椭圆的离心率专题训练

第14讲 椭圆离心率6种常考题型【知识点梳理】椭圆的离心率，()10<<=e a c e 222222221a b a b a a c e -=-==【题型目录】题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示22ce a=2a 2c 题型二：利用与建立一次二次方程不等式a c 题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围[]a c a c -+，题型五：利用最大顶角求离心率范围问题题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题【典型例题】题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示22ce a=2a 2c 在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题．【例1】（四川高二期末（文））椭圆的左右焦点分别是，，以()222210x y a b a b +=>>1F 2F 2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点P 1PF 2F P ，则椭圆的离心率为（ ）．A B C D 1【例2】（2022·全国·高二课时练习）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A ，B 两点，2F 为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）1F 1F ABA B ．C D ．1312【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F (0)y kx k =>C 两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆,M N M 12,,,M F N F 2NF 6πC的离心率为（ ）A B C D 11【例4】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F P I和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )G 12PF F △IG xA ．BCD 12【题型专练】1.（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点C F O l C ,M N ，且，若，则的离心率为（ ）FO MO=π6MNF ∠=CA B 1C D 1-2.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若12,F F ()222210x y a b a b +=>>P 12PF PF ⊥）A B ．C D -213.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，()222210x y a b a b +=>>1F 2F 6π3π1l 2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A C 14.（2019全国II 文20）已知是椭圆12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C 的离心率；2POF △【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，1PF 2POF △12F PF △1290F PF ∠=︒2PF c=，于是，故的离心率是．1PF =1221)a PF PF c=+=+C 1ce a ==-题型二：利用与建立一次二次方程不等式a c 在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系c b a ,,【例1】（黄冈天有高级中学高二月考）已知是椭圆的两个焦点，过12,F F 1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若,A B 2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D 1【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为12,F F 2222C :1(0)x y a b a b +=>>P C上一点，且，，则的离心率为（ ）1260F PF ∠=213PF PF =CA B C D ．23【例3】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，Γ22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F ，过的直线与交于A ，B 两点.若，，则的离心率为（ ）2F Γ223AF F B=12AB AF =ΓA ．BCD 15【例4】（2022·全国·高二）已知椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，直线2222:1(0)x y C a b a b +=>>y x=与直线的交点为P ，若的面积是AB OBP OAB面积的2倍（O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．CD1323【例5】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若1F 2F 1F A B 2ABF I ，则该椭圆的离心率是（ ）23450++=IB IA IF A B ．CD ．2312【题型专练】1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））椭圆的左、右焦点分别为，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F ，过点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若，，则椭圆C 的离心率为（ ）1F 122||||F F AF =112AF F B=A ．B CD ．57132.（2015届四川省成都市高三第一次诊断性检测理科数学试卷（带解析））已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若22221(0)x y a b a b +=>>F A P PF x ⊥，则椭圆的离心率为14PF AF =A ．B ．CD34123.已知是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，，且2F ()222210x y a b a b +=>>()220OP OF PF +⋅= ，则椭圆的离心率为（ ）22OP OF b+=AB CD4.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B CD ．135.（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为2222:1(0)x y M a b a b +=>>12,F F ，两平行直线分别过交M 于A ，B ，C ，D 四点，且12,l l 12,F F 2222,4AF DF AF DF ⊥=，则M 的离心率为（ ）A ．BC ．D 12236.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F ，点P 为C 上一点，若，且，则椭圆C 的离心率为（ ）212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒A ．BC ．D 1613题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率【例1】（2021·四川省内江市第六中学高二开学考试）已知为坐标原点，是椭圆O F 的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且2222:1(0)x y C a b a b +=>>A B ､C P C PF x⊥轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆A l PF M y E BM OE C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．13122334【例2】（2014新课标2）设，分别是椭圆：的左，右焦点，是1F 2F C ()222210y x a b a b+=>>M 上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．C 2MF x 1MF C N （Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；MN 34C【例3】（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））已知椭圆的两个焦点为()2222:10x y C a b a b +=>>和，直线过点，点关于直线对称点在上，且()1,0F c -()2,0F c l 1F 2F l A C ()2112222F A F F AF c +⋅= ，则椭圆的离心率为____________．C 【题型专练】1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为C 22221(0)x y a b a b +=>>12F F ，，点A 是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆1AF B ，23AB F B =，C的离心率为____.2.（2022·江苏·高二）已知，分别是椭圆1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过作2F 12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.||OA =题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围[]a c a c -+，【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为()222210x y a b a b +=>>()1,0F c -，，点M 在椭圆C 上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）()2,0F c 12MF c a MF =A ．B ．C．D 141235【题型专练】1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是椭圆C ：1F 2F ()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是的中点，若MN 平分2OF ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）12F MF ∠A ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭题型五：利用最大顶角求离心率范围问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆1F 2F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．C P 12π3F PF ∠≥C 【例2】（2022·江苏·高二期末）已知椭圆，对于C 上的任意一点P ，圆()2222:10x y C a b a b +=>>上均存在点M ，N 使得，则C 的离心率的取值范围是（ ）222:O x y b +=60MPN ∠=︒A ．B ．C ．D ．⎛ ⎝10,2⎛⎤ ⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，1F 2F P 12120F PF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围为____．2.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆与圆，若在椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>22224:5b C x y +=1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆2C 1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．⎛⎝⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭3.（2022·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆()2222:10x y C a b a b +=>>P C 上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )222:O x y b+=M N 120MPN ∠=︒C A ．B ．C．D ．⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.（2019·内蒙古赤峰市·高二期末（理））已知分别是椭圆12F F ，()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是C P 12120F PF ∠≥︒C A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题【例1】（2021全国卷乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点B 2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 都满足，则的离心率的取值范围是（ ）P ||2PB b ≤CA ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝10,2⎛⎤⎥⎝⎦【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线PA ，PB 的斜率之积的范围为，则椭圆32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭E的离心率的取值范围是（ ）A ．B．12⎛ ⎝C ．D．41⎛ ⎝11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【例3】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12,F F 12F F P为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：1()0F c -，2(0)F c ，C 22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）P 212PF PF c ⋅= CA ．B ．C ．D．11)2.（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C ：（）的左､右顶点分别为，22221x y a b +=0a b >>1A 2A ，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）12A A 20bx ay ab -+=A ．B ．C ．D ．.⎛⎝⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎛⎝3.（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，离心率为e ，若在C 上存在点P ，使得，则的最小值是（ ）||3PA b =2e ABCD4.（2022·江苏盐城·三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，P C ()222101y x b b +=<<A B在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则PA PB ⊥PA PB =PAB C的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D．⎛ ⎝⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭5.（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，1A 2A 1B 2B 分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P ，若2F 12B F 22A B 12B PA ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．。

