成都七中高一数学10月月考试卷含答案

成都七中高数学10月阶段考试是-2，则ω的最小值为16.己知函数f(x)= 则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1 (t为参数，t≠0)，其中0≤a<π，在以O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : p = 2 sinθ,C3 : p = cosθ(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.18.(本小题满分10分)己知关于x的不等式|x+a|(1)求实数a，b的值;(2)求的最大值.19.(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)己知每检测一件产品需要费用1 00元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).20.(本小题满分12分)已知函数厂(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M 对称(1)求ω，φ的值;(2)求f(x)的单调递增区间;(3) x∈ ，求f(x)的最大值与最小值.21.(本小题满分12分)己知函数f(x)=(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程;(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)>2(3)设实数k使得f(x)>k 对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值.22.(本小题满分14分)(1)已知ex≥ax +1，对恒成立，求a的取值范围;(2)己知xe- f'(x)=1 - e-x，0。

四川2024-2025学年上期10月检测高一数学（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A.230,x x x ∀>>B.230,x x x ∀>≤C.230,x x x ∀≤≤D.230,x x x ∃>≤【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.【详解】命题“230,x x x ∃>>”的否定是“230,x x x ∀>≤”.故选：B.2.若集合{15}A x x =∈≤≤N∣，则集合A 的真子集有（）个.A.7B.15C.31D.63【答案】C 【解析】【分析】根据题意求集合A 的元素个数，进而求真子集个数.【详解】由题意可知：集合{}{15}1,2,3,4,5A x x =∈≤≤=N∣，共5个元素，所以集合A 的真子集有52131-=个.故选：C.3.若:0p x <，则p 的一个充分不必要条件为（）A.1x >- B.1x <C.11x -<< D.1x <-【答案】D 【解析】【分析】选项是p 的充分不必要条件，则选项的范围是{}|0x x <的子集，以此判断选项是否满足条件.【详解】依题意可知选项是p 的充分不必要条件，则选项的范围是{}|0x x <的子集，对于选项A ，{}|1x x >-不是{}|0x x <的子集，故A 不满足；对于选项B ，{}|1x x <不是{}|0x x <的子集，故B 不满足；对于选项C ，{}|11x x -<<不是{}|0x x <的子集，故C 不满足；对于选项D ，{}|1x x <-不是{}|0x x <的子集，故D 满足.故选：D4.已知0x >，则函数1y x x=+的最小值是（）A. B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据均值定理求解即可.【详解】0x >12x x ∴+≥=当且仅当1x x=即1x =时等号成立，即y 取得最小值2.故选：B【点睛】本题考查均值定理，解决本题的关键是“一正、二定、三相等”，属于较易题.5.若不等式216830kx kx ++>对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为（）A.{}|03k k <<B.{}|03k k ≤≤C.{}|03k k <≤ D.{}|03k k ≤<【答案】D 【解析】【分析】分0k =和0k ≠两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】当0k =时，不等式为30>对一切实数x 都成立，符合题意，当0k ≠时，要使得不等式216830kx kx ++>对一切实数x 都成立，则206441630k k k >⎧⎨-⨯⨯<⎩，解得03k <<，综上所述，k 的取值范围为{}|03k k <≤.故选：D ．6.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0a b >>，0m >，则b m ba m a+<+ D.若15a -<<,23b <<，则43a b -<-<【答案】D 【解析】【分析】通过举反例排除A,B 两项；利用作差法判断C 项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D 项结论.【详解】对于A ，若a b >，当0c =时，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，若2,3a b =-=-，满足a b >，但22a b <，故B 错误；对于C ，因0a b >>，0m >，由()()0m a b b m b a m a a a m -+-=>++，可得b m ba m a+>+，故C 错误；对于D ，由23b <<，得32b -<-<-，因15a -<<，则43a b -<-<，故D 正确．故选：D ．7.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（）A.{}1016x x ≤<B.{}1218x x ≤<C.{}1520x x << D.{}1020x x ≤<【答案】C 【解析】【分析】本题可根据题意得出()30215400x x ⎡⎤--⋅>⎣⎦，然后通过计算以及15x ≥即可得出结果.【详解】设这批台灯的销售单价为x 元，由题意得，()30215400x x ⎡⎤--⋅>⎣⎦，即2302000x x -+<，解得1020x <<，又因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销售单价x 的取值范围是{}1520x x <<.故选：C8.含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的交替和是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}1,2,3,4M =的所有非空子集的交替和的总和为（）A.12B.32C.80D.192【答案】B 【解析】【分析】求出集合M 的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得.【详解】集合{}1,2,3,4M =的所有非空子集为{1},{2},{3},{4},{1,2},{2,3},{3,4},{1,3},{2,4},{1,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4}，所以交替和的总和为1234(21)(32)(43)(31)(42)(41)++++-+-+-+-+-+-(321)(432)(421)(431)(4321)32+-++-++-++-++-+-=.故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有错选的0分，部分选对的得3分.）9.下列选项错误的是（）A.{}{}10,1,2∈B.{}{}1,33,1-=-C.{}{}0,1,21,0,2⊆ D.{}0∅∈【答案】AD 【解析】【分析】根据集合与元素的关系，结合子集和相等集合的定义、空集的定义逐一判断即可.【详解】因为集合{}1中的元素在集合{}0,1,2中，因此这两个集合是包含关系，不是属于关系，因此选项A 不正确；因为集合{}1,3-与集合{}3,1-中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项B 正确；因为集合{}0,1,2中的元素都在集合{}1,0,2中，因此{}{}0,1,21,0,2⊆正确，故选项C 正确；因为集合{}0中的元素不是空集，所以{}0∅∈不正确，因此选项D 不正确，故选：AD10.（多选）下列说法中，正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若A B ⊆，B C ⊆，则A C⊆C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆【答案】BD 【解析】【分析】根据空集的定义和性质可判断A ，C 正确与否，根据真子集的性质可判断B 正确与否，根据韦恩图可判断D 正确与否.【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A 错；子集具有传递性，故选项B 正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C 错；由韦恩图易知选项D 正确.故选：BD.11.下列说法正确的是（）．A.a b >的一个必要条件是1a b->B.若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则4a =C.“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件D.已知集合{}0,1M =，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为4【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，举例a b >时1a b ->不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得a b >不是1a b ->的充分条件，1a b ->也不是a b >的必要条件；对于B ，按0a =和0a ≠两种情况去探究方程210ax x ++=的解即可；对于C ，先由一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根得212Δ400b ac cx x a ⎧=->⎪⎨=<⎪⎩，该不等式组的解即为方程20ax bx c ++=有一正一负根的充要条件；对于D ，先由M N M ⋃=得N M ⊆，再由{}0,1M =结合子集个数公式即可得解.【详解】对于A ，当2 1.5a b ==,时满足a b >，但1a b ->不成立，所以a b >不是1a b ->的充分条件，1a b ->不是a b >的必要条件，故A 错误；对于B ，当0a =时，方程210ax x ++=的解为1x =-，此时集合A 中只有一个元素，满足题意，当0a ≠时，210ax x ++=为一元二次方程，则由集合A 中只有一个元素得140a ∆=-=，故14a =，所以符合题意的a 有两个，0a =或14a =，故B 错误；对于C ，一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根，则2212Δ400400b ac b ac ac c x x ac a ⎧⎧=-><⎪⎪⇒⇒<⎨⎨=<⎪⎪<⎩⎩，所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件，故C 正确；对于D ，因为M N M ⋃=，所以N M ⊆，又{}0,1M =，故集合N 的个数为224=个，故D 正确.