平方差公式教案(优质课一等奖)讲课稿

《平方差公式》的教学设计一．教材分析本节课选自湘教版七年级下册第2章2.2乘法公式的第一课时《平方差公式》.它是继多项式乘法之后的重要教学内容，它既是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是初中数学系统学习的第一个乘法公式，是学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例.二．学情分析我们主要从三个方面对学生的情况进行了分析，①年龄特点：七年级学生易从情感角度激发学习热情；②思维品质：我校学生择优录取，具有优良的思维品质；③认知基础：学生已经具备了整式加、减、乘等数式运算基础，以及小学学习过的正方形、矩形等图形基础.三．教学目标1.了解平方差公式的几何背景，理解平方差公式的推导过程；2.掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单运算；3.经历平方差公式的探索过程，领悟平方差公式的变式应用，能创作平方差公式的变式题组.四．教学重难点1.教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.2.教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题组. 五．教学方法运用变式教学模式进行教学设计，运用开放式教学策略组织课堂教学.六．教学构思结合教材和学情，本节课设计了两条主线，即“问题主线”和“情境主线”.问题主线：由问题导入→新知探究→变式应用→思维拓展→问题创作→总结升华→课时检测；情境主线：由断案高手→说理大师→变式赢家→学坛霸主→创作之星→归纳之王→自主演练.两条主线交融互动，贯穿始终，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次设计出了一条条问题串，将整节课不断引导推进，一路生成.七．教学过程第一环节：问题导入问题情境：欢迎来到变式大课堂！今天我们大课堂要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！估计你也听不懂，我就画一幅图给你看，如图1、如图2所示：羊二听完一阵茫然～，对狼大说道：老爷听您的！设计说明：为初一的孩子创设了“地主狼大和佃农羊二的土地租赁事件”的小故事，激励孩子通过所学知识帮助羊二作出正确判断.设计的初衷是通过具体问题的解决温故知新，也渗透了知识就是力量的情感态度.第二环节：新知探究问题1：请你判断：羊二吃亏了？变式1：若向东增加5米，向北减少5米呢？ 变式2：若向东增加b 米，向北减少b 米呢？设计说明：通过激励学生对案情进行合情推理，引导学生从代数和几何两个角度加以推理验证，并将问题由特殊推广到一般，从而让学生发现平方差公式，并启发学生对平方差公式的结构进行深层次的剖析.公式的探究图2a-3a+3S 2 图1向北向东a图2图1向北向东a 图3a-5图4a-ba+bS 31.公式：(a ＋b)(a －b) = a 2－b 2①代数2.方法：②几何第三环节：变式应用问题2：（a+3）（a －3）系数变↓变式1：（2a+3）（2a －3）符号变↓变式2：（－2a+3）（－2a －3）位置变↓变式3：（3－2a ）（－2a －3）指数变↓变式4：（3－4a 2）（－4a 2－3）因式变↓变式5：（3b －4a 2）(－4a 2－3b)项数变↓（相对于公式而言）变式6：（a ＋b ＋c ）(a －b ＋c)设计说明：从一道基本题切入，由浅入深，进行问题变式，进而产生一系列的变式题组 通过对变式题组的解答达到两个目的，其一：学会分析式子结构，认清公式中的a 和b ，准确的运用公式进行计算；其二：能了解代数中变式的基本策略，从变化中认清变化的规律，抓住不变的本质.第四环节：思维拓展问题3：运用平方差公式进行巧算. （1）211002199⨯ （2）））（）（（12121242+++设计说明：问题2是对平方差公式的直接应用，而问题3是从拆项和添项两个角度对平积 和转化数形方差公式进行了构造应用，是对学生更高阶思维的训练，培养学生的创造性思维，是对学习者能力培养的另外一种境界.第五环节：问题创作（课时检测1）问题4：运用平方差公式编题，要求： （1）运用变式策略设计变式题； （2）重在对公式的理解和应用；设计说明：会解题不一定会编题，而会编题一定会解题.编题的目的是让学生站在更高层次来理解所学的知识和渗透的思想方法，并迁移到问题的创作中来.通过编题来检测学生对本节课内容的理解和掌握情况.公式的应用1.直接应用：（1）准确的找出公式中的,a b（2）代入平方差公式进行计算2.构造应用：（1）构造出平方差公式的结构（2）运用或多次运用公式3.拓展应用：（1）掌握代数式变式策略：系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变 （2）从正、逆两个角度创作变式题组第六环节：总结升华问题5：课堂回顾（1）对于平方差公式，你有哪些认识？ （2）本节课你印象最深的是什么？ （3）你还存在哪些疑惑？设计说明：留给学生一个思考的空间，让他们对一节课所学内容进行梳理，有利于学生自主构建知识体系，理清知识之间的联系，同时为他们提供表达的机会，锻炼他们的组织和表达能力，长此以往有利于学生的综合素质的养成.第七环节：课时检测2㈠. 基础应用：运用平方差公式计算：（1）()()5252x y x y -+ （2）()()1414x x -+--（3）2222332255x y y x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭㈡. 能力提升：活用平方差公式计算： （1）()()x y z x y z +--+㈢．思维拓展：巧用平方差公式计算： （1）12504933⨯ （2）()()()()24813131313++++ 设计说明：基础应用分别从位置、符号、指数等进行变式，达到熟练应用公式的目的.能力提升和拓展应用运用整体、转化等思想方法解决问题，达到灵活运用公式的目的，培养学生数学思维能力.八．板书设计九．课后延伸1-4，7-8小组创作的问题已在课堂上进行展示，其他小组创作的问题整理如下： 第5小组： （1）2200202198-⨯（2）()()()()24831313131++++第6小组： （1）()()2121x x ---（2）()()22a b c d b c d c -+-++-（3）()()3332828x x ⎡⎤+⋅-⎣⎦第9小组： （1）22)()(b a b a -+ （2））（）（）（）（2222101-141-131-121-1⨯⨯⨯⨯ （逆向使用平方差公式） （3）））（（c b a c b a 4242-++- 第10小组： （1）））（）（（22164-4b a a b b a +++ （2）22)2121(x y y x +-（） （3）321684221211211*********++++++））（）（）（）（（（4）113131313132128842++++++）（））（）（）（（成果反馈：从学生编题可以看出，学生们对平方差公式的结构和代数变式策略的理解都非常到位，而且他们还能将积的乘方等前面所学知识顺利运用到编题中来，显示出很强的融合贯通能力，所编问题涉及到平方差公式代数应用中的各种题型，包括直接应用，构造应用，逆向应用，连环应用等，可见本节课的学习效果突出，同时也能看出学生们良好的数学素养，这是教师长期培养的结果.《平方差公式》的教学点评本节课是教研教改的优秀课例。

