求解平行线三招[下学期]--北师大版-

北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总1. 什么是平行线平行线指在同一平面上两条不相交且方向相同的直线。

平行线在数学、物理学、几何学等领域都有广泛的应用，是基础中的基础。

2. 如何判断两条直线是否平行有多种方法可以判断两条直线是否平行，以下为其中两种:•角度判定法：若两条直线的夹角为90度，则两条直线平行。

反之，若夹角不为90度，则两条直线不平行。

•转换法：两直线在同一平面上，若它们的任意一点所形成的角的大小相等，则这两条直线是平行线。

3. 相交线的性质相交线指在同一平面内相交的两条直线。

以下为相交线的性质：•两个非垂直的交叉线形成的夹角相等。

这一性质通常被用于计算角度。

•在两个相交的直线中，如果一个角是内角并且位于两条直线的异侧，那么它所对的相邻角也是内角，位于同一侧。

4. 平行线的性质平行线也具有很多重要的性质，包括：•平行线的夹角相等；•平行线切割同一交线时，交线上的对应角相等；•平行线切割同一交线时，与交线同侧内角互补，与交线异侧内角相等。

5. 平行线的应用平行线的应用非常广泛，以下为其中的几个例子：•平行线在建筑设计和绘图中起着重要的作用，如钢结构建筑的构造和设计建筑图。

•在物理学中，平行线的概念可以用于描述电场线，在流体力学中可以用于描述流线。

•在地理学中，平行线可以用于表示longitude(经度)和latitude(纬度)等概念。

6.本文介绍了什么是平行线、如何判断两条直线是否平行、相交线的性质和平行线的性质和应用。

希望能够对读者了解平行线和相交其他的相关概念有所帮助。

平行线的性质及尺规作图教 学 目 的:1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念.3．了解尺规作图的基本知识及步骤；4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.【考点梳理】知识点1：平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.知识点2：两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离．知识点3：尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题讲解】考点1：平行线的性质1．如图所示，如果AB ∥DF ，DE ∥BC ，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．解：∵ DE ∥BC ，∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB (已知)，∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴ ∠3＝115°(等量代换)．举一反三：【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .【答案】48°，132°，48°【变式】(山东威海)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是()．A．40°B．60°C．70°D．80°【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是()A．75°B．65°C．55°D．50°【答案】B 考点2：两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则() ．A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B考点3：尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．考点4：平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行【随堂练习巩固】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是()．A．①B．②和③C．④D．①和④【答案】A；2．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于()．A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C；3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()．【答案】Ｂ；４．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是()．A．70°B．80°C．100°D．110°【答案】Ｂ；５．(南通)如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为()．A．60°B．70°C．80°D．120°【答案】Ｂ；６．(山东德州)如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于()．A．55°B．30°C．65°D．70°【答案】C；二、填空题7．如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是________的长，BC、AD间的距离是________的长．【答案】线段CE，线段AC；8. 画线段AB，延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=•AC，则线段CD＝______AB．【】6；9. (浙江湖州)如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．【答案】60；10．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝_______．【答案】180°11．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．【答案】90°；12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．【答案】15°；三.解答题13．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)．∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)．∴∠MNH＝12∠MNC，∠NMG＝12∠BMN(角平分线定义)．∴∠MNH＝∠NMG，∴NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．9.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．【答案】95°；10.（四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3＝．【答案】60°；11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．【答案】20°；12.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是_．【答案】内错角相等，两直线平行；13.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：①∠A＝∠EDF；②∠1＋∠2＝180°；③∠A＋∠B＋∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号) 【答案】①②③④；。