故选：CD.三、填空题（（本题共3个小题，每题5分，共15分））12.已知集合{}2,3{3,9}a a a =，则a =______．【答案】3-【解析】【分析】根据元素互异性得到方程和不等式，得到答案.【详解】由题意得29,39,a a ⎧=⎨≠⎩得3a =-．故答案为：3-13.不等式203x x -<-的解是________【答案】{}23x x <<【解析】【分析】先将分式不等式化为一元二次不等式，然后直接求解出解集即可.【详解】因为203x x -<-，所以()()230x x --<，所以{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.14.实数,a b 满足3113a b a b -≤+≤-≤-≤,，则32a b -的取值范围是______.【答案】[]4,8-【解析】【分析】利用待定系数法可得()()153222a b a b a b -=++-，即可根据不等式的性质求解.【详解】设()()()()32a b m a b n a b m n a m n b -=++-=++-，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得15,22m n ==,所以()()153222a b a b a b -=++-，因为3113a b a b -≤+≤-≤-≤,，所以()()3115515,222222a b a b -≤+≤-≤-≤，可得4328a b -≤-≤，即32a b -的取值范围为[]4,8-.故答案为：[]4,8-.四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）15.已知集合{|14}A x x =-≤≤，{|1B x x =<或5}x >.（1）若全集R U =，求A B 、()U A B ð；（2）若全集R U =，求()U A B ð.【答案】（1）{|4x x ≤或5}x >，{|1x x <-或5}x >；（2）{|14}x x ≤≤【解析】【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可.【小问1详解】集合{|14}A x x =-≤≤，{|1B x x =<或5}x >，则{|4A B x x =≤ 或5}x >，{|1U A x x =<-ð或4}x >，所以(){|1U A B x x =<- ð或5}x >.【小问2详解】由{|1B x x =<或5}x >，得{|15}U B x x =≤≤ð，所以(){|14}U A B x x =≤≤ ð.16.已知集合{}20,A xx ax a a =-+=∈R ∣．（1）若2A ∈，求实数a 的值；（2）若命题2:,20p x A x ax a ∃∈-+=为真命题，求实数a 的值．【答案】（1）4（2）0【解析】【分析】（1）由2A ∈得2x =是方程20x ax a -+=的根，代入方程可求答案；（2）根据两个方程有公共解可求实数a 的值．【小问1详解】因为2A ∈，所以2220a a -+=，解得4a =；【小问2详解】因为命题2:,20p x A x ax a ∃∈-+=为真命题，所以方程组22020x ax a x ax a ⎧-+=⎨-+=⎩有公共解，解得00x a =⎧⎨=⎩，当0a =时，经检验知，符合题意.17.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：x A ∃∈，x B ∈是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(],3-∞（2）[]2,4【解析】【分析】（1）分类讨论B =∅和B ≠∅，根据条件列出不等式组求解m 的取值范围；（2）将条件转化为A B ≠∅ ，进而求出m 的取值范围.【小问1详解】当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为(],3-∞【小问2详解】由题意A B ≠∅ ，所以B ≠∅即2m ≥，此时13m +≥.为使A B ≠∅ ，需有15m +≤，即4m ≤.故实数m 的取值范围为[]2,418.已知不等式()200ax bx c a ++<≠的解是2x <或3x >．（1）用字母a 表示出b ，c ；（2）求不等式20bx ax c ++>的解【答案】（1）5b a =-，6c a =（2）1x <-或65x >【解析】【分析】（1）由韦达定理可得；（2）把（1）的结论代入求解．【小问1详解】由不等式()200ax bx c a ++<≠的解为2x <或3x >，可知0a <且20ax bx c ++=的两根为2和3，由韦达定理得5b a -=，6ca=，所以5b a =-，6c a =；【小问2详解】由（1）可得：20bx ax c ++>可变为2560ax ax a -++>，因为0a <，所以2560x x -++<，整理得()()2565610x x x x --=-+>，解得1x <-或65x >，所以不等式20bx ax c ++>的解是1x <-或65x >．19.已知函数()()()211R f x m x mx m m =+-+-∈.（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）对任意的[]1,1x ∈-，不等式()21f x x x ≥-+恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭；（2）答案见解析；（3）3,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）对参数m 进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解；（2）当2m >-时，()f x m ≥，即2(1)1m x mx m m ++≥--，因式分解，对m 进行讨论，可得解集；（3）转化为,1[]1x ∈-恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解m 的取值范围．【小问1详解】当1m =-时，由()0f x <，得到20x -<，所以2x <，不合题意，当1m ≠-时，由()0f x <解集为∅，得到210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩，解得3m ≥，所以实数m 的取值范围为23,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【小问2详解】当2m >-时，()f x m ≥，即2(1)1m x mx m m +-+-≥，可得[(1)1](1)0m x x ++-≥，因为2m >-，①当10m +=时，即1m =-，不等式的解集为{|1}x x ≥；②当21m -<<-时，1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭，因为111m ->+，所以不等式的解集为1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭；③当1m >-时，1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭．又1011m -<<+，所以不等式的解集为1{|1}1或≤-≥+x x x m ,综上：1m =-，不等式的解集为{|1}x x ≥，当21m -<<-时，不等式的解集为1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭，当1m >-时，不等式的解集为1{|1}1或≤-≥+x x x m .【小问3详解】由题对任意[1,1]x ∈-，不等式22(1)11m x mx m x x +-+-≥-+恒成立，即()212m x x x -+≥-，因为[1,1]x ∈-时，()210x x -+>恒成立，可得221x m x x -≥-+，设2t x =-，则13t ≤≤，所以2x t =-，可得222131(2)(2)13x t x x t t t t -==-+---++-，因为3t t +≥，当且仅当t =时取等号.所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =-时取等号.故得m 的取值范围233,3∞⎡⎫++⎪⎢⎪⎣⎭。

成都七中万达高2022届高一上期十月月考一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）.1.已知集合{}21,2,4M m m =++，且5M ∈，则m 的值为（ ） A.1或-1 B.1或3 C.-1或3 D.1，-1或32.下列对应:f A B →是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ） A ．{}{}|,|0,10:A x x B y y f y x==≥=＞ B ．{}{}2|,|00:,A x x B y y f y x =≥==＞C ．A={x|x 是三角形}，B={y|y 是圆}，:f 每一个三角形对应它的内切圆D ．A={x|x 是圆}，B={y|y 是三角形}，:f 每一个圆对应它的外切三角形 3.已知集合,A B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且{}{}()41,2,UA B B ==，则()U A B =( )A.{}3B.{}4 ?C. {}3,4D.∅4.函数y =()f x 的定义域为（ ） A ．(,1)[2,)-∞-+∞ B ．[1,2] C ．33(1,)(,2)22 D ．33[1,)(,2]225.设常数a R ∈，集合{}{}|(1)(),0|1A a a x x x x x B -≥=≥-=-，若A B R =，则a 的取值范围为（ ）A ．,2-∞（）B ．],2-∞（C ．2,+∞（）D ．[2,+∞） 6.设函数11x f x x ⎛+⎫⎪⎝⎭-=，则()f x 表达式为（ ）A.1(1)1x x x -≠+B.1(1)1x x x +≠-C.1(1)1x x x +≠--D.2(1)1xx x≠-+7.关于函数图象的对称性与周期性,有下列说法:①若函数()y f x =满足()()13f x f x +=+,则()f x 的一个周期为2T =; ②若函数()y f x =满足()()13f x f x +=-,则()f x 的图象关于直线2x =对称; ③函数(1)y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线2x =对称; ④若函数1()1f x x =+与函数()f x 的图象关于原点对称,则1()1f x x =-,其中正确的个数是( ).A.1B.2C.3D.48.函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则()20f x -＞的解集为（） A.{}2|2x x x -＞或＜ B.{}2|2x x -＜＜ C.{}0|4x x x ＜或＞ D.{}4|0x x ＜＜9.