下载文档原格式
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．（第18题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．D 1C 1 B 1MFED C BAA 1（第22题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。
南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学注意事：1．本卷共 4 ，包含填空（第 1 ~第 14 ）、解答（第 15 ~第 20 ）两部分．本卷分 160 分，考120 分．2．答前，势必自己的姓名、学校写在答卡上．的答案写在答卡．．．上目的答案空格内．考束后，交回答卡．参照公式：21222方差 s ＝ [( x1－ x ) ＋ (x2－ x )＋⋯＋ ( x n－ x )]，此中 xx1， x2，⋯， x n的均匀数．n柱体的体公式：V＝ Sh，此中 S 柱体的底面，h 柱体的高．体的体公式：V＝1Sh，此中 S 体的底面，h 体的高．3一、填空：本大共14 小，每小 5 分，共 70 分．把答案填写在答卡相地点上．．．．．．．．1．已知全集 U＝ {1 ， 2， 3，4} ，会合 A＝ {1 ， 4} ， B＝ {3 ， 4} ， ?U(A∪ B)＝▲．2．甲盒子中有号分 1， 2 的 2 个球，乙盒子中有号分3， 4， 5，6 的 4 个球．分从两个盒子中随机地各拿出 1 个球，拿出的球的号之和大于6的概率▲．Read x－－If x≥ 0Then3．若复数 z 足 z＋ 2 z＝ 3＋ 2i，此中 i 虚数位，zy← 2x＋1复数 z 的共复数，复数z 的模▲．Else4．行如所示的代，若出y 的1，y← 2－x2 End If入 x 的▲．Print y（第 4 题图）5．如是甲、乙两名球运在五比中所得分数的茎叶，在五比中得分定（方差小）的那名运的得分的方差▲．甲乙779089481035（第 5 题图）π16．在同向来角坐系中，函数y＝ sin(x＋3 ) （ x∈ [0，2π ]）的象和直y＝2的交点的个227．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2y＝ 1 的焦距为6，则全部知足条件的实数m 构2m－3m成的会合是▲．3 8．已知函数 f(x)是定义在R上且周期为4 的偶函数．当x∈ [ 2，4]时， f(x)＝| log4 (x－2) | ，1▲．则 f( )的值为29．若等比数列 { a n} 的各项均为正数，且a3－a1＝2，则 a5的最小值为▲．10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝ 1， BC＝ 2， BB 1＝3，∠ ABC＝90°，点 D 为侧A11棱 BB1上的动点．当AD ＋ DC1最小时，C三棱锥 D－ ABC1的体积为▲．B1DA CB（第 10 题图）11．若函数 f(x)＝ e x(－ x2＋2x＋ a)在区间 [a，a＋ 1]上单一递加，则实数 a 的最大值为▲．12．在凸四边形→→→→→→ABCD 中， BD＝ 2，且 AC· BD ＝ 0， ( AB ＋ DC )?(BC ＋ AD )＝ 5，则四边形ABCD 的面积为▲．13.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2＋ y2＝ 1，圆 M：(x＋ a＋ 3)2＋ (y－ 2a)2＝ 1(a 为实数 )．若圆 O 与圆 M 上分别存在点P， Q，使得∠ OQP ＝ 30 ，则 a 的取值范围为▲．14．已知 a， b，c 为正实数，且2＋3≤2，则3a＋8b的取值范围为▲．a＋ 2b≤ 8c，a b c c二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥A－ BCD 中， E， F 分别为棱BC， CD 上的点，且BD ∥平面 AEF ．（ 1）求证： EF ∥平面 ABD ；A（ 2）若 BD⊥ CD， AE ⊥平面 BCD ，求证：平面AEF ⊥平面 ACD．DFB EC16．（本小题满分 14 分）已知向量πa＝(2cosα，sin2α)， b＝(2sinα，t)，α∈(0，)．2（1）若a－b＝ (2， 0)，求 t 的值；5π（ 2）若 t＝ 1，且a ? b＝1，求 tan(2α＋4)的值．17．（本小题满分 14 分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台 BCDE 四个部分组成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB， AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍；矩形表演台 BCDE 中， CD＝ 10 米；三角形水域ABC 的面积为 400 3平方米．设∠ BAC＝θ．（1）求 BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3 万元，求表演台的最低造价．E D表演台CB水域看台Ⅱ看台ⅠA（第 17 题图）18．（本小题满分16 分）xOy 中，椭圆x2y2如图，在平面直角坐标系2＋2＝1(a＞b＞0)的右极点和上极点分别为A，B，a b→→ 3 2M 为线段 AB 的中点，且 OM · AB ＝－ b ．2（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）已知 a＝2，四边形 ABCD 内接于椭圆， AB∥ DC．记直线 AD ，BC 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1·k2为定值．yBCOMA xD（第 18 题图）19．（本小题满分16 分）已知常数p＞0，数列 { a n} 知足 a n＋1＝ |p－ a n|＋ 2 a n＋ p， n∈N*．（1）若a1＝－1，p＝1，①求 a4的值；②求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．（2）若数列 { a n} 中存在三项 a r， a s， a t (r ，s， t∈N*， r＜ s＜ t)挨次成等差数列，求ap1的取值范围．20．（本小题满分16 分）已知λ∈ R，函数 f (x)＝e x－ex－λ(xlnx－x＋1)的导函数为g(x)．（1）求曲线 y＝ f (x)在 x＝1 处的切线方程；（2）若函数 g (x) 存在极值，求λ的取值范围；（3）若 x≥ 1 时， f (x)≥ 0 恒成立，求λ的最大值．南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学附带题2017．05注意事项：1．附带题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务势必自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只好选做 2 题，每题10 分，合计卷20 分．请在答．．卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， AD 是△ ABC 的高， AE 是△ ABC 的外接圆的直径，点 B 和点 C 在直线 AE 的双侧．求证： AB· AC＝ AD· AE．ABD CEB．选修 4— 2：矩阵与变换已知矩阵2x－ 1，且 AX ＝1A＝2， X＝，此中 x，y∈R．y12（1）求 x， y 的值；（第 21(A) 图）1－ 1－ 1（2）若B＝，求 (AB)．02C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是2－ 8 cosθ＋ 15＝ 0，直线 l 的极坐标方程是πθ＝（∈ R）．若4P， Q 分别为曲线 C 与直线 l 上的动点，求PQ 的最小值．D．修 4— 5：不等式已知 x＞0，求： x3＋y2＋3≥ 3x＋ 2y．【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共20 分．在答卷卡指定地区内作答．解答．．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分10 分）在平面直角坐系xOy 中，直l： x＝－ 1，点 T(3，0) ．点 P 足 PS⊥ l ，垂足S，→→且OP· ST＝ 0．点 P 的迹曲 C．（1）求曲 C 的方程；（ 2） Q 是曲 C 上异于点P 的另一点，且直PQ 点 (1， 0)，段 PQ 的中点M，→→直 l 与 x 的交点N．求：向量 SM与 NQ共．23．（本小分10 分）已知数列 { a n} 共有 3n（ n∈N*）， f (n) ＝a1＋ a2＋⋯＋ a3n．随意的 k∈N*， 1≤ k≤3n，都有 a k∈ {0 ， 1} ，且于定的正整数p (p≥2)， f(n)是 p 的整数倍．