八年级数学教案-《因式分解-提公因式法》知识点归纳

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★知识体系梳理◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）注意：、因式分解对象是多项式；2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；◆分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

◆分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

（3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。

◆因式分解的首要方法—提公因式法、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

◆提公因式法分解因式的关键：、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）★★典型例题、方法导航◆考点一：因式分解的意义【例1】判断下列变形哪些是因式分解？（1）---------------------------（）（2）-------------------（）（3）--------------------（）（4）----------------------------------（）（）-------------------------------（）【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。

课题：14.3.1因式分解（第1课时）——提公因式法一、教学目标1.知识与能力目标：（1）了解因式分解的概念（2）了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解2.过程与方法目标：（1）学生通过观察类比体会因式分解的概念，提高知识迁移的能力，渗透类比的思想（2）学生通过探究找公因式的步骤，培养探究能力，通过总结锻炼语言表达能力3.情感态度与价值观目标本节课从学生已知的内容出发展开新的概念，学生在活动中提高数学学习的兴趣，并在自主探究过程中获得成功的体验，增强数学学习的自信心。

在学习的过程中渗透对数学类比的思想方法的理解。

二、教学重、难点重点：运用提公因式法分解因式难点：正确理解因式分解的概念，准确找出公因式三、教法设计类比与探究式的教学方法四、学法设计自主探究与合作交流五、教学过程教学过程教学内容师生互动设计意图活动一温故知新迁移类比问题1：（1）你能用简便方法计算下列算式吗？14.31714.36214.321⨯+⨯+⨯你的依据是什么？（2）能将mmm176221++写成乘积的形式吗？（3）那cmbmam++呢？（4）能将以下多项式写成乘积的形式吗？______2⨯=+xx______12⨯=-x你的依据是什么？教师提问后，学生迅速演算，举手回答问题。

学生回答乘法分配律（逆运算），教师给予补充学生根据整式乘法中的运算经验将题中的多项式转化成两个式子乘积的形式。

学生回答依据：整式乘法的逆运算从学生比较熟悉的结构但又不能一眼看出答案的算式出发，让学生迅速参与到课堂中来。

由数字算式拓展到多项式，学生由前面的解题经验迁移类比，将多项式化成乘积形式。

14.3 因式分解14.3.1 提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1t（2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．解：－4x2yz－12xy2z+4xyz=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）=－4xyz（x+3y－1）【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2=－[（y－x）2·3a2（y－x）+4b2（y－x）2]=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=（x－y）2·3a2（x－y）－4b2（x－y）2=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）【例3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本习题板书设计提公因式法1、提公因式法例：练习：后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

教学过程一、复习预习计算下列各题a(b+c) (x+y)(a+b)解答：a(b+c)=ab+ac (x+y)(a+b)=ax+bx+ay+by 将此式子倒过来可以得到ab+ac=a(b+c) ax+bx+ay+by=(x+y)(a+b)二、知识讲解考点1把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

可见，因式分解与整式乘法是相反的过程。

考点2如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

考点3找公因式的方法：①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。

考点4十字相乘法十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式（x+a ）（x+b ） =ab x b a x +++)(2，用来 把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

（1）对于二次项系数为1方法是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1方法是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母。

