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第2讲：两个公式1.平方差公式：=-+))((b a b a .两个数的和与这两个数的差的积，等于 . 拓展：()()c b a c b a -+++= .2.完全平方公式：=+2)(b a . =-2)(b a ， 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上（或者减去）它们的 . 拓展：()2c b a ++= .=---++ac bc ab c b a 222 .【补充】1.完全平方公式的变形公式：（1）-+=+222)(b a b a ；（2）+-=+222)(b a b a .（1）和的完全平方与差的完全平方间的关系：（1）()+-=+22)(b a b a ；（2）()++=-22)(b a b a .3.完全平方公式的逆用：=+±222b ab a .4.立方和公式：()3322)(b a b ab a b a +=+-+5.立方差公式：()3322)(b a b ab a b a -=++-6.欧拉公式：abc c b a ac bc ab c b a c b a 3))((333222-++=---++++ 7.和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+8.差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-注：平方差公式和完全平方公式中的a ，b 可以代表数，字母，单项式，多项式。
平方差公式---【例题精讲】 【例1】用简便方法计算（1） 1001999⨯ ； （2）1101991002+⨯ ；（3）98.002.1⨯ ； （4）2010200620092⨯- .【随堂练习】 用简便方法计算 （1）1200920072008+⨯ ； （2）)3299()31100(-⨯-； （3）（20-19）×（19-89）.【例2】计算（1）))()((22b a b a b a +-+ ； （2）1)12)(12)(12)(12)(12(16842-+++++.【随堂练习】计算（1）)21)(41)(21(2++-x x x ； （2）))()((22y x y x y x +-+ .【例3】计算（1）)2)(2(c b a c b a -+++ （2）)3)(3(+--+b a b a（3）))((z y x z y x -++- （4）))((p n m p n m --+-【随堂练习】计算（1）))((c b a c b a --++ （2） ))((y z x z y x +-++（3）)3)(3(+--+b a b a （4）))((d c b a d c b a +-+--- 【例4】计算（1）)1)(1)(1)(1)(1(842+++-+a a a a a . （2）22222110099989721-+-++- .（3）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- . （4）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++.7.2200920092009200720092008222-+.【例5】（1）试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12(3643216842+++++++的末位数字.（2）证明：奇数的平方被8除余1；请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.【例6】老师在黑板上写出三个算式：283522⨯=-，487922⨯=-，27831522⨯=-，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：12851122⨯=-，22871522⨯=-…… A.请你再写出两个具有上述规律的算式； B.用文字叙述上述算式反映的规律； C.证明这个规律的准确性.【例7】一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个平方数.【强化练习】1.=-+2199919991999199719991998222.2.乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于（ ） A.20001999 B.20002001 C.40001999 D.400020013.计算：22222221999199819971952195119501949+-++-+-4.在2004,2005,2006,2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ） A.2004 B.2005 C.2006 D.2007完全平方公式--【例题精讲】 【例1】利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972（3）982 （4）2032【例3】（1）如果81362++x kx 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？（2）当=x 时，1442+--x x 有最 值，这个值是 .（3）已知c b a 、、表示△ABC 的三边长，且0222=---++ac bc ab c b a ，判断△ABC 的形状是 .【随堂练习】（1）如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？（2）已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．（3）已知0106222=++-+b a b a ，则ba 12006-的值是 .（4）已知ab b a b a 412222=+++，则=-ba 12.5.已知c b a 、、满足722=+b a ，122-=-c b ，1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5【例4】（1）已知8=+y x ，12=xy ，求22y x +的值．（2）已知1=+b a ，222=+b a ，求77b a +的值.（3）已知1=-y x ，233=-y x ，求44y x +和55y x -的值.（4）已知1=+y x ，3133=+y x ，求55y x +的值.（1）已知-7=+b a 12=ab ，求ab b a -22+和 2)(b a -的值（2）已知3=+y x ，2=-y x ，求xy 与22y x +的值.（3）3=-b a ，2=ab ，求：①22b a +的值；②22b ab a +-的值；（4）已知9=ab ，3-=-b a ，求223b ab a ++的值.（5）若n 满足1)2005()2004(22=-+-n n ，则)2004)(2005(--n n 等于（ ） A.-1 B.0 C.21D.1【例5】已知13a a +=，（1）求221a a +的值；（2）求441a a+的值（1）已知110a a +=，求21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值和221a a +的值．（2）若12x x -=，求①221x x +；②441x x+的值．【例6】若2310a a -+=，求1a a+的值．【随堂练习】已知2410a a -+=，求841a a+的值．【例7】已知222214a b a b ab +++=，求a 、b 的值．【随堂练习】已知0641322=+-++y x y x .求22)2()2)(2(2)2(y x y x y x y x +++---的值.【探究拓展】 （1）已知20201+=x a ，19201+=x b ，21201+=x c ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值.（2）已知0=++c b a ，32222=++c b a ，求bc ac ab ++的值.（3）观察：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算12003200220012000+⋅⋅⋅的结果（用一个最简式子表示）.【强化练习】 一、选择题1．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-2．