鲁京津琼专用2020版高考数学一轮复习专题9平面解析几何第67练双曲线练习含解析

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32 答案 D解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32.故选D. 2．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 因为x 23－y 29＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3xC ．y ＝±13x D ．y ＝±33x 答案 A解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34， 又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案 A解析 双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k2－4， ① x 1x 2＝4， ②根据抛物线定义及|F A |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2， ③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89， ∵0<k <1，∴k ＝223.故选D. 7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A ．2 B.2147 C ．2 2 D ．2 3 答案 C解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即b a＝7，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以b a ＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3答案 A解析 由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3 D ．2 答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0)答案 B解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0， 所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D ．3答案 A解析 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3， 则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3， 化简得3a 21＋a 22＝4c 2， 该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A. 二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案 2 2解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|P A |＝________.答案 4解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)， 故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点， 且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|P A |－|PB |＝2a ＝2，|P A |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案 1解析 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |＝2，△P AB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________． 答案 32解析 依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|P A |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2， 故圆心为⎝⎛⎭⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3. 所以△P AB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2， △PCD 的最小面积为12·2b ·⎝⎛⎭⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23， 解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32. 三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解 (1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立， 即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ， 去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4， 再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点P (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．(1)解 由题意得2p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝x .(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3，代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0.所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3.所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝1－t －3＋t ＋1＝－12， 所以k 1·k 2是定值．。

第63练 圆与圆的位置关系[基础保分练]1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( )A ．21B ．19C ．9D ．－112．已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ，b ∈R )，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝1(a ∈R ，b ∈R )关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝1，则a ＋b 等于( )A ．4B ．2C ．6D ．84．已知圆M ：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆N 的圆心坐标为(2,1)，若圆M 与圆N 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，则圆N 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝20C ．(x －2)2＋(y －1)2＝12D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝205．已知圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．E ＝－4，F ＝8B ．E ＝4，F ＝－8C ．E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8 6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．3C.19D.497．已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1B.3C ．2D ．1＋228．(2018·天津模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D ．2 3 9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2与圆C 1外切，且与直线x ＝3切于点(3,1)，则圆C 2的方程为__________________．10．已知圆C 1：(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9，点M ，N 分别是圆C 1，圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN |－|PM |的最大值是________．[能力提升练]1．(2018·南昌市六校联考)若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5＋2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( )A ．4B ．42C ．8D ．8 24．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋352＝2 5．(2018·四川双流中学考试)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则实数a 的值为________．6．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b的最小值为________．。