考点5、分组分解法我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

义务教育课程标准实验教科书人教版《数学》·八年级上册§14.3.1提公因式法因式分解 教案一、 教学目标（一）知识与技能1.了解因式分解的概念,理解因式分解与整式乘法的区别.2.会寻找公因式,能正确应用提公因式法因式分解.（二）过程与方法1.经历由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解的过程,并在此过程中,通过观察、对比等手段,发现因式分解与整式乘法的区别,体会类比思想,培养观察能力.2.寻找确定多项式各项的公因式的一般方法,培养总结归纳能力.（三）情感、态度与价值观1.通过观察、对比等手段,培养善于类比能力,发展数学探究能力.2.通过有一定梯度的变式训练,锻炼克服困难的意志,发展合作交流的良好品质.二、教学重难点(一)教学重点因式分解的概念及用提公因式法提公因式.(二)教学难点1.因式分解与整式乘法的区别与联系.2.正确找出多项式各项的公因式.三、教辅手段板书四、教学过程（一）创设情境问题1：已知3,5=-=b a x 求22bx ax -的值.【师】开动脑筋,看谁算的快！【生】用3+=b a 代入,7533)3(22222222==-+=-+=-x bx bx x bx x b bx ax【师】这个方法可以,用代入法,直接在原式上进行运算,还有其他方法吗?【生】可以先进行变形,再代入算值75)(222=-=-b a x bx ax【设计意图】为了使运算简便和准确,先把多项式进行变形再代入求值,这样的题学生容易接受.引导学生口答后,进一步激励学生思考,学生尝试独立解决问题,并交流分享.【师】对,为了计算的方便,像第二种方法这样先把左边多项式进行变形,化成几个整式的积的形式,这就是我们今天要讲的因式分解.【设计意图】让学生提前感知多项式因式分解的本质是一种式的恒等变形,从而让学生对因式分解的概念和方法有一个整体的认识,也渗透着数学中的类比思想.引导学生思考,引入本节课题.（二）探究新知问题2：运用已学过的知识填空：(1) =+)1(x x(2) =-+)1)(1(x x(3) =+2)(b a【设计意图】回顾整式乘法的内容,引入因式分解【师】等号左边的两个多项式作什么运算?【生】乘法.【师】等号右边是一个什么式?【生】多项式.【师】这是把几个整式的积化成多项式的运算,是我们之前学习的整式乘法的内容.问题3：下列式子的右边的空你会填吗?（1）=+x x 2（2）=-12x（3）=++222b ab a【师】等号左边是什么式?【生】多项式.【师】等号右边的两个多项式作什么运算呢?【生】乘法.【师】这是把多项式化成几个整式的积的形式,这就是因式分解的过程.【设计意图】经历将已有知识的逆向思考与对比,帮助学生建构知识,给出因式分解的概念.理解新知识的形成过程,帮助学生获得观察类比、归纳概括的数学活动经验,进一步发展联想、逆向思维.（三）归纳概念我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.整式的积多项式整式的积多项式整式乘法因式分解−−−−←−−−→−（四）辨析概念问题4：下列各式从左到右是否为因式分解?（1）)1(2-=-m m m m（2）xy x y x x -=-2)(（3）1)2(122+-=+-a a a a（4）22)2(44-=+-x x x（5）11025)15(22+-=-a a a（6）)2)(2(42-+=-m m m（7）)(c b a m mc mb ma ++=++【师】小组之间互相讨论下,是因式分解吗?【设计意图】组织学生观察交流问题,培养学生清晰有条理地表达自己的思考过程的能力和科学意识.【师】接下来我们一起来判断下,很明显,（1）、（4）、（6）、（7）是因式分解,（2）、（5）是整式乘法,（3）呢?是因式分解吗?【生】不是,因为等式的右边也是多项式.【设计意图】强化因式分解的概念,把学生推到思维的前沿,自由发表见解,积累数学活动经验,建构新的知识结构.【师】大家注意观察一下（1）和（7）,它在做因式分解的过程中有什么共同点?【设计意图】引入提公因式法.（五)探索公因式问题5：观察多项式mc mb ma ++的各项具有怎样共同点?【设计意图】引导学生观察特征,建立公因式和提公因式的概念,让学生体验过程.【生】都有一个m .【师】可以把m 提出来,)(c b a m mc mb ma ++=++,这样就完成了因式分解,这种方法我们称为“提公因式法”,等号右边的两个因式,其中一个是公因式,另一个因式是如何确定的?你能对ay ax 2+进行类似的变形吗?【设计意图】从而提出公因式法分解因式,让学生探索数学知识,获得数学结论,并进行问题解决.（六）归纳方法我们看多项式pc pb pa ++,它的各项都有一个公共的因式p ,我们把因式p 叫做这个多项式各项的公因式,可得)(c b a p pc pb pa ++=++,这样就把多项式pc pb pa ++分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p ,另一个因式c b a ++是pc pb pa ++除以p 所得的商.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.（七）巩固新知问题6：指出下列各多项式的公因式并进行因式分解（1）=++a ay ax（2）=+22104ab b a（3）c ab b a 323128+（4）=+-+)(3)(2c b c b a（5）=---)(3)(2y z b z y a【师】（3）中,)32(412822323bc a ab c ab b a +=+,提出公因式24ab ,另一个因式是否还有公因式?怎么检验?【生】对bc a 322+看能不能进行因式分解.【师】（5）和（6）,有公因式吗?【生】有,整个c b +,)32)(()(3)(2-+=+-+a c b c b c b a【师】（6）,互为绝对值和)()(y z z y --,可以)32)(()(3)(2))((3)(2)(3)(2b a z y z y b z y a z y b z y a y z b z y a +-=-+-=----=--- 【师】怎么检查因式分解是否正确呢?【生】对等式右边做整式乘法,核对一下看是否正确.【设计意图】提公因式分解因式方法的具体化,学会确定公因式,明确公因式不仅是单项式,还可以是多项式,隐含换元的思想,掌握方法,巩固提公因式法.（八）课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获?【设计意图】复习巩固,学以致用.（九）作业布置习题14.3 第1题、第4题的（1）.。