专题12平行线的证明压轴题的三种考法类型一、三角形折叠问题(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC '∠=︒，则C ∠＝，可以发现ADC ∠的数量关系是；(2)如图2，当点C 落在ABC 内部时，且42BEC '∠=︒，20ADC '∠=︒，求C ∠的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC 外部时，若设BEC '∠的度数为x ，ADC '∠的度数为y ，请求出C ∠与x ，y 之间的数量关系．【答案】(1)29︒，互余(2)31︒(3)11C x y ∠=-∵,BEC x ADC y ∠∠=''=，∴180,1180CEC x ∠∠∠=︒-=︒+'由折叠得：11190CDE C DE ∠∠∠+'===︒(1)如图1，点P 与点E 重合时，用含α的式子表示DEF ∠；(2)当点P 与点E 不重合时，①如图2，若22.5,AP α=︒平分,BAE PD ∠交AB 于点G ，猜想,,AC AF DG∠，∵AE平分BAC∠=∠，∴FAE CAE∥，∵EF CA∴AEF CAE ∠=∠，∴22.5FAE CAE AEF a ∠=∠=∠==︒，∵AH AF =，HAE FAE =∠∠，AE AE =，∴()SAS AEH AEF ≌，∴22.5AEH AEF ∠=∠=︒，∴22.522.545AHC EAH AEH ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵90C ∠=︒，∴HCE 为等腰直角三角形，∴CE CH =，根据折叠可知，CAP DAP ∠=∠，ADG ACE ∠=∠，AD AC =，∵AP 平分BAE ∠，∴BAP PAE ∠=∠，∴DAP BAP CAP EAP ∠-∠=∠-∠，即DAG CAE ∠=∠，∴ADG ACE ≌，∴CE DG =，∴DG CH =，∴AC AH CH AF DG =+=+；②当点P 在点E 的左侧时，如图所示：∵AE 平分BAC ∠，∴FAE CAE ∠=∠，∵EF CA ∥，∴AEF CAE ∠=∠，∴FAE CAE AEF a ∠=∠=∠=，即2BAC α∠=，∵BAD β∠=，∴2DAC BAC BAD a b ∠=∠+∠=+，∵2BAC α∠=，BAD ∠∴DAC BAC BAD ∠=∠-∠根据折叠可知，CAP ∠∴90APD DAP ∠=︒-∠【答案】（1）122A ∠=∠+∠（2）15︒（3）1124360BAC +=-︒∠∠∠，证明见解析【分析】（1）由折叠的性质可知1AED A ED ∠=∠，1ADE A DE ∠=∠，再根据平角的定义得到11801190122ADE A DE ︒-===︒-∠∠∠∠，12902AED ∠=∠+︒，根据三角形外角的性质可得11290190122A ++︒=+︒-∠∠∠∠，即可得出结论；（2）根据（1）的结论求出30A ∠=︒，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出1152N A ︒∠=∠=即可；（3）先推出11801190122ADE A DE ︒-===︒-∠∠∠∠，118029022AED A ED ︒-===︒-∠∠∠∠，再由三角形外角的性质推出111222A =+∠∠∠，190BAC A =︒+∠∠，即可得到结论．(1)如图1，当点B 落在直线A ′E 上时，猜想两折痕的夹角∠(2)当∠A ′EB ′=13∠B ′EB 时，设∠A ′EB ′=x ．①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数．②探究EB ′是否可能平分∠FEG ，若可能，求出此时∠由．【答案】(1)90FEG ∠=︒，理由见解析x∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B∴∠B′EB=3x，∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∴∠BEG=12∠BEB′=32x，∠∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF（3）解：设EAD CAD ∠=∠=∵AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE EAD ∠=∠=+∠∠∴6BAD α∠=，∵AD BC⊥∴90ADE ∠=︒，∴90906B BAD α∠=︒-∠=︒-(1)求证：CD AB ⊥；(2)若2ACB ABE ∠=∠，求证：AC BC =；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BE 至点G ，连接AG ，CG 求线段AB 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【答案】(1)见解析(2)见解析(1)如图1，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个内角ABC ∠，ACB ∠的平分线，说明D ∠=的理由．