鲁京津琼专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教案含解析§9.6双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示 不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响．∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )题组二 教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0， ∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________． 答案x 24－y 2＝1解析 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一 双曲线的定义例1(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ， 由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2| ＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.2．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形， 结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2 (1)(2018·天津河西区模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为8，右顶点(a ,0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 216＝1 D.x 216－y 225＝1 答案 A解析 由虚轴长为8，可得b ＝4，∵右顶点A (a,0)到双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为125，∴ab a 2＋b 2＝125，解得a ＝3，∴则双曲线C 的方程为x 29－y 216＝1，故选A.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0. 命题点2 求离心率的值(或范围)例4(2018·天津河东区模拟)双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( ) A.233 B.3C.2D.32答案 A解析 根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为x ±ay ＝0，而圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，结合题意有|2±0|1＋a2＝1，结合a >0的条件，求得a ＝3，所以c ＝3＋1＝2，所以有e ＝23＝233，故选A.思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)． 2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (2018·茂名模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7B ．4C.233 D. 3答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ， 因为B 为双曲线左支上一点， 所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ， 由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°， 得c 2＝7a 2，则e 2＝7，又e >1，所以e ＝7.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32， 故选A.例2已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3答案 B解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a 且F 1(－c ,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ，BF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.故选B.1．(2018·云南民族中学月考)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于( ) A.6B.5C.62D.52答案 B解析 渐近线方程为y ＝－a b x ，故(4，－2)满足方程－2＝－a b ×4，所以a b ＝12，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝5，故选B. 2．(2018·海淀模拟)设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若C 的方程为x 2－y 24＝1，则a ＝1，b ＝2，渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±2x ，充分性成立；若渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，∴“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( ) A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1答案 D解析 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.4．(2018·金华模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 答案 B解析 由题意及正弦定理得 sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 又|F 1F 2|＝4， 由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A ．4＋ 2 B ．4(1＋2) C ．2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8．(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________． 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴1F ABS＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4. 11．(2018·安阳模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________． 答案 (0,2)解析 对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m＋y 24－m＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．12．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，31010解析 双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，所以点P 到渐近线的最大距离为|±3－0|10＝31010.又双曲线与渐近线没有交点，所以点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，31010.13．(2018·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝b ax 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6答案 C 解析 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝b a x 的交点为N ，易知N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，2ab c .因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选C.14．(2018·福建六校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 43解析 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，|PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ， 即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，求E 的离心率．解 如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |， |NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a＝43＝433.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值． 解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a . 当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos∠F 1PF 2.∵cos∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，75. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。

第66练 椭圆的几何性质[基础保分练]1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53C.23D.59 2．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.32B.33C.12D.133．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.454．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若S △ABC ＝3S △BCF 2，则椭圆的离心率为( ) A.55B.33C.105 D.33105．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，且圆C 1，C 2的圆心分别是椭圆C 的左、右焦点，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 6．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为( )A ．±12B ．±14C ．±34D ．±387．(2016·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.348．已知点A (－1,0)，B (1,0)，P (x 0，y 0)是直线y ＝x ＋2上任意一点，以A ，B 为焦点的椭圆过点P .记椭圆的离心率e 关于x 0的函数为e (x 0)，那么下列结论正确的是( )A ．e 与x 0一一对应B ．函数e (x 0)无最小值，有最大值C ．函数e (x 0)是增函数D ．函数e (x 0)有最小值，无最大值9．若椭圆x 2＋y 24＝1的一条弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13平分，则这条弦所在直线的方程是________． 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．[能力提升练]1．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM 等于( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b2 2．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－12C.3－1D ．4－2 3 3．已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b 29相切于点Q ，且PQ →＝2QF →，则椭圆C 的离心率等于( ) A.53B.23C.22D.12 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．6.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．答案精析基础保分练1．B 2.B 3.C 4.A 5.B6．