《15．4．1因式分解——提公因式法》教案广西桂平市社步一中黄郁贞一、教学目标㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。

㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。

㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

二、教学重点和难点重点：因式分解的概念及提公因式法。

难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)=个整式的五、学生学习活动评价设计在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。

通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。

例如：1.个人回答问题次数：正确次数：改正人：2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误；（在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。

活动……3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。

4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。

六、教学反思㈠、教材分析本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。

因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

本节主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用。

第四章 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

第四章因式分解
1.因式分解定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。

2.公因式:把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式。

3.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

4.找公因式的一般步骤:
(1) 若各项系数是整系数，取系数的最大公约数;
(2) 取相同的字母，字母的指数取较低的; .
(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
5.公式法:
(1) ma+mb+mc=m(a+b+c) (2) (3)
6.、分解因式的一般步骤为:
(1)若有“"先提取"-”，若多项式各项有公因式，则再提取公因式
(2)若多项式各项没有公因式则根据多项式特点选用平方差公式或完全平方公式
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
7、因式分解与整式乘法是相反向的变形。

(1)把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
(2)把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
补充:十字相乘法。

8年级上册数学人教版
《14．3．1提公因式法》教案
年级学科八年级数学教材版本人教版
一、教学内容分析
本节课是人教版八年级上册第十四章第3节因式分解的第一课时《提公因式法》。

学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的价值。

它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

二、教学目标
1．理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系．
2．了解公因式的概念，能熟练运用提公因式法进行因式分解．
3．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
三、学习者特征分析
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择“三学小组”模式组织教学，采用观察、讨论、演示、类比、比较、概括等多种方法组织教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与学习，让学生用类比推理的方法探究，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。

努力引导学生自主探索，合作交流，激发学生学习的兴趣，使数学学习成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程
四、教学过程
（一）创设情境，引出问题
学校为了丰富我们的课外活动，打算在原操场两侧分别建一个网球场和篮球场，各场地长、宽如下
图所示：
问题1：你能用几种方法表示扩大后的操场面积？
预设1：ma+mb+mc．
预设2：m（a+b+c）．
问题2：不同的表示方法之间有什么关系？
预设：ma+mb+mc= m（a+b+c）．。

初二上学期数学《因式分解》知识点整理初二上册数学因式分解知识点（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

（3）确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

（4）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（5）提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。

（6）如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

（7）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。

（8）运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（9）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2—b2=（a+b）（a—b）（10）具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，（指的系数是完全平方数）②字母指数要成双，（指的指数是偶数）③两项符号相反。

（指的两项一正号一负号）（11）用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。

（l2）完全平方公式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2 （13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式。

