揭阳一中2012-2013高一下学期第一次段考(理数)

揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ）A ．21 B ．23 C ．1 D ．－12．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为 （ ） A ．23B ．32 C ．－23D ． －32 3．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B C D 4．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 5．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是 （ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 6．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ）A ．(x －3)2+(y +1)2=4B ．(x －1)2+(y －1)2=4C ．(x +3)2+(y －1)2=4D ．(x +1)2+(y +1)2=4 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化8、设集合)}0()1()1(|),{(},4|),{(22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M 当N N M =⋂时，r 的取值范围是 （ ）A 、]12,0[-B 、]1,0[C 、]22,0(-D 、)2,0(9．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++=图7C ．22(5)(7)9x y -++=D ．22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++=10．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么⎪⎭⎫⎝⎛=31πf y ，()1223+=x f y 和⎪⎭⎫⎝⎛=41log 23f y 之间的大小关系为 ( ) A. y 1 < y 3 < y 2 B. y 1 <y 2< y 3 C. y 3 <y 1 <y 2 D. y 3 <y 2 <y 1 二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共11、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 12、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是 13、若直线y x b =+与曲线x =b 的值为 14、在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论： ①OD∥平面PBC ； ②OD⊥PA；③OD⊥BC； ④PA=2OD. 其中正确结论的序号是 ．k k s s 55u u三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 16. （12分）已知函数xx a b y 22++=(a 、b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3，y min =25，试求a 和b 的值. 17. （14分）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形， PD ⊥底面ABCD ，PD =AD . 求证：（1）平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求PC 与平面PBD 所成的角； 18．（14分）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上． （1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围．19（14分）已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 4分）如图7,.已知圆O ：221x y +=和定点A (2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．）．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；k k s s 55u u （2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； （3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题答案一、选择题：1-5． CDDCD 6-10. BCCDA 二、填空题：11．080247=-+y x 或070247=++y x ；12．113．1-﹤1b ≤或b =；14．③④； 三、解答题：15. 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x, 即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-21，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 16. 解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ∴当x =－1时，u min =－1 当x =0时，u max =0 .233222223225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 k k s s 55u u 17. 解.(1)∵PD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PD ，又∵底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，而PD 与BD 交于点D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD .（2）记AC 与BD 相交于O ，连结PO ，由（1）知，AC ⊥平面PBD ，∴PC 在平面PBD 内的射影是PO ，∴∠CPO 就是PC 与平面PBD 所成的角， k k s s 55u u∵PD =AD ,∴在Rt △PDC 中，PC =2CD ，而在正方形ABCD 中，OC =21AC =22 CD ，∴在Rt △POC 中，有∠CPO =30°.即PC 与平面PBD 所成的角为30°.18. 解： ⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程． （Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k k k s s 55u u∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x xk k s s 55u u∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,4319. 解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y=x+m,圆C 化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C （1，-2）， 则AB 中点N 是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N ⎪⎭⎫⎝⎛-+-21,21m m , 以AB 为直径的圆经过原点， ∴|AN|=|ON|，又CN ⊥AB ，|CN|=221m++，∴|AN|=2)3(92m +-.又|ON|=22)21()21(-++-m m ， 由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l ，其方程为y=x-4或y=x+1.解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ =-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ ==故当65a =时，minPQ =即线段PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2= 255 . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP ===故当65a =时，minOP =此时, 3235b a =-+=，min 1R.得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 32 2 + 12－1 = 355 －1. 又 l ’：x －2y = 0,解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( 65 ,35).∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.：（1）∵ 点P （a ，a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4,5），∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7）， ∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。

揭阳一中2011—2012学年度高三第一次段考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题 共40分）一、选择题: 本大题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。

1。

定义集合运算：},,log|{B y A x y z z B A x∈∈==⊗，且}3,2,1{=A ，}3,2,1{=B ，则集合B A ⊗中的元素个数是（ )A ．4B ．5C ．6D ．9 2、化简4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅（a ， b 为正数)的结果是（ )A ．ab B ．ab C ．ba D ．a 2b3。

下列命题中的真命题是 ( )A ．x ∃∈R ，使得 sin cos 1.5x x +=B 。

(0,),1x x e x ∀∈+∞>+C ．(,0),23xx x ∃∈-∞< D ．(0,),sin cos x x x π∀∈>4、如果函数px nx y ++=21的图象关于点A （1，2）对称，那么（ ）(A)=p －2，=n 4 （B ）=p 2，=n －4 （C ）=p －2，=n －4 (D ）=p 2,=n 45、某种商品的零售价2007年比2005年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使2009年的物价仅比2005年上涨10％,那么2009年比2007年的物价下降( )A. 15％B. 12% C 。

10% D 。

5％ 6．给出幂函数①f (x ）=x ；②f （x )=x 2；③f （x ）=x 3；④f （x x⑤f (x )=1x．其中满足条件f12()2x x +>12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为（ ）A 。

揭阳一中2014-2015学年度第二学期第一次阶段考试高一数学（理）科试卷命题人：郑彦双 审题人：赖小鹏一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．)120sin(︒-的值为 （ ）A21 B 23 C 21- D 23-2．平行线0943=-+y x 和026=++my x 的距离是（ ）A57 B 58 C 2 D 5113．已知b a ==3lg ,2lg ，则=6log 3 （ ）Ab a a + B b a b + C a b a + D bba + 4．过点(1,1)P 的直线被圆422=+y x 截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（ ）A 20x y +-=B 10y -=C 0x y -=D 340x y +-=7．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A 120︒B 150︒C 180︒D 240︒8．不论m 取何值，直线012=++-m y mx 恒过定点 （ ） A )21,1( B )1,2(- C )1,2(- D )21,1(--9．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A []1,5- B ()1,5- C (][)15,-∞-+∞， D ()1(5,)-∞-+∞，10．与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ） A 2条 B 3条 C 4条 D 6条二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11. 点)3,2,1(P 关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．12．已知角β的终边在直线x y 3-=上，且︒≤≤︒-180180β，则β= 。