C [由离心率为12可得c 2a 2＝14， 即a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M 的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ， 则M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，±34a ，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34，故选C.] 7．A [由题意知，A (－a ,0)，B (a ,0)，F (－c ,0)．设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2a －c ，又B ，D ，M 三点共线， 所以m 2a －c ＝m a ＋c，即a ＝3c ， 即e ＝13.] 8．B [由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，椭圆的离心率为e ＝1a，故当a 取得最大值时，e 取得最小值，当a 取得最小值时，e 取得最大值．由椭圆的定义可得|PA |＋|PB |＝2a ，由于|PA |＋|PB |有最小值，无最大值，故椭圆的离心率有最大值，无最小值，故B 正确，D 不正确．当直线y ＝x ＋2与椭圆相交时，这两个交点到A ，B 两点的距离之和相等，均为2a ，故对应的离心率相等，故A 不正确．由于当x 0的取值趋近于正无穷大时，|PA |＋|PB |＝2a 趋近于正无穷大，而当x 0的取值趋近于负无穷大时，|PA |＋|PB |＝2a 也趋近于正无穷大，故e (x 0)不是增函数，故C 不正确．]9．12x ＋3y －5＝0 10.5－12能力提升练1．B 2.C3．A [记椭圆的左焦点为F ′， 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b 29的圆心为E ，连接PF ′，QE .∵|EF |＝|OF |－|OE |＝c －c 3＝2c 3，PQ →＝2QF →，∴|EF ||F ′F |＝13＝|QF ||PF |，∴PF ′∥QE ，∴|QE ||PF ′|＝13，且PF ′⊥PF .又∵|QE |＝b3，∴|PF ′|＝b .由椭圆的定义知|PF ′|＋|PF |＝2a ，∴|PF |＝2a －b .∵PF ′⊥PF ，∴|PF ′|2＋|PF |2＝|F ′F |2，∴b 2＋(2a －b )2＝(2c )2,2(a 2－c 2)＋b 2＝2ab ， ∴3b 2＝2ab ，∴b ＝2a3，c ＝a 2－b 2＝53a ，∴c a ＝53，∴椭圆的离心率为53.]4．D [根据正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，可得a |PF 2|＝c|PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|(e ＋1)＝2a ，即|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ， 即1－c a <2e ＋1<1＋c a， 所以1－e <2e ＋1<1＋e ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－e 1＋e <2，2<1＋e 2， 所以⎩⎨⎧ 1－e 2<2，2<1＋e 或1＋e <－2，又0<e <1，所以2－1<e <1，即e ∈(2－1,1)，故选D.]5.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析 因为点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，所以∠F 1PF 2≤90°，所以tan∠OPF 2≤1，所以c b≤1，c ≤b ， c 2≤a 2－c 2,2c 2≤a 2，c 2a 2≤12， 即ca ≤22， 又0<e<1，所以0<e≤22. 6.35 解析 由c a ＝12，得a ＝2c . 设直线PF 1的斜率为k (k >0)，则直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋c )．因为1PF A S V ∶12PF F S V ＝2∶1，即1PF A S V ＝122PF F S V ，即12·|PF 1|·|kc －b |k 2＋1＝2×12·|PF 1|·|2kc |k 2＋1，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或b＝5kc. 又因为a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2，所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝325，又k>0，所以k＝35.。

阶段自测卷(六)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·四川诊断)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得p ＝2， 则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．(2019·抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －7＝0 C ．3x －2y －4＝0 D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析 设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0， 把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7. 可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24， ∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．(2018·山西四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b ax 的距离为2，即|bc |a 2＋b2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355. 5．(2019·凉山诊断)已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( ) A.2或2 B. 5 C.52D.5或52答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2， 故双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12，故双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52.故选D. 6．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1，故选D.7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 答案 C解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点， 从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.8．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，12F AF S ∆＝2，则椭圆C 的方程为( ) A.x 26＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 28＋y 22＝1 D.x 220＋y 216＝1 答案 A解析 由题意，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，且AF 1⊥AF 2，且12F AF S ∆＝2，则可知|OA |＝c ， 设A (x ，y )，则x ＝c cos30°＝32c ，y ＝c sin30°＝12c ， 即A ⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入椭圆的方程可得3c 24a 2＋c24b2＝1，又由12F AF S ∆＝2，得S ＝12×2c ×12c ＝12c 2＝2，解得c 2＝4，且c 2＝a 2－b 2， 所以a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，故选A. 9．(2019·新乡模拟)已知点M (x ，y )是抛物线y 2＝4x 上的动点，则(x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 因为(x －1)2＋y 2表示点M (x ，y )到点F (1,0)的距离，即点M (x ，y )到抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的距离，因为(x －2)2＋(y －1)2表示点M (x ，y )到点A (2,1)的距离，所以(x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2的最小值为点A (2,1)到抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的距离3，即((x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2)min ＝3.故选A.10．(2019·河北衡水中学调研)已知y 2＝4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2＝4x 于A ，B ，两点∠AFB ＝60°，则|AB |等于( ) A.476B.473C ．4D ．3答案 B解析 设A (x 1,2x 1)，B (x 2,2x 2)，x 2>x 1>0， 因为k QA ＝k QB ，即2x 2x 2＋1＝2x 1x 1＋1，整理化简得x 1x 2＝1， |AB |2＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1)2， |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 代入余弦定理|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |cos60°，整理化简得，x 1＋x 2＝103，又因为x 1x 2＝1，所以x 1＝13，x 2＝3，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1)2＝473，故选B.11．(2019·成都七中诊断)设抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且FN →＝λFM →(λ>0)，若|MF |＝4，则λ等于( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3答案 D解析 如图，过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得|MM ′||FF ′|＝|MN ||NF |＝λ－1λ，又|MF |＝4，∴|MM ′|＝4， 又|FF ′|＝6， ∴|MM ′||FF ′|＝46＝λ－1λ，∴λ＝3. 故选D.12．(2019·长沙长郡中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)具有相同焦点F 1，F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若∠F 1PF 2＝π3，则e 21＋e 22的最小值是( ) A.2＋32 B ．