把足上述条件的数列 { a n } 的个数 T n．（1）当 p＝2，求 T2的；（2）当 p＝31n＋ 2(－ 1)n ，求： T n＝ [8] ．3南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学参照答案及评分标准一、填空 （本大 共 14小 ，每小 5 分， 70 分 .）31． {2}2．83． 54．－ 15．6． 23 11－ 1＋ 57． { 2}8． 29． 810． 311．212． 313． [ －6， 0]14．[27 ， 30]5二、解答 （本大 共 6 小 ， 90 分．解答 写出必需的文字 明， 明 程或演算步 ）15．（本小 分 14 分）明：（ 1）因 BD ∥平面 AEF ，BD 平面 BCD ，平面 AEF ∩平面 BCD ＝ EF ，所以BD ∥ EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 BD 平面 ABD ， EF 平面 ABD ，所以 EF ∥平面 ABD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因 AE ⊥平面 BCD ，CD 平面 BCD ，所以 AE ⊥ CD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 BD ⊥ CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥ EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又 AE ∩EF ＝ E ，AE 平面 AEF ， EF平面 AEF ，所以 CD ⊥平面 AEF ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 CD 平面 ACD ，所以 平面 AEF ⊥平面 ACD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16．（本小 分14 分）解： （ 1）因 向量a ＝ (2cos α， sin 2 α)，b ＝(2sin α， t)，且 a － b ＝ (2， 0)，所以 cos α－ sin α＝1， t ＝ sin 2α．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分5 5 由 cos α－ sin α＝ 1 得 (cos α－ sin α)2＝ 1，525即 1－ 2sin αcos α＝ 251，进而 2sin αcos α＝2425．2 49 所以 (cos α＋ sin α) ＝ 1＋2sin αcos α＝ ．π7．因 α∈ (0， )，所以 cos α＋ sin α＝2 5 所以 sin α＝ (cos α＋ sin α)－ (cos α－ sin α)＝ 3，2 52 9进而 t ＝sin α＝ 25．（ 2）因 t ＝ 1，且 a ? b ＝ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分所以 4sin αcos α＋ sin 2α＝1，即 4sin αcos α＝cos 2α．π 1．因 α∈ (0， )，所以 cos α≠ 0，进而 tan α＝ 24所以 tan2α＝ 2tan α2 ＝ 8．1－ tan α 15π π8＋ 1tan2α＋ tan 415＝ 23． 进而 tan(2α＋ ) ＝＝4·π1－ 8 71－ tan2α tan 4 15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．（本小 分 14 分）解：（ 1）因 看台Ⅰ的面 是看台Ⅱ的面 的3 倍，所以 AB ＝ 3AC ．1 3，在△ ABC 中， S △ ABC ＝ AB?AC?sin θ＝ 40022800所以 AC ＝ sin θ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分由余弦定理可得 BC 2＝ AB 2＋AC 2－ 2AB?AC?cos θ，＝ 4AC 2－ 2 3AC 2 cos θ．＝ (4 －2 3cos θ)800， sin θ即 BC ＝ (4 －23cos θ)?8002－ 3cos θsin θ ．sin θ ＝ 40所以 BC ＝ 402－ 3cos θ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分sin θ， θ∈ (0， π)．（ 2） 表演台的 造价 W 万元．因 CD ＝ 10m ，表演台每平方米的造价 0.3 万元，所以 W ＝ 3BC ＝ 1202－ 3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分sin θ2－ 3cos θf(θ)＝ ， θ∈ (0， π)．sin θf ′(θ)＝3－ 2cos θ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分sin 2θ．π由 f ′(θ)＝ 0，解得 θ＝ 6．π π．当 θ∈ (0， ) ， f ′(θ)＜ 0；当 θ∈ ( ， π) ， f ′(θ)＞0 6 6π π故 f(θ)在 (0，)上 减，在 ( ， π)上 增，6 6进而当 θ＝ π， f(θ)获得最小 ，最小π 6 f( )＝1．6所以 W min ＝ 120(万元 )．答：表演台的最低造价120 万元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．（本小 分16 分）解：（ 1）A(a ， 0)， B(0 ，b)，由 M 段 AB 的中点得 M(a ，b)．2 2→a b → ＝ (－ a ，b)．所以 OM ＝( ， )， AB2 2→ → 3 2 a b 2 2 3，所以 )·(－ a ， b)＝－a ＋ b＝－ 2 ， 因 OM · AB ＝－ 2 b ( ， 222b2 2 整理得 a 2＝ 4b 2，即 a ＝ 2b ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 a 2＝ b 2＋ c 2，所以 3a 2＝ 4c 2，即 3a ＝ 2c ．所以 的离心率e ＝ c＝3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分a22（ 2）方法一： 由 a ＝ 2 得 b ＝1，故 方程 x＋ y 2＝ 1． 4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率 － 17 分2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 因 AB ∥ DC ，故可 DC 的方程 y ＝－1x ＋ m ． D(x 1，y 1)， C(x 2 ， y 2)．21立y ＝－ 2x ＋ m ，消去 y ，得 x 2－ 2mx ＋ 2m 2－ 2＝ 0， x 2 24 ＋y ＝1，所以 x 1＋ x 2＝ 2m ，进而 x 1＝ 2m － x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1x 1＋ m1y 1－y 2－ 1－ x 2＋ m － 1AD 的斜率 k 1＝ 2BC 的斜率 k 2＝ 2直x 1－ 2＝x 1－ 2，直x 2 ＝x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分1 1－ x 1＋ m － x 2＋ m － 1 所以 k 1 ·k 2＝ 2 · 2x 1－ 2x 21 x 1x2 － 1 1＝4 (m － 1)x 1－ mx 2＋m(m － 1) 2 2(x 1－ 2)x 21 x 1x 21 1 ＋m(m － 1)＝4 － m(x 1 ＋x 2 )＋ x 12 2x 1x 2－ 2x 2111＝ 4x 1x 2 － 2m ·2m ＋ 2(2m － x 2)＋ m( m － 1)x 1x 2－ 2x 21 1＝4x 1x 2 － 2x 2＝1，－ 2x 2 4x 1x 2即 k 1·k 2 定 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分42方法二： 由 a ＝ 2 得 b ＝ 1，故 方程 x＋ y 2＝ 1． 41进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率 － 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 022C(x 0， y 0)，＋y 0 ＝ 1．4因 AB ∥ CD ，故 CD 的方程 y ＝－1(x － x 0)＋ y 0．2y ＝－1(x － x 0)＋ y 0，2立2－ (x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝ 0，2消去 y ，得 xx ＋ y 2＝ 1，4解得 x ＝ x 0（舍去）或 x ＝ 2y 0．