课题：14.3因式分解第1课时教学内容提公因式法教学目标知识与技能：1.使学生了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系.2.了解公因式的概念和提取公因式的方法.3.会用提取公因式的方法分解因式.过程与方法：1.通过学习提取公因式法提取公因式,掌握寻找公因式的方法和提取公因式的方法.2.理解因式分解的最后结果,每个因式要分解到不能再分解为止.情感、态度与价值观：在探索提公因式法分解因式的过程中,学会逆向思维,渗透化归的思想方法.教学重点会用提取公因式法分解因式.教学难点如何确定公因式以及提取公因式后的另外一个因式.教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入新兴一中决定购买m台电脑和m套桌子,现在知道每台电脑的单价为a元,每套桌子的单价为b元,那么怎样表示该校购买电脑和桌子总共需要的资金呢?答案一:购买一台电脑和一套桌子需(a+b)元,购买m台电脑和m套桌子共需m(a+b)元.答案二:购买m台电脑需ma元,购买m套桌子需mb元,则购m台电脑和m套桌子共需(ma+mb)元.从这两种方法中,我们发现了什么?ma+mb=m(a+b).二、新课探究我们知道,利用整式的乘法运算,有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式,反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.1、请把下列多项式写成整式的积的形式:(1)x2+x=(2)x2-1= .通过情境导入,让学生掌握数学来源于生活的道理,从而激发学生的学习热情,自然地转入到从观察ma+mb=m(a+b)这个式子的特点入手,以此引出因式分解的定义.(1)x2+x=x(x+1)；(2)x2-1=(x+1)(x-1).下面请同学们观察上述两个式子和ma+mb=m(a+b),这些式子的共同特点是什么?学生通过观察得出:等式左边是多项式,右边都是乘积的形式.上述式子,左边是一个多项式,右边是两个因式的乘积,这种从左到右的变形,我们叫因式分解.2、因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.正确理解因式分解要注意以下三点:(1)因式分解的对象是多项式,不是单项式,也不是以后我们要学习的分式.(2)因式分解的结果是整式的乘积的形式.(3)不能走回头路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本来已经完成了对x2-1的因式分解,但习惯性地按整式乘法算出x2-1 的结果,就画蛇添足了.练习:下列从左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)12ab= 3a·4b；(2)(x+3)(x-3)=x2 -9；(3)4x2 -8x-1=4x(x-2)-1；(4)2ax-2ay=2a(x-y)；(5)a2-4ab+4b2 =(a-2b)2.总结:(1)分解因式是多项式的恒等变形,也就是分解因式的结果的积等于多项式.(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.因式分解时,左边必须是多项式,右边是几个因式的乘积,且又是左、右两边恒等,那么分解因式与整式乘法有什么关系?(板书)分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看作一个变形过程,那么多项式的分解因式就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的分解因式看作一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的分解因式的逆过程.因此,多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程,ma+mb m(a+b)3、提公因式法我们知道,由单项式乘多项式可知m(a+b+c) =ma+mb+mc,而反过来ma+mb+mc一定等于m(a+b+c),这种变形我们知道就是因式分解.在ma+mb+mc=m(a+b+c)中,m又被称作什么呢?学生可能发现“m”存在于多项式的每一项中,在学生充分观察、讨论基础上,教师给予点拨.公因式:多项式中各项都含有的相同因式.练习：下列说法中正确的是()A.多项式mx2-mx+2中各项的公因式为mB.多项式7a3 +15b无公因式C.1+x3中各项公因式为x2D.多项式10x2y3-5y3+15xyz的公因式是5y2让学生由公因式定义出发,去分析、比较确定答案,并引导学生总结在理解公因式定义时应注意什么.注意:(1)多项式的每一项都含有,体现“公”字.(2)各项所含有的相同的因式.确定公因式的方法:(1)取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；(2)取各项都含有的相同字母或相同因式的最低次幂作为公因式的因式.如:求多项式4x2y3 z-12x3y4的公因式.如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.注意：(1)提公因式法的关键是确定公因式,但提出公因式后,还应准确地确定另一个因式.(2)提公因式的依据是逆用乘法分配律.(3)提公因式时要防止出现以下错误:①漏项；②变错符号.三、知识运用例1、把8a3b2+12ab3c分解因式.〔解析〕先要求学生思考这个问题的最后结果应是怎样的,然后仿照教材进行分析,注意讲清确定公因式的具体步骤,从数、字母和字母的次数三个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系,并思考:如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化,这是提公因式法的正确性的重要保证.例2、把2a(b+c)-3(b+c)因式分解.〔解析〕可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察,从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c,再用提公因式法进行分解.例3、计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.〔解析〕让学生观察并分析怎样计算更简单. 