2＋3 C.1＋232D.2＋34答案 A解析 根据题意，可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |PF 1|－|PF 2|＝2m ，解得|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ， 根据余弦定理，可知(2c )2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3，整理得c 2＝a 2＋3m 24，所以e 21＋e 22＝c 2a 2＋c 2m 2＝a 2＋3m 24a 2＋a 2＋3m 24m2＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2a 2＋a 2m 2≥1＋32＝2＋32(当且仅当a 2＝3m 2时取等号)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·长春质检)若椭圆C 的方程为x 23＋y 24＝1，则其离心率为________．答案 12解析 根据椭圆方程得到a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12.14．(2019·南昌八一中学、洪都中学联考)若F 1，F 2是椭圆x 25＋y 24＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________． 答案 5解析 因为点P 在椭圆x 25＋y 24＝1上，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， 又|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝(5)2＝5，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，所以|PF 1||PF 2|的最大值为5.15．(2018·兰州调研)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________． 答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.16．(2019·广东六校联考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆C 1：x 2＋(y ＋1)2＝2相交于A ，B 两点，且△C 1AB 的面积取得最大值，又直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是______________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析 根据题意得到△C 1AB 的面积为12r 2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C 1AB 为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d ＝1，根据点到直线的距离公式得到|1＋t |1＋k2＝1⇒1＋k 2＝(1＋t )2⇒k 2＝t 2＋2t ，直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，联立直线和抛物线方程得到x 2－2kx －2t ＝0，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k 2＋8t ＝4t 2＋16t >0，解得t 的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2018·重庆朝阳中学月考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)求a 为何值时，l 1∥l 2； (2)求a 为何值时，l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(a －1)＝1×2，2(a 2－1)≠6(a －1)，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)， ∴当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴a ·1＋2·(a －1)＝0， 解得a ＝23，∴当a ＝23时，l 1⊥l 2.18．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)证明：对任意实数m ，直线l 恒过定点且与圆C 交于两个不同点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．(1)证明 直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0可化为m (2x ＋y －7)＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以直线l 恒过点P (3,1)，而点P (3,1)在圆C 内，所以对任意实数m ，直线l 恒过点P (3,1)且与圆C 交于两个不同点．(2)解 由(1)得，直线l 恒过圆C 内的定点P (3,1)，设过点P 的弦长为a ，过圆心C 向直线l 作垂线，垂足为弦的中点H ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋|CH |2＝25，弦长a 最短，则|CH |最大，而|CH |≤|CP |，当且仅当H 与P 重合时取等号，此时弦所在的直线与直线CP 垂直，又过点P (3,1)， 所以，当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为2x －y －5＝0.19．(12分)(2019·湛江调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，且右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求△PAB 的面积． 解 (1)由已知得c ＝22，ca ＝63，解得a ＝2 3. b 2＝a 2－c 2＝4,所以椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入椭圆方程得 4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0), 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥A B.所以PE 的斜率为k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2， 此时方程(*)为4x 2＋12x ＝0.解得x ＝0或－3，所以y ＝2或－1，所以|AB |＝32， 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.20．(12分)(2019·四川诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F (－2,0)，上顶点B (0,2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同两点M ，N ，且线段MN 的中点G 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意可得c ＝2，b ＝2，由a 2＝b 2＋c 2得a 2＝22＋22＝8，所以a ＝22， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段MN 的中点G (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 28＋y24＝1，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，则Δ＝96－8m 2>0，所以－23<m <23， 且x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3，因为点G (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 2＝1，解得m ＝±355，满足－23<m <23，所以m 的值为±355.21．(12分)(2019·化州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点坐标为(1,0)，短轴长为2 2.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若△OAB (O 为直角坐标原点)的面积为324，求直线AB 的方程．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c ＝1，b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴垂直时，|AB |＝433，此时S △AOB ＝233不符合题意，故舍掉；当直线AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x ＋1)，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋(3k 2－6)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－6k 22＋3k2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1＋1)－k (x 2＋1)]2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 4(2＋3k 2)2－12k 2－242＋3k 2＝48(k 2＋1)2(2＋3k 2)2 ＝43(k 2＋1)2＋3k2， 原点O 到直线AB 的距离d ＝|k |1＋k2，∴S △AOB ＝12|AB |d ＝12×43(k 2＋1)2＋3k 2×|k |1＋k 2＝23k 2＋1·|k |2＋3k2， 由S △AOB ＝324，得k 2＝2，故k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x ＋1)或y ＝－2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0或2x ＋y ＋2＝0.22．(12分)(2019·新乡模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，过点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，延长BF 2交椭圆C 于点M ，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P (x 0,0)，使得PM →·PB →为定值？若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知，|F 1F 2|＝2c ＝2，则c ＝1，又△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，即a ＝2，则e ＝c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在点P ，使得PM →·PB →为定值．若直线BM 的斜率不存在，则直线BM 的方程为x ＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32， 则PM →·PB →＝(x 0－1)2－94. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为y ＝k (x －1)， 设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，由于PM →＝(x 2－x 0，y 2)，PB →＝(x 1－x 0，y 1)， 则PM →·PB →＝x 1x 2－(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝(4x 20－8x 0－5)k 2＋3x 20－124k 2＋3，因为PM →·PB →为定值，所以4x 20－8x 0－54＝3x 20－123，解得x 0＝118，故存在点P ，且x 0＝118.。