定义法求离心率试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，离心率e的计算公式为（）。

A. e = √(1 - (b²/a²))B. e = √(1 - (a²/b²))C. e = (a² - b²) / a²D. e = (a² - b²) / b²答案：B2. 双曲线的离心率e与a、b的关系是（）。

A. e = √(1 + (b²/a²))B. e = √(1 - (b²/a²))C. e = (a² + b²) / a²D. e = (a² + b²) / b²答案：A二、填空题3. 椭圆的离心率e的取值范围是（）。

答案：0 < e < 14. 双曲线的离心率e的取值范围是（）。

答案：e > 1三、解答题5. 已知椭圆的长轴为10，短轴为8，求椭圆的离心率。

答案：首先计算半长轴a和半短轴b的值，a = 5，b = 4。

然后使用离心率公式e = √(1 - (b²/a²))，代入b和a的值，得到e =√(1 - (4²/5²)) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5。

6. 已知双曲线的实轴长为6，虚轴长为4，求双曲线的离心率。

答案：首先计算半实轴a和半虚轴b的值，a = 3，b = 2。

然后使用离心率公式e = √(1 + (b²/a²))，代入b和a的值，得到e =√(1 + (2²/3²)) = √(1 + 4/9) = √(13/9) = √13/3。

四、计算题7. 已知椭圆的离心率为0.5，短轴为4，求椭圆的长轴和离心率。

答案：已知离心率e = 0.5，短轴为2b = 4，所以b = 2。

椭圆的离心率小题专练2022.10.31一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )A. B. C. D.2.已知，是椭圆：的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.3.已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.4.设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6.设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.7.已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知椭圆：的左、右端点分别为，，点、是椭圆上关于原点对称的两点异于左、右端点，且，则下列说法正确的有( )A. 椭圆的离心率为B. 椭圆的离心率不确定C. 的值受点，的位置影响D. 的最小值为10.已知动圆与圆：外切，且与圆：内切，动圆圆心的轨迹为，则下列说法正确的是( )A. 轨迹的方程为B. 轨迹的焦距为C. 轨迹的长轴长为D. 轨迹的离心率为11.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆的方程为C. D. 的周长为12.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是( )A. 的蒙日圆的方程为B. 对直线上任意点，C. 记点到直线的距离为，则的最小值为D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左，右焦点，是的内心，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率为．14.椭圆中，，分别为其左、右焦点，为椭圆上一点且轴，设是椭圆上任意一点，若面积的最大值是面积的倍为坐标原点，则该椭圆的离心率．15.椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于．16.已知是以，为焦点的椭圆上一点，且，，则该椭圆的离心率为．答题卡一、选择题二、填空题13. 14.15. 16.。