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b -B 、()2a b --C 、()2a b -+D 、()2a b +3．计算：5225a b b a -⋅-的结果等于（ ）A 、()252a b -B 、()252a b --C 、()225b a --D 、()()2252a b -4．若()242749b a N a b -⋅=-，则因式N =（ ）A 、27b a -B 、27b a -+C 、27b a --D 、27b a +5．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab -二、填空题1．已知53=-=-c b b a ，1222=++c b a ，则=++ca bc ab .2．已知2522=+y x ，7=+y x ，且y x >的值等于 ． 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +- ． 4．()2a b c -+= ．5．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= ．三、解答题1．计算：①()221m -- ②()()()22a b a b a b -+-③7655.0469.27655.02345.122⨯++ ④()2220.43m n -2．已知a 、b 满足()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++的值．3．设2226100x x y y -+++=，求x 、y 的值．4.已知b a 、满足等式2022++=b a x ，)2(4a b y -=，则y x 、的大小关系是（ ）A.y x ≤B.y x ≥C.y x <D.y x >5.若2011)2010)(2012(=--x x ，求22)2010()2012(x x -+-的值.6.求多项式13125422+-+-y y xy x 的最小值及此时y x 、的值.。
平方差公式知识点总结一、平方差公式的内容。
1. 公式表达式。
- 对于两个数a、b，平方差公式为(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
- 例如：(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。
二、平方差公式的特征。
1. 左边特征。
- 是两个二项式相乘的形式，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
- 比如在(x+3y)(x - 3y)中，相同的项是x，互为相反数的项是3y和-3y。
2. 右边特征。
- 是相同项的平方减去互为相反数项的平方。
- 如(2m + n)(2m - n)=(2m)^2-n^2=4m^2-n^2。
三、平方差公式的应用。
1. 简便计算。
- 当计算102×98时，可以将其转化为(100 + 2)(100-2)，然后根据平方差公式计算。
- 即(100 + 2)(100 - 2)=100^2-2^2=10000 - 4 = 9996。
2. 化简求值。
- 例如：已知x=(1)/(2)，y = (1)/(3)，化简求值(2x + y)(2x - y)。
- 首先根据平方差公式(2x + y)(2x - y)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2。
- 把x=(1)/(2)，y=(1)/(3)代入得：4×((1)/(2))^2-((1)/(3))^2=4×(1)/(4)-(1)/(9)=1-(1)/(9)=(8)/(9)。
3. 在整式乘法中的应用。
- 在整式乘法中，如果符合平方差公式的形式，就可以直接运用公式进行计算，比按照多项式乘法法则展开更简便。
- 如(a^2+1)(a^2-1)=(a^2)^2-1^2=a^4-1。
四、平方差公式的拓展。
1. 符号变化。
- 如(-a + b)(-a - b)=[(-a)+b][(-a)-b]=(-a)^2-b^2=a^2-b^2。
2. 系数变化。
- 对于(3a+2b)(3a - 2b)=(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2。
浅谈平方差公式和应用比例的推广平方差公式和应用比例是数学中非常重要的概念和工具，它们在各种数学问题和实际应用中起着重要作用。
本文将从浅显的角度对平方差公式和应用比例进行讨论，并探讨其在实际问题中的推广和应用。
一、平方差公式平方差公式是数学中常见的一个重要公式，它描述了两个数的平方之差与它们的和的关系。
具体表达式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²这两个公式分别描述了两个数的和的平方和差的平方与它们自身的关系。
平方差公式在代数中有着广泛的应用，可以用来简化计算，化简公式，求解各种方程和不等式等。
平方差公式还有一个重要的应用，就是在几何中计算点的坐标之间的距离。
通过平方差公式，我们可以求解两点之间的距离，为几何问题的解决提供了便利。
平方差公式还可以应用在物理学中。
比如在力学中，可以通过平方差公式来进行速度、加速度等问题的求解，提高问题的求解效率。
二、应用比例比例是一个很基础的数学概念，它描述了两个量之间的关系。
应用比例在很多实际问题中都有着广泛的应用，在商业、工程、科学等领域都起着重要作用。
在商业中，比例常常用来描述产品的成本和售价之间的关系，通过比例可以计算利润率、成本占比等问题。
比例在市场调研、商品定价等领域有着非常重要的应用。
在工程中，比例也是一个重要的工具。
在建筑设计中，比例可以用来确定建筑物的尺寸、比例尺相关的问题。
在机械设计中，比例可以用来计算零部件之间的比例关系，保证装配的准确性。
在科学中，比例也有广泛的应用。
在实验中，比例可以用来描述实验数据之间的关系，通过分析比例可以得出很多实验规律和结论。
在地理学、生物学等学科中，比例也有着广泛的应用，比如地图的比例尺、生物种群的比例关系等问题。
平方差公式和应用比例虽然是数学中的基础概念和工具，但是它们在实际问题中的应用是非常广泛的。
我们可以通过推广和拓展它们的应用，进一步提高它们的实际价值。
对于平方差公式，我们可以考虑将它应用到更多的实际问题中。
《平方差公式》拓展训练一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b22．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．24．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣45．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a48．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣610．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+118．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n ﹣2+b n﹣1）=；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？《平方差公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．2．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：①（﹣a﹣2b）（a+2b）=﹣（a+2b）2=﹣a2﹣4ab﹣4b2；②（a﹣2b）（﹣a+2b）=﹣（a﹣2b）2=﹣a2+4ab﹣4b2；③（a﹣2b）（2b+a）=a2﹣4b2；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b）=4b2﹣a2，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．2【分析】根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，∴a﹣b=÷=，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．4．