§9.7抛物线最新考纲1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2B.135C.145D ．3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.题组三 易错自纠5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.6．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________． 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9x C ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点．故点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的标准方程为y2＝3x.题型二抛物线的几何性质例3 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.22B.2C.322D．2 2答案 C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，y1＝2 2.设AB的方程为x－1＝ty，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D ．2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.(2)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316B.38C.233D.433答案 D解析经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝33x.抛物线C1的焦点为F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2，双曲线C2的右焦点为F2(2,0)．因为y＝12p x2，所以y′＝1px.所以抛物线C1在点M⎝⎛⎭⎪⎫x0，x202p处的切线斜率为33，即1px0＝33，所以x0＝33p.因为F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2，F2(2,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫33p，p6三点共线，所以p2－00－2＝p6－p233p－0，解得p＝433，故选D.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．解(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p ＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为 y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)， ∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0， 将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 (2018·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 由x 2＝2py 得y ′＝x p， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根．[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，y P ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m ，[8分]得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m .若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B ．－14C ．4D ．－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.2．(2018·泰安诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.3．(2018·辽宁五校联考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A ．4B ．33C ．43D ．8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4．(2018·江西上高二中、丰城中学联考)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D. 5．已知直线l ：y ＝kx －k (k ∈R )与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k 等于( ) A ．±33B ．±1C．±3D ．±2 答案 C解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点．当k >0时，如图所示，过点M 作MM ′垂直于准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则tan∠M ′MN＝3，∴直线l 的斜率k ＝3；当k <0时，可得直线l 的斜率k ＝－ 3.故选C.6．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2018·新余市第一中学模拟)动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________． 答案 x 2＝8y解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8．(2018·武汉质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB 的边长为________________． 答案 8＋43或8－4 3解析 由题意可知点A ，B 一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y 1＝23＋4，y 2＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.9．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 t >0或t <－3解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3. 10．(2018·唐山五校联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________. 答案 4解析 设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2018·贵阳模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y21＝4x－4x1，∵y21＝4x1，y22＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，即y1y2＝－4(y1，y2异号)，∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．13.(2018·益阳、湘潭质检)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )A．5 B．6C.163D.203答案 C解析方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. 方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C. 14.(2018·广东七校联考)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由题意得，焦点F (0,1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则①错误； 对于②，|AB |min ＝2p ＝4，则②错误； 因为y ′＝x 2，则l AM ：y －y A ＝x A2(x －x A )，即y ＝12x A x －x 2A 4，l BM ：y －yB ＝x B2(x －x B )，即y ＝12x B x －x 2B4，联立l AM 与l BM的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －x 2A 4，y ＝12x Bx －x2B4，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB 的斜率为1时，x M ＝2，则④错误，故选B.15．已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．所以|AB |＋|AC |＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<23， 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.。

