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Helmholtz方程外边值问题的自然边界元法
李瑞遐
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】1997(000)003
【摘要】本文利用Ｆｏｕｒｉｅｒ展开获得了圆外区域上Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程边值问题的Ｐｏｉｓｏｎ积分公式和积分方程，并用Ｇａｌｅｒｋｉｎ法求积分方程的解，导出了刚度矩阵元素的计算公式，讨论了数值技术，给出了变分解的唯一性定理和近似解的误差估计．
【总页数】1页(P369)
【作者】李瑞遐
【作者单位】华东理工大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.二维Helmholtz方程的边界元法 [J], 于善玲;张耀明
2.圆外区域Stokes流混合边值问题的自然边界元法 [J], 彭维红;董正筑;曹国华
3.三维Helmholtz方程外边值问题的虚边界元法 [J], 马健军;祝家麟;贾丽君
4.椭圆外无穷扇形区域边值问题的自然边界元法 [J], 陈亚军;杜其奎
5.三维Helmholtz方程外问题的自然积分方程及其数值解 [J], 邬吉明;余德浩因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
二维helmholtz方程的边界点解法
边界点解法可以用来解决二维Helmholtz方程。
它的工作原理是，首先，在Helmholtz方程定义的边界上，确定方程的边界条件。
比如，如果边界是一个矩形，我们可以确定四个角点的边界条件。
然后，使用有限差分或有限元方法来解决Helmholtz方程，并使用边界条件来约束解。
有时，还可以使用积分方法来解决这个问题，但效率通常不高。
边界点解法可以用来解决复杂的物理系统，比如电磁场、声学场和热力学场。
它的优势在于可以解决复杂的边界条件，比如不规则形状或多孔介质。
另外，它还可以用来计算多种物质场的耦合，比如电磁场和热力学场。
边界点解法主要有两个缺点：一是它的计算效率较低，二是它的精度不高。
在复杂的物理系统中，边界点解法的精度往往不够高，所以在实际应用中，往往需要结合其他方法，比如有限元法或谱方法，来提高解的精度。
总的来说，边界点解法是一种用来解决二维Helmholtz方程的有效方法，它可以解决复杂的边界条件，但是它的计算效率和精度都不高，因此，在实际应用中，还需要结合其他方法来提高解的精度。
【边界元法】声学有限元法与声学边界元法边界元法话题：边界元法休闲阅读计算方法边界1. 声学有限元法有限元法(FEM)是根据变分原理来求解数学物理问题的一种数值计算方法，其基础是结构离散和分片插值，对于分析复杂形状腔体内的声场特性有着显著的优点，可以真实地模拟声场的低频波动特征，也适用于声-结构界面阻抗非均匀分布的情况，但数据准备工作量大。
用声学有限元法求解Helmholtz 方程，首先需要把计算的声场V 离散成一定数量的小声场eV ，每个小声场称为单元(Element)，单元之间通过一定数量的节点(Node)相互连接。
定义好单元内任意点的声压与节点声压的关系(这种关系称为形函数(ShapeFunction)或者权重函数(Weighted Function))，则每个单元内的声场由属于这个单元的节点上的声压确定。
关于如何运用有限元法来求解Helmholtz 方程的具体理论过程详见文献。
2.声学边界元法边界元法(BEM)是在有限元的离散技术基础上，通过转化Helmholtz 方程边值问题为边界积分方程发展而来的。
边界元法克服了有限元法中的某些缺点，有限元法是在整个求解域上进行离散，而边界元法只在求解域的边界上进行离散；有限元法是全域数值方法，而边界元法在域内采用了物理问题或弹性力学的基本解和一些积分运算，数值计算只在边界上进行，它属于半解析半数值方法。
同其他方法相比，边界元法的优越性在于：在区域内部不需要求未知量，从而大大减少了划分单元模型的工作量和求解方程的个数，减少了数据量和计算时间；适合求解带无穷边界条件的开放域问题。
因此边界元法在结构振动辐射声场计算中具有使分析问题降维、适用于复杂结构以及无限域问题等优点，可用来计算已知表面振速结构的声辐射，也可与有限元法相结合解决较复杂的三维流体结构耦合的声辐射问题。
边界元法基本思想是将微分方程转化为在边界上定义的边界积分方程，并将边界离散化，使积分方程成为只含有边界节点未知量的代数方程组，通过求解获得边界节点的参数，并进一步求得分析域内部的参数。