例．如图①，已知AB CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，EFB B ∠=∠，FH FB ⊥，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知70EFD ∠=︒，求B ∠的度数；(2)求证：FH 平分GFD ∠．(3)在（1）的条件下，若30FQH ∠=︒，将FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH 与平行？(4)在（3）的条件下，直接写出DFQ ∠与GFH ∠之间的关系．【答案】(1)35︒(2)见解析∴FH 平分GFD ∠．（3）解：①QH 与EFB △的边BF 平行时，如下图1及图4，如图1，∵BF HQ ∥,∴180H BFH ∠+∠=︒,又60H ∠=︒,∴120BFH ∠=︒,1201209030BFQ HFQ α=∠=︒-∠=︒-︒=︒；如图4，60HFB H ∠=∠=︒,123360()360(6090)210HFB HFQ α=∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒；②QH 与EFB △的边BE 平行时，如下图2，1335==︒∠∠，2430∠=∠=︒，∴12353065BFQ α=∠=∠+∠=︒+︒=︒；③QH 与EFB △的边EF 平行时，如下图3，330Q ∠=∠=︒,∴1233511030175BFQ α=∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒，综上，旋转角为30α=︒或65︒或175（4）解：30α=︒时，DFQ ∠=∠9090GFH EFB BFQ ∠=︒-∠-∠=︒65α=︒时，653530DFQ ∠=︒-︒=175α=︒时，17535DFQ ∠=︒-︒=210α︒=时，21035175DFQ ∠=-︒=综上，DFQ ∠与GFH ∠相差20︒．∥ AB CD ，50PMF BPM ∴∠=∠=︒．在MPF △中，PFM α∠=︒18050130MPF α∴∠=︒-︒-=PN 平分MPF ∠，1652NPM MPF ∴∠=∠=︒-PE CD ⊥ ，90PEM ∴∠=︒，905040EPM ∴∠=︒-︒=︒，【答案】（1）见解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：2α【分析】（1）由AEB AEF BEF ∠=∠+∠，再结合两直线平行内错角相等即可证明；（2）过点E 作EF AD ∥，交AB 于点F ，再结合（1）证明计算求值即可；（3）①设2DAC a ∠=，ABC β∠=，根据两直线平行同旁内角互补可得()22180ABC DAB ββααβ∠+∠=++=+=︒，求得90αβ+=︒即可；②第一问根据三角形内角和，求得45ABE AEB ∠=∠=︒，由30EBC ∠=︒得到75CAB ABC ∠=∠=︒，进而可得30ACD ACB ∠=∠=︒，再分CG 和AB 所在直线垂直、CG 和AD 所在直线垂直于、CG 和CD 所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得75ACF α∠=︒-，进而可得ACD ∠，再由180ADC BCD ∠+∠=︒计算角度差即可解答；【详解】解：（1）∵AD EF ，∴DAE AEF ∠=∠，∵BC EF ∥，∴CBE BEF ∠=∠，∴AEB AEF BEF DAE CBE ∠=∠+∠=∠+∠；（2）如下图过点E 作EF AD ∥，交AB 于点F ，∵EF AD ∥，AD BC ∥，∴BC EF ∥，∵30DAE AEF ∠=∠=︒，∴40BEF AEB AEF ∠=∠-∠=︒，∵CBE BEF ∠=∠，∴40CBE ∠=︒；∠=︒-∠-∠=︒，ACG MAC AMC18015如图CG和AD所在直线垂直于点G时：∥，∵AD BC⊥，∴CG BC60ACG BCG BCA ∠=∠-∠=︒，如图CG 和CD 所在直线垂直于点C 时：120ACG ACD DCG ∠=∠+∠=︒，∴15ACG ∠=︒或60ACG ∠=︒或120ACG ∠=︒；2.2：由2.1可知75CAB ABC ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，∵75BAC AFC ACF ∠=∠+∠=︒，∴75ACF α∠=︒-，∵CG 是ACD ∠的平分线，∴21502ACD ACF α∠=∠=︒-，∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ∠+∠=︒，∴1802ADC BCA ACD α∠=︒-∠-∠=；【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．