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(),01f x f x x +=≤≤当时，()2(1)f x x x =-，则19()2f =( )A ．32-B ．152-C ．12D ．12-10. 定义一种运算{,2,,()42a a bb a b a b f x x x x t ≤>⊗==+-⊗-（）（t 为常数），且[],3,3x ∈-则使函数()f x 最大值为4的t 值是（ ）A ．-2或6B ．4或6C ．-2或4D ．-4或4 11.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： ①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合v 上的一个拓扑． 已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ： ①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅； ②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅； ④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ） A ．① B ．② C ．②③ D ．②④12.已知a R ∈，函数3()f x ax x -＝．若存在t R ∈，使得(2(3))2f t f t ≤+-,则实数a 的最大值是（ ） A ．23 B ．43 C ．2 D ．83二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）.13.适合条件{}{}11,2,3,4,5A ⊆⊂的集合A 的个数是__________14.设函数()f x 满足：2132()()f x f x x -=，则函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值为_________．15.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ,使()0f c >,则实数p 的取值组成的集合p 为_________16.设函数2()1f x x =-，对任意232,),()4()(1)4[()xx f m f x f x f m m ∈+∞-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）.17.已知集合{}{}1231|4|A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，．全集U R = （1）当1a =时，求U A B （）； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．17.设全集是实数集{}{}22,273|,00|R A x x x B x x a =-+≤=+<.（1）当4a =-时，求A B 和A B ； （2）若()R C A B B =，求实数a 的取值范围.18.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

一、单选题1．给出下列关系：①；；③；④；⑤，其中正确的个数πR ∈Q 3-∉Z |3|-∉N 0∉Q （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.【详解】是实数，①②错误；是整数，③错误；是自然数，④π3-|3|3-=错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1． 故选：A ．2．命题“”的否定为（ ）()10,,10x x∞∃∈++<A ．B ．()10,,10x x ∞∃∈++>()10,,10x x∞∃∈++≥C ．D ．()10,,10x x ∞∀∈++>()10,,10x x∞∀∈++≥【答案】D【分析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.()10,,10x x ∞∀∈++≥故选：D3．已知集合，则（ ） {}024,{10}A x x B x x =≤-≤=->A B = A ．B ．{}2,1,0--{}2C ． D ． {21}xx -<∣…{12}xx <∣…【答案】C【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得.【详解】因为， {}22,{1}A x x B x x =-≤≤=<∣∣所以. {21}A B xx ⋂=-<∣…故选：C.4．设集合，，则的真子集共有（ ）{}2340A x x x =--≤{}220,B x x x x =+>∈Z A B ⋂A ．15个 B ．16个 C ．31个 D ．32个【答案】A【分析】解一元二次不等式，求出，从而求出，得到的真子集个数.,A B A B ⋂A B ⋂【详解】由题意得，，{14}A x =-≤≤解得：或，所以或，220x x +>0x ><2x -{0B x x =>}2,Z x x <-∈所以，所以的子集共有个，真子集有15个． {1,2,3,4}A B ⋂=A B ⋂4216=故选：A ．5．“”是“”的（ ） 1x <21x <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出合适的选项. 21x <【详解】由可得，因为 ， 21x <11x -<<{}<1x x {}1<<1x x -所以，“”是“”的必要不充分条件， 1x <21x <故选：D.6．若，则下列各式恒成立的是（ ） 13,24a b -<<<<A ． B ． 1214a b <-+<4211a b -<-+<-C ． D ．9211a b -<-+<-8210a b -<-+<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得，进而即得. 8210a b -<-+<【详解】因为，24b <<所以，又， 824b -<-<-13a -<<则. 8210a b -<-+<故选：D.7．已知，则（ ） 22221,22P a b c Q a b c =+++=+A ． B ．C ．D ．的大小无法确定P Q …P Q =P Q …,P Q 【答案】C【分析】由题意，采用作差法，可得答案.【详解】，()()()22222221122110P Q a b c a b a b c c c ⎛⎫⎛⎫-=+++-+=-+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以. 0P Q -≥P Q ≥故选：C.8．对任意的，恒成立，则的取值范围（ ）(,0)x ∈-∞210x mx -+>mA ．B ． {}22x x -<<{}2x x >C ．D ．{}2x x >-{}2x x ≤-【答案】C【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，1m x x >+(,0)x ∈-∞1x x +即可得解.【详解】解：因为对任意的，恒成立， (,0)x ∈-∞210x mx -+>即对任意的恒成立，21mx x <+(,0)x ∈-∞即对任意的恒成立，211x m x x x +>=+(,0)x ∈-∞因为，则，所以， (,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞()112x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时取等号， 1x x-=-=1x -所以. 2m >-故选：C二、多选题9．图中矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，则图中的阴影部分可以表示为( )U ,M NA ．B ． ()U M N ð()U N M ⋂ðC ．D ．()U M N M ⎡⎤⋂⋃⎣⎦ð()U M N M ⎡⎤⋃⋃⎣⎦ð【答案】AD【分析】分析图中阴影部分，结合集合交并补运算即可得到答案． 【详解】易知图中阴影部分为M 和的并集，故A 正确； U N ð又也可表示图中阴影部分，故D 也正确； ()U M N M ⎡⎤⋃⋃⎣⎦ð选项B ：表示的区域如图：()U N M ⋂ð选项C ：； ()U M N M U ⎡⎤⋂⋃=⎣⎦ð故AD 符合题意，BC 不符题意． 故选：AD ．10．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）0c b a >>>A ．B ． ()2c ab a b c +>+23a b b <C ． D ．2ab a -<-11a b>【答案】ABD【分析】通过已知中的，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结0c b a >>>论.【详解】A 选项，，故A 成立；()()()2c ab a b c c a c b +-+=--B 选项，由，得，所以，根据不等式的性质，不等式两边同乘负数，得0a b <<a b >22a b >b ，故B 成立；23a b b <C 选项，由，根据不等式的性质，不等式两边同乘正数，得，即，故a b <a -2a ab -<-2ab a ->-C 不成立；D 选项，由，得，故D 成立. 0a b <<11a b>故选：ABD11．下列命题中为真命题的是( ) A ． 2,x x x ∃∈<R B ．2,0x x x ∀∈+>R C ．“”是“”的必要不充分条件 x ∈Q x ∈Z D ．“”的一个充分不必要条件可以是“" 2x >3x >【答案】ACD【分析】解出不等式即可判断AB ；根据整数和有理数的关系可判断C ；根据充分不必要条件的概念即可判断D 选项．【详解】对于选项A ，，故存在使得，故A 正确； 201x x x <⇒<<01x <<2x x <对于选项B ，或，即不等式的解不是，故B 错误；200x x x +>⇒>1x <-x ∈R 对于选项C ，，但，∴“”是“”的必要不充分条件，故C 正x ∈⇒Z x ∈Q x ∈Q ¿x ∈Z x ∈Q x ∈Z 确；对于选项D ，，但，∴“”的一个充分不必要条件可以是“”，故3x >⇒2x >2x >¿3x >2x >3x >D 正确． 故选：ACD ．12．下列命题正确的是（ ）A ．若，，则；0a b >>0m >+<+a a mb b m B ．若正数a 、b 满足，则； +=1a b 114113a b +≥++C ．若，则的最大值是；0x >423x x--2-D ．若，，，则的最小值是9； ()2x x y =-0x >0y >2x y +【答案】BC【分析】A 选项用作差法即可，B ，C ，D 选项都是利用基本不等式判断. 【详解】对于选项A ，，()()+=++a b ma a mb b m b b m --因为，，所以，0a b >>0m >0a b ->,即，故，所以A 错误；()()>0+a b m b b m -+>0+a a m b b m -+>+a a mb b m对于选项B ，因为，所以，+=1a b 113a b +++= ()111111114112113113113b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立，故B 正确； 1111b a a b ++=++12a b ==对于选项C ，因为，即时，等号成立，所0x >43x x +≥=43x x =x =以C 正确； 4232x x--≤-对于选项D ，因为，所以， ()2x x y =-121y x+=所以，当且仅当即时，等号()1242248x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+≥= ⎪⎝⎭4x y y x =4,2x y ==成立，所以的最小值是8，故D 错误.2x y +故选：BC.