所以点 D 的坐 (2y 0，1x 0)．21x 0－ 1所以 k 1 ·k 2＝ 2 ·y 0 1，即 k 1· k 2 定1． x 0 ＝2y 0－ 2 4 419．（本小 分16 分）解：（ 1）因 p ＝1，所以 a n ＋ 1＝ |1－ a n |＋ 2 a n ＋1．① 因a 1＝－ 1，所以a 2＝|1－ a 1|＋ 2 a 1＋ 1＝ 1，a 3＝|1－ a 2|＋ 2 a 2＋ 1＝3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分a 4＝|1－ a 3|＋ 2 a 3＋ 1＝9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分② 因 a 2＝ 1， a n ＋1＝ |1－ a n |＋ 2 a n ＋1，所以当 n ≥ 2 ， a n ≥ 1，进而 a n ＋ 1＝ |1－a n |＋2 a n ＋ 1＝ a n － 1＋2 a n ＋ 1＝ 3a n ，于是有 n －2(n ≥2) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分a n ＝ 3当 n ＝ 1 ， S 1 ＝－ 1；当 n ≥ 2 ， S n ＝－ 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a n ＝－ 1＋1－ 3n－1＝3n －1－ 3．1－321， n ＝ 1，n －1所以 S n＝3－ 3， n ≥ 2， n ∈ N *，2n －13－ 3*即 S n ＝，n ∈ N ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（ 2）因 a n ＋ 1－ a n ＝|p － a n |＋ a n ＋ p ≥ p －a n ＋ a n ＋ p ＝ 2 p ＞ 0，所以 a n ＋1 ＞a n ，即 { a n } 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a 1（ i ）当 p ≥ 1 ，有 a 1≥ p ，于是 a n ≥ a 1≥ p ，所以 a n ＋ 1＝ |p －a n |＋2 a n ＋ p ＝ a n －p ＋2 a n ＋ p ＝ 3a n ，所以 a n ＝ 3n －1 a 1．若 { a n } 中存在三 a r ，a s ， a t (r ， s ， t ∈ N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列， 有2 a s ＝ a r ＋ a t ，即 2× 3s － 1 ＝3r － 1＋ 3t －1． （ * ）因 s ≤ t －1，所以 2× 3s － 1＝2× 3s ＜ 3t － 1＜ 3r －1＋ 3t －1，3即（ * ）不可立．故此 数列 { a n } 中不存在三 挨次成等差数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ ii ）当－ 1＜a 1＜ 1 ，有－ p ＜ a 1＜ p ． p此 a 2＝|p － a 1|＋ 2 a 1＋ p ＝ p －a 1＋ 2 a 1＋ p ＝ a 1＋ 2 p ＞ p ，于是当 n ≥ 2 ， a n ≥ a 2＞ p ，进而 a n ＋ 1＝ |p －a n |＋2 a n ＋ p ＝ a n －p ＋2 a n ＋ p ＝ 3a n ．所以 a n ＝3n － 2a 2＝ 3n －2( a 1 ＋2p) (n ≥ 2)．若 { a n } 中存在三 a r ，a s ， a t (r ， s ， t ∈ N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，同（ i ）可知， r ＝ 1，s －2(a 1＋2 p)＝ a 1＋ 3 t －2于是有 2× 3(a 1＋ 2p)．因 2≤ s ≤ t － 1，所以a1＝ 2×3s－2－ 3t－2＝2× 3s－1× 3t－1＜ 0．a1＋ 2 p93s －2t－2a1因2× 3－ 3是整数，所以a1＋2 p≤－1，于是 a1≤－ a1－ 2p，即 a1≤－ p，与－ p＜a1＜p 相矛盾．故此数列 { a n} 中不存在三挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分a1（ iii ）当p≤－ 1 ，有a1≤－ p＜ p， a1＋ p≤0，于是 a2＝| p－ a1|＋ 2a1＋ p＝ p－ a1＋ 2 a1＋ p＝ a1＋ 2p，a3＝|p－ a2|＋ 2a2＋ p＝ |p＋ a1|＋ 2a1＋ 5p＝－ p－ a1＋ 2a1＋ 5p＝ a1＋ 4p，此有 a1， a2， a3成等差数列．上可知：a1≤－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分p20．（本小分16 分）解：（ 1）因 f′(x)＝ e x－e－λlnx，所以曲y＝ f (x)在 x＝ 1 的切的斜率f′(1)＝ 0，又切点 (1， f(1)) ，即 (1， 0)，所以切方程y＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分λ（ 2）g (x)＝ e x－ e－λlnx， g′(x)＝ e x－．x当λ≤ 0 ， g′(x)＞ 0 恒成立，进而g (x)在 (0，＋∞ )上增，故此 g (x)无极．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分xλxλ当λ＞ 0 ， h(x)＝ e－， h′(x)＝ e＋ 2＞ 0 恒成立，x x所以 h(x)在 (0，＋∞ )上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分①当 0＜λ＜e ，λλh(1) ＝ e－λ＞ 0， h( e)＝ e e－ e＜ 0，且 h( x)是 (0，＋∞ )上的函数，λ所以存在独一的x0∈ (e， 1)，使得 h(x0)＝ 0．②当λ≥ e ，λh(1) ＝ e－λ≤ 0，h( λ)＝ e － 1＞ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，所以存在独一的x0∈ [1，λ)，使得 h(x0) ＝0．故当λ＞ 0 ，存在独一的x0＞ 0，使得 h(x0)＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分且当 0＜ x＜ x0， h(x)＜ 0，即 g′(x)＜ 0，当 x＞ x0， h(x)＞ 0，即 g′(x)＞ 0，所以 g (x)在(0 ，x0)上减，在(x0，＋∞ )上增，所以 g (x)在 x＝ x0有极小．所以当函数 g (x)存在极，λ的取范是 (0，＋∞ )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x xλ（ 3） g (x)＝ f′(x)＝ e － e－λlnx， g′(x)＝ e－．x若 g′(x)≥ 0 恒成立，有λ≤ xe x恒成立．φ(x)＝ xe x(x≥ 1)，φ′(x)＝ (x＋1) e x＞ 0 恒成立，所以φ(x)增，进而φ(x)≥ φ(1)＝ e，即λ≤ e．于是当λ≤e ， g (x)在 [1，＋∞ )上增，此 g (x)≥g (1) ＝0，即 f′(x)≥ 0，进而 f (x)在[1，＋∞ )上增．所以 f (x)≥ f (1) ＝0 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分当λ＞ e ，由（ 2）知，存在 x0∈ (1，λ)，使得 g (x) 在(0 ，x0 )上减，即 f′(x)在 (0， x0)上减．所以当 1＜ x＜ x0， f′(x)＜ f′(1)＝ 0，于是 f (x)在 [1， x0)上减，所以 f (x0)＜ f (1)＝ 0．与 x≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒成立矛盾．所以λ≤ e，即λ的最大 e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学附带参照答案及评分标准21．【 做 】在 A 、B 、C 、D 四小 中只好 做 2 ，每小 10 分，共 20 分． 在答卷卡指定地区内作答．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．A ． 修 4— 1：几何 明明：BE ．因 AD 是 BC 上的高， AE 是△ ABC 的外接 的直径，所以∠ ABE ＝∠ ADC ＝ 90°．