高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。

在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。

下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。

练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。

解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。

代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。

练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。

解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。

通过解方程可以得到b ≈ 3.06。

练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。

解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。

解方程可得b ≈ 6.67。

练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。

解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。

根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。

练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。

解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。

练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。

解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。

解方程可得a ≈ 17.82。

练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。

解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。

解方程可得b ≈ 0。

专题求离心率题型一利用几何性质求解题型二利用坐标法求解题型三利用第一定义求解题型四利用第二定义求解题型五利用第三定义求解题型六与斜率乘积相关题型七焦点三角形双余弦定理模型题型八焦点弦与定比分点题型一利用几何性质求解1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，两个焦点为1F ，2F ，线段2BF 的垂直平分线过点1F ，则椭圆的离心率为．【答案】12/0.5【分析】求出线段2BF 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得224a c =，再结合222a b c=+可求得离心率.【详解】如图，设2BF 的垂直平分线与2BF 交于点H ，由题，()1,0F c -，()2,0F c ，()0,B b ，则,22c b H ⎛⎫⎪⎝⎭，()10232F Hb b kc c c -∴==--，200BF b b k c c -==--，121F H BF k k ⋅=- ，13b b c c ⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭，化简得，223b c =，由222a b c =+，解得224a c =，22214c e a ∴==，即12e =.故答案为：12.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F c -，坐标原点为O ，若在双曲线右支上存在一点P 满足1PF =，且PO c =，则双曲线C 的离心率为.1【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为12||||PO c FO F O ===，所以1122,PF O OPF PF O OPF ∠=∠∠=∠，所以1212π2OPF OPF F PF ∠+∠=∠=，则2222221212||||||,32)4PF PF F F c a c +=∴+-=，22240c a -+=，220e -+=，解得1e =.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且212PF F F ⊥，过P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，若212AF c =，记椭圆的离心率为e ，则2e =.【分析】由题意可得22122PF F F AF =⋅，从而可求得2PF c =，根据勾股定理可求得1PF ，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：因为212PF F F ⊥，1AP PF ⊥，所以122PF F APF ，可得22122P F F A F F PF =，即222212122P F A F c F c c F =⋅=⋅=，可得2PF c =；又在12Rt PF F 中，1PF ==，由椭圆定义可得122PF PF a +=2c a +=，所以12c e a ===，可得22e ==⎝⎭4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为()()12,0,,0,F c F c M -是椭圆上一点，且满足120F M F M ⋅= .则椭圆离心率e 的取值范围为（）A ．22⎡⎢⎣⎦B ．22⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．2⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【分析】根据给定条件，可得12F M F M ⊥，进而得出||MO c b =≥，再求出离心率范围即得.【详解】由点M 满足120F M F M ⋅=，得12F M F M ⊥，即12F MF △是直角三角形，原点O 是斜边12F F 的中点，因此||MO c =，又点M 在椭圆上，则c b ≥，即2222c b a c ≥=-，整理得2212c a ≥，即212e ≥，而01e <<，因此212e ≤<，所以椭圆离心率e 的取值范围为22⎫⎪⎪⎣⎭.故选：D5．点P 在椭圆上，且在第一象限，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该椭圆的离心率为．【答案】3【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据PA 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长2F A ，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||QF OA ==.又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=，2a ∴=，222233()a b a c ∴==-，则62a c =，∴离心率为c a =故答案为：36．如图，A B C ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O AC ，经过右焦点F ，若BF AC⊥且3BF CF =，则该椭圆的离心率为.【答案】2【分析】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，利用对称性得到13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，再根据BF AC ⊥，分别在1AF C △和1R t AF F 中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，由对称性知：13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，因为1//AF BF ，所以1AF AC ⊥，在1AF C △中，22211AF AC CF +=，即()()2229222m a m a m +-=-，解得3a m =，在1R t AF F 中，()()2229232m a m c +-=，将3a m =代入上式，得22c e a ==，故答案为：22题型二利用坐标法求解7．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（）A．2BC ．32D【答案】B【分析】设(),B m n ，联立方程组求得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据90OAF ∠=︒，得到1AF OA k k ⋅=-，求得ab n c =，再由(),B m n 在双曲线C 上，化简得到22422a c am c+=，结合OB OF =，化简得到222a c =，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±.设(),B m n ，联立方程组b y x a y n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为90OAF ∠=︒，所以1AF OAk k ⋅=-，即1n ban a c b⋅=--，可得ab n c=.又因为点(),B m n 在双曲线C 上，所以22221m na b-=，将ab n c =代入，可得22422a c a m c +=，由OBF OFB ∠=∠，所以OB OF =，所以222m n c +=，即22422222a c a a bc c c++=，化简得222a c =，则ce a==.故选：B.8．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）AB C ．2D【答案】D【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．C．)2D．)+∞【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出,,A B D 的坐标，写出向量,DA DB，根据∠ADB 为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，令x c =-，得2by a=±，可设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由对称性，不妨设(0,)D b ，可得2,b DA c b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题意知,,A D B 三点不共线，所以∠ADB 为钝角0DA DB ⇔⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入化简得4224420e a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，解得22e >e ，综上，离心率的取值范围为)+∞．故选：D.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P ﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为.【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a ⋅=-= ，ce a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得e =故答案为：622．11．已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点,A B （,A B 在同一象限内），且满足1F A AB =．联结2AF ，满足21AF BF ⊥．若该双曲线的离心率为e ，求2e 的值．【答案】12-【分析】设点()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥，A 在双曲线上，1F A AB =得到B 的坐标，然后根据B在渐近线b y x a =-上列方程，解方程得到a b =，然后求离心率即可.【详解】不妨设()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥得00001y y x c x c⋅=--+，化简得222000y x c +-=（1），A 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002a y x a b =+，代入（1）解得20b y c=，1F A AB = ，()002,2B x c y ∴+，又B 在渐近线by x a=-上，()0022by x c a∴=-+，即0022bx ay bc +-=．