三、填空题13．已知，，则与的大小关系为__________． 23M x =-25N x =-M N 【答案】## M N >N M <【分析】利用作差法判断即可.【详解】解：因为，，23M x =-25N x =-所以， ()()22232522110M N x x x x x -=---=-+=-+>所以. M N >故答案为：M N >14．设集合，，若，则的取值范围是________． {|12}A x x =-<…{|}B x x a =<A B ⋂≠∅a 【答案】1a >-【解析】由集合间的关系，即可得出结论.【详解】因为，， {|12}A x x =-≤<{|}B x x a =<A B ⋂≠∅所以 1a >-故答案为：1a >-【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.15．给定集合AB ，定义：或，且，又已知，*{A B xx A =∈∣x B ∈ }x A B ∉ {0,1,2}A =，用列举法写出___________{1,2,3,4}B =*A B =【答案】{}0,3,4【分析】根据的定义直接求解即可. *A B 【详解】因为，{}0,1,2,3,4A B = {}1,2A B ={}*0,3,4A B ∴=故答案为：{}0,3,416．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____．0x ∃∈R ()20030-++≤mx m x m m 【答案】()3,+∞【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．【详解】命题“，使”是假命题，0x ∃∈R ()20030-++≤mx m x m则命题，恒成立为真命题，x ∀∈R ()230-++>mx m x m 所以当时，，不恒成立，0m =30x ->当时，需满足可得， 0m ≠0Δ0m >⎧⎨<⎩()22340m m m >⎧⎪⎨+-<⎪⎩解得， ()3,m ∈+∞故的范围为． m ()3,+∞故答案为：．()3,+∞四、解答题17．已知集合. {}{},2,3,1,3A x B x =-=-(1)若，写出的所有子集； 0x =A (2)若，求.B A ⊆A B ⋃【答案】(1)所有子集为：{}{}{}{}{}{}{},0,2,3,0,2,0,3,2,3,0,2,3∅----(2)12,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据子集的知识写出集合的所有子集. A （2）根据进行分类讨论，求得，进而求得. B A ⊆x A B ⋃【详解】（1）当时，，0x ={}0,2,3A =-所以的所有子集为： A {}{}{}{}{}{}{},0,2,3,0,2,0,3,2,3,0,2,3∅----（2）当时，， 1x x =-12x =此时，所以.11,2,3,,322A B ⎧⎫⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭12,,32A B ⎧⎫⋃=-⎨⎬⎩⎭当时，，21x -=-3x =经检验集合不满足集合的互异性，不符合题意.A 综上，.12,,32A B ⎧⎫⋃=-⎨⎬⎩⎭18．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在A B B ⋃=x A ∈x B ∈R x A ∈ðR x B ∈ð这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合，． {2}A xa x a =+∣……{(1)(3)0}B x x x =+-<∣(1)当时，求；2a =A B ⋂(2)若________，求实数的取值范围．a 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) {}|2x x ≤<3(2) ()1,1-【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得； B A （2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；A B ⊆【详解】（1）解：由，解得，所以(1)(3)0x x +-<13x -<<{}{|(1)(3)0}|13B x x x x x =+-<=-<<，当时，，所以2a ={|24}A x x =≤≤{}|23A B x x =≤< （2）解：若选①，则，所以，解得，即；A B B ⋃=A B ⊆123a a >-⎧⎨+<⎩11a -<<()1,1a ∈-若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即x A ∈x B ∈A B ⊆123a a >-⎧⎨+<⎩11a -<<()1,1a ∈-；若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即R x A ∈ðR x B ∈ðA B ⊆123a a >-⎧⎨+<⎩11a -<<；()1,1a ∈-19．已知a ＋b ≠0，证明a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 【答案】证明见解析.【分析】由a ＋b ＝1结合完全平方和公式证明充分性，利用完全平方和公式，提公因式对a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0进行变形，结合a ＋b ≠0证明必要性. 【详解】证明：先证充分性： 若a ＋b ＝1则a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性：若a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0则(a ＋b )2－(a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －1)＝0因为a ＋b ≠0，所以a ＋b －1＝0 即a ＋b ＝1，成立综上a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，属于中档题.20．做一个体积为， 高为米的无上边盖的长方体纸盒， 底面造价每平方米元，四周每348m 340平方米为元， 问长与宽取什么数值时用总造价最低， 最低是多少?50【答案】长与宽均为4米时总费用最少，最少为元． 3040【分析】设长方体底面的长为，宽为，可得，总造价为元，表示出，再由基本不a m b m 16b a=y y 等式即可得解．【详解】解：设长方体底面的长为，宽为，显然，则，故，总造价为a m b m ,0a b >348ab =16b a=元，y则，当且仅当，即4816235016403006403006403040y a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯=++≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16a a =4a b ==时等号成立，当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为元．∴304021．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买64这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算. a b (0,0)a b >>【答案】（1）5，；（2）乙的购物比较经济合算 . 245【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分m n 别计算甲、乙的平均价格即可.（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，m n所以甲两次购买这种物品平均价格为，，645m mm m +=+乙两次购买这种物品平均价格为，.224564nn n=+（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为， m n 所以甲两次购买这种物品平均价格为，，2am bm a bm m ++=+乙两次购买这种物品平均价格为，22nabn n a b a b=++， 22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ++-+---===≥++++所以乙的购物比较经济合算.22．已知：“实数满足”，“”. p a {}{}11x m x m x x a ≠+⊂∣∣…………:q x ∀∈(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围； 1,m p =q a (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. p q ⌝m 【答案】(1)； []0,2(2). {11}mm >∣【分析】（1）将代入，化简，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结1m =p p q 果.（2）先根据条件化简得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到,p q q ⌝p q ⌝结果.【详解】（1）当时，若为真命题，则，即. 1m =p {}{}121x x x x a ≠≤≤⊂∣……2a >若为真命题，则当时，满足题意；当时，，解得，所以q 0a =0a ≠2Δ120a a a >⎧⎨=-≤⎩012a <….012a ……故若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为.p q a []0,2（2）对，且由（1）知，对，则或.1:1m p m a ≥⎧⎨+≤⎩:012q a ……:0q a ⌝<12a >因为是的充分不必要条件，所以，解得.p q ⌝112m +>11m >故的取值范围是. m {11}m m ∣。

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