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∠ AEB ＝∠ ACD ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以△ ABE ∽△ ADC ， ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分所以ABAEAD ＝AC ．即 AB ·AC ＝AD · AE ． ⋯⋯⋯⋯⋯10 分B ． 修 4— 2：矩 与解：（ 1）AX ＝2x － 1 x － 2 ．y 21＝2－ y因 AX ＝ 1，所以x －2＝1，解得 x ＝ 3， y ＝0．22－y ＝2，2 3 1 － 1（ 2）由（ 1）知 A ＝ 2，又 B ＝ ，0 0 2所以 AB ＝ 2 3 1 － 1 ＝ 2 4 ．0 2 0 2 0 4(AB) － 1a b 2 4 a b 1 0 ＝ ， 0 4 c d ＝ ，c d 0 1 2a ＋4c 2b ＋ 4d 1 0 即 4d ＝ 0 1 ．4c2a ＋ 4c ＝ 1，4c ＝ 0，111所以2b ＋ 4d ＝ 0， 解得 a ＝ 2， b ＝－2， c ＝ 0， d ＝ 4，4d ＝ 1，1 12 －2 即 (AB)－ 1＝．14ABDCE（第 21(A) 图）⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ⋯⋯⋯⋯⋯4 分⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分⋯⋯⋯⋯⋯10 分（ 明： 逆矩 也能够直接使用公式求解，但要求呈 公式的 构）C．修 4— 4：坐系与参数方程解：因为2＝ x2＋ y2， cosθ＝ x，所以曲 C 的直角坐方程x2＋ y2－ 8x＋ 15＝ 0，即 ( x－ 4)2+y2＝ 1，所以曲 C 是以 (4， 0)心， 1 半径的．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分直 l 的直角坐方程 y＝ x ，即 x－ y＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因心| 4－ 0|＝ 22＞ 1．⋯⋯⋯⋯⋯8 分(4， 0) 到直 l 的距离 d＝2所以直 l与相离，进而 PQ 的最小 d－ 1＝ 22－1．⋯⋯⋯⋯⋯10 分D．修 4— 5：不等式3333× 1× 1＝ 3x，明：因 x＞ 0，所以 x ＋ 2 ＝ x ＋1＋ 1 ≥ 3x当且当 x3＝ 1，即 x＝ 1 取“＝”．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 y2＋ 1－ 2y＝ (y－ 1)2≥ 0，所以 y2＋ 1≥2y，当且当 y＝ 1 取“＝”．⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以 ( x3＋2) ＋(y2＋ 1)≥ 3x＋2y，即 x3＋ y2＋ 3≥ 3x＋ 2y，当且当 x＝ y＝ 1 ，取“＝”．⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共20 分．在答卷卡指定地区内作答．解答．．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分10 分）解：（ 1） P(x， y)曲 C 上随意一点．因 PS⊥ l，垂足S，又直l： x＝－ 1，所以 S( －1， y)．→→因 T(3， 0)，所以 OP＝ (x， y)， ST＝ (4，－ y)．→→22因 OP· ST＝ 0，所以 4x－ y ＝ 0，即 y ＝ 4x．所以曲 C 的方程y2＝ 4x．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）因直PQ 点 (1， 0)，故直PQ 的方程x＝my＋ 1．P(x1， y1)，Q(x2， y2)．立y2＝ 4x，2―4my―4＝ 0．x＝ my＋ 1，消去 x，得 y所以 y1＋ y2＝4m， y1 y2＝― 4．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因 M 段PQ 的中点，所以M 的坐 (x1＋ x2y1＋y2)，即 M (2m2＋ 1， 2m)．，22又因 S(－ 1， y1)， N( －1， 0)，→→⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以 SM＝ (2m2＋ 2，2m－y1)， NQ＝ ( x2＋ 1， y2) ＝ (my2＋ 2， y2)．因 (2m2＋ 2) y2－ (2m－ y1)( my2＋2)＝ (2m2＋ 2) y2－ 2m2y2＋ my1y2－ 4m＋ 2y1＝2(y1＋ y2 )＋my1y2－ 4m＝ 8m－ 4m－ 4m＝ 0．→→⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分所以向量 SM与 NQ共．23．（本小分10 分）解：（ 1）由意，当 n＝ 2 ，数列 { a n} 共有 6．要使得 f(2) 是 2 的整数倍， 6 中，只好有0 、 2 、 4 、 6取 1，故 T2＝C60＋ C62＋ C64＋ C66＝ 25＝ 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）T n＝ C3n0＋ C3n3＋ C3n6＋⋯＋ C3n3n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分当 1≤ k≤ n， k∈N*，3k3k3k－ 13k－ 13k3k－ 13k － 23k－ 13k3k－ 2 C3n＋3＝ C3n＋2＋ C3n＋2＝C3n＋1＋ C3n＋1＋ C3 n＋1＋ C3n＋1＝2C3n＋1＋ C3n＋1＋ C3n＋13k－ 13k － 23k－ 13k3k－ 3＋ C 3k －2＝ 2 (C 3n＋ C 3n )＋C 3n＋C3n＋ C 3n3n3k－ 13k － 23k3k －3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分＝ 3 (C 3n＋ C 3n )＋C3n＋ C 3n于是0363n＋ 3T n＋1＝ C3n＋3＋ C3n＋3＋ C3 n＋3＋⋯＋ C3n＋303n＋ 312453n－ 23n －103n ＝ C3n＋3＋ C3n＋3＋ 3(C3n＋ C3n＋ C3n＋ C3n＋⋯＋ C 3n＋C 3n)＋ T n－ C3n＋ T n－ C3n ＝2 T n＋ 3(23n－ T n)＝3× 8n－ T n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分下边用数学法明T n＝1[8n＋ 2(－ 1)n] ．3当 n＝ 1 ， T1＝C03＋ C33＝ 2＝13[81＋ 2(－ 1)1]，即 n＝1 ，命成立．假 n＝ k (k≥ 1，k∈N*) ，命成立，即1k k T k＝ [8＋ 2(－ 1) ] ．3当 n＝ k＋ 1 ，T k＋1＝ 3×k k 1[8k＋2(－ 1)k1k k－ 2(－ 1)k1k＋1＋ 2(－1)k＋1]，8 － T k＝3× 8－] ＝ [9× 8－8] ＝ [8333即 n＝ k＋ 1 ，命也成立．*，有1n＋2( －1)n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分于是当 n∈N T n＝[8] ．3南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学全卷分析注意事：1．本卷共 4 ，包含填空（第 1 ~第 14 ）、解答（第 15 ~第 20 ）两部分．本卷分160 分，考120 分．．．．2．答前，势必自己的姓名、学校写在答卡上．的答案写在答卡上目的答案空格内．考束后，交回答卡．参照公式：21222方差 s＝ [( x1－ x) ＋ (x2－ x ) ＋⋯＋ ( x n－ x ) ]，此中 xx1， x2，⋯， x n的均匀数．n柱体的体公式：V＝ Sh，此中 S 柱体的底面，h 柱体的高．体的体公式：V＝1Sh，此中 S 体的底面，h 体的高．3．．．．．．．一、填空：本大共14 小，每小 5 分，共 70分．把答案填写在答卡相地点上．1．已知全集 U＝ {1 ， 2， 3，4} ，会合 A＝ {1 ， 4} ， B＝ {3 ， 4} ， ?U(A∪ B)＝▲．【考点】会合的运算【分析】本观察会合的基本运算【答案】22．甲盒子中有号分1， 2 的 2 个球，乙盒子中有号分3， 4， 5，6 的 4 个球．分从两个盒子中随机地各拿出 1 个球，拿出的球的号之和大于6的概率▲．【考点】概率【分析】本观察的是概率，属于基3【答案】－ －3．若复数 z 知足 z ＋ 2 z ＝ 3＋ 2i ，此中 i 为虚数单位， z 为复数 z 的共轭复数，则复数z 的模为▲．【考点】复数的模长【分析】解得 z 1 2i ，此题观察基础的复数的模的计算【答案】 5Read xIf x ≥ 0Theny ← 2x ＋1Else24．履行如下图的伪代码，若输出y 的值为1，－xy ← 2则输入 x 的值为▲．End IfPrinty【考点】流程图（第 4 题图）【分析】 此题观察了 if 判断型的伪代码， 分状况议论， 求出 x 21 ，要考虑 x0 的条件。
绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试考试范围：函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、空间向量与立体几何、概率与二项式定理；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-10题等，第11-14题注重知识交汇性的考查，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查分类讨论思想，难度较大．本卷二轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查运算，第23题理解与运用都较难. 一、填空题 1．函数f (x )＝1ln1x-的定义域为_______． 2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． 6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若 a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为_________． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移3π个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ，则线段PF 的长为________． 9．若sin(α－6π)＝35，α∈(0， 2π)，则cos α的值为________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，nα，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______. 12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为_______．13．已知平面向量AC ＝(1，2)， BD ＝(－2，2)，则·AB CD 的最小值为________． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________． 二、解答题15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝，求△ADC 的面积．16．如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB；17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：22218x yb+=经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C 于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求2·AT BTMN的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若25AP TB=，求直线l的斜率k．19．已知函数f (x)＝e x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；②若函数()()(),{,f x x mF xg x x m≤=>的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足(n＋1) b n＝a n＋1nSn-，(n＋2)c n＝122n n na a Sn+++-，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 301b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： 31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，与曲线C ：244x k y k⎧=⎨=⎩ (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．22．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上， 11A MA Dλ= ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．现有()12n n +（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜..＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞()211!n C n ++．。
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部份．本试卷总分值为160分，考试时刻为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，那么∁U (A ∪B )＝▲ ．2．甲盒子中有编号别离为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号别离为3，4，5，6的4个乒乓球．现别离从两个盒子中随机地各掏出1个乒乓球，那么掏出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．3．假设复数z 知足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为 复数z 的共轭复数，那么复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如下图的伪代码，假设输出y 的值为1， 那么输入x 的值为 ▲ ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中所得分数的茎叶图，则在这五场竞赛中得分较为稳固（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．7 7 9 0 8 9 48 1 0 3 5 甲 乙 （第5题图）（第4题图）6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，那么所有知足条件的实数m组成的集合是 ▲ ．8．已知函数f (x )是概念在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，那么a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时， 三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．假设函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，那么实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，那么四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．假设圆O 与圆M 上别离存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，那么3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 15．（本小题总分值14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 别离为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）假设BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．ACB A 1B 1C 1D（第10题图） ABCFED16．（本小题总分值14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）假设a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题总分值14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形演出台BCDE 四个部份组成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是别离以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形演出台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）假设演出台每平方米的造价为万元，求演出台的最低造价．