二维Helmholtz方程边值问题的虚边界元解法陈一鸣;王栋;耿万海;李裕莲【摘要】针对二维Helmholtz方程边值问题,采用单层位势方式,利用分布在虚边界上的场源函数,建立了二维Helmholtz方程边值问题的虚边界元计算公式.该方法避免了传统边界元算法中奇异积分的计算,具有边界附近精度高的优点.数值算例证明了此方法的可行性和有效性.%Based on the single layer potential, the virtual boundary calculation formula of 2D Helmholtz equation boundary value problem is given with the help of the field source function on the virtual boundary. The method can avoid the singular integral, and it can reach a high accuracy near the boundary. Numerical example demonstrate the feasibility and efficiency of this method.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(047)004【总页数】4页(P21-24)【关键词】二维Helmholtz方程边值问题;单层位势;虚边界元;均源函数【作者】陈一鸣;王栋;耿万海;李裕莲【作者单位】燕山大学理学院,河北秦皇岛066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】O241.82Helmholtz方程在工程技术、电磁场理论、散射理论、力学等许多领域有广泛的应用背景,对热传导扩散方程的时间导数项离散后得到Helmholtz方程,研究其数值解不仅有实际意义,也有理论价值[1].在对Helmholtz方程的边界元法研究中,多直接采用其基本解进行讨论[2-3].边界元法作为一种重要的数值方法在许多领域得到了广泛的应用[4],然而边界元法存在边界点和近边界点奇异积分的麻烦,其准确性很大程度上依赖于奇异积分的计算精度.虚边界元方法是通过在真实边界之外存在的虚拟分布的源对场点的影响叠加产生一个位势积分,利用实边界条件在虚边界上建立边界积分方程.本研究利用虚拟边界上的虚拟密度,得出基于单层位势的虚边界积分方程,求解了二维Helmholtz方程边值问题.由于积分点和场点分别位于虚边界和实边界上,不存在奇异性,所以可直接用数值方法进行求解,计算比较简单.对于有界域Ω或无界域Ω′=R2\¯Ω,边界为Γ的Helmholtz方程的边界问题,其控制方程为方程在外域Ω′上的解需满足Sommerfield条件:第一类边界条件为第二类边界条件为混合边界条件为其中ny表示单位法向由Ω指向Ω′;Γ1,Γ2分别为已知u(y)和的边界.二维Helmholtz方程的基本解为式中为零阶Hankel第一类函数,即这里J,Y分别为第一类和第二类Bessel函数,下脚标表示阶数.将以Γ为边界的有界域Ω上定义的内边值问题和无界域Ω′上定义的外边值问题作为一个整体来考察,把内、外边值问题的解彼此视为按某种方式进行的解析延拓,则可在对方区域内设置虚边界Γ′.假定在虚边界上分布有源函数,它们将在以Γ′为边界的有界及无界域内部产生位势,原边界Γ所界定的区域Ω或Ω′即位于这样的区域内部.将定义在原区域内的位势保持连续的方式穿越Γ延拓至虚边界Γ′,把虚边界上分布的场源函数σ′作为中间变量,通过给定在Γ上的边界量来确定虚拟边界Γ′上的场源函数,可以得到基于单层位势的虚边界积分方程式中,这里为第一类零阶Hankel函数,为第一类一阶Hankel函数.由于二维Helmholtz 方程的基本解为特殊函数,不能直接代入进行计算,为此我们把特殊函数展成级数的形式,选用有限项作为特殊函数Hankel函数的近似.当r很小的时候,我们取它的级数形式[5]为:当r很大时,取Hankel函数的渐进展式为:n分别取0,1代入计算可得:计算系数矩阵时需要灵活选用Hankel函数的这两种级数展开,当|x-y|很小时,选用第一种级数展开;当|x-y|很大时,采用第二种级数展开.为简单起见,采用常单元离散求解.将虚边界划分为N个边界单元,那么σ′(xj)在每一个单元上可视为常值可作为一组系数提到积分号外面加以求解.相应地将实边界Γ也划为N个单元,并取中点yi∈Γ(i=1,2,…,N)为配置点,利用这些配置点上的边界条件,带入到(9),(10)式中可以得到离散线性方程组:其中,N1为已知Dirichlet边界条件的点,其余为已知Neumann边界条件的点.根据上述分析,以混合边值为例,可以构造出待求解的线性代数方程组其中,相应地,方程右端项为:求解方程组(22)可得到虚拟密度σ′,将其带入(9)式就可以得到区域内任意一点的位势值.当然,此方法的求解精度在很大程度上受虚实边界之间距离的影响,为此引入参数λ为虚实边界长度的比值[6-7],在二维情况下对内问题的比值在1.3～7.0选取,对外问题一般是0.6～0.8[6-7].算例1 考虑正方形区域中如下边值问题:将距离正方形区域的边界为2的一边界作为虚边界,即λ=3.将该虚边界分为16个单元,选取9个内点,采用常单元进行计算,并把计算结果与精确解进行比较.表1和表2给出了传统边界元法和基于单层位势虚边界元法在边界点上和区域内点处的位势值与精确解的值.本文基于位势理论的延拓,采用单层位势的虚边界元法求解二维Helmholtz方程,得到基于单层位势的虚边界积分方程,由于积分点与场点分别位于虚实边界上,从而避免了奇异积分.