13．已知点)0,0(O ，)1,1(A ，直线01:=+-y x l 且点P 在直线l 上，则||||PO PA +的最小值为 。

揭阳第一中学2012—2013学年高二级第二学期第一次段考 理科综合 可能用到的相对原子质量： H—1 C—12 N—14 O—16 Na—23 Cl—35.5 C．调整能量在生态系统中流动的方向 D．使物质能够尽快地循环流动 2．某生态系统中有ab、c、d四种生物，构成食物链a→b→c，d为分解者，下图是该生态系统中能量流入b处发生的一系列变化示意图，下列说法错误的是A．图中的甲表示b的同化能量，乙表示b用于生长．发育和繁殖的能量 B．蘑菇可参与丁过程 C．当生态系统处于相对稳定状态时，b的种群数量一般处于 值 D．图中d的能量不全部来自b生物 4． 如图是可持续发展战略中对森林的两种开发模式ⅠⅡ，其中叙述不正确的是A．完全砍伐后再种植的树通常具有一样的树龄和种类 B．选择性砍伐使森林变得更有层次和多样性 C．选择Ⅱ模式更有利于森林的可持续发展 D．进行大面积砍伐，让其自身恢复．基因工程与蛋白质工程的区别是A．基因工程需对基因进行分子水平操作，蛋白质工程不对基因进行操作 B．基因工程合成自然界已存在的蛋白质，蛋白质工程可以合成自然界不存在的蛋白质 C．基因工程是分子水平操作，蛋白质工程是细胞水平(或性状水平)的操作 D．基因工程完全不同于蛋白质工程 ．下图表示基因工程中获取水稻某目的基因的不同方法。

下列相关叙述中正确的是 A．这三种方法都用到酶，都是在体外进行 B．①②③碱基对的排列顺序均相同 C．图示ab、c三种方法均属人工合成法 D．方法a不遵循中心法则 下列化合物沸点比较错误的是A．烷＞乙烷＞甲烷 B．1—氯戊烷＜1—氯丙烷 C．氯烷＞烷 D．正戊烷＞异戊烷＞新戊烷 A．C4H10和C20H42 B．邻二甲苯和对二甲苯 C．C4H8和C3H6 D．一溴乙烷和1,2—二溴乙烷 10．下列操作达不到预期目的的是 ① 石油分馏时把温度计插入受热的液体中 ② 用酸性高锰酸钾溶液除去乙炔中含有的H2S ③将苯和溴水混合后加入铁粉制取溴苯 ④苯 A．只有①② B．只有③④ C．只有①③ D．①②③④下列有机反应中，不属于取代反应的是A．＋Cl2＋HCl B．2CH3CH2OH＋O22CH3CHO＋2H2O C．ClCH2CH===CH2＋ NaOHHOCH2CH===CH2＋NaCl D．＋HO—NO2＋H2O关于物体的动量和动能下列说法中正确的是A．一物体的动量不变其动能一定不变B．一物体的动能不变其动量一定不变 C．两物体的动量相等,其动能一定相等D．两物体的动能相等,其动量一定相等一个阻值为2Ω的线圈在匀强磁场中转动产生的交变电动势为e=10sin20(tV），当该线圈与一阻值为8Ω的电阻组成闭合回路时，下列说法正确的是A．t=0时，线圈平面位于中性面 B．t=0时，穿过线圈的磁通量为0 C．电阻的热功率为16W D．用电压表测路端电压时读数为V 15．温度传感器广泛应用于空调．电冰箱等家用电器中，它是利用热敏电阻的阻值随着温度变化的特性来工作的。

广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试数学（理）科试卷一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．)120sin(︒-的值为 （ ）A 21B 23C 21-D23- 2．平行线0943=-+y x 和026=++my x 的距离是（ ）A 57B 58C 2D 5113．已知b a ==3lg ,2lg ，则=6log 3 （ ）A b a a +B b a b +C a b a +D b b a +4．过点(1,1)P 的直线被圆422=+y x 截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（ ） A 20x y +-= B 10y -= C 0x y -= D 340x y +-=7．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A 120︒B 150︒C 180︒D 240︒8．不论m 取何值，直线012=++-m y mx 恒过定点 （ ）A)21,1( B )1,2(- C )1,2(- D )21,1(-- 9．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A[]1,5- B ()1,5- C (][)15,-∞-+∞U ， D ()1(5,)-∞-+∞U ，10．与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ） A 2条 B 3条 C 4条 D 6条二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上） 11. 点)3,2,1(P 关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．12．已知角β的终边在直线x y 3-=上，且︒≤≤︒-180180β，则β= 。