（第17题图）18．（本小题总分值16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右极点和上极点别离为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率别离为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题总分值16分）已知常数p ＞0，数列{a n }知足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *． （1）假设a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题总分值16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）假设函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）假设x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第（第18题图）三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5． 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤）15．（本小题总分值14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，因此 BD ∥EF ． …………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，因此 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，因此 AE ⊥CD ． …………………… 8分 因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，因此 CD ⊥EF ， …………………… 10分 又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，因此 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分 又 CD ⊂平面ACD ，因此 平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题总分值14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，因此cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．因此(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，因此cos α＋sin α＝75． …………………… 5分因此sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，因此4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，因此cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分因此tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题总分值14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，因此AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，因此AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ． ＝(4－23cos θ)800sin θ， 即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．因此 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设演出台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，演出台每平方米的造价为万元， 因此W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．因此W min ＝120(万元)．答：演出台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题总分值16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．因此OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，因此(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分 因为a 2＝b 2＋c 2，因此3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．因此椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方式一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，因此x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分因此k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方式二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，那么x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．因此点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分因此k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题总分值16分）解：（1）因为p ＝1，因此a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，因此a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1， 因此当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分 当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．因此 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *， 即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，因此a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分 （i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，因此a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，因此a n ＝3n －1a 1．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，那么有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，因此2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故现在数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分 （ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．现在a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ， 于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ． 