两边平方得222222000444b x a y b c abcy =++（2），将2222002a y x a b =+和20b y c =代入（2）得242422322224444a b a b b c ab a b c c++=+，化简得22340a ab b --=，解得a =或a b =（舍去），即)222a c a =-，化简得212e =-.故答案为：12-.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 斜率为43的直线与C 的右支交于点P ，若线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，则C 的离心率为（）A ．13B C ．2D ．3【答案】D【分析】求得P 点坐标，根据直线1PF 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，且O 是12F F 的中点，所以212PF F F ⊥，由22221c y a b -=解得2P by a=，则2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，而()1,0F c -，所以1222242223PF b b c a a k c ac ac -====，2222833,3830ac c a c ac a =---=，两边除以2a 得23830e e --=，解得3e =或13e =-（舍去）.故选：D13．直线2y x =与椭圆C ：22221x y a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为（）A1BC1D．12【答案】A【分析】根据A 在椭圆上和直线2y x =上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A ，右焦点为(),0F c ，根据题意：AF x ⊥轴，A 在椭圆上，由22221c y a b +=解得2A b y a =，则2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 在直线2y x =上，则(),2A c c ，所以22b c a=，22b ac =，222-=a c ac ，所以()221001e e e +-=<<，解得1e =.故选：A题型三利用第一定义求解14．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，12π6PF F ∠=，则C 的离心率为（）AB ．23CD．2【答案】A【分析】根据中点关系可得2PF x ⊥轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.【详解】由于线段1PF 的中点M 在y 轴上,O 是12F F 的中点，所以22//,MO PF PF x ∴⊥轴，122F F c =，12π6PF F ∠=，所以1221212112tan ,cos 32F F PF F F PF F PF PF F =∠=∠，2a a e ⇒=⇒=故选：A15．1F ，2F 是椭圆E ：()222210 x y a b a b+=>>的左，右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1245FM N F MN ∠=∠=︒，1234NF NF =，则椭圆E 的离心率为.【答案】57【分析】根据1245FM N F MN ∠=∠=︒，得到12F M F M ⊥，且MN 是12F MF ∠的角平分线，再结合1234NF NF =和角平分线定理得到1243F M F M=，然后在12Rt F MF △中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为1245FM N F MN ∠=∠=︒，所以12F M F M ⊥，则MN 是12F MF ∠的角平分线，所以1122F M F N F MF N=，又因为1234NF NF =，所以1243F M F M=，设124,3F M F x M x ==，由椭圆定义得122F M F M a +=，即432x x a +=，解得27x a =，则1286,77F M F M a a ==，则22286477a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222549c a =，则57c e a ==，故答案为：5716．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，经过2F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，O 为坐标原点，且()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅==，则椭圆C 的离心率为.【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅== ，所以()22302OP OF PF +⋅=，即()()22302OP OF OF OP +⋅-=，所以21OP OF OF c === ，所以12π2F PF ∠=.设2F Q x =，则22PF x =，所以1122,2PF a x QF a x =-=-，由22211||PF PQ QF +=得222(22)(3)(2)a x x a x -+=-，所以3a x =，所以2124,33a PF a PF ==，在12Rt PFF △中，由2221212PF PF F F +=，得22224(2)33a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以53c e a ==.故答案为:17．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．34B ．23C D 【答案】C【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +-=-，22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =，123a MF ∴=，243a MF =，在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+，223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈ ，e ∴=故选：C.18．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12120F PF ∠=，124PF PF =，则C 的离心率为（）AB ．215C D 【答案】A【分析】根据124PF PF =，12120F PF ∠=，利用余弦定理可得2c =，再由双曲线定义可得32m a =，由离心率定义可得c e a ==.【详解】如下图所示：根据题意可设21,4,0PF m PF m m ==>，易知122F F c =；由余弦定理可知2222112212212221741cos 24P m PF F F F P c F PF m m F PF +-∠=⋅==--⋅，可得22214c m =；即212c =，由双曲线定义可知可知1232PF PF m a -==，即32m a =；所以离心率213c e a ==.故选：A19．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点,A B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．【答案】A【分析】设22AF BF m ==，利用双曲线的定义及题中几何关系将m 用a c 、表示，再利用几何关系建立关于a c 、齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过2F 作2AB F N ⊥与N,设22AF BF m ==，则12AF m a =-，12BF a m =+，∴114AB BF AF a =-=，2AN a =，1F N m =，由题意知1230BF F ︒∠=，∴在12Rt F NF 中，212sin 30F N F F c ︒==，112cos30F N F F ︒==，∴m =，在2Rt ANF 中,22222AN NF AF +=,即())2222a c +=解得c a=双曲线C.故选：A.题型四利用第二定义求解20．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则a b的值为．【答案】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法可求ab的值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，故2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，所以()()()()111122220a x y x y b x y x y -++-+=即()()1201200a x x x b y y y -+-=，所以0121200y y y a b x x x -+⨯⨯=-.因为过原点和线段AB中点的直线的斜率为002y x =-.由:1AB y x =-+可得12121y y x x -=--，所以()102a b ⎛⎫+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以2a b =-.故答案为【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.21．已知椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，P ，Q 为C 上两点，2223PF F Q =，若12PF PF ⊥ ，则C 的离心率为（）A ．35B ．45CD【答案】D【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设23PF m =，则22QF m = ，123PF a m =- ，122QF a m =- .5PQ m =在1PQF △中得：()()222232522a m m a m -+=-，即215m a =.因此225PF a = ，185PF a = ，212F F c = ，在12PF F △中得：22264442525a a c +=，故221725a c =，所以175e =.故选：D22．设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为.【分析】如图，设1F N x =，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3ax =，后在12NF F △由余弦定理可得12F F ，即可得答案.【详解】如图，设1F N x =，则13MF x =，4MN x =.又由椭圆定义可得2223,2MF a x F N a x =-=-.则在2MNF 中，由余弦定理可得:()()()222222222162234425825MN NF MF x a x a x MN NF x a x +-+---=⇒=⋅-()222288410101681868253x ax a x ax ax x x ax x x a x +⇒=⇒+=-⇒=⇒=-.则125,33a aF N NF ==，则在12NF F △由余弦定理可得：12F F a=.又12222c F F c c e a =⇒=⇒==.故答案为：2223．已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为2F ，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于,G H 两点，且222GF F H = ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC ．23D【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222GF F H =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,G x y ，()22,H x y ，过点2F 做倾斜角为π3的直线斜率k =直线方程为)y x c =-，联立方程)22221x y a by x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得22224123033a b y b cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，根据韦达定理：21222233cy y a b+=-+，4122233b y y a b =-+，因为222GF F H =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-，所以()22121242112221222323y y y y b y y y y a b⎛ +⎝⎭+=-=-=---+，即2224132c a b =+，所以22238a b c +=，联立22222238a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得2249a c =，24293e e =⇒=.