最后的数值算例验证了方法的可行性.【相关文献】[1] ERLANGGAYA.ARobustandEf f icient Iterative Method f or the N umerical Solution of the HelmholtzEquation[D].Delft:Technische Universiteit Delft,2005.[2] 李瑞遐.边界是光滑开弧Helmholtz方程的边界积分法[J].华东理工大学学报,1999,25(4):410-412.[3] 陈永光.二维稳态对流扩散问题的直接边界元方法[J].海南大学学报:自然科学版,2006,24(1): 17-21.[4] 申光宪,肖宏,陈一鸣.边界元法[M].北京:机械工业出版社,1997.[5] 王竹溪,郭敦仁.函数论-特殊函数概论[M].北京:国防工业出版社,1983.[6] 张耀明,孙焕纯,杨家新.虚边界元法的理论分析[J].计算力学学报,2000,17(1):56-62.[7] WANG Hui,QIN Qing-hua.A mesh less method forgeneralizedlinearornonlinearpossion-type problems[J].Engineering A nalysis with Boundary Elements,2006,30(3):515-521.。
基本解方法与边界节点法求解Helmholtz方程的比较研究姜欣荣;陈文
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2011(028)003
【摘要】基本解方法和边界节点法是基于径向基函数的两种重要无网格边界离散数值技术。
针对Helmholtz方程，本文比较研究这两种数值方法在不同计算区域问题上的计算精度、插值矩阵对称性、病态性及计算成本。
数值试验结果表明，两种方法都可以有效求解边界数据准确的Helmholtz问题。
在数值离散过程中，两种方法都可以通过调整配置点的位置减少插值矩阵的条件数；用边界节点法求解产生的插值矩阵是对称的，而基本解方法的插值矩阵不对称；边界节点法所需的计算时间比基本解方法略小，同时只需要后者一半的内存空间。
【总页数】7页(P338-344)
【作者】姜欣荣;陈文
【作者单位】河海大学,工程力学系,工程与科学数值模拟软件中心,南京,210098;河海大学,工程力学系,工程与科学数值模拟软件中心,南京,210098
【正文语种】中文
【中图分类】O359+.1
【相关文献】
1.Helmholtz方程问题的快速多极边界元求解方法 [J], 于海源;陈一鸣;于春肖
2.阻尼边界条件的Helmholtz方程的近似求解方法 [J], 毛耀;陈园
3.双互易杂交边界点方法求解Helmholtz方程 [J], 杨庆年;郑俊杰;苗雨
4.边界单元法中的基本解──评王坚强同志的论文《三维电阻率模拟的边界元方法》[J], 徐世浙
5.静力基本解边界单元法求解二维弹性结构的自振频率 [J], 邓丽琼
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
`人工边界条件下的Helmholtz方程迭代方法分析对时谐波的Helmholtz问题，基于圆的精确人工边界条件(DtN)和狄利克雷边界条件，我们考虑简化无界区域上的散射问题为有界区域问题，同时包含复杂几何形状的散射体分析，便于推广到多区域方法。
本文建立一种迭代格式，通过特殊函数的应用和泛函分析过程，分析迭代收敛性条件，使得迭代解能收敛到精确问题的解。
关键词：Helmholtz方程、收敛性、DtN边界条件、谱方法。
一.前言1.1 基于时谐波Helmholtz 散射的物理背景声波和电磁波的散射和逆散射理论在二十世纪数学物理领域占有重要的地位，对散射波如何进行数值求解是人们一直关注的焦点，如果我们考虑用时谐波来替换的话，就能简化波的模型为Helmholtz 方程。
Helmholtz 方程是一类很重要的物理方程，对于Helmholtz 方程的应用，我们能在现实生活中很多地方都找到应用，具有很重要的理论和应用的研究意义。
在许多领域都涉及到对Helmholtz 方程的研究，其工程应用背景主要表现在如下几个方面：1.各种实际的复杂电磁场问题。
例如：在雷达目标隐身和反隐身技术研究、复杂天线系统设计、雷达目标特性识别、电磁波传输问题性、现代电子系统电磁兼容分析等领域。
2.结构声学数值计算。
例如：噪声的控制、水下声波、航空航天中的声学现象研究。
3.地震研究领域。
例如：地球物理科学中的地震探测问题。
1.2 目前Helmholtz 方程研究情况许多情况下，例如散射问题，Helmholtz 方程是定义在一个无界的外部区域内，随着波数k 的增大，Helmholtz 方程解的震荡也很快增强，对方程进行离散的代价也随之增加。
因此对这类问题的研究主要集中在如何对方程离散化。
即目的就是寻找一种离散化方法，使得随着k 的增大，数值计算的复杂度并不显著增加，以便在工程实际中作数值实现完全可行。
对于有界区域内Helmholtz 方程的边值问题，Galerkin 有限元解误差估计中的常数因子与有限元空间的最佳逼近只有一个常数因子之差。