2024-2025学年四川省成都七中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3，0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x|≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”；②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件；③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x ，y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a ，b 满足2a +b =1，则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−43]∪(43，32]B. (−32,−43]∪[43,32)C. [−32,−43)∪(43,32]D. [−32,−43)∪[43，32)8.已知函数f(x)={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年上期十月阶段检测高2023级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟，总分：150分）注意事项：01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上．02．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．05．考试结束后，只将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}220A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.2A∉ C.{}2A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】先化简集合A ，根据元素与集合的关系可得答案.【详解】因为{}{}2200,2A x x x =-==，所以{}{}0,2,0,2A A A A ∈∈⊂⊂.故选：D.2.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5B =，则U A B ⋂ð等于A.{}2,5 B.{}1,3,5C.{}2,4,5 D.{}2,4,6【答案】D 【解析】【详解】因为全集1234567{}U =，，，，，，，{246}A =，，，5{}13B =，，，所以{}2467U B =，，，ð，所以{}246U A B ⋂=，，ð．故选：D.3.已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝A.x ∃∈R ，210x x -+≤ B.x ∀∈R ，210x x -+≤C.x ∃∈R ，210x x -+> D.x ∀∈R ，210x x -+≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则:p ⌝x ∃∈R ，210x x -+≤，故选A ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则2a a >C.若0a b <<，则22a b > D.若,a b >c d >，则ac bd >【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质结合作差法判断求解；【详解】选项A ：令1,1,a b =-=11a b>不成立，选项错误；选项B ：当01a <<时，()210a a a a -=-<，选项错误；选项C ：0a b <<，()()22a b a b a b -=+-，因为00a b a b +-＜，＜，所以220a b -＞，即22a b >，选项正确；选项D ：12,a b =-=-，31c d ==，，ac bd >，不成立，选项错误；故选：C.5.对于实数x ，“202xx+≥-”是“2x ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两个不等式解集的包含关系，判定结论.【详解】不等式202xx +≥-的解集{}22A x x =-≤<，不等式2x ≤的解集{}22B x x =-≤≤，由AB ，所以“202xx+≥-”是“2x ≤”的充分不必要条件.故选：A6.设2x >，则函数4412y x x =-+-，的最小值为（）A.7B.8C.14D.15【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为2x >，所以20x ->，所以()444142771522y x x x x =-+=-++=--≥，当且仅当()4422x x -=-，即3x =时等号成立，所以函数4412y x x =-+-的最小值为15，故选:D ．7.若不等式20ax bx c ++<的解集是{}23x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为A.1132⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B.1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.1123⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D.1123⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【答案】A 【解析】【分析】由题可得2,3为20ax bx c ++=的两根,利用韦达定理算出,,a b c 的关系式,再将,,a b c 换成同一参数再求20cx bx a ++>的根即可.【详解】因为不等式20ax bx c ++<的解集是{}23x x <<,故0a >且2,3为20ax bx c ++=的两根.根据韦达定理有235236bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩,故56b a c a =-⎧⎨=⎩,故20cx bx a ++>可写成2650ax ax a -+>,因为0a >所以26510(21)(31)0x x x x -+>⇒-->解得13x <或12x >,即x ∈1132⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故选A.【点睛】二次不等式的解集的端点值为二次函数的零点,注意二次函数开口方向影响不等式的取值在区间内还是区间外.8.对于集合,M N ，定义{}|,M N x x M x N -=∈∉，()()M N M N N M ⊕=-- ，设9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则A B ⊕=（）A.904,⎛⎫-⎪⎝⎭B.904,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[)4,,90⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.()4,,90⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则R A ð9,R 4x x x ⎧⎫=<-∈⎨⎬⎩⎭，R B ð{}|0,R x x x =≥∈，由定义可得：{A B x x A -=∈且}x B A ∉=⋂R B ð{}[)|0,R 0,x x x ∞=≥∈=+，{B A x x B -=∈且}x A B ∉=⋂R A ð99,R ,44x x x ∞⎧⎫⎛⎫=<-∈=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，所以()()[)9,0,4A B A B B A ∞∞⎛⎫⊕=--=--+ ⎪⎝⎭，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若集合{}1A x x =≥，则满足B A ⊆的集合B 可以是（）A.{}2,3 B.{}2x x ≥ C.{}0,1,2 D.{}0x x ≥【答案】AB 【解析】【分析】根据子集的定义可得出结论.【详解】{}1A x x =≥ ，则{}2,3A ⊆，{}2x x A ≥⊆，{}0,1,2A ⊄，{}x x ≥A .故选：AB.10.下列命题是真命题的为（）A.2,10x R x ∀∈--<B.,,n Z m Z nm m∀∈∃∈=C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D.存在实数x ，使得213234x x =-+【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题；对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题.对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题.故选：ABC.11.若a ，b 均为正数，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为19B.12a b+的最小值为9C.224a b +的最小值为12 D.()()221a b ++的最小值为4【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用与()0,02a ba b +≤>>逐项判断即可.【详解】因为a ，b 均为正数，且21a b +=，所以21a b +=≥，所以18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，等号成立，所以A 错误；()12122214592b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时，等号成立，所以B 正确；()()22222212422224a b a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-= ⎪⎝+⎭，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，等号成立，所以C 正确；()()222122142a b a b +++⎛⎫≤= ⎪⎝+⎭+，当且仅当221a b +=+，即0a =，12b =时，等号成立，而a ，b 均为正数，故等号不成立，所以D 错误.故选：BC.12.若关于x 的不等式201(0)ax bx c a ≤++≤>的解集为{}12x x -≤≤，则32a b c ++的值可以是（）A.59B.34C.56D.2【答案】ABC 【解析】【分析】根据解集的形式先分析出20ax bx c ++≥解集为R ，210ax bx c ++-≤的解集为[1,2]-，得到a 的范围，将32a b c ++最终用含a 的式子表达出来即可得到答案.【详解】先考虑20(0)ax bx c a ++≥>的解集，若解集不是R ，不妨设20ax bx c ++=的根为3434,()x x x x <，则20ax bx c ++≥的解集为(][)34,,x x -∞⋃+∞，根据最终解集的形式为[1,2]-可知：210ax bx c ++-≤的解集非空，设210ax bx c ++-=的根为1212,()x x x x <，则210ax bx c ++-≤的解集为12[,]x x ，由根与系数的关系：1234bx x x x a+=+=-，可能1234,,,x x x x 的排序有两种可能：3124x x x x <<<，此时原不等式201(0)ax bx c a ≤++≤>解集为空集，不符题意；又或者1342x x x x <<<，此时不等式的解集为1342[,][,]x x x x ⋃，形式与题意不符，于是原假设矛盾，故20(0)ax bx c a ++≥>的解集是R ，于是210ax bx c ++-≤的解集是[1,2]-，由韦达定理：12112b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⋅=⎪⎩，整理可得21b a c a =-⎧⎨=-+⎩，于是321a b c a ++=-+，又20(0)ax bx c a ++≥>解集是R ，故224()4(21)0b ac a a a ∆=-=--⋅-+≤，即2940a a -≤，结合题干0a >，于是409a <≤，故5321,19abc a ⎡⎫++=-+∈⎪⎢⎣⎭.