②其中有两项是某两数的平方和。

③第三项是这两数积的正二倍或负二倍。

④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和（或者差）的平方。

《因式分解-提公因式法》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：学生能理解因式分解的概念及其意义。

学生能掌握提公因式法的基本步骤。

学生能运用提公因式法对简单多项式进行因式分解。

1.2 过程与方法：学生通过观察和分析实例，探索提公因式法的步骤和规律。

学生通过练习题，提高运用提公因式法进行因式分解的能力。

1.3 情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣和自信心，感受数学的实用性。

学生学会合作和交流，培养解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 课题：因式分解-提公因式法2.2 教学重点与难点：重点：掌握提公因式法的基本步骤。

难点：灵活运用提公因式法进行因式分解。

2.3 教学准备：教师准备PPT演示文稿和练习题。

学生准备笔记本和文具。

2.4 教学过程：引入：通过实例引入因式分解的概念，引导学生思考如何将多项式分解成几个整式的乘积。

讲解：讲解提公因式法的基本步骤，通过示例演示如何提取公因式。

练习：学生通过练习题，运用提公因式法进行因式分解，教师给予指导和反馈。

第三章：教学活动3.1 课堂讲解：教师通过PPT演示文稿，讲解提公因式法的基本步骤和注意事项。

教师通过举例说明如何提取公因式，并引导学生思考和发现规律。

3.2 课堂练习：教师给出一些简单多项式，学生分组进行讨论和练习，尝试运用提公因式法进行因式分解。

教师选取部分学生的答案进行讲解和点评，指出其中的错误和不足之处。

3.3 课后作业：教师布置一些练习题，要求学生独立完成，巩固提公因式法的应用。

第四章：教学评价4.1 课堂参与度：观察学生在课堂讲解和练习中的参与程度，了解他们对提公因式法的理解和掌握程度。

4.2 练习题完成情况：检查学生课后作业的完成情况，评估他们对提公因式法的应用能力。

4.3 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对提公因式法的掌握情况和教学效果。

第五章：教学拓展5.1 拓展练习：给出一些较复杂的多项式，学生尝试运用提公因式法进行因式分解，提高他们的解题能力。

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项。

八年级数学 提公因式法一、知识要点：1、因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解；2、注：（1）因式分解是对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要因式分解，如b a ab 326⋅=只是一种恒等变形，不是因式分解；（2）因式分解与整式乘法是互逆的，例如：22))((b a b a b a -=-+是整式乘法，而))((22b a b a b a -+=-是因式分解；（3）因式分解实质上是整式的一种恒等变形，变形前后，式子的值始终保持不变；（4）因式分解的最后结果，必须是几个整式的乘积；（5）因式分解必须进行到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止；3、公因式的定义：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式；4、注：公因式的构成：①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项都含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次幂；二、典型例题：例1：下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A ．9)3)(3(2-=-+x x xB ．)3)(2(52+-=-+x x x xC ．)(22b a ab ab b a +=+D ．)1(12xx x x +=+ 例2：把下列各式分解因式：（1）ab a 842-；（2）3232427126y x y x y x +-；（3）32234y x y x y x -+-； （4）213--++n n n x xx ；例3：把下列各式因式分解：（1）)3(2)3(-+-x b x a ；（2）23)(10)(5x y y x -+-；（3）)13()15(----+ay ax m ay ax m ；例4：（1）已知40,13==+ab b a ，求22ab b a +的值；（2）计算：22200620052005-+；（3）求证：199819992000310343⨯+⨯-能被7整除；（4）不解方程组⎩⎨⎧=-=+1362y x y x ，求32)3(2)3(7x y y x y ---的值；（5）已知0123=+++x x x ，求200721xx x ++++ 的值；（6）已知m 、n 均为正整数，且有m(m －n)－n(n －m)=12，求m 、n 的值；随堂练习：1、下列各式的因式分解中正确的是（ ）A ．)(2c b a a ac ab a -+-=-+-B ．)23(36922xy xyz y x xyz -=-C ．)2(336322b a x x bx x a -=+-D ．)