§2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

结论得证.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 1 1 2 问题6 : 求证 : FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为 , P , 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 1 2 ,同理 , . AF P BF P FA FB p ER EF FR P AF cos AF AF 解法 2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p y k( x ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 2 y 2 2 px 2 2 k p k 2 x 2 p( k 2 2 ) x 0 4 1 1 1 1 2 p p p FA FB x1 x2 2 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题7 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则AF1 BF1 .
解 : AA1 AF ,AA1F AFA1 AA1 / / OF AA1F A1FO A1FO A1FA, 同理B1FO B 1 FB , A1FB1 90, AF1 BF1 .
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
例1.设M x0 , y0 是抛物线y 2 px上的任一点,

过
准 线
程
抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足
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奎屯 新疆
与焦点在对称轴上关于原点对称
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新疆
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
1 ，即 4
2p p 4 2
王新敞
奎屯
王新敞
奎屯 新疆
O
x
则有 y 2 px 和 y1＝mx＋n． ∴ y1 y m x n
2 px
x m
n 2p x x
当 m≠0 时，若 x→＋∞，则 y1 y 当 m＝0 时， y1 y n
2
2 px ，当 x→＋∞，则 y1 y
抛物线的几何性质及其运用 抛物线几何性质的运用
探究法,讲练结合法,讲授 使用教具 法
计算机直尺、投影仪、计 算器
一、复习引入： 1．抛物线定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做
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y
y
y
y l O
教
图 形
l
x
F
O F
x
F
O
x
F O l
方程右端取正号；开口在 X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方 程右端取负号 二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围
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因为 p＞0，由方程 y 2 2 px p 0 可知，这条抛物线上的点 M 的坐标(x，y)满足 不等式 x≥0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物 线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 以－y 代 y，方程 y 2 2 px p 0 不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物 线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 y 2 2 px p 0 中，当 y=0 时， x=0，因此抛物线 y 2 2 px p 0 的顶点就是坐标原点． 4．离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表 示．由抛物线的定义可知，e=1． 对于其它几种形式的方程，列表如下： 标准方程 图形

2．4.2 抛物线的简单几何性质整体设计教材分析“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3及其他例题；第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例5、例6.第1课时教学目标知识与技能1．抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．过程与方法1．使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出的条件求抛物线的标准方程．2．掌握抛物线的画法．情感、态度与价值观1．培养学生数形结合及方程的思想．2．训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用．重点难点教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用．教学过程复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即2p 4＝p2.不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为±2px、左端为y 2；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为±2py，左端为x 2.(2)开口方向为x 轴(或y 轴)正向时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口为x 轴(或y 轴)负向时，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程右端取负号．讲解新课 唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”．提出问题1：如果测得酒杯口宽4 cm ，杯深8 cm ， 试求酒杯轴截面所在曲线的方程．活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导，再由一名学生板演．解：如图建立平面直角坐标系， 则可知A(－2,8)，B(2,8)． 所以设抛物线的方程为： x 2＝2py(p>0)A 、B 点在抛物线上，代入抛物线方程，可得p ＝ 14，则所求的抛物线方程为：x 2＝12y.提出问题2：这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2＝2px(p>0)的几何性质．请同学们思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你应从哪几个方面进行研究？学情预测：学生会给出很多方面，此时教师引导学生观察图象给出性质．1．范围2．对称性3．顶点4．离心率5．通径探索研究活动设计：先由学生合作讨论，再由一、两名学生代表发言，教师适时补充．1．范围学情预测：一般情况下，学生会从图像观察到：x≥0，y∈R.此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：因为p＞0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性学情预测：一般情况下，学生会从图象观察到：关于x轴对称．此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2＝2px(p>0)的顶点就是坐标原点．4．离心率活动设计：此处可由教师给出定义．抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e＝1.多媒体给出下表的第1、2行和第1列，由学生得出其他几种形式的方程的几何性质：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离．补充说明：1.抛物线只位于半个平面坐标内，虽然它可以无限延伸但它没有渐近线．因此抛物线不是双曲线的一支．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线． 4．抛物线的离心率是确定的且为1.附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法)假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A(x ，y)为抛物线上的一点， A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点．如图， 则有y ＝±2px 和y 1＝mx ＋n. ∴ |y 1－y|＝|mx ＋n 2px| ＝|x|²|m＋nx2p x|. 当m≠0时，若x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.当m ＝0时，|y 1－y|＝|n 2px|，当x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线．提出问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？下面我们来看一个例题．在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：(1)y 2＝12x ；(2)y 2＝x ；(3)y 2＝2x ；(4)y 2＝4x.活动设计：由学生自己完成，教师可将学生所画的图象投影展示．学情预测：从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大，开口越开阔． 探究问题：在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么？通径的定义：通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫抛物线的通径．提出问题：由学生求出通径的长度．通径的长度：2p.反思应用1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点M(2，－22)，所以(－22)2＝2p²2，即 p＝2.因此，所求的抛物线方程为y2＝4x.将已知方程变形为y＝±2x，根据y＝2x计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标，得点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．提出问题：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．活动设计：先由学生独立完成或合作讨论，再由一名学生上黑板板演．学情预测：易得到结果：y2＝4x或x2＝－2y.2若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝±2px或者x2＝±2py(p>0)，∵通径长2p＝7，所以所求抛物线方程y2＝±7x或者x2＝±7y.3过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD 、EH 、BC ，垂足为D 、H 、C ，则 |AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH⊥l，因而圆E 和准线l 相切．达标检测 1．抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，则其通径的长为( )A ．－12 B.12 C.14D ．12．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )A ．3B ．4C ． 5D ．63．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是____________________．4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．答案：1.B 2.B 3.y 2＝2(x －1) 4.M(54，±22)，M 到y 轴距离的最小值为54.本课小结 1．抛物线的性质；2．灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业 课本习题2.4A 组4. 补充练习1．过抛物线x ＝ay 2的焦点的一条直线和抛物线交于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝______________.2．下列说法中，错误的是( ) A ．任何抛物线的离心率都是1B ．在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短C ．过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条D ．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2，则∠A 2FB 2等于________．4．以椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆的右准线所得的弦长．答案：1.116a2 2.C 3.90° 4.4 5设计说明二次曲线是平面解析几何的主要研究对象，在教学时，注意挖掘它们之间的内在联系和区别，不要孤立地和静止地看待抛物线．因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质，在进行对比时，要注意横向和纵向两种对比，也就是既要注意每种曲线内部的对比，同时也要注意几种曲线之间的对比．。

教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。

教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。

点F叫做焦点．．，l叫做准线。

．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。

直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。

三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。