13．已知点)0,0(O ，)1,1(A ，直线01:=+-y x l 且点P 在直线l 上，则||||PO PA +的最小值为 。

华实2012学年(下)高一第一次月考数学试卷考试说明：1．全卷150分，考试时间120分钟；一、选择题(共l0小题，每小题5分，共50分)1.下列说法中正确的是( B )(A)棱柱的侧面可以是三角形(B)正方体和长方体都是特殊的四棱柱(C)所有的几何体的表面都能展成平面图形(D)棱柱的各条棱都相等2.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( D )3.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是( C )(A)2 (B)1 (C) (D)44.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( C )(A)2对(B)3对(C)6对(D)12对5.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能有( D )(A)1条或2条交线 (B)2条或3条交线 (C)仅2条交线 (D)1条或2条或3条6如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有( D )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC,又∵AC⊥BO,PO∩BO=O,∴AC⊥平面PBD,∴平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD与AC垂直.7.在下列四个命题中,正确的命题共有( A ) ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率; ②直线的倾斜角的取值范围为[0°,180°];③若一直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α; ④若一直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α. (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个8.已知空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AC,BD 的中点,若AB=2,CD=4,EF ⊥AB,则EF 与CD 所成的角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:取BC 的中点G,则EG=1,FG=2,EF ⊥EG,则EF 与CD 所成的角∠EFG=30°,故选A.9.三棱锥P ABC 的所有棱长都相等,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( C ) (A)BC ∥平面PDF (B)DF ⊥平面PAE(C)平面PDF ⊥平面ABC (D)平面PAE ⊥平面ABC解析:由BC ∥DF 得BC ∥平面PDF,故A 正确; 由BC ⊥AE,BC ⊥PE 得BC ⊥平面PAE, 所以DF ⊥平面PAE,平面PAE ⊥平面ABC, 故B 、D 都正确.排除A,B,D,故选C.10.(2011山东省淄博市高三模拟)如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F,且知SD ∶DA=SE ∶EB=CF ∶FS=2∶1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的( C ) (A) (B) (C) (D)解析:最多可盛水的体积即为大棱锥去掉小棱锥后余下的几何体的体积.V S —DEF =S SDE ·h'=(S SAB )h=V S —ABC (h'为F 到平面SDE 的距离,h 为C 到平面SAB 的距离),易知选C. 二．填空题(本题共五小题，每小题5分，共计20分)11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球 S 正方体(填“大于、小于或等于”) 小于12. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 、 38 。

ABC B 1C 1A 1EF主视图侧视图俯视图揭阳一中高中一年级第二学期第一次阶段考数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题（8×5′＝40′）1. 已知直线l 的倾斜角为300，则直线的斜率k 值为（ ）．A ．33 B ．21 C ．3D ．23 2. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ） A ． π B ． 4π C ．23πD ．34π3、已知点A (x 1，y 1)；B(x 2，y 2)是定义在区间M 上的函数)(x f y =的图象任意不重合两点，直线AB 的斜率总小于零，则函数)(x f y = 在区间M 上总是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．减函数D ．增函数4、若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,则a 值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或－15、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长（包括底面边长）都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．26、b,c a αβ已知,是直线,,是平面,下列命题中正确的是 （ ） A ．b b a a αα⊂若//,,则//B ．a a αβαβ⊥⊂⊥若,,则C ．a a ααββ⊥⊥若,//,则D ．c,b c a a b ⊥⊥若,则//7、若关于x 的方程2230x x m -+=的两根满足()()122,1,2,3x x ∈--∈，则m 的取值范围是（ ）A ．9 ,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． ()9,5-- C ．914,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()14,2-- 8、过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ ） A ．a ＞－3 B ．a ＜－3 C ．－3＜a ＜52-D ． －3＜a ＜52-或a ＞2 二、填空题（6×5′＝30′，答题结果填写在答题卷相应题号横线上，否则不予给分!）9、计算：2log 12213314lg 2lg 5lg 94---+-+-⎪⎭⎫⎝⎛= .10．地震震级M （里氏震级）的计算公式为0lg lg M A A =-（其中A 是被测地震最大振幅，常数0A 是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，近日发生的大地震震级为9级，则这次地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_________倍.11．若实数b a ,满足条件014222=+--+b a b a ， 则代数式2+a b 的取值范围是 ．12．如图所示的程序框图输出的结果是 ．13．圆：02422=-+-+k y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若︒=∠90APB ，则实数k 的值是 ． 14.已知函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 与点B )0,(m 、C )0,)(,0(≠≠mn n m n 在同一直线上，则11m n+的值为三、解答题（解答题共6小题共80分.要求写出必要的文字说明、推理过程、演算步骤；答题过程写在答题卷相应题号位置，否则不予给分！） 15、（本小题满分12分）为了加强居民的节水意识,某市制订了以下生活用水收费标准:每户每月用水未超过7m 3时,每立方米收费1.0元,并加收0.2元的城市污水处理费;超过7 m 3的部分,每立方米收费1.5元,并加收5555221输出A 结束开始1 12A i ==，3?i ≤12A A=-1i i =+是 否 （第12题图）0.4元的城市污水处理费,请你写出某户居民每月应交纳的水费y(元)与用水量x(m 3)之间的函数关系,然后设计一个求该函数值的程序框图，并写出程序语言.16、（本小题满分12分）如图ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体, M 、N 分别是线段AD 1和BD上的中点（Ⅰ）证明: 直线MN ∥平面B 1D 1C ；（Ⅱ）设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为a ，若以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出B 1、M 两点的坐标，并求线段B 1M 的长. 17、（本小题满分14分） 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．（Ⅰ）求圆心M 在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆⊙M 的方程． （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线l 1分别与直线l 2 、圆⊙依次相交于A 、B 、C 三点，利用代数法验证：||||||2AC AB AP •=. 18、（本小题满分14分）如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图(尺寸如图所示）； （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）求证平面PBC ⊥平面PABE ；（Ⅲ）若G BC 为上的动点，求证：AE PG ⊥ .19、（本小题满分14分）一艘轮船在以每小时16km 速度沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80 km 处，受影响的初始范围是以台风中心为圆心半径长为7km 的圆形区域，并且圆形区域的半径正以以每小时10km 的速度扩大，且圆形区域最大活动半径为47km ．已知港口位于台风中心正北60 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？假设轮船在航行过程中，不会受到台风的影响，则轮船离此时圆形区域边缘最近距离是多少？ 20、（本小题满分14分） 定义：若函数f (x )对于其定义域内的某一数x 0，有 f (x 0)= x 0，则称x 0是f (x )的一个不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -1 (a≠0).（Ⅰ）当a =1，b = -2时，求函数f(x)的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数f (x )恒有两个不动点，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y = f(x)图象上两个点A 、B 的横坐标是函数f (x )的不动点， 且A 、B 两点关于直线y = kx +1452+-a a a对称，求b 的最小值.第一次阶段考数学科试题答案一、选择题（8×5′＝40′）1.答案A ，直线的斜率等于它倾斜角的正切值，所以3330tan 0==k 。

