方法的认识较模糊，当然，这种认识也是需要长期的培养，而不是一朝一夕可以做到的．五、快乐套餐，深化提高1.分解因式：()xy xy y x y x 62418123223=+- 2.多项式2126abc bc -各项的公因式为（ ）A.2abcB.23bcC.4bD.6bc3.把下列各式分解因式：（1）xy y x 632- （2）2332255y x y x -（3）m m m 2616423-+- （4）3)3(22+--a a六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第49页 习题2.2 第1、2题.选做题：数学助学第34 第1课时 第11、12题.板书设计:教学反思:在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提取公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程.此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习.而实际上，学生的学习情绪还是调动起来了的.通过小组讨论学习，尽管语言的组织方面不够完善，但是均可以得出结论.接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评.上完本课，教学目的能够完成，教学重难点也能逐个突破.不足之处：本课的教学设计引入的过程可以简化.对于因式分解的概念，学生可通过自己的一系列练习实践去体会到此概念的特点，故不需在开头引入的地方多加铺垫，浪费了一定的时间.在设计的时候脚手架的搭建层次也不够分明.教学过程中，能做到及时向学生反馈信息.能走下讲台，做到课内批改大部分学生的练习，且对于个别学习本课新知识有困难的学生能单独予以辅导.在批改过程中，发现大部分学生都做错及存在的问题能充分利用多媒体向学生展示，或是马上板演为全体学生讲解清楚.教学过程中，教学基本功比较扎实.。

八年级（下）数学优质课《提公因式法》的运用《提公因式法》的运用教学目标知识与技能：进一步掌握用提公因式法，并能用提公因式法对较复杂的多项式进行因式分解，会运用因式分解解决一些相关的问题.过程与方法：经历较复杂的多项式因式分解及运用因式分解解决相关问题的过程，体会提公因式法的运用技巧及因式分解的作用.情感态度与价值观：培养学生良好的学习习惯，增强学数学用数学的意识.重难点重点：用提公因式法分解因式，用因式分解解决有关的问题难点：利用提公因式法分解较复杂的多项式教学过程一、复习引入：把下列各式因式分解（1）6ab3+10ab2c-4ab （2）-4x2y+12xyz（3）4x(x-y)+2y(y-x) （4）a(a-b)-(b-a)2学生活动：独立完成上面各式的因式分解.教师活动：巡视，并对有困难的学生进行指导，学生完成后，进行点评.二、新课探究：1、探究较复杂的多项式的因式分解【例1】把下列各式因式分解（1）3a(a-b)-(ab-b 2) （2）y(x-y)+x 2-xy 学生活动：分组讨论，进行探索，找出方法并进行分解教师活动：①参与学生讨论，并鼓励学生大胆发表自己的见解； ②请两生展示自己的做法，然后师生共同进行点评；③明析：当一个多项式的各项不存在的公因式时，先对其中的几项进行分解，使其分解后的各部分有公因式，然后再提公因式.2、探究运用因式分解解决其它问题【例2】已知m+n=1、mn=21-，求m(m+n)(m-n)-m(m+n)2的值. 学生活动：分组讨论，进行探索，合作完成教师活动：（1）鼓励学生积极思考，积极探索（2）参与学生讨论，与学生共同完成.解： m(m+n)(m-n)-m(m+n)2=m(m+n)[(m-n)-(m+n)]=-2mn(m+n)因为 m+n=1 ，mn=21-所以 原式=-2×（21-）×1 =1 【例3】已知一个长方形的面积为xy-x+y-1,其中一边长为y-1，用x 、y 表示，该长方形的周长.教师引导：要表示长方形的周长，需要知道什么？长方形的面积是怎么计算的？该长方形的面积为xy-x+y-1，一边长为y-1，怎么求它的另一边？怎么对xy-x+y-1进行因式分解？师生合作解答解：因为xy-x+y-1=(xy-x)+(y-1)=x(y-1)+(y-1)=(y-1)(x+1)所以该长方形的另一边长为x+1该长方形的周长为2[(x+1)+(y-1)]=2(x+y)三、课堂练习：1、已知a、b互为例数，求a3b2+a2b-2a的值2、已知m2-2m=4，求3m2-6m+2020的值.四、小结：本课学习了较复杂的多项式的因式分解以及用因式分解解决有关的问题.五、布置作业：P11 B组：1、2板书设计：。