故选：C.24．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1F ，过左焦点1F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A ，B 两点，且113AF F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．23CD【答案】C【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得22239a b c +=，进而结合222a b c =+求解离心率.【详解】设()1,0F c -，()11,A x y ，()22,B x y ，过点1F 所作直线的倾斜角为π6所以直线方程可写为x c =-，联立方程22221x y a b x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222430a b y cy b +--=，()()22422043cb a b =++>∆，根据韦达定理：12y y +=412223b y y a b =-+，因为113AF F B =，即()()1122,3,c x y x c y ---=+，所以123y y =-，所以()2222212124211222233122333c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭+=-=-=---+，即2223133c a b =+，所以22239a b c +=，联立22222239a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得223a c =，2133e e =⇒=.故选：C25．设12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，M 为椭圆上一点，直线12,MF MF 分别交椭圆于点A ，B ，若11222,3MF F A MF F B ==，则椭圆离心率为（）ABC ．37D【答案】D【分析】设出()00,M x y ，根据向量的定比分点，将,A B 两点的坐标表示成含00,x y 的式子，再代入椭圆方程联立即可解得2237a c =，即可求得离心率.【详解】如下图所示：易知()()12,0,,0F c F c -，不妨设()00,M x y ，()()1122,,,A x y B x y ，易知2200221x y a b+=，由112MF F A = 可得()()01012020c x x c y y ⎧--=+⎪⎨-=-⎪⎩，即0101322c x x y y --⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩同理由223MF F B = 可得0202433c x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；将()()1122,,,A x y B x y 两点代入椭圆方程可得22002222002232214331c x y a bc x y a b ⎧--⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎨-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎩；即222000222220002296144168199c x cx y a bc x cx y a b ⎧+++=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，又2200221x y a b +=，整理得220220322c cx a c cx a ⎧+=⎨-=⎩解得2237a c =，所以离心率217c e a==；故选：D26．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，过左焦点F 且不与x 轴垂直的直线l 交E 于P 、Q 两点，若直线2a x c =-上存在点T ，使得PQT △是等边三角形，则E 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出PQ 的长以及等边PQT △的高，根据几何关系可得出a c 该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点(),0F c -，设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y，联立22221x my cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22222420a b m y b cmy b +--=，()()422422224244410b c m b a b m a b m ∆=++=+>，由韦达定理可得2122222b cmy y a b m +=+，412222b y y a b m=-+，所以，()2222221ab m PQ a b m+=+，设线段PQ 的中点为()00,M x y ，则21202222y y b cm y a b m +==+，22200222222b cm a cx my c c a b m a b m=-=-=-++，因为PQT △为等边三角形，则TM PQ ⊥，且直线TM 的斜率为m -，所以，()32220222a b a TM x c c a b m =+=+，且πtan3TM PM ==，即TM=，即()()322222222221a b m a b m c a b m +=++，整理可得(a c =1ca<<，故选：D.题型五利用第三定义求解27．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =故选：B ．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.28．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y ，得22112222222211x y a b x y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得到()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，代入条件即可计算离心率．【详解】设()()1122,,,B x y D x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a -=可得2ce a==．故选：A.【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．29．已知椭圆，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．2B ．12C ．14D．2【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为22221x y a b+=，有(),0F c -，()0,P b -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，122x x ∴+=，121y y +=．//PF l ，1212PF l y y b k k c x x -∴==-=-．由2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，即1212221212()()()()x x y y a y y b x x +-=-+-，∴222a cbb =，可得：22bc a =，22244()c a c a ∴-=，化为：424410e e -+=，解得212e =，01e <<，e ∴=故选：A ．30．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，直线l ：x y c b +=1与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于T （﹣5c ，0），则C 的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，联立方程组2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减可得b 2(x 12﹣x 22)=a 2(y 12﹣y 22)，可得b 2(x 1﹣x 2)(x 1+x 2)=a 2(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)，可得2b 2(x 1﹣x 2)x 0=2a 2(y 1﹣y 2)y 0，所以kMN 20122120b x y y b c x x a y -=-==-，即b c -2020y b x a⋅=（1），由kMN ⋅kST =-1，可得b c -⋅005y x c =-+1（2），由（1）（2）可得x 025a c =-，y 0=5b ，即S (25a c -，5b )，又S 在直线l 上，所以225a c-+5＝1，解得e c a ==故选：D ．【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．31．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆CC ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．32．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点M ，点F 为右焦点，点P 为下顶点，2FP MF = ，则椭圆的离心率为.【分析】过M 作MN x ⊥轴于N ，根据相似关系确定3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过M 作MN x ⊥轴于N ，2FP MF = ，则122b MN OP ==，122c NF FO ==，故3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，则222291441c b a b+=，整理得到29344e =，故33e =.题型六与斜率乘积相关33．已知A ，B 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点，F 是C 的焦点，点P 为C 的右支上位于第一象限的点，且PF x ⊥轴.若直线PB 与直线PA 的斜率之比为3，则C 的离心率为（）ABC ．2D ．3【答案】C【分析】由已知可得A ,B ,P 的坐标，求得PA ,PB 所在直线的斜率，再由直线PB 与直线PA 的斜率之比为3列式求双曲线C 的离心率．【详解】由题意可得，(,0)A a -，(,0)B a ，P 点的横坐标为c ，代入22221c y a b-=，又0P y >，所以2(,)b P c a ，2PAb a kc a =+，2PBb a kc a =-，则3PBPAk c a kc a +==-，可得2ca=．即双曲线的离心率为2．故选：C ．34．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点A 满足3OA OF = ，点P 、Q 在双曲线上，且2AQ AP = ．若直线PQ ，PF 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为．【详解】如图，取P ，Q 的中点为M ，连接OM ，PF，则由题意可得，2PA PM =，2AF FO =，所以APF ，AMO 相似，所以PF MO ∥，因为直线PQ ，PF 的斜率之积为13，所以13PQ OM k k =⋅，设()11P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,且22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=+-，即2213PQ OMb k a k ==⋅，即2213b a =，所以双曲线的离心率为233e ===．35．设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.【答案】2【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2c e a ====.故答案为：22.36．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ．若直线l 与直线PF 的斜率之积等于316-，则C 的离心率为．【答案】12/0.5【分析】设()()1111,,,A x y B x y ，求出PF 的斜率，利用点差法求出直线l 的斜率，在根据题意求出,,a b c 之间的关系即可得解.