一、选择题：本大题共8个小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U AC B 等于： A. {1,2,3,4,5} B. {3,4} C. {1,3,4} D. {2,3,4,5}2．直线10x -+=的倾斜角为：A ．6πB ．3πC ． 23πD ．56π 3．如图1是一正方体被过棱的中点M 、N ，顶点A 和N 、顶点D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为：4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是：A ．x y cos =B ．1--=x yC ．2y x =-D ．x x e e y -+=5．已知向量等于则垂直与若a b a n b n a,),,1(),,1(-==：A ．1B ．2C ．2D ．4 6．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则BC 边的长是：A ．23B ．3C ．23D ．17．将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为： A ．18π B ．38π C ．34π D ．12π 8．若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N =Q ，M ∩N =∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(M ，N )为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(M ，N ) ，下列选项中，不可能．．．成立的是： A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B ． M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．务必在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．9．计算：0tan 75=10．函数()f x =的定义域为 11．某商场在中秋节促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为 元12．程序框图（即算法流程图）如图2所示，则其输出结果是13．过圆222x y +=上一点P （1，1）作切线与x 轴，y 轴的交于,A B 两点，则||AB 的值为14．如图3，在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH ⊥BC ，垂足为H ，M 为AH 的中点，若,AM AB AC λμ=+则λμ+的值等于 。

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-2．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（）． A ．a //b B ．a 与b 异面 C ．a 与b 相交 D ．a 与b 无公共点【结束】3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b -B ．3a b -C ．3a bD ．3a b【答案】B【解析】试题分析：根据对数的运算法则,有b a -=-=-=-=37log 5log 37log 5log 7log 125log 7125log 22232222. 考点：对数的运算法则.【结束】4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【结束】5. 圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A ．120︒B ．150︒C ．180︒D ．240︒【结束】6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥【答案】D【解析】试题分析：从选项入手:A 中m 与β可能平行,相交,或是垂直,错误;B 中m 与β可能垂直或在平面内,错误;C 中m 与β可能平行,相交,或是垂直,错误;故选D .考点：排除法,线面垂直的判定.【结束】7．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=【结束】8．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[]1,5-B ．()1,5-C ．(][)15,-∞-+∞，D ．()1(5,)-∞-+∞，【结束】9．直线y x b =+与曲线21x y =-1个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．2b =B ．11b -<≤或2b =C ．11b -≤≤D ．11b -≤≤ 或2b =【答案】B【解析】试题分析：曲线21x y =-()0≥x 化简为()0122≥=+x y x ,所以曲线表示单位圆在y 轴及其右侧的半圆.其上顶点为()1,0A ,下顶点()1,0-B ,直线y x b =+与直线x y =平行,b 表示直线y x b =+的纵截距，将直线x y =上下平移,可知当直线y x b =+①(]1,1-∈b 时，与曲线有一个交点；②与曲线在第四象限相切时，只有一个交点，即r d =，此时2-=b ；③经过B 时，即其纵截距1-=b 时，与曲线有两个交点,所以(]1,2--∈b 与曲线有两个交点.考点：直线与半圆的位置关系;纵截距的应用.【结束】10 ．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A. B.2323⎡⎤-+⎣⎦, C.3,3]3D.[0,)+∞【结束】二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11. 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．【答案】()2,1,1【解析】试题分析：根据空间直角坐标系的特点,知对称点为()2,1,1.考点：空间对称.【结束】12．无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．【结束】13. 光线从A (1，0) 出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ．【结束】14. 已知圆221:1C x y +=与圆()()222:241C x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、(PN M 、N 分别为切点），若PM PN=,()()222251a b a b +-++最小值是 ．【答案】552【结束】三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本小题满分12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0 ．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程。