第70练 直线与圆锥曲线小题综合练[基础保分练]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条 3．已知椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b等于( ) A.32B.233 C.932 D.23274．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线交于第一象限内的点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( ) A.3B.32C.33D.233 5．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y 225＝1B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 6．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3，3] 7．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或08．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <b aC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为__________．10．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．[能力提升练] 1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，5) D ．(1，5]2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上，且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 3．(2018·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则直线l 的方程为( ) A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝04．(2017·全国Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．105.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．6．已知双曲线x 2－y 23＝1上的两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案精析基础保分练1．A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C7．D [若k ＝0，则y ＝2，满足题意；若k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此k ＝0或1.]8．D [由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <b a .]9.x 24＋y 22＝1 10.553解析 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －，x25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.能力提升练1．B [双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为直线y ＝3x 与双曲线无交点，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，即c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，所以e 2≤4，所以1<e ≤2.]2．A [由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可知，其左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)． 设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则得y 20x 20－4＝－34.∵2PA k ＝y 0x 0－2，1PA k ＝y 0x 0＋2，∴2PA k ·1PA k ＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝－34.∵直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，∴直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.]3．C [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 214－y 212＝1，x 224－y 222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.]4．A [因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 显然，该方程必有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝＋k 2k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋k 2k 2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.]5.63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a2，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0， 代入坐标可得，c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23， 则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63.6．0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)·(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2，∴y 2－y 1x 2－x 1·(y 2＋y 1)＝3(x 2＋x 1)，即k MN ·y 0＝3x 0.∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0. 又∵y 0＝x 0＋m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m4，解得m ＝0或m ＝－8.。

§9.7 双 曲 线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的________等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (e >1)的轨迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2－x2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)(3)范围 x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a(4)中心 原点O (0，0)(5)顶点 A 1(－a ，0)， A 2(a ，0)(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2＋b 2(9)离心率※(10)准线 x ＝±a 2cy ＝±a 2c(11)渐近线 方程y ＝±a bx自查自纠1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直2．(2)x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(e ＞1) (11)y ＝±b ax(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解：A ，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C ，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C .(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解：c ＝5，e ＝c a ＝5a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9，双曲线方程为x 216－y 29＝1.故选C .(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解：易知双曲线C 1实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ；双曲线C 2实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ，焦距为2tan θ，离心率为1cos θ，又0<θ<π4，所以sin θ≠cos θ，tan θ≠1，综上知两双曲线只有离心率相等．故选D .已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．解：∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.故填(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．(2015·福建)若双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于____________．解：由题意知点P 在双曲线E 的左支上，根据双曲线的定义，|PF 2|－|PF 1|＝|PF 2|－3＝6，得|PF 2|＝9.故填9.类型一 双曲线的定义及标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)；(2)对称轴为坐标轴，经过点P (3，27)，Q (－62，7)； (3)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)，∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，∵所求双曲线经过P (3，27)，Q (－62，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋28B ＝1，72A ＋49B ＝1，解得A ＝－175，B ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.(3)解法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，易求c ＝25，∵双曲线过点(32，2)，∴（32）2a 2－4b 2＝1，得a 2＝18b 2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝20，解得a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4，所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【点拨】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．(1)(2014·北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．解：根据已知条件可判断双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝1，∴C 的方程为x 2－y 2＝1.故填x 2－y 2＝1.(2)(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解：由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.故选D .类型二 双曲线的离心率(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b2＝34c ，得3c 4＝16a 2b 2＝16a 2(c 2－a 2)，即3c 4－16c 2a 2＋16a 4＝0，有3e 4－16e 2＋16＝0，解之得e 2＝4或e 2＝43.∵b ＞a ＞0，∴b 2＞a 2，即c 2－a 2＞a 2，e 2＞2. ∴e 2＝4，e ＝2.故填2.(2)(2015·湖北七市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．解：在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，∴|PF 2||PF 1|＝a c， ∴点P 在双曲线右支上． 设P (x 0，y 0)， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a2c －a.