课后训练【答案】54︒∥，根据角平分线的定义，设【分析】过点A作AG PM,90NBC ABC αADE MDE β∠=∠=∠=∠=︒-，则2ADP β∠=，2ABN α∠=，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．【详解】解：过点A 作AG PM ∥，BC 平分ABN ∠，DE 平分ADM ∠，∴设,90NBC ABC αADE MDE β∠=∠=∠=∠=︒-，则2ADP β∠=，2ABN α∠=，2BAG ABN α∴∠=∠=，MP NQ ∥ ，AG PM ∴∥，2DAG ADP β∴∠=∠=，22BAD BAG DAG αβ∴∠=∠+∠=+，DE AC ∥ ，180180(90)90CAD ADE ββ∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，在ABC 中，180********CAB ABC C αα∠=︒-∠-∠=︒--︒=︒-，6322632CAD CAB BAD ααβαβ∴∠=∠+∠=︒-++=︒++，63290αββ∴︒++=︒+，27αβ∴+=︒，2254αAD βB +=︒∴∠=．故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键．4．（1）如图1，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．则A A DC A EB ''∠∠∠、、之间的数量关系为：_______；（2）如图2，若将（1）中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，则此时,A A DC A EB ''∠∠∠、之间的数量关系为：_________；（3）如图3，将四边形纸片ABCD 状，若115D EC '∠=︒，A FB '∠=（4）在图3中作出D ∠点E 在DC 边上向点C 件不变），上述EG ，FH 【答案】（1）2DAE ∠=（4）位置不改变，EG沿DE 折叠A 和A '重合，∴DAE DA E'∠=∠∵A EB EA A EAA '''∠=∠+∠，A ∠∴A EB A DC EA A EAA '''∠+∠=∠+∠沿DE 折叠A 和A '重合，∴DAE ∠∵A EB EA A EAA '''∠=∠+∠，A ∠∴A DC A EB DA A DAA '''∠-∠=∠+∠（3）如图，延长BA ，CD 交于点由（2）的结论可得：2Q ∠=∴21154570Q ∠=︒-︒=︒，∴∵90C ∠=︒，∴90ABC ∠=︒-（4）EG FH ∥，理由见解析如图，EG 平分D EC '∠，FH ∴1D EG CEG D EC ''∠=∠=∠由对折可得：Q EF QEF '∠=∠，Q FE QFE '∠=∠，由（2）的结论可得：2D EC A FB Q ''∠-∠=∠，即2D EC A FB Q''∠=∠+∠∴D EG A FH Q ''∠=∠+∠，∴D EG D EF BFE BFH A FH Q QEF BFH BFE '''∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠，∴FEG HFE Q QEF QFE '∠+∠=∠+∠+∠，∴180FEG HFE Q QEF QFE ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴EG FH ∥．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键．5．如图1至图2，在ABC 中，BAC α∠=，点D 在边AC 所在直线上，作DE 垂直于直线BC ，垂足为点E ；BM 为ABC 的角平分线，ADE ∠的平分线交直线BC 于点G ．(1)如图1，延长AB 交DG 于点F ，若BM DG ∥，30F ∠=︒．①ABC ∠=________；由八字模型可得，ABM 和NMD △中，BND ABN BAC MDN∠=∠+∠-∠()119022ABC ACB =∠+-︒-∠α1()452ABC ACB =∠+∠+-︒α1(180)452=︒-+-︒αα，由四边形的内角和得，113609022BND ABC ADE ∠=︒-︒-∠-∠1270()2ABC ADE =︒-∠+∠由八字模型可得，BND ABM ADG ∠+∠=∠∴()1118022BND ADE a ABC ∠=∠+︒--∠()()119018022ACB ABC =︒-∠+︒--∠α()1180452ACB ABC =︒+︒--∠+∠α()1225180=︒--︒-αα。