揭阳市2012年高中毕业班第一次高考模拟考试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 参考公式：如果事件A 存一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n p P C k P --=)1()(锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|1||{≤-=x x A ，}{m B =，若B B A = ，则m 的取值范围是A ．（-∞，1]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．（-∞，0]∪[2，+∞) 2．设复数z 满足i z i 22)1)(1(+=+-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是i A 21.+- i B 21.-- i C 2. i D 2.-3．设n S 为等比数列，}{n a 的前n 项和，若11=a ，公比3=q ，9722=-+k k S S ，则k 的值为A. 3B. 4C. 5D. 64．在点)3,2(),2,1(),1,1(M Q P ，)41,21(N 中，能成为函数xa y =的图象与其反函数的图象的公共点的是A ．点P 和点MB ．点P 和点NC ．点MD ．点N 5．已知)cos ,1(x =，)sin 4,(cos y x x b +=，])2,0[(π∈x ，若b a //，则y 的最大值为A. -4B. 1C. 4D. 56．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺 寸(单位：cm)如图1所示，则此几何体的体积是3323.cm A 36.cm B 3647.cm C 3322.cm D7．若曲线02:2,21=-+y y x C 与曲线0)1(:2=--y kx x C 有4 个不同的交点，则实数k 的取值范围是)3,3(-⋅A )3,0()0,3( -⋅B )3,3.[-C ),3()3,(+∞--∞⋅ D8．设集合},,,,{43210a a a a a A =．在A 上定义运算“⊙”为：i a ⊙k j a a =，其中|,|j i k -=,4,3,2,1,0,4,3,2,1,0==j i 那么满足i a (⊙)j a ⊙),(12A a A a a a j i ∈∈=的有序数对),(j i 的组数共有A. 4B. 6C. 8D. 12二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题(9-13题)9．运行图2所示的程序，若输入的n 值为3，则输出的结果sum=_________．（用分数表示）10．设曲线x y cos =])2,2[(ππ-∈x 与x 轴围成的封闭区域为M 依次连结曲线与坐标轴的交点得到的封闭区域为N ，向区域M 内随机投 一点（该点落在区域M 内任何一点是等可能的），则所投的点落在区 域N 内的概率是________．11.△ABC 中，M 为BC 上任意一点，N 为AM 中点，若AC AB AN μλ+=， 则μλ+的值为_______12.设二项式6)1(xx a -的展开式中2x 项的系数为A ，若)180,210(--∈A ，且*N a ∈，则a 的值是_______ 13．设11)(+-=x x x f ，记),()(1x f x f =若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2012x f _______ （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3所示，AB 与⊙O 切于点B ， AO 交⊙O 于点C 、D ，且AO=5，AB=4，则△ABD 的面积 是___________．15.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=-=θθsin 22cos 2y x （θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程可写为_______三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别B C A a c b a 2,1,=+=、、，△ABC 的面积433=S(1)求b 的长； (2)求)22sin(C -π的值．17.（本小题满分13分）目前，空气中的“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）对人体健康的危害程度越来越受到人们的关注．世界卫生组织(WHO)在2005年就制定了“PM2.5”的准则值，某地区空气中“PM2.5”的浓度高于这个准则值，生活在该地区的居民死亡风险就会显著上升，WHO 同时还设定了三个过渡期目标值，为目前还无法一步到位的地区提供阶段性目标（见下表，表中各数据均是相应标准的最高限值）．某市一年（365天）对空气中的“PM2.5”的含量进行监测，获得“PM2.5”每日24小时平均浓度值（单位：微克／立方米）按照区间[0，25]，(25，50]，(50，75]，(75，100]进行分组，得到频率分布直方图如图4示．(1)计算该市一年中“PM2.5”每日24小时平均浓度值分别达到(WHO)过渡期目标-1和 (WHO)准则值的天数；(2)若将频率视为概率，记该市某一周空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO) 准则值的天数为X ，求X 的数学期望；(3)若将频率视为概率，求该市某一周至少有2天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率．(结果精确到0.01)（参考数据：26.0)54(6≈） 18．（本小题满分13分）如图5，已知四棱锥P-ABCD 中90=∠=∠ABC DAB ，2,1====AD PA BC AB ，PA⊥平面ABCD ．(1)求PC 与平面PAB 所成角的正切值； (2)求证：平面PAC⊥平面PCD.19.（本小题满分14分）如图6，已知点),0(a A ，A a a a B '>),0)(2,(是点A 关于直线x y =的对称点，P 为x 轴上的动点．(1)求||||PB PA +的最小值；(2)已知抛物线C 的顶点为原点O ，焦点在x 轴，且过点B ，⊙M 的圆心M 在抛物线C 上运动，且过点A'，D ，E 为⊙M 与y 轴的两个交点，试探究三角形A'DE 的面积是否随圆心M 的变化而变化？若没有变化，求出三角形A'DE 的面积． 20．（本小题满分14分） 已知函数3x y =在点))(,(*3N n n n ∈处的切线与x 轴的交点为)0,(n a (1)用n 表示n a(2)设23741-++++=n n a a a a p ，82141210+++++=n n a a a a Q ，其中 ,2,1=n 试比较n p 与n Q 的大小，并证明你的结论； (3)设数列}1{na 的前n 项和为n T ，求证：对*N n ∈∀，n T n 6<21.（本小题满分14分）已知函数).(ln )(R a x a x x f ∈+= (1)当1-=a 时，证明;1)(≥x f(2)设221)2()()(x x a x f x F ++-=，试讨论函数)(x F y =的零点个数； (3)设),,2,1(0,0n k b a k k =>>，证明：若0)1(1≤-∑=i ini b a，则.12121≤n b n b b a a a参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则， 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数， 一、选择题：CBCD BADD1．