由双曲线的几何性质知|PF 2|＞c －a ，则2a 2c －a＞c －a ，即e 2－2e －1＜0，又e >1， ∴1＜e ＜1＋ 2.故填(1，1＋2)．【点拨】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用(变式2(2))．(1)(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解：考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，又由已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(舍去负值)．∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.故选B .(2)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，P 为双曲线上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．解：∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴P 点在双曲线的右支上． 又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴6a ≥2c ，即c a≤3. ∵e ＞1，∴1＜e ≤3.故填(1，3]．类型三 双曲线的渐近线(1)(2013·全国课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12xD. y ＝±x解：根据双曲线的性质可知e ＝c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，联立可得b 2＝a 24，即b a ＝12，故C的渐近线方程为y ＝±12x .故选C .(2)(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝____________．解：∵双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，∴1a ＝3，解得a ＝33.故填33.【点拨】本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解：由题意知BC 为双曲线的通径，∴|BC |＝2b 2a ，|BF |＝b2a.又|AF |＝c －a ，BD ⊥AC ，AB ⊥CD ，AD ⊥BC 且AD 平分BC ，∴点D 在x 轴上，由Rt △BFA ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )|FD |，∴|FD |＝b 4a 2（c －a ），则由题意知b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2（c －a ）<a ＋c ，∴b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，∴0<b 2a 2<1.解得0<b a<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．故选A .1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．10．双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)双曲线上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，则①x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在右支上，则r 1＝ex 0＋a ，r 2＝ex 0－a ；若点P 在左支上，则r 1＝－ex 0－a ，r 2＝－ex 0＋a .②y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在上支上，则r 1＝ey 0＋a ，r 2＝ey 0－a ；若点P 在下支上，则r 1＝－ey 0－a ，r 2＝－ey 0＋a .1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A. 5B.32C.52D. 3解：在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，双曲线的离心率是e ＝ca ＝52.故选C . 2．(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 解：由题意知c ＝3，e ＝c a ＝3a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5.∴C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，且25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线焦距相等．故选D .4．(2015·全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解：由题知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∵M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，∴x 202－y 20＝1，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A . 5．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 解：∵双曲线右焦点F (2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，∴右焦点到渐近线y ＝±b ax 的距离b ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D .6．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2解：由题意，双曲线C 1：c 21＝a 2＋b 2，e 1＝c 1a ＝a 2＋b 2a，双曲线C 2：c 22＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2，e 2＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2a ＋m.∴e 21－e 22＝（b －a ）（2abm ＋bm 2＋am 2）a 2（a ＋m ）2，∴当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.故选D .7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．解：设与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2，2)代入，得k ＝－3.∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为2x ±y ＝0.故填x 23－y 212＝1；2x±y ＝0.8．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____________．解：依题意，双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点为F (3，0)，实半轴长a ＝1，左焦点为M (－3，0)，∵P 在C 的左支上，∴△APF 的周长l ＝|AP |＋|PF |＋|AF |≥|PF |＋|AF |＋|AM |－|PM |＝|AF |＋|AM |＋2a ＝15＋15＋2＝32，当且仅当A ，P ，M 三点共线且P 在A ，M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为x －3＋y66＝1，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(－2，26)，此时，△APF 的面积为12×6×66－12×6×26＝12 6.故填126.9．已知双曲线的两焦点坐标分别为F 1(0，－2)，F 2(0，2)，以及双曲线上一点P 的坐标为(3，－2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率．解：由题意知双曲线的焦点在y 轴上，可设为y 2a 2－x 2b2＝1，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝（3－0）2＋（－2－2）2－3＝2，即a ＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1，顶点坐标为(0，±1)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝ca＝2. 10．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)，求C 的离心率．解：易求得直线l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a2b 2－a 2，由M (1，3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，∴12×4a 2b 2－a2＝1，有b 2＝3a 2.∴c ＝a 2＋b 2＝2a . ∴C 的离心率e ＝c a＝2.11．(2015·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过点A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，得a 2＝b 2＝2. ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，则直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1， 即3b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2.②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，得(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝2，即双曲线的离心率为 2.直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.∵l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线习题理11 / 11 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q .依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°，∴tan30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是可设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2. 将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝92，x 1x 2＝36＋3k 28， ∴|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32答案 D解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32.