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣4【分析】利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、原式=x2﹣3x﹣10，不符合题意；B、原式=x2+x﹣1，不符合题意；C、原式=x2﹣x﹣，符合题意；D、原式=4﹣x2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．5．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a4【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1=a4﹣1﹣a4+1=0．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．8．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求的值．【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=2①，∴a+2b=6②，联立①②，解得：a=4，b=1，则原式=4，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式法则求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是4x2﹣y4，故本选项符合题意；C、结果是9x4﹣1，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣x﹣6，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+ (5052)5032=5052﹣12=255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=﹣1．【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．【解答】解：原式=（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092=20092﹣1﹣20092=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是﹣14．【分析】先利用平方差公式化简计算，合并同类项后再代入数据计算即可．【解答】解：（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），=（3a）2﹣（2b）2﹣（2b）2+（3a）2，=2×9a2﹣2×4b2，=18a2﹣8b2．当a=﹣1，b=2时，原式=18×（﹣1）2﹣8×22=﹣14．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，计算时，要注意符号的处理．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：5，4，3．【分析】根据题中弦数的定义判断即可．【解答】解：∵（5+4）×（5﹣4）=9×1=32，∴5是4，3的弦数，故答案为：5，4，3【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=2×（1﹣）×（1+）××××××=2×（1﹣）××××××=2×（1﹣）×××××…=2×（1﹣）×（1+）=2×（1﹣）=2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．1﹣x n+1（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．故答案为：1﹣x n+1；（2）①1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣22019）=22019﹣1；②214+215+…+2100=（1+2+22+23+24+...+2100）﹣（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+...+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）=2101﹣214．【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，∴S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=（216﹣1）+1=216．【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．18．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=2n﹣1．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n ﹣1）=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1==（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1）=2n﹣1n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1）=×（3n﹣1n）=，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×3；②92﹣（7）2=8×4；③（11）2﹣92=8×5；④132﹣（11）2=8×6；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？【分析】（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．【解答】解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．【点评】（1）题的关键是找出各数之间的关系．（2）题的关键是利用平方差公式计算此式，证明它成立．。
完全平方公式的几个拓展应用完全平方公式是任何一个学生学习数学的一个重要部分。
这个公式通常被用于简化在数学中的一些复杂的运算。
然而，除了简化运算，完全平方公式还有许多其他的应用。
在本文中，我们将探讨完全平方公式的几个扩展应用，这些应用可帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学运算的效率。
一、完全平方公式的扩展完全平方公式是指一个二次多项式可以以平方的形式进行展开，这个公式可以表示为：$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$这个公式的意思是，一个数的平方可以分解为两个数的积加上这两个数的平方。
这个公式不仅仅应用于求一个数的平方，也可以用于求两个数字的积。
公式中的$a$和$b$可以取任意实数或复数。
二、完全平方差公式完全平方差公式是指任何二次多项式可以写成两个完全平方的差的形式，这个公式可以表示为：$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$这个公式可以帮助我们简化两个数的差的运算，而不是使用大量的减法来实现计算。
例如，假设我们需要计算$8^{2}-6^{2}$，我们可以使用完全平方差公式，将其写成$(8+6)(8-6)$的形式，最终答案为$2\times14=28$。
这在计算中非常有效，可以帮助我们简化运算，提高计算效率。
三、二次多项式的因式分解完全平方公式也可以通过二次多项式的因式分解来应用。
通过考虑二次多项式的因式，我们可以将其分解成可拆分为两个完全平方差的形式。
这个应用可以帮助我们避免使用一些复杂的运算方法，例如配方法。
例如，考虑二次多项式$x^{2}+6x+9$，我们可以将其写成$(x+3)^{2}$的形式，这个公式可以帮助我们更快地对多项式进行计算。
四、三元完全平方公式在三元及更高维的方程组中，也存在一种完全平方公式，称为三元完全平方公式。
这个公式指出，一个三元多项式可以写成三个一次多项式的完全平方差的和的形式。
三元完全平方公式可以表示为：$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$$这个公式可以帮助我们解决三元及更高维的多项式方程组，从而简化复杂多项式的运算。