}20|{≤≤=x x A ，]2,0[∈⇒=m B B A 选C ． 2．i ii z 2111)1(2+-=--+=，则i z 21--=，故选B ． 3．由9722=-+k k S S ，得597234972)33(1112=⇒=⋅⇒=+=++++k a a a k k k k k ，选C ． 4．函数xa y =的反函数为x y a log =，因1,0=/>a a 可排除点P ，故先排除A 、B ，若点M 在函数x a y =的图象上，则3=a ，但32l o g3≠，即点M 不在函数x y 3log -=的图象上，排除C ，故答案D ．5．由//，得x x y sin 4cos 2-=x x sin 4sin 12--=5)2(sin 2++-=x ，因1sin 0≤≤x 故选B ．6．该几何体的直观图如右图示：其体积33323111213122cm V =⨯⨯⨯⨯⨯-=，故选A ． 7．曲线1)1(:221=-+y x C 是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆： 曲线0)1(:2=--y kx x C 即0=x 或01=--y kx ，直线01=--y kx 恒过定点(0，-1)，即曲线2C 为y 轴与恒过定点(0，-1)的两条直线，如图易得：,3,321=-=k k 以直线1l （或 直线2l )、y 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知3>k 或3-<k ，故选D ．8．i a (⊙)j a ⊙12a a =，得k a ⊙11|2|12=⇒=-⇒=k k a a 或3=k ，即1||=-j i 或3||=-j i ，若1||=-j i ，则),(j i 有(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共8组，若3||=-j i ，则),(j i 有(1，4)，(4，1)，(0，3)，(3，0)共4组，故合共12组，选D ．二．填空题：9．.629 10.4π11．21 12.2： 13.x 14.548 15．θρcos 4-=解析：9．该程序即求和n n 134232+++++ ，当n=3时，输出结果为62934232=++10.如图易得区域M 的面积2|sin cos 2222===--⎰ππππx xdx S M ，区域N 的面积2π=N S ，由几何概型的概率公式可得所求的概率为4π11.设M 为BC 的中点，则)(21AC AB AM +=，AC AB AM AN 414121+==，则21=+μλ 或)(2121BM AM +==)]([21)(21a a -+=+=a a 221+-=，故21=+μλ12.r xx a C T rrrr )1()()1(661-+-=rr r x a C ---=366)1(，令,23=-r 得1=r ，因此56a A -=，由,3530180621055<<⇒-<-<-a a 又.2*=⇒∈a N a13．由题目可预知)(x f n 具有周期性，因 11)()(1+-==x x x f x f x x f x f x f f x f 11)(1)())(()(1112-=+-==，111)(1)())(()(2223-+-=+-=⋅=x x x f x f x f f x f x x f x f x f =+-=1)(1)()(334，)()(15x f x f =……，可知)(x f n 周期为4，所以x x f x f ==)()(4201214.解法一：过点B 作AD 的垂线，垂足为E ，由AO=5，AB=4得OB=OD=3． 由512=⇒⋅=⋅BE AB BO BE AO 54821=⋅=∴∆BE AD S ABD解法二：过点D 作DE⊥AE 于E ，由DE B //0，得524583=⨯=⇒=DE AD AO DE OB 54821=⋅=∴∆DE AB S ABD15.在直角坐标系xoy 中，曲线C 是以点(-2，0)为圆心，以2为半径的圆，如图设),(θρP 是曲线C 上任意一点，在Rt△OPA 中，易得θθπρcos 4)cos(-=-=OA ，即曲线C 的极坐标方程为.cos 4θρ-=三，解答题：16.解：(1)π=++=+C B A B C A ,2 3π=∴B ………………1分433sin 21==B ac S ………………3分 32314332sin 2=⨯⨯==∴B a S c ………………5分 由余弦定理得721691cos 22=⨯-+=-+=B ac c a b 7=∴b ………………7分 (2)由正弦定理知：C c B b sin sin =142137233sin sin =⨯==∴b B c C ………………9分 C C C 2sin 212cos )22sin(-==-∴π………………11分1413)14213(212-=⨯-=………………12分 17．解：(1)该市一年中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到世界卫生组织(WHO)过渡期-1的天数为：314365)25125225182519251251(=⨯⨯+⨯+⨯………………3分 一年中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到（WHO ）准则值的天数为：1251×25×365=73………………5分 (2)依题意知，该市一年中一天空气中“PM2.5”臼24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率5136573==p 或51251251=⨯=………………7分 因X 服从二项分布，即),7(~p X ，所以577==p EX ………………8分 (3)因该市一年中一天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到(WHO)准则值的概率5136573==p 则一天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达不到(WHO)准则值的概率为：54511=-………………10分 故一周至少有2天空气中“PM2.5”日24小时平均浓度值达到（WHO ）准则值的概率为：)51()54()54(1667777C C --67)54(57)54(1⨯--=.43.0572.0126.02.21≈-=⨯-≈…13分18.解：(1)解法一：∵PA⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴BC ⊥PA …………………1分又∵BC⊥AB，PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB……………3分 ∴∠CPB 为PC 与平面PAB 所成的角………………4分 在Rt△PAB ,51,222=+=∴==AB PA PB AB PA ………………5分在Rt△CBP 中，5551tan ===∠PB BC CPB 即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………7分解法二：∵PA⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴AD⊥PA …………………1分 又∵DA⊥AB，PA∩AB=A ∴AD⊥平面PAB ………………2分 ∵BC⊥AB ∴BC∥AD ∴BC⊥平面PAB ………………3分 ∴∠CPB 为PC 与平面PAB 所成的角 ………………4分 在Rt△PAB 1,2==AB PA,522=+=∴AB PA PB …………5分在Rt△CBP 中，5551tan ===∠PB BC CPB即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………………7分解法三：∵PA⊥平面ABCD DA⊥AB∴以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)， ………………2分则)2,1,1(),2,0,0()0,2,0(,.