因此a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列， 同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，因此a 1 a 1＋2 p ＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，因此a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故现在数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分 （iii ）当a 1p ≤－1时，那么有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ， 现在有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题总分值16分） 解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，因此曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0， 又切点为(1，f (1))，即(1，0)，因此切线方程为y ＝0． ………………………… 2分 （2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故现在g (x )无极值． ………………………… 4分 当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，那么h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，因此h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的持续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的持续函数， 因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分 且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 因此g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．因此当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分 （3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，那么有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，那么φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立， 因此φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ． 于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，现在g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．因此f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分 当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减， 即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减． 因此当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，因此f (x 0)＜f (1)＝0． 这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径， 因此∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分 因此△ABE ∽△ADC ， …………… 8分 因此AB AD ＝ AE AC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，因此⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ，因此AB ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，那么 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 因此 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1， 解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（第21(A)图）（说明：逆矩阵也能够直接利用公式求解，但要求呈现公式的结构） C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由于ρ2 ＝ x 2＋y 2，ρcos θ ＝ x ，因此曲线C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－8x ＋15＝0，即 (x －4)2+y 2＝1，因此曲线C 是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分 直线l 的直角坐标方程为 y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分 因为圆心 (4，0) 到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分因此直线l 与圆相离，从而PQ 的最小值为d －1＝22－1． …………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，因此x 3＋2 ＝ x 3＋1＋1 ≥ 33x 3×1×1 ＝ 3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分 因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，因此y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分 因此 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22．（本小题总分值10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，因此S (－1，y )． 因为T (3，0)，因此OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，因此4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．因此曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分 （2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．因此y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分 因为M 为线段PQ 的中点，因此M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，因此SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分 因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．因此向量SM →与NQ →共线． …………… 10分 23．（本小题总分值10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，那么这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ……………………… 3分 （2）T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ……………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1 ＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ……………………… 6分 于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2 T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ……………………… 8分 下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]．那么当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ……………………… 10分。