例3是因式分解在计算中的四、课堂练习P115 1、2、3题五、课堂小结1.因式分解(1)定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.等式特点:左边:多项式;右边:整式×整式,整式乘整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.(2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c).①(3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc.②(4)联系:都是由几个相同的整式组成的等式.(5)区别:这几个相同的整式所在的位置不同,①式是因式分解,②式是整式乘法,两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.2.公因式(1)多项式pa+pb+pc中,各项都含有一个公共的因式p,因式p叫做这个多项式各项的公因式.(2)注意:公因式是每一项都含有的因式,是单项式或多项式.(3)公因式的确定方法:各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积.3.提公因式定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式. 应用,学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识.布置作业P119 1题板书设计提公因式法一、新课引入三、知识运用五、课堂小结二、新课探究四、课堂练习六、作业课题：14.3因式分解第2课时教学内容公式法—平方差公式教学目标知识与技能：1.能说出平方差公式的特点.2.能比较熟练地应用平方差公式进行因式分解.过程与方法：1.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.2.进一步体会“整体”思想,培养“换元”的意识.情感、态度与价值观：培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.教学重点应用平方差公式分解因式.教学难点灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求. 教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入1、你能叙述多项式因式分解的定义吗?2、运用提公因式法分解因式的步骤是什么?3、你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?通过复习引入新课,让学生体会知识间的必然联系,认识到了除了用提公因式法进行因式分解,还有其他的因式分解的方法.二、新课讲解1、问题1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.问题2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.问题3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因式分解.要将a2 -b2进行因式分解,可以发现它没有公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个式的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式:a2 -b2=(a+b)(a-b).这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结学习利用平方差公式分解因式.观察平方差公式: a2 -b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点?归纳总结:(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反；(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差；(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是分解因式的多项式,由此可知如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.2、把一个多项式分解因式,一般可按下列步骤进行:(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式.(2)如果多项式的各项没有公因式(或已提取公因式),那么可尝试用公式法来分解.(3)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.3、填空:(1)4a2=( )2；(2)b2=( )2；(3)a4=( )2；(4)121a2b2=( )2；(5)x4=( )2；(6)x4y6=( )2.三、知识运用例1、分解因式.(1) 4x2 -9；(2)(x+p)2-(x+q)2.可以通过多媒体课件演示(1)中的2x,(2)中的x+p相当于平方差公式中的a；(1)中的3,(2)中的x+q相当于平方差公式中的b,进而说明公式中的a与b可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,渗透换元思想.解:(1)4x2 -9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).例2、分解因式.(1)x4-y4；(2)a3b-ab.〔解析〕(1)x4-y4可以写成(x2)2 -(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.但分解到(x2+y2)(x2-y2)后,部分学生不会继续分解因式,针对这种情况,可以回顾因式分解定义后,让学生理解因式分解的要求是果,由问题3学生比较容易想到前面所学的平方差公式.填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式.也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间复习,避免出现4a2=(4a)2这一类错误.必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.