-=== ………………3分设PC 与平面PAB 所成角的大小为θ， 则6641122||||sin )2cos(=++⨯=⋅==-PC AD PC AD θθπ………………5分 20πθ≤< 630sin 1cos 2=-=∴θθ………………6分 5530666tan =⋅=∴θ，即PC 与平面PAB 所成角的正切值为55………………7分(2)证法一：过点C 作CE∥AB 交AD 于点E ，∵DA⊥AB ∴DA⊥EC，且AE =BC =1．………………8分∵AD =2，∴E 为AD 的中点，∴EC 为AD 的垂直平分线，∴CD=AC，………………9分∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=450…………………10分∴∠DAC =∠ADC=450．∴∠DCA=900，即DC⊥AC，………………11分 又∵PA⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A ∴CD⊥平面PAC ， ∵CD ⊂面PDC ．∴平面PAC⊥平面PCD………………13分证法二：∵PA⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA，………8分 又)()(+⋅+=⋅ ⋅+⋅+⋅+⋅= 00cos 21135cos 210135cos 21=⨯+⨯++⨯⨯= …………10分 CD AC ⊥∴即AC⊥DC，………11分 ∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC ，…………12分 ∵CD ⊂面PDC ，∴平面PAC⊥平面PCD.………………13分证法三：∵PA⊥平面ABCD ．CD ⊂平面ABCD ∴CD⊥PA………………8分 ∵DA⊥AB ∴以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，………………10分则)0,1,1(),0,1,1(=-=CD AC ⊥∴=⨯+⨯+⨯-=⋅,0001111 ……11分∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC ，………………12分 ∵CD ⊂面PDC ．∴平面PAC⊥平面PCD………………13分19．解：(1)设点),0.(a A 关于x 轴的对称点为A 1，则A 1的坐标为),0(a -………1分于是||||||||||11B A PB PA PB PA ≥+=+ 当且仅当A 、P 、B 三点共线是取等号，……3分 这时|PA|+|PB|取得最小值………………4分a a a a B A PB PA 224)2(|||)||(|221min +=++==+∴（2）解法一：依题意知点),0,(a A '………7分 设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y 由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒= 即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分 过点M 作y 轴的垂线，垂足为G ，则点G 平分DE ， 设圆心为M(m ，n)，则,2)(||||||22222222a am n m n a m MG A M DG +-=-+-=-'=………10分,2||,||,22a DE a DG am n ==∴= ………………12分即当M 运动时，弦DE 的长不随圆心M 的变化而变化，又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，……13分2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法二：依题意知点),0,(a A '………7分 设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y 由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒= 即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分 设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分 令0=x 得，,02222=-+-a am ny y∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上，am n 22=∴0))((02222=+---⇒=-+-∴a n y a n y a n ny y设2121),,0(),,0(y y y E y D > 则a n y a n y -=+=21,a y y 221=-∴，即a DE 2||=即当M 运动时，弦DE 的长不随圆心M 的变化而变化，……………12分又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化；………………13分2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法三：依题意知点)0,(a A '………7分设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒=即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分令0=x 得：,02222=-+-a am ny y 22484a am n +-=∆∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上， am n 22=∴24a =∆∴设2121),,0(),,0(y y y E y D > 由求根公式得a n y a n a n y -=+=+=221,242 a y y 221=-∴ 即a DE 2||=∴当M 运动时，弦长|DE|为定值，…………………12分又∵点A'到y 轴的距离不变，∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，……13分 2||21a a DE S DE A =='∆………14分 解法四：依题意知点)0,(a A '………7分设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y由抛物线C 过点B 得,222a p pa a =⇒=即抛物线C 的方程为ax y 22=………8分设圆的圆心为),(n m M ∵圆M 过点)0,(a A '∴圆的方程为2222)()()(n a m n y m x +-=-+-………9分令0=x 得，,02222=-+-a am ny y设),0(),,0(21y E y D则n y y 221=+，,2.221a am y y -=212212214)()(y y y y y y ⋅-+=-∴2222484)2(4)2(a am n a am n +-=--=又∵点),(n m M 在抛物线ax y 22=上，,22am n =∴,4)y (2221a y =-∴.2||21a y y =-………12分∴当M 运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y 轴的距离不变，………………13分 ∴三角形A'DE 的面积不随圆心M 的变化而变化，2||21a a DE S DE A =='∆………14分 20.