故选：ABC三、填空题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．）13.已知集合{1,2}A =-，2{,}B a a =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为___【答案】1-【解析】【分析】由集合中元素的互异性以及集合间的运算即可求得.【详解】解：∵{1,2}A =-，2{,}B a a =，{}1A B ⋂=，∴21a =，且1a ≠，∴1a =-．故答案为：1-．14.已知32a b -≤<≤，则b a -的范围是______．【答案】05b a <-≤【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由32a b -≤<≤可得32,32a b -≤<-<≤，0b a <-所以23a -<-≤，则05b a <-≤，故答案为：05b a <-≤15.中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加A 杜团的学生有17人，参加B 杜团的学生有21人，参加C 社团的学生有22人，同时参加,A B 社团的学生有3人，同时参加,B C 社团的学生有4人，同时参加,A C 社团的学生有7人，三个社团同时参加的学生有1人，那么高一（1）班总共有学生人数为______．【答案】47【解析】【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解【详解】由题意，用,,A B C 分别表示参加A 杜团、参加B 杜团和参加C 杜团的学生形成的集合，则card()17,card()21,card()22A B C ===,card()3,card()4,card()7,card()1A B B C A C A B C ==== ,因此()()()()card card card card A B C A B C =++ ()()()()card card card card A B B C A C A B C ---+ 172122347147=++---+=.所以高一（1）班总共有学生人数为47人.故答案为：47.16.已知a b >，关于x 的不等式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】首先由不等式恒成立得到4ab ≥，再由存在成立问题，得到4ab ≤，从而确定4ab =，然后将原问题转化为单变量最值问题，利用整体代换和基本不等式得到最值即可.【详解】由不等式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立可得01640a ab >⎧⎨-≤⎩，解得4ab ≥，又存在实数0x ，使得20040ax x b ++=成立，则Δ1640ab =-≥，得4ab ≤，所以4ab =.∴4=b a∵a b>∴40a b a a-=->∴2222244848444a a a b a a a a b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+≥----（当且仅当248a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4ab =，即a b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩取等号）故答案为：【点睛】本题的考查点较多，首先是对于能成立和恒成立问题的转化确定4ab =，然后运用了我们常用的一种处理最值的方法，多变量变单变量，最后在化解的过程中还需要整体代换，最后再利用基本不等式的方法求取最值，所以平时对于恒成立与能成立的问题要十分熟悉，最值问题的常见处理方法，如多变量多变单量法，整体代换法，构造一元二次不等式法，判别式法等，平时要熟练运用.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知U =R 且{}2560A x x x =--<，{}44B x x =-≤≤，求：（1）A B ⋃；（2）()()U UA B ⋂痧.【答案】（1）[)4,6-（2）()[),46,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）将集合A 化简，结合并集的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由交集以及补集的运算，即可得到结果.【小问1详解】因为{}()25601,6A x x x =--<=-，且{}[]444,4B x x =-≤≤=-，则[)4,6A B =- .【小问2详解】由（1）可知，()[]1,6,4,4A B =-=-，则(][),16,U A =-∞-+∞U ð，()(),44,U B =-∞-+∞U ð，所以()()()[),46,U U A B ⋂=-∞-+∞U 痧.18.已知命题p ：x ∀∈R ，2240x tx -+≥恒成立，命题p 为真命题时实数t 的取值集合为A ．（1）求集合A ；（2）设集合{}231B t m t m =-<<+，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|22=-≤≤A t t （2）[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，0∆≤，求得结果即可.（2）根据充分不必要条件得出B 是A 的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果.【小问1详解】命题p 为真命题时,x ∀∈R ，2240x tx -+≥恒成立，所以()22160∆=--≤t ，解得22t -≤≤，所以集合{}|22=-≤≤A t t .【小问2详解】若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，又{}231B t m t m =-<<+，当B =∅时，231m m -≥+，解得4m ≥，所以423212m m m <⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得112m ≤≤，所以实数m 的取值范围[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345m P x =+，而当0x =时，9P =，则395m =，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.（1）已知正实数x ，y 满足等式144x y +=，求4x y +的最小值；（2）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值．【答案】（1）4；（2）4.【解析】【分析】（1）利用“1”的妙用求出最小值作答；（2）利用均值不等式建立不等关系，再解一元二次不等式即可.【详解】（1）因为0,0x y >>，144x y+=，所以1114x y+=，所以()4441111244x y x y y x x y ⎛⎫+=+++≥+= +⎪⎝⎭，当且仅当44x y y x =即1,22x y ==时取等号，所以4x y +的最小值为4；（2）因为0,0,228x y x y xy >>++=，而()222222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时取等号，因此()22282x y x y +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()()2242320x y x y +++-≥，化为()()28240x y x y +++-≥，解得24x y +≥或28x y +≤-（舍去），由22820x y xy x y ++=⎧⎨=>⎩解得2,1x y ==，所以当2,1x y ==时，2x y +取得最小值4.21.已知关于x 的不等式()2121mx m x m m +-+-<-．（1）当2m =时，求该不等式的解集；（2）当R m ∈时，求该不等式的解集．【答案】（1）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据因式分解即可结合一元二次解的特征求解，（2）对m 分类讨论，即可结合一元二次不等式的解的特征求解.【小问1详解】当2m =时，2210x x --<，所以()121(1)012x x x +-<⇒-<<，故不等式的解为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】不等式()2121mx m x m m +-+-<-变形为()1(1)0mx x +-<，当0m =时，不等式为101x x -<⇒<，当0m >时，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得11x m-<<，当10m -<<时，11m ->，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得1x m >-或1x <，当1m <-时，11m -<，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得1x m <-或1x >，当1m =-时，不等式可化为2(1)0x ->，解得1x ≠，综上可知：当0m =时，不等式的解为{}1x x <，当0m >时，不等式的解为11x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，当10m -<<时，不等式的解为11x x x m ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭或，当1m <-时，不等式的解为11x x x m ⎧⎫><-⎨⎩⎭或，当1m =-时，不等式的解为{}1x x ≠.22.已知二次函数22y ax bx =++(a ,b 为实数)且当1x =时，1y =．（1）当0a ≥时，对()2,5x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）(3)∞-+（2）11(,44+【解析】【分析】（1）依题意可得1b a =--，即对(2,5)x ∀∈，2(1)20ax a x -++>恒成立，参变分离可得2(1)x a x x ->-对(2,5)x ∀∈恒成立，令2t x =-，则212(1)3x x x t t-=-++，再利用基本不等式计算可得；（2）依题意2()20x x a x --+>对[]2,1a ∀∈--恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；【小问1详解】1x = 时1y =，21a b ∴++=，即1b a =--，(2,5)x ∀∈ ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>恒成立，(1)2ax x x ∴->-恒成立，(2,5)x ∈ ，2(1)x a x x -∴>-，对(2,5)x ∀∈恒成立，max 2(1)x a x x ⎡⎤-∴>⎢⎥-⎣⎦．令2t x =-，则(0,3)t ∈，则22132(1)(2)(1)323x t t x x t t t t t t-===≤--++++++，当且仅当2t t=，即t =，此时2x =+时取“”=，所以实数a的取值范围时(3)∞-+．【小问2详解】[]2,1a ∀∈-- ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>对[]2,1a ∀∈--恒成立，2()20x x a x ∴--+>对[]2,1a ∀∈--恒成立．2222020x x x ⎧-++>∴⎨-+>⎩，解得11711744x x ⎧-+<<⎪⎨⎪<<⎩，1144x +∴<<，所以实数x的取值范围是11,44⎛+ ⎝⎭．。