【详解】(),0F c -，设()()1111,,,A x y B x y ，因为点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ，所以12122,,332y y c c x x P +⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()121212123224832PFy y y y y y k x x c c c+++===++，由直线l 与C 相交于A ，B 两点，得2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得2222112222220x y x y a b a b+--=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即212122l k y y x x b a⋅=++-，所以()222221211223l x x c y y b b k a y a y +=-=-⋅+⋅+，则()()2212122233623841l PFy y b b k a c y y k c a +⋅=-⋅⋅=-=-+，所以2234b a =，所以离心率12c e a ===.故答案为：12.37．双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为A ，点,M N 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AM ，AN的斜率之积为54-，则C 的离心率为（）A ．32B C ．2D 【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得22b a，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意(),0A a -，设(),M m t ，则(),N m t -，m a >且222222222222221,m t a b t a t a m a a b b b+-===+，而22254AM ANt t t k k m a m a a m ⋅=⋅==-+-+-，()222222222225455t a t a t m a a a b b ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，2254b a =，所以32c e a ==.故选：A38．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为25-，则C 的离心率为（）A B C D 【答案】A【分析】根据题意结合椭圆方程整理得22AP AQ b k k a⋅=-，进而可求离心率.【详解】由题意可知：(),0A a ，设()()000,0P x y y ≠，则()00,Q x y --，可得000000,AP AQ y y y k k x a x a x a -===---+，则200022000AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅=-+-，又因为点()00,P x y 在椭圆上，则2200221x y a b +=，整理得()2222002b y a x a=-，可得()222220202222200APAQb a x y b a kk x a x a a-⋅===---，即2225b a -=-，所以C的离心率155e ===.故选：A.39．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为19，则C 的离心率为（）AB．3CD【答案】C【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，根据斜率公式结合题意可得19AP AQ k k ⋅=，再结合2200221x y a b+=可求出离心率.【详解】由题意得(,0)A a -，设00(,)P x y ，因为点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称，所以00(,)Q x y -，2200221x y a b +=，所以0000,AP AQ y yk k x a a x ==+-，所以20002200019AP AQy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--，因为2200221x y a b +=，所以2222002()b a x y a-=，所以2220222220()19b a x b a a x a -==-，所以离心率c e a =====，故选：C题型七焦点三角形双余弦定理模型40．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线在第一象限与双曲线相交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且2232AF F B =，1AF AB = ，则双曲线的离心率为.【分析】根据题意，设()230AF t t => ，利用由双曲线的定义，求得23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a == ，分别在12AF F △和1AF B △中，由余弦定理，列出方程，求得,a c 关系式，即可求解.【详解】因为2232AF F B =且1AF AB = ，可设()230AF t t => ，则212,5F B t AF AB t === ，由双曲线的定义，可得1222AF AF t a -==，所以t a =，所以23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a ==，分别在12AF F △和1AF B △中，可得()()()()()()222222532552cos 253255a a c a a a A a aa a+-+-==⨯⨯⨯⨯，整理得：285c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的离心率为5..41．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点．过1F 作双曲线Γ一条渐近线的垂线，垂足为D ，若2DF OD =，则双曲线Γ的离心率为．【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出1DF ，进而求出OD ，2DF ，再利用余弦定理得出a 与c 的关系，进而求出离心率.【详解】由双曲线2222:1(0,0)x y a b a b Γ-=>>的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =-，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c .由1F 作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得1DF b =，所以OD a ==，所以2DF =，由于1FOD ∠与2F OD ∠互补，所以12cos cos 0F OD F OD ∠+∠=，即2222228022a c b a c a ac ac+-+-+=，可得225c a =，则离心率c e a ==42．已知1F ，2F 分别是双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，25CB F A =uu r uuu r，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A B C D ．83【答案】A【分析】因为25CB F A =uu r uuu r，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．由角平分线的性质可得24AF t =，由双曲线的定义可得23at =，22BF t =，再结合余弦定理可得226c t =，从而可求解.【详解】因为25CB F A =uu r uuu r，则2//CB F A ，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222841BF F F c BCF Cc ===，所以1420BC BF t ==，所以2145AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即42t t a -=，23at =，①又由122BF BF a -=得2522BF t a t =-=，在2ABF △中，由余弦定理知2222222222164161cos 22424AB BF AF t t t ABF AB BF t t +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即222125444252t t c t t +-=⨯⨯，化简得226c t =，把①代入上式得22249a c =，解得c e a ==故选：A ．43．已知双曲线E ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与E 交于A ，B两点（B 在x 轴的上方），且满足1117AF F B =．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．72C ．52D ．32【答案】D【解析】设1,F B k = 则117AF k = ,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+，在12AF F ∆和12BF F ∆中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.【详解】设1,F B k = 则117AF k = ,则122F F c =,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+,在12AF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos 60AF AF F F AF F F =+-⋅⋅ ，即()222111122227772a k k c k c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在12BF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos120BF BF F F BF F F =+-⋅⋅即()()222122222a k k c k c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭两式相减可得,843a c =,所以离心率32c e a ==.故选:D【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.44．已知12,F F 分别为双曲线()2222100x yC a b a b-=>>：，的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于,A B 两点，且113AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则C 的离心率为（）A ．3B ．2CD 【答案】B【分析】设1BF m =，利用双曲线定义表示出22,BF AF 的长，再利用勾股定理可得()()22222m m a c ++=，在12BF F △和12AF F △中，分别利用余弦定理可得223b m a =，联立两式即可得离心率e ==【详解】如下图所示，连接22,BF AF ，易知以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点1F ，即12F F 为圆O 的直径，所以12BF BF ⊥；不妨设()1,0BF m m =>，则13AF m =，由双曲线定义可得222,32,BF m a AF m a =+=+所以2221212||||BF BF F F +=，即()()22222m m a c ++=，整理得2222m am b +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①在12BF F △中可得，()2222124244cos 224m c m a b am BF F m c mc+-+-∠==⋅；在12AF F △中可得，()2222129432412cos 23212m c m a b am AF F m c mc+-+-∠==⋅⋅；又易知1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=，可得223b m a=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②联立①②可得，2232a b =，则双曲线的离心率为e ==故选：B45．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线3y x =与双曲线C 交于A ，B两点（点A 在第二象限），且12AB F =.则双曲线C 的离心率为（）A BC ．13+D 【答案】A【分析】根据直线斜率可得倾斜角，作焦点三角形，利用余弦定理，结合双曲线的定义，可得答案.【详解】因为12AB F F =，所以OA =因为AB k =130AOF ∠=︒.所以。

椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A．B．C．D ．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）A．B．C．D．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）A．B．C．D ．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A．B．C．D ．7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D ．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）A．B．2﹣C．2（2﹣）D ．9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）A．B．C．D ．或10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．D ．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A．B．C．D ．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．一l14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A．B．C．D ．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．﹣120．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（ ）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）A．B．C．D ．an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go 参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）e an dAl l t h i ng si nt he i rb ego od fo rs o点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．　2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a ＞b ＞0，a ＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B ．an dAl l th i ng si nt he re go od fo rs o 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．　3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF ，AN ，AF ，BF 所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α利用e==n dAl l th i ng si nt he i re go od fo rs o 所以：则：即：椭圆离心率e 的取值范围为[]故选：A 点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．　4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于的方程求得e ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c ）（c ，c ）代入椭圆=1两边乘2a 2b 2则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2∵b 2=a 2﹣c 2c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0（2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0l l th i ng si nt he i rb ei n o od fo rs o=2，或∵0＜e ＜1所以e==故选A 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系．　5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力．　6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．n dl l th i ng si nt he i rb ei n ga regood fo rs 分析：在焦点△F 1PF 2中，设P （x 0，y 0），由三角形重心坐标公式，可得重心G 的纵坐标，因为，故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形F 1PF 2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a 、b 、c 的等式，即可解得离心率解答：解：设P （x 0，y 0），∵G 为△F 1PF 2的重心，∴G 点坐标为 G （，），∵，∴IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F 1PF 2中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴=•|F 1F 2|•|y 0|又∵I 为△F 1PF 2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||∴•|F 1F 2|•|y 0|=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||即×2c •|y 0|=（2a+2c ）||，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率e==故选A 点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法　7．（2015•长沙模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．ang si nt he i rb ei n ga re go od fo 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （m ，n ），由得到n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得到 b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得到 m 2 的解析式，由m 2≥0及m 2≤a 2求得的范围．解答：解：设P （m ，n ），=（﹣c ﹣m ，﹣n ）•（c ﹣m ，﹣n ）=m 2﹣c 2+n 2，∴m 2+n 2=2c 2，n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得m 2=≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，b 2≤2c 2，a 2﹣c 2≤2c 2，∴≥．又 m 2≤a 2，∴≤a 2，∴≤0，故a 2﹣2c 2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C ．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．　8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣）D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt △MF 2 F 1中，tan60°==，建立关于a 、c 的方程，解方程求出 的值．e an dAl l t h i ng si nn ga re go od 解答：解：如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 2F 1=60°，F 1F 2=2c∴MF 2=4c ，MF 1=2c MF 1+MF 2=4c+2c=2a ⇒e==2﹣，故选B ．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．9．（2015•新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率e 的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C 上的点P 满足，∴|PF 1|==3c ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c ）≥3c ，3c+2c ≥2a ﹣3c ，化为．∴椭圆C 的离心率e 的取值范围是．故选：C ．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　Al l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r10．（2015•怀化二模）设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cos ∠PF 1F 2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF 1||PF 2|的范围，进而确定cos ∠PF 1F 2的最小值，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==，解得x 12=．∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A ．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P 点在短轴的端点时∠F 1PF 2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．　11．（2015•南昌校级二模）设A 1，A 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．D ．考点：椭圆的简单性质．n dh i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P （asin α，bcos α），所以根据条件可得到，b 2换上a 2﹣c 2从而可得到，再根据a ，c ＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P （asin α，bcos α），A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）；∴，；∴；∴；∴，a ，c ＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C ．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b 2=a 2﹣c 2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键．　12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a ＞b ＞0），运用椭圆的定义，可得|NF 2|=2a ﹣|NF 1|=2a ﹣3，|MF 2|+|MF 1|=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 1的中点K ，连接KF 2，Allthingsintheirbeingaregoodforso 则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．n dAl l t h i nhe i rb ei n ga re go od f分析：求出F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A （m ，n ），则，∴m=，n=c ，代入椭圆方程可得，化简可得e 4﹣8e 2+4=0，∴e=﹣1，故选：D ．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015•宁城县三模）已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0．intheirbeingare解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法．　15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，angsintheirbeingaregoodfors 3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．n dAl l t h i ng srb ei n ga re go od 又|MF 2|=2|OA|，在Rt △OMF 2中，∴∠AF 2F 1=60°，在Rt △AF 1F 2中，|AF 2|=c ，|AF 1|=c ．∴2a=c+c ，∴=﹣1．故选：C ．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，进而在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF 1|=|MO|=|MF 2|，由椭圆定义可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，即|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，Ant he i rb ei n ga re go od fo rs o则cos ∠MOF 1==，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，则cos ∠MOF 2==，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，即为+=0，整理得：3c 2﹣2a 2=0，即=，即e 2=，即有e=．故选：D ．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a ，c 的方程是解答的关键，难度中档．　18．（2015•甘肃校级模拟）设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（，1）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P （，y ），可得F 1P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用，可得y 2=2b 2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P （，y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（），n dAl l t h i ng si nt hn ga re go od fo rs o ∴，∵，∴y 2=2b 2﹣，∴y 2=（a 2﹣c 2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e ＜1，∴＜e ＜1．故选：C ．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F 1P 的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题．　19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F 的坐标，然后，根据△AOF 为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP 的斜率为k=tan60°=，∴点P 坐标为：（c ，c ），n dAl l th i ng si nt he i rb ego od fo rs o 代人椭圆的标准方程，得，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，∴e=．故选：D ．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a ，b ，c 的等量关系，然后，进行求解．　20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）和圆O ：x 2+y 2=b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[，1）B ．[，1）C ．[，1）D ．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，由于△MEF 为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b ≤a ，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，∵△MEF 为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b ≤a ，∴，∴椭圆C 的离心率e==．又e ＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C ．an dAl l t h i ng si nt he i rb go od fo rs o 点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，1）C ．（，1）D ．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD ＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC 是锐角三角形，∴∠BAD ＜45°，∴1＞，化为，n dAl l t h i ng si nt he a re go od fo rs o 解得．故选：A ．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　22．（2015•杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（ ）A ．2﹣B ．3﹣C ．11﹣6D ．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2）a ，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，即有c 2=（9﹣6）a 2，n dAl l t h i ng si n即有e 2==9﹣6．故选D ．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键．　23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF ∈（0，]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[，]D ．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF ⊥AF ，再由O 点为AB 的中点，OF=OF 2．可得四边形AFBF 2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，利用椭圆的定义可得BF+BF 2=2a ，可得e=，即可得出．解答：解：设F 2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF ⊥AF ，∵O 点为AB 的中点，OF=OF 2．∴四边形AFBF 2是平行四边形，∴四边形AFBF 2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，BF+BF 2=2a ，∴2ccos θ+2csin θ=2a ，∴e=，sin θ+cos θ=，∵θ∈（0，]，n dAl l th i ng rb ei n ga re go od fo rs o∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　24．（2015•南宁三模）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．[，]B ．（0，]C ．[，1）D ．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则2c 2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则2c 2==（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=+，化为．an dAl l th i ng si nga re go od fo rs o 又，∴=，∵，∴，∵b 2=a 2﹣c 2，∴，∴．故选：A ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　25．（2015•张掖模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则，可得：=．由于，可得=c 2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则，∴=．∵，n dAl l th i ng srb ei n ga re go od fo rs ∴（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=c 2，化为=c 2，∴=2c 2，化为=，∵，∴0≤≤a 2，解得．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．　26．（2015•永州一模）已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x+2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A 作直线y=x+2的对称点C ，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a 的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则c=1，∵P 在直线l ：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A 作直线y=x+2的对称点C ，设C （m ，n ），则由，n dAl l t h i ng b ei n ga re go od fo rs o 解得，即有C （﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C ．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题．　27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（0，）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得k=tan ∠BAF 2，然后通过0＜k ＜，分子分母同除a 2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，∴k=tan ∠BAF 2=，an dAl l th e i rb ei n ga re go od fo rs 又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e ＜1．故选：D ．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．　28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos ∠AOP==，∴|OP|==2b ，。

椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。

椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）A． B ．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于x C．2（2﹣轴，则椭圆的离心率为（）D．）9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．P，使得12．设椭圆 C 的两个焦点为F1、 F2，过点 F1的直线与椭圆C交于点M，N，若 |MF2 |=|F 1F2| ，且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13（．2015?高安市校级模拟）椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0的对称点 A 是椭圆A．B．C 的离心率为（）C 上的点，则椭圆C． D ．一l14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．15．已知椭圆若 |PF2|=|F 1F2| ，且（ a＞ b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（F1的直线交椭圆于）P，Q两点，A．B．C．D．16．已知椭圆 C：轴正半轴上一点，直线MF2交C 于点的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为 yA，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆 C的中心为 O，两焦点为 F1、F2，M是椭圆 C上一点，且满足 ||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B． C ． D ．﹣120．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）22．设 F1、F2为椭圆 C： + =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交于 A， B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6 D．9﹣ 623．直线 y=kx 与椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）交于 A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0， ] B．（0， ] C． [ ， ] D． [ ， 1）24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C． [，1）D． [，]25．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA= ，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．参照答案与试题剖析一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：①当点P 与短轴的极点重合时，答：△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2 P；②当△F1F2 P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2 =F1 P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，在△F F P 中， F1F2+PF1＞ PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，1 2 1由此得知 3c＞a．因此离心率 e＞．当 e= 时，△F1 F2 P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当 F P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠时也存在 2 个1满足条件的等腰△F 1 F2P这样，总合有 6 个不同样的点P 使得△F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞ b＞ 0， a＜2b它对应的平面地域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P== ，应选 B．3．已知椭圆（ a＞ b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．解解：已知椭圆（ a＞b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B，答：F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF，AN， AF， BF因此：四边形AFNB为长方形．依照椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ ANF=α．因此： 2a=2ccosα+2csin α利用 e==因此：则：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．解解：两个交点横坐标是﹣c，c答：因此两个交点分别为（﹣c，﹣c）（ c，c）代入椭圆=1两边乘 2a2 b2则c2（ 2b2+a2）=2a2b222 2∵b=a ﹣ cc2（ 3a2﹣ 2c2）=2a^4﹣ 2a2 c22a^4﹣ 5a2c2+2c^4=0（2a2﹣ c2）（a2﹣ 2c2）=0 =2，或∵0＜ e＜ 1因此 e= =应选 A5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B ．C．D．解解：设|PF2|=x ，答：∵PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F2|=x，又|PF1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c∴2a=3x， 2c= x，∴C的离心率为： e= =．应选 A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．解解：设 P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，答：∴G点坐标为 G（，），∵，∴ IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2 中，|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c∴= ?|F 1F2|?|y 0|又∵I为△F1PF2 的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴= （|PF1|+|F 1F2|+|PF 2 | ） | |∴?|F 1F2|?|y 0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即 ×2c?|y 0|= （ 2a+2c ）|| ，∴2c=a ，∴椭圆 C 的离心率 e= =应选 A7．已知 F （1 ﹣ c ，0），F （2 c ，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解 解：设 P （m ，n ），=（﹣ c ﹣m ，﹣ n ）?（ c ﹣ m ，﹣ n ）222，答： =m ﹣c +n222222①．∴m +n =2c ， n =2c ﹣m把 P （m ， n ）代入椭圆2 22 22 2②，得 b m+a n =a b把①代入②得 22 22 2， m=≥0，∴a b ≤2a cb 2≤2c 2， a 2 ﹣c 2≤2c 2，∴≥ ．2222﹣ 2c 2≥0，又 m ≤a，∴≤a，∴≤0，故 a∴ ≤ ．综上，≤ ≤ ，应选： C ．8．椭圆+ =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别是 F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣ ）D ．解解：如图，答：在 Rt△MF1F2中，∠ MF2F1=60°， F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2 c=2a? e= =2﹣，应选 B．9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B． C ．D．或解解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ |PF1|==3c，答：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF 2|=2a ，∴ |PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a﹣ 3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣ 3c ，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．10．设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解： F1（﹣ c，0），F2（c， 0），c＞0，设 P（ x1，y1），答：则 |PF1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex1．在△ PF1F2中，由余弦定理得cos120°= =，解得 x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e= ≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．应选 A．P，使得11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解解：设 P（asin α， bcosα），A1（﹣ a， 0）， A2（a， 0）；答：∴，；∴；∴；∴，a，c＞ 0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．应选： C．12．设椭圆 C 的两个焦点为 F 、 F ，过点 F 的直线与椭圆 C交于点 M，N，若 |MF |=|F F | ，1 2 1 2 1 2 且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（ a＞b＞0），答：F1（﹣ c，0），F2（ c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a ﹣ |NF1 |=2a ﹣3，|MF2|+|MF 1 |=2a ，即有 2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2⊥MN，由勾股定理可得 |MF2 | 2﹣ |MK| 2=|NF2| 2﹣ |NK| 2，即为 4c2﹣ 4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为 a+c=12，②由①②解得a=7， c=5，则离心率e= = ．应选：D．13．椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（）A．B．C． D ．一l解解：设F（﹣ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m， n），则答：，∴m= ， n= c，代入椭圆方程可得，化简可得 e4﹣ 8e2+4=0，∴e=﹣1，应选： D．14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．解解： F ， F 分别为椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，1 2答：设 F1（﹣ c， 0）， F2（c， 0），（c＞ 0），P 为椭圆上一点，且 PF 垂直于 x 轴．若 |F F |=2|PF | ，2 1 2 2可得 2c=2 ，即 ac=b2=a2﹣ c2．可得 e2+e﹣ 1=0．解得 e= ．应选： D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过 F1的直线交椭圆于P，Q两点，若 |PF2|=|F 1F2| ，且 2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解解：由题意作图如右图，答：l 1， l 2是椭圆的准线，设点Q（ x0， y0），∵2|PF 1|=3|QF 1 | ，∴点 P（﹣c﹣ x0，﹣y0）；又∵ |PF 1|= |MP| ， |QF1 |=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵ |MP|=﹣ c﹣ x0+ ∴3（ x0+ ） =2（﹣， |QA|=x 0+c﹣x +），，解得，x0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F2| ，∴（c+ x0+ 将 x0=﹣） =2c；代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8 +3=0；解得，=1（舍去）或= ；应选： A．16．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF2交 C 于点 A，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．解解：以以下图，1 2 中，1 2．答：在 Rt△AF F |F F |=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠ AF2F1=60°，在Rt△AF1 F2中，|AF2|=c ，|AF1 |= c．∴2a=c+ ∴c，= ﹣1．应选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足| |=2| |=2| | ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．解解：∵|MF1|=|MO|=|MF 2| ，答：由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF 2|=3|MF 2| ，即|MF2|= a， |MF1|= a，在△F1OM中，|F 1O|=c，|F 1 M|=a， |OM|= a，则 cos∠MOF1==，在△ OF2M中， |F 2O|=c， |M0|=|F 2M|= a，则 cos∠MOF2= =，由∠ MOF1=180°﹣∠ MOF2得： cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+ =0，整理得： 3c2﹣2a2=0，即= ，即 e2= ，即有 e=．应选： D．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（， 1）解解：由已知 P（， y），得 F1P 的中点 Q的坐标为（），答：∴，∵2 2，，∴y=2b ﹣2 2 2）（ 3﹣）＞ 0，∴y=（ a ﹣c ∴3﹣＞0，∵0＜ e＜ 1，∴＜ e＜ 1．应选： C．19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．﹣1解解：以以下图所示：答：设椭圆的右焦点为F，依照椭圆的对称性，得直线 OP的斜率为 k=tan60 °=，∴点 P 坐标为：（ c，c），代人椭圆的标准方程，得，2 2 2 2 2 2∴b c +3a c =4a b，∴e=．应选： D．20．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]解解：以以下图，连接OE，OF，OM，答：∵△ MEF为正三角形，∴∠ OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆 C 的离心率 e==．又e＜1．∴椭圆 C 的离心率的取值范围是．应选： C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）解解：以以下图，答：设椭圆的右焦点F（ c， 0），代入椭圆的标准方程可得：，取 y= ， A ．∵△ ABC是锐角三角形，∴∠ BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．应选： A．22．设 F1、F2为椭圆C：+ =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线l 过焦点F2且与椭圆交于 A，B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2= （）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6D．9﹣ 6解解：可设 |F 1 F2 |=2c ， |AF1|=m，答：若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1 |=m，|BF 1|=m，由椭圆的定义可得△ ABF1的周长为 4a，即有 4a=2m+ m，即 m=2（ 2﹣）a，则 |AF2|=2a ﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F 1F2| 2=|AF1| 2+|AF2| 2，即 4c2=4（ 2﹣）2a2+4（）2 a2，即有 c2 =（ 9﹣ 6）a2，即有 e2 = =9﹣ 6．应选D．23．直线y=kx 与椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）交于A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C． [ ，] D． [ ， 1）解解：设 F2是椭圆的右焦点．答：∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为 AB的中点， OF=OF2．∴四边形 AFBF2是平行四边形，∴四边形 AFBF2是矩形．以以下图，设∠ ABF=θ，∵BF=2ccosθ， BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csin θ=2a，∴e=，sin θ+cosθ=，∵θ ∈（0，] ，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．应选： D．24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[ ， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ， ]解解：设 P（x0， y0），则 2c2= =（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣ x0，﹣答： y0） = + ，化为．又，∴= ，∵，∴，2 2 2∵b=a ﹣ c ，∴，∴．应选： A．25．已知F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解，解：设 P（x0，y0），则答：∴ = ．∵，∴（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣x0，﹣ y0） =c2，化为=c2，∴=2c2，化为 = ，∵，∴0≤2 ≤a，解得．应选： D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．解解：由题意知c=1，离心率e= ，答：椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则 c=1，∵P在直线 l ：y=x+2 上搬动，∴2a=|PA|+|PB| ．过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，设 C（m， n），则由，解得，即有 C（﹣ 2， 1），则此时 2a=|PA|+|PB| ≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时 a 有最小值，对应的离心率 e 有最大值，应选 C．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）解解：以以下图： |AF2 |=a+c ， |BF 2|= ，答：∴k=tan ∠BAF2= ，又∵ 0＜ k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．应选： D．28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：连接 OA，OB， OP，依题意， O、 P、 A、 B 四点共圆，答：∵∠ BPA=，∠ APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠ AOP= ，∴c os∠AOP== ，∴ |OP|= =2b，∴b＜|OP| ≤a，∴ 2b≤a，2222 2∴4b ≤a，即 4（ a ﹣ c ）≤a，∴3a2≤4c 2，即，∴，又 0＜ e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[，1），应选： A．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则 e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．解解：①当动圆M与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|=4 ﹣r=2a ，答：∴e1=．②当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时， |MO1|+|MO2 |=4+r=2a ′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令 12﹣ r=t （ 10＜ t ＜12），e1+2e2 =2×≥2×==应选： A．。