解：(1)23x y ='∴函数3x y =在点),(3n n 处的切线方程为)(323n x n n y -=-………2分令0=y ，得323n n n x =+-= *,32N n n a n ∈=∴………3分 (2)设数列}{n a 的公差为,d 则23741,,,,-n a a a a 组成以1a 为首项，以d 3为公差的等差数列………4分82141210,,,,+n a a a a 组成以10a 为首项，以2d 为公差的等差数列，…………………5分 n n n n n d n n na P n 313232)1(221-=-+=⋅-+=∴………6分 d n n na Q n 22)1(10⋅-+=n n n n n 632323232022+=-+=………7分 )19(31)632(3122-=+--=-n n n n n n Q P n n ………8分 ∴对于正整数n ，当20≥n 时，n n Q P >当n=19时，n n Q P =当181≤≤n 时，n n Q P <………………9分(3)证明：na 261== ),131211(26nT n ++++=∴ 要证n T n 6<，只须证(*)2131211 n n <++++………10分 证法一：)1(21221--=-+<+=n n n n n n n………12分 n 131211++++∴ )1(2)23(2)12(21--++-+-+<n n.212n n <-=∴原命题得证．………14分 证法二：令n nn f 2131211)(-++++= n n n n f n f 21211)()1(++-+=-+∴1122++-=n n n 011444422<+++-+=n n n n n ………12分 ∴函数)(n f 单调递减，当*N n ∈时，021)1()(max <-==f n f 0)(<∴n f 对*N n ∈∀恒成立，即n n 2131211<++++∴原命题得证………14分 证法三：na n 261= ),131211(26nT n ++++=∴ 要证n T n 6<只须证(*)2131211 n n<++++………10分 以下用数学归纳法证明①当n=1时，121<不等式（*）成立；-一一 (11)②假设*,1(N k k k n ∈≥=）不等式（*）成立，即,2131211k k<++++ 则11131211++++++k k 112++<k k 1)1(212112++⇔+<++k k k k k 10)12()1(4)1(22<⇔+<+⇔+<k k k k 12112+<++∴k k k ………13分 ∴当1+=k n 时，不等式（*）成立，根据①②可知列*N n ∈∀原不等式成立．………………14分21.解：(1)当1-=a 时，x x x f ln )(.-=令0)(='x f ，得0111=-=-xx x ，得1=x ………2分 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f当0)()),,1(>'+∞∈x f x∴当1=x 时，函数x x x f ln )(-=有最小值，()()11min ==f x f1)(≥∴x f ………3分(2)解法一：函数)(x F y =的零点，即方程0)(=x F 的实根，将方程0)(=x F 化为x x x x a -=-221).ln (，显然),0(+∞∈x 当0=a 时，方程为0212=-x x 解得0=x 或2=x ，但,2),,0(=∴+∞∈x x即当0=a 时，函数)(x F y =有一个零点；………4分当0=/a 时，由(1)知.0ln =/-x xx x x x a ln 212--=∴，令xx x x x g ln 21)(2--= 则22)ln ()11)(21()ln )(1()(x x x x x x x x x g ------='2)ln ()1ln 21)(1(x x x x x -+--=………5分 令1ln 21)(+-=x x x h ，则xx x x h 22121)(-=-='，由0)(='x h ，得,2=x 当)2,0(∈x 时，0)(<'x h ，当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h∴当2=x 时，函数()x h =y 有最小值，()02ln 2)2(min >-==h x h即对),0(+∞∀x ，都有01ln 21>+-x x ………6分 ∵当)1,0(∈x 时，0)(<'x g当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g∴函数)(x g 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴当1=x 时，函数)(x g y =有最小值，21)1()(min -==g x g ………8分 ∴当21-=a ，方程0)(=x F 有唯一实根，即函数)(x F y =有一个零点； 当021<<-a 时，方程0)(=x F 有两个实根，即函数)(x F y =有两个零点： 当0>a 时，方程0)(=x F 有一个实根，即函数)(x F y =有一个零点； 当21-<a 时，方程0)(=x F 没有实根，即函数)(x F y =没有零点； 综上得：当21-<a 时，函数)(x F y =没有零点： 当021<<-a 时，函数)(x F y =有两个零点； 当0≥a 或21-=a 时，函数)(x F y =有一个零点．………10分 解法二：x a x a x x F )1(ln 21)(2+-+=xa x x a x a x x F ))(1(1)(.--=--+='∴………4分 当0=a 时，由0)(=x F ，解得0=x 或2=x ，但2)),,0(=∴∝+∈x x ………5分 当0<a 时，函数在(0，1)单调递减，在（1,+∞）单调递增，a F x F --==∴21)1()(min ，且当0→x 时，+∞→+∞→x x F ,)(时，+∞→)(x F ∴若021<<-a ，函数)(x F y =有2个零点，若21-=a ．函数)(x F y =有1个零点， 若21-<a ，函数)(x F y =无零点………7分 当0>a 时，由0)(='x F ，得1=x 或,a x =∴当10<<a 时,函数)(x F y =在),0(a 单调递增,在)1,(a 单调递减，在(1，+∞)单调递增， 当1>a 时，函数)(x F y =在(0，1)单调递增，在),1(a 单调递减，在),(+∞a 单调递增， 当1=a 时，函数)(x F y =在(0，+∞)单调递增，又.021)1(<--=a F ),ln 12(ln 21)(2a a a a a a a a F +--=+--= 令a a a g ln 12)(+--= 211)(-='a a g ∴函数)(a g 在(0，2)单调递增，在(2，+∞)单调递减，,022ln )2()(max <-==∴g a g.0)(<∴a g ,从而,0)(<a F∴当0>a 时，函数)(x F y =有1个零点．………9分 综上得：当21-<a 时，函数)(x F y =没有零点； 当021<<-a 时，函数)(x F y =有两个零点; 当0≥a 或21-=a 时，函数)(x F y =有一个零点．………10分 (3)由(1)知对),0(+∞∈∀x ，有1ln ≥-x x ．即1ln -≤x x ………11分),,2,1(0,0n k b a k k =>>111111)1(ln 1ln b a a b a a -≤⇒-≤∴⋅⋅⋅-≤⇒-≤ ,)1(ln 1ln 222222b a a b a a n n n n n b a a b a a )1(ln 1ln 1-≤⇒-≤ i i ni b n b b b a a a a n )1(ln ln ln 12121-≤+++∴∑= ………12分 0)1(11≤-∑=i i i b a 0ln ln ln 2121≤+⋅⋅⋅++∴n bn bba a a即12121≤⋅⋅⋅n bn bb a a a ………14分。