2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2023级数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求．1.命题“x ∀∈R ，23210x x -+>”的否定是（）A.x ∀∈R ，23210x x -+>B.x ∃∈R ，23210x x -+≤C.x ∃∈R ，23210x x -+< D.x ∀∈R ，23210x x -+<【答案】B【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x ∀∈R ，23210x x -+>”的否定为：“x ∃∈R ，23210x x -+≤”.故选：B.2.设集合{}1,2,3,45,7A =，，{}2,4,5,6B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4,5,7B.{}2,4,5,6C.{}2,4,5 D.{}1,2,3,4,5,6,7【答案】C【解析】【分析】直接进行交集运算即可求解.【详解】因为集合{}1,2,3,45,7A =，，{}2,4,5,6B =，则{}2,4,5A B = ，故选：C.3.设全集U ＝R ，M ＝{2x x <-或}2x >，N ＝{}13x x ≤≤.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（）A.{}21x x -≤<B.{}23x x -≤≤C.{2x x ≤或}3x >D.{}22x x -≤≤【答案】A【解析】【分析】先观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件，即可求解.【详解】由图中阴影部分表示的集中的元素在集合R C N 中，又在集合R C M 中，即()R R C M C N ⋂，又由{|2M x x =<-或2,},{|13}x N x x >=≤≤，所以图中阴影部分表示的集合为(){|22}{|1R R C M C N x x x x ⋂=-≤≤⋂<或3}{|21}x x x >=-≤<，故选：A.【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及其运算，以及Venn 图的应用等基础知识，其中解答中观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合()R R C M C N ⋂是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.4.设集合{}13A x x =-≤≤，集合{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围为（）A.3a ≥ B.13a -≤≤ C.1a ≥- D.1a ≤-【答案】D【解析】【分析】直接由A B ⊆求解即可.【详解】由A B ⊆可得1a ≤-.故选：D.5.已知实数a 、b 、c ，且a b >，则下列不等式正确的是()A.22a b > B.11a b < C.11a b +>- D.22ac bc >【答案】C【解析】【分析】利用特值可进行排除，由不等式性质可证明C 正确.【详解】若a ＝1，b ＝﹣1，则A ，B 错误，若c ＝0，则D 错误，∵a ＞b ，∴a +1＞a ＞b ＞b ﹣1，∴a +1＞b ﹣1，故C 正确，故选C ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小，可用特殊值代入法，属于基础题．6.已知02x <<，则()224xx -的最大值为（）A.8B.16C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式得到最值.【详解】因为02x <<，所以20x >，240x ->，故()222224442x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当224x x =-，即x =故()224x x -的最大值为4.故选：D 7.:p “{}23x x x x ∈≤”是q ：“{}21x x x ∈-<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，并得到{}13x x <<是{}03x x ≤≤的真子集，从而求出答案.【详解】:p {}{}2303x x x x x ≤=≤≤，:q {}{}2113x x x x -<=<<，由于{}13x x <<是{}03x x ≤≤的真子集，所以:p “{}23x x x x ∈≤”是q ：“{}21x x x ∈-<”的必要不充分条件.故选：B8.若不等式222424mx mx x x +-<+的解集为R ，则实数m 的取值范围是（）A.22m -<≤ B.22m -<< C.2m <-或2m ≥ D.2m ≤【答案】A【解析】【分析】由题意可知，不等式()()222240m x m x -+--<的解集为R ，分20m -=、20m -≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】由222424mx mx x x +-<+可得()()222240m x m x -+--<，由题意可知，不等式()()222240m x m x -+--<的解集为R ，当20m -=时，即当2m =时，则有4<0-，合乎题意；当20m -≠时，则有()()()()220Δ421624220m m m m m -<⎧⎪⎨=-+-=-+<⎪⎩，解得22m -<<.综上所述，22m -<≤.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项符合题目要求．9.下列各题中给出的两个语句p 和q ，哪些p 是q 的充要条件．．．．（）A.p ：四边形是菱形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分B.p a =，:0q a >C.222:p x y z xy yz xz ++=++，:q x y z==D.p ：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是{}()1212x x x x x x ≤≤<，:0p a <且24b ac>【答案】ACD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解．【详解】对于A ，由四边形是菱形，则四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立，反之，由四边形的对角线互相垂直且平分，则四边形是菱形，即必要性不成立，所以p 是q 的充分必要条件，故A 正确；对于Ba =，则0a ≥，即充分性不成立，反之，由0a >，则a =，即必要性成立，所以p 是q 的必要不充分条件，故B 错误；对于C ，由222x y z xy yz xz ++=++，则2220x y z xy yz xz ++---=，即2222222220x y z xy yz xz ++---=，即2222222220x xy y y yz z x xz z -++-++-+=，即()()()2220x y y z x z -+-+-=，解得x y z ==，即充分性成立，反之，由x y z ==，则222x y z xy yz xz ++=++，即必要性成立，所以p 是q 的充分必要条件，故C 正确；对于D ，在不等式20ax bx c ++≥中，由不等式的解集是{}()1212x x x x x x ≤≤<，则a<0且240b ac ∆=->，即24b ac >，即充分性成立，反之，由a<0且24b ac >，即0∆>，则存在12x x <，使得不等式的解集是{}12x x x x ≤≤，即必要性成立，所以p 是q 的充分必要条件，故D 正确．故选：ACD ．10.已知3y x x =+，下列关于y 的最小值的描述正确的是（）A.2x ≥时，y 的最小值是B.0x >时，y 的最小值是C.3x x=时，y 取得最小值 D.0x <时，y 没有最小值【答案】BD【解析】【分析】利用对勾函数的性质一一判定即可.【详解】由对勾函数的性质可知3y x x =+在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减，函数在定义域上无最小值，也无最大值.对于A ，2x ≥时，此时函数单调递增，y 在2x =时取得最小值3.5，不是A 错误；对于B ，0x >时，3y x x =+≥，当且仅当x =B 正确；对于C ，3x x=时，即x =，此时函数取不到最小值，故C 错误；对于D ，0x <时，根据对勾函数的单调性和值域知y 没有最小值，显然正确.故选：BD.11.若实数a 、b 满足：1513a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则下列叙述正确的是（）A.a 的取值范围是04a ≤≤ B.b 的取值范围是13b -≤≤C.32a b -的范围是23210a b -≤-≤ D.32a b -的范围是63214a b -≤-≤【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项.【详解】因为实数a 、b 满足：1513a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，由不等式的可加性可得028a ≤≤，解得04a ≤≤，A 对；由题意可得1531a b b a ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，由不等式的可加性可得226b -≤≤，解得13b -≤≤，B 对；设()()()()32a b x a b y a b x y a x y b -=++-=++-，则32x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()()153222a b a b a b -=++-，因为()()1152225515222a b a b ⎧≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，由不等式的可加性可得23210a b -≤-≤，C 对D 错.故选：ABC.12.