(21212122y x xy y x xy +=+ 2、把多项式352--mx x 分解因式为)7)(5(+-x x ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：（1）m m m 2616423-+-；（2）32)(2)(6b a a b a ---；（3）y x y x m +--2)(；（4）x x 39)3(2+--；（5）222)()()(a b ac b a ab a b a -+----；（6）122)()(+-+--n n y x mn y x n m ；4、利用因式分解计算：（1）22)5(43855212255323-⨯+⨯-⨯；（2）43133739⨯-⨯；（3）200520082008200820052005⨯-⨯；5、（1）已知01234=++++x x x x ，求2004321xx x x +++++ 的值；（2）求证：对于非零自然数n ，n n 224-+能被30整除；作业：1、选择题：（1）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．6)2)(3(2-+=-+x x x xB ．1)(1--=--y x a ay axC ．3232428b a b a ⋅= D ．)2)(2(42-+=-x x x（2）多项式c ab abc bc a 2228612-+分解因式时，应提的公因式是（ ）A ．22212c b aB ．2226c b aC ．abc 6D ．abc 2（3）下列各组的两个多项式中，没有公因式的是（ ）A ．)(2b a b a -与)(2b a ab +B ．2)(b a +与b a --C ．b a -与ab a +-2D ．y ax +与y x + （4）下列变形中，从左边到右边是因式分解的是（ ）A ．n x n m n nx mx -+=-+)(B ．23237321y x y x ⋅=C ．)32)(32(942-+=-x x xD ．23)1)(23(2--=-+x x x x （5）用提取公因式把m m x x392-分解因式后，括号内的代数式是（ ）A ．m x 3B ．m x 3－1C ．m x －3D ．1312--m x2、填空题：（1）mn my mx --= ； （2）b ab b a 10552+-= )2(2+-a a ；（3）m m m a a a =-+15（ ）；（4）已知a －2=b+c ，则a(a －b －c)－b(a －b －c)－c(a －b －c)= ；3、因式分解：（1）33233214427y x y x y x -+- ；（2）)(3)(2x y xy y x x ---；（3）m b a m a c m c b )()()(+++++；（4）32)1()1)(1(+--+y y y ；（5）122)()(++++-n n y x mn y x n m ；（6）321222128+++++-n n n n y x y x ；（7）23433)(10)(5x y y x y x y x ---；（8）62)3(2+--a a ；4、计算：（1）419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯；（2）4042022-；5、求证：两个连续整数的积再加上较大的整数之和等于较大整数的平方；。

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

因式分解----提公因式法知识点：因式分解： ，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.)1)(1(12-+−−−→−-x x x 因式分解 )1)(1(12-+−−−−←-x x x 整式乘法提公因式法：多项式mc mb ma ++中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.)(c b a m mc mb ma ++=++就是把mc mb ma ++分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式)(c b a ++是mc mb ma ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式：提公因式法注意事项：(1)系数：(2)相同字母或式子：(3)首项有负号时：例1.下列变形是否是因式分解？为什么，(1))3(322x x y y xy y x -=+-；(2)2)1(3222+-=+-x x x ；(3))1)(1(1222-+=-+xy xy xy y x ；(4)n n n x xn x x x x +-=+-++122)1(.例2.用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ay ax -； (2)236xz xyz -; (3)y x z x 43+-；(4)ab abx aby 61236+-； (5))(2)(3a b y b a x -+-； (6)))(())((m y m x m y m x m x -----(7)3()()m x y n y x --- (8)7(a －3) – b (a －3) (9)()()y x y y x x ---2(10)()()()()q p n m q p n m -+-++ (11)324(1)2(1)q p p -+- (12)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)例3.已知3)(,7)(22=-=+b a b a ,求ab 与22b a +的值。

例4.已知03410622=++-+n m n m ，求2m-3n 的值.例5.已知：22322)(,b a b a x x x x x x =÷=÷，其中x>0，且1≠x 。