故选D. 2．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 答案 A解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45B.35C.34D.15 答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞)答案 A解析 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)， 即x 1＝2x 2＋2，③ 且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝223.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A ．2B.2147C ．22D ．2 3答案 C解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba ＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b . 又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a . 整理，得b ＝2a .所以b a＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( ) A ．2B.3C ．23D ．3 答案 A解析 由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点， 所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |， 又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |， 因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形， 所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D ．2答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0) 答案 B解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为x 轴是∠APB 的角平分线， 所以AP ，BP 的斜率互为相反数， 所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0， 所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0， 结合根与系数之间的关系，整理得出 2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( )A ．4B ．23C ．2D ．3 答案 A解析 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2， 则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2， ∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2， 该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________． 答案 2 2解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2.14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________. 答案 4解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)， 即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点， 则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________． 答案 1解析 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1) ＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2， 由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析 依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )， 依题意得|PA |＝2|PB |， (x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53a 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，△PCD 的最小面积为12·2b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23， 解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1－14＝32. 三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程； (2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围． 解 (1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立， 即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ， 去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ， 根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ， 即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10， 解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点P (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．(1)解 由题意得2p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝x . (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3， 代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0.所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3. 所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1 ＝1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1＝1－t －3＋t ＋1＝－12，所以k 1·k 2是定值．。

第58练 直线的倾斜角和斜率[基础保分练]1．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是( ) A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．±432．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4B.14C ．－4D ．－14 3．已知直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －4)，则这条直线经过的定点的坐标、倾斜角分别是( )A ．(4，－3)，π3B ．(－4,3)，π3C ．(4,3)，π6D ．(4，－3)，π64．经过两点A (m,3)，B (1,2m )的直线的倾斜角为135°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－45．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 7．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π6D.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，3π4 9．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是________________．10．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．[能力提升练]1．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( )A.13B ．－13C ．1D ．－1 2．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]3．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a (ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是( )4．已知点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，则x ∈[2,5]时，y ＋1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53 D ．[2,4]5．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 6．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________________．答案精析基础保分练1．A 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D8．D 9.0≤α≤π4或π2<α<π 10.[0,1] 能力提升练1．B 2.D 3.D4．C [y ＋1x ＋1的几何意义是过M (x ，y )， N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，设该线段为AB ，且A (2,4)，B (5，－2)．因为k NA ＝53，k NB ＝－16， 所以－16≤y ＋1x ＋1≤53，故选C.] 5．[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 6.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ 解析 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧ x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点 A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3， 则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0， 即m 2≥16. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.。