关于x 的不等式22210x x a -+-≤的解集，下列说法正确的是（）A.0a =时，解集为∅B.0a >时，解集为{}11x a x a -≤≤+C.0a ≠时，解集为{}11x a x a-≤≤+ D.1a <-时，原不等式在02x ≤≤时恒成立【答案】BD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法判断ABC ；利用二次函数的性质判断D.【详解】0a =时，不等式为2210x x -+≤，即()210x -≤，解得1x ≠，解集为{}|1x x ≠，故A 错误；不等式22210x x a -+-≤可化为()()1110x a a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当0a >时，11a a -<+，不等式的解集为{}11x a x a -≤≤+，当0a <时，11a a ->+，不等式的解集为{}11x a x a +≤≤-，故B 正确，C 错误；令22()21f x x x a =-+-，对称轴为1x =，当02x ≤≤时，2max ()(0)(2)1f x f f a ===-，又1a <-时，2211(1)0a -<--=，所以2max ()10f x a =-<，即不等式22210x x a -+-≤在02x ≤≤时恒成立，故D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合{}{}21,,A B a a==，且A B A = ，则a 的值为_________．【答案】1-【解析】【分析】由A B A = 得A B ⊆，列式求解，然后检验元素的互异性.【详解】∵A B A = ，∴A B ⊆，又{}{}21,,A B a a==，∴1a =或21a =，解得1a =或1a =-，当1a =不满足元素的互异性，舍去，所以1a =-.故答案为：1-.14.已知二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，则不等式26bx cx a -≤的解集为_________．【答案】{}|13x x ≤≤【解析】【分析】利用图象计算a b c 、、再结合一元二次不等式的解法计算即可.【详解】由题意可知4c =，且142420116404a c a b c b a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩，所以不等式226430bx cx a x x -≤⇔-+≤，计算可得不等式解集为{}|13x x ≤≤.故答案为：{}|13x x ≤≤.15.若正实数a 、b 满足3a b +=，则14a b +的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数a 、b 满足3a b +=，所以()14114141553333a a b a b a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b a a b =，则23b a a b =⎧⎨+=⎩，即1a =，2b =时取等号，即14a b +的最小值为3.故答案为：316.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用1y （万元）与仓库到车站的距离()km s 成反比；每月库存货物费用2y （万元）与s 成正比；且10km s =时，1y 和2y 分别为2万元和8万元．那么这家公司把仓库建在距离车站_________千米处，费用之和最小．【答案】5【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】由题意可设21y ks m y s =⎧⎪⎨=⎪⎩，,0k m >，当10km s =时，1y 和2y 分别为2万元和8万元，所以80.8,2102010k m ===⨯=，故费用之和为200.8y s s=+，由基本不等式可知200.88y s s =+≥=，当且仅当200.8s s=，即5s =时取得最小值.故答案为：5四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列不等式的解集：（1）23100x x -->（2）130x --≤【答案】（1）{|2x x <-或5}x >（2）{}|24x x -≤≤【解析】【分析】（1）对原不等式因式分解，直接利用一元二次不等式的解集情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的求解过程直接求解.【小问1详解】原不等式可化为(5)(2)0x x -+>⇒<2x -或5x >∴原不等式的解集为{}|25x x x <->或【小问2详解】 13x -≤，∴313x -≤-≤∴42x -≤-≤∴24x -≤≤∴原不等式的解集为{}|24x x -≤≤18.已知全集U =R ，集合()(){}120A x x x =+-≤，集合{}23B x a x a =≤≤+，求：（1）若()()U U B A ⊆痧，求a 的范围；（2）若A B ⋂=∅，求a 的范围．【答案】（1）112a -≤≤-（2）4a <-或1a >【解析】【分析】（1）求出集合A ，由()()UU B A ⊆痧得出A B ⊆，列出不等式求解即可；（2）因为A ≠∅，A B ⋂=∅，所以分B =∅和B ≠∅两种情况讨论．【小问1详解】集合A 化简得：{}1|2x x -≤≤，()()U U B A ⊆ 痧，A B ∴⊆，2132a a ≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得：112a -≤≤-，【小问2详解】因为A ≠∅，A B ⋂=∅，所以下面分B =∅和B ≠∅两种情况讨论．①B =∅时，233a a a >+⇒>，②B ≠∅时，3a ≤，又有下面两种情况，（ⅰ）（如图）31322a a a ≤⎧⇒<≤⎨>⎩，（ⅱ）（如图）3431a a a ≤⎧⇒<-⎨+<-⎩，综上所述，4a <-或1a >.19.已知命题2:R,230p x x mx m ∀∈-->；命题2:R,410q x x mx ∃∈++<．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ⌝真且q ⌝假，求实数m 的取值范围．【答案】（1）30m -<<（2）{|3m m ≤-或1}2m >【解析】【分析】（1）根据题意得到Δ0<，求出答案；（2）先求出q 真时，实数m 的取值范围，进而得到p ⌝真且q ⌝假时，实数m 的取值范围.【小问1详解】因为命题2:R,230p x x mx m ∀∈-->为真命题．所以2230x mx m -->在R 上恒成立，则判别式()()2Δ2430m m =--⨯-<即()23030m m m m +<⇔+<，解得30m -<<．所以实数m 的取值范围为30m -<<【小问2详解】2:R,410q x x mx ∃∈++<为真，即关于x 的不等式2410x mx ++<有解，则()2Δ440m =->，解得：12m >或12m <-，由题意，p ⌝真，所以p 假，所以3m ≤-或0m ≥，q ⌝假，所以q 真，所以12m >或12m <-，p 假且q 真，所以实数m 的取值范围为{3m m ≤-或12m ⎫>⎬⎭20.已知0,0a b >>．（12a b +≥，当且仅当a b =时等号成立；（2）若1a b +=的最大值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）用分析法证明；（2x y ==，则22,a x b y ==，221x y +=，结合（1）即可证明.【小问1详解】2a b +≥，因为0,0a b >>，只要证：22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭只要证：()()a b a b a b ab+≥+=++2222222只要证：2220a b ab +-≥上式即：()20a b -≥，此不等式显然成立，当且仅当0a b -=，即a b =时，“=”号成立所以原不等式得证．【小问2详解】x y ==，则22,a x b y ==，221x y +=由（1x y x y ++≥⇒≥22所以：x y +≤2x y ==时等号成立即12a b ==时，+21.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1-和3，且方程24ax bx c ++=的两根相等．（1）求二次函数的解析式；（2）求关于x 的不等式()213ax bx c m x m ++>-++的解集．【答案】（1）223y x x =-++；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用二次函数的两根式设解析式，再借助判别式求出二次项系数即可.（2）利用（1）的结论，分类解含参不等式即得.【小问1详解】依题意，设二次函数解析式为：()()()130y a x x a =+-≠，则2,3b a c a =-=-，方程24ax bx c ++=，即22340ax ax a ---=的两根相等，因此()()2Δ24340a a a =-⋅--=，即216160a a +=，而0a ≠，解得1a =-，所以二次函数的解析式为223y x x =-++.【小问2详解】不等式()213ax bx c m x m ++>-++，即()22313x x m x m -++>-++，整理得：()210x m x m -++<，于是()()10x m x --<，当1m =时，不等式无解；当1m <时，解得1m x <<；当1m >时，解得1x m <<，所以当1m =时，原不等式解集为空集；当1m <时，原不等式解集为{}|1x m x <<；当1m >时，原不等式解集为{}1|x x m <<.22.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的关系如下：当04x ≤≤时，88y x=-；当410x <≤时，142y x =-．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒()14a a ≤≤个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】（1）6；（2）258．【解析】【分析】（1）解出不等式44y ≥即可；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度8()14614a g x x x=-+--，然后利用基本不等式求出min ()6g x =，然后解出不等式64-≥即可.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为，32,0448162,410x y x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩当04x ≤≤时，令3248x≥-，解得0x ≥，所以04x ≤≤；当410x <≤时，令1624x -≥，解得6x ≤，所以46x <≤．综上，可得06x ≤≤，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度1888()24814628(6)1414a a a g x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=-+- ⎪----⎝⎭，因为[]144,8x -∈，而14a ≤≤，所以8()1466614a g x x x =-+-≥=-，当且仅当81414a x x -=-，即14x =-时，等号成立，令64-≥，解得258a ≥，。