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MN CA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0． 即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)， A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．B (第22题图)（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；（第16题图）PDCBA在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l（第18题图）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．0321．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．（第21(A)图）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． ……………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， ………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。
江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数11f x lnx=-()的定义域为________． 2．若复数z 满足1i 2i z =(-)（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z =________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为__________．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为_________．5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为__________．6．记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，4250S S -=，则5S 的值为__________．7．将函数sin f x x =（）的图象向右平移π3个单位后得到函数y g x =()的图象，则函数y f x g x =+()()的最大值为_________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线AF 的斜率k =PF 的长为_________．9．若π3sin()65α-=，π(0,)2α∈，则cos α的值为_________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是____________（填上所有正确命题的序号）．①若//αβ，m α⊂，则//m β；②若//m α，n α⊂，则//m n ；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线120l kx y -+=：与直线220l x ky +-=：相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为__________．12．若函数22cos 38f x x m x m m =++()--有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为___________． 13．已知平面向量(1,2)AC =，(2,2)BD =-，则AB CD 的最小值为__________．14．已知函数ln f x x e a x b =+-()()-，其中e 为自然对数的底数．若不等式0f x ≤()恒成立，则b a 的最小值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在ABC △中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（1）若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小；（2）若π4ABC ∠=，求ADC △的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，AP AB ⊥．（1）求证：CD AP ⊥；（2）若CD PD ⊥，求证：//CD 平面PAB ．17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a b ≥．（1）当90a =时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点2b e (,)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点10T (，)作斜率为0k k (＞)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（A 在x 轴下方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求2AT BT MN+的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若25AP TB =，求直线l 的斜率k ．19．已知函数1xf x e ax =()﹣﹣，其中e 为自然对数的底数，a R ∈． （1）若a e =，函数2g x e x =()(﹣)． ①求函数h x f x g x =()()-()的单调区间；②若函数(),x m ()(),f x F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若存在实数1x ，2]2[0x ∈，，使得12f x f x =()()，且121x x ≥-，求证：21e a e e ≤≤﹣﹣．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b ，{}n c 满足11n n n S n b a n++=()﹣，1222n n n a a n c ++++=() n S n-，其中n N *∈． （1）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求数列{}n c 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n N *∈，有n n b c λ≤≤，求证：数列{}n a 是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，ABC △的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ．（1）若BC 是圆O 的切线，且8AB =，4BC =，求线段AM 的长度；（2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且2AB AC =，求证：2BN MN =．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a ，b R ∈．若直线70l ax y +=:-在矩阵0 3 1A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为9910l x y '+=：﹣．求实数a ，b 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy 中，直线315:(t )45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，与曲线24:()4x k C k y k ⎧=⎨=⎩为参数交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a b ≠，求证：42242264a a b b ab a b +++＞（）[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，π3ABC ∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．26．现有*(221)n n N n n ≥+∈(，)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数，其中1k n ≤≤，k N *∈．记12n M M M ＜＜＜的概率为n p ． （1）求2p 的值；（2）证明：21(n 1)!n n C p ++＞．。