(2)不能直接利用平方差公式分解因式,但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.注意：(1)多项式分解因式的结果要化简；(2)在化简过程中要正确应用去括号法则,并注意合并同类项；(3)分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止.四、课堂练习 P117 练习1、2题五、课堂小结1.公式:a2-b2=(a+b)(a-b).2.法则:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.3.注意:(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是要分解因式的多项式;(4)平方差公式的使用条件:如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.布置作业P119 2题板书设计公式法—平方差公式一、新课引入三、知识运用五、课堂小结二、新课讲解四、课堂练习六、作业课题：14.3因式分解第3课时教学内容公式法—完全平方公式教学目标知识与技能：1.经历用公式法分解因式的探索过程.2.能比较熟练地运用完全平方公式分解因式.3.会用提公因式法、完全平方公式法分解因式,并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用.过程与方法：1.通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力.2.通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.情感、态度与价值观：1.体验数学活动充满着探索性.2.在数学学习过程中获得成功的体验和喜悦,树立学习的自信心.教学重点用完全平方公式分解因式.教学难点灵活应用公式分解因式.教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入【问题】把下列各式分解因式.(1)a2 +2ab+b2;(2)a2-2ab+b2.能不能用语言叙述呢?两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.其实就是完全平方公式的符号表示,即:a2 +2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2 =(a-b)2.把整式乘法的完全平方公式反过来写,即因式分解的完全平方公式.二、新课讲解1、下列各式是不是完全平方式?(1)a2 -4a+4； (2)x2 +4x+4y2；(3)4a2 +2ab+b2；(4)a2 -ab+b2；引导学生对比两个公式,类比平方差公式,得出用完全平方公式因式分解的方法.出示习题,并放手让学生讨论,达到熟悉公式结构特征的目(5)x2 -6x-9； (6)a2+a+0.25.[方法总结]完全平方公式的特点是左边是一个二次三项式,其中有两个数的平方和与这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数,符合这些特征,就可以化成右边的两数和(或差)的平方形式.完全平方公式适合分解三项的多项式,要掌握这一公式的形式和特点.运用公式法分解因式的关键是弄清各公式的形式和结构,选择适当的公式进行因式分解,公式中的字母可以是任何数、单项式或多项式.对照a2±2ab+b2=(a±b)2填空.1.x2+4x+4=( )2+2( )( )+( )2=( + )2.2.m2-6m+9=( )2- 2( )( )+( )2=( - )2.注意：公式中的a,b可以表示单项式甚至是多项式.三、例题讲解例1、分解因式(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.〔解析〕(1)分析:在(1)中,16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2 +24x+9是一个完全平方式,即:16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32+ +a2+ 2·a·b+ b2(2)分析:在(2)中两个平方项前有负号,所以应考虑用添括号法则将负号提出,然后再考虑完全平方公式,因为4y2 =(2y)2,4xy=2·x·2y.所以:-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]- +a2- 2·a·b+ b2例2、分解因式(1) 3ax2 +6axy+3ay2;(2)(a+b)2 -12(a+b)+36.〔解析〕(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解；(2)中,将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2 -12m+36.解:(1)3ax2 +6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2. 的.通过这几个判断题可以让学生明确只要给出的多项式符合完全平方公式的结构特征,就可以运用公式进行分解.(2)(a+b)2 -12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.可以看出,如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.四、课堂练习 P119 练习 1、2题五、课堂小结1.(a±b)2=a2±2ab+b2与a2±2ab+b2=(a±b)2都叫做完全平方公式,前者是用来进行多项式的乘法运算,后者是用来进行因式分解.2.应用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式时要抓住公式特点:公式左边是一个二次三项式,右边是二项式的平方,当左边是两数的平方和加上这两数的积的2倍时,右边就是这两个数的和的平方的形式,当左边是两个数平方的和与这两个数积的2倍的差时,右边就是这两个数的差的平方的形式,仅一个符号不同.3.要注意平方差公式的综合应用,分解到每一个因式都不能再分解为止.对于因式分解与整式乘法的关系布置作业P119习题 3题板书设计公式法—完全平方公式一、新课引入三、例题讲解五、课堂小结二、新课讲解四、课堂练习六、作业。