《平方差公式》教学设计一等奖《《平方差公式》教学设计一等奖》这是优秀的教学设计一等奖文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、《平方差公式》教学设计一等奖教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．三、教法建议1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的`能力．2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑(a+b)(a-b)=a2-b2．这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．教学目标1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．教学重点和难点重点：平方差公式的应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．教学过程设计一、师生共同研究平方差公式我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式．在此基础上，让学生用语言叙述公式．二、运用举例变式练习例1计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．例2计算(b2+2a3)(2a3-b2)．解：(b2+2a3)(2a3-b2)＝(2a3+b2)(2a3-b2)＝(2a3)2-(b2)2＝4a6-b4．教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．课堂练习运用平方差公式计算：(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．例3计算(-4a-1)(-4a+1)．让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．解法1：(-4a-1)(-4a+1)=[-(4a+l)][-(4a-l)]=(4a+1)(4a-l)=(4a)2-l2=16a2-1．解法2：(-4a-l)(-4a+l)=(-4a)2-l=16a2-1．根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．课堂练习1．口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．2．计算下列各题：(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．三、小结1．什么是平方差公式？2．运用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．四、作业1．运用平方差公式计算：(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；(5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；2．计算：(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．2、《平方差公式》教学设计一等奖教学目的进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异.教学重点和难点：公式的应用及推广.教学过程：一、复习提问1.(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积.(2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积.讲评要点：沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道HD=BC=GD=FE=a-b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形.希望推出公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.说明：平方差公式的`数学表达式在使用上有三个优点.(1)公式具体，易于理解;(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人套用(3)形式简洁.但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解.依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就欠明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a 与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活.3.判断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;()(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;()(3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;()(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;()二、新课例1 运用平方差公式计算：(1)102 (2)(y+2)(y-2)(y2+4).解：(1)10298 (2)(y+2)(y-2)(y2+4)=(100+2)(100-2) =(y2-4)(y2+4)=1002-22=10000-4 =(y2)2-42=y4-16.=9996;2.运用平方差公式计算：(1)103 (2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8 (4)(x- )(x2+ )(x+ ).3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2 填空：(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习1.x2-25=()();2.4m2-49=(2m-7)();3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();例3 计算：(1)(a+b-3)(a+b+3); (2)(m2+n-7)(m2-n-7).解：(1)(a+b-3)(a+b+3) (2)(m2+n-7)(m2-n-7)=[(a+b)-3][(a+b)+3] =[(m2-7)+n][(m2-7)-n]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9. =(m2-7)2-n2=m4-14m2+49-n2.三、小结1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?四、布置作业1.运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).2.运用平方差公式计算：(1)69 (2)53 (3)503 (4)40 39 .3、《平方差公式》教学设计一等奖教学目标理解两个完全平方公式的结构，灵活运用完全平方公式进行运算。