广东省揭阳一中、潮州金中2020-2021学年高三下学期第一次联考数学试题含解析【附16套高考模拟卷

2022学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．2．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要3．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -4．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1B ．5C ．3D ．55．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．847．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 8．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，10．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．211-B ．525-C ．25D ．251-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省揭阳市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+，∴复数2(1)i i +=故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

F EACB绝密★启用前揭阳市2021年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 留意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必需用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必需填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必需保持答题卡的洁净．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则AB 中元素的个数为A ．8B ．7C ．6D ．5 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221x y ab -=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为 3 B.5 C.2 D. 525．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.14 6．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D. 若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必需相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 128．非空数集A 假如满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1Ax ∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<； ③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e =∈⋃；④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 ．10．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式y = ．11．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 6A =，则b =______ ．12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE 、CF 分别为钝角△ABC的两条高，已知1,AE =3,2,AB CF ==则BC 边的长为 ．图1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020016.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图2（1）依据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设ξ是此人停留期间空气质量优良的天数，求ξ的数学期望．（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图318．（本小题满分14分）如图4，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求四棱锥B-CDFE 的体积V ；（3）求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值．图419. (本小题满分14分) 已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b 满足n nnb S =122323n b b b n +++<+20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程； （2）设直线2:l y kx m=+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,摸索究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sin ln 2(1)nk k =<+∑．揭阳市2021年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后续部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CBBD ACBC解析：7. 不同的摆法种数为:2223224A A ⋅=或43432424A A -=．8. 集合①，当22a -<<时为空集；集合②即{|2323}x x -<+，⇒1123232323x x <<⇒<<+-，故集合②是互倒集；对于集合③当1[,1)x e ∈时， [,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时1(0,]y e ∈，明显非互倒集；对于集合④，2125[,)[2,]552y ∈25[,]52=且125[,]52y ∈，故集合④是互倒集.二、填空题：9. 12；10. 4x ；11.26；12.233p ；13. 3；14. 4357. 解析：12.所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p=⨯⨯+=⨯+=.13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又3331210()(()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q -=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.15．依题意得22BE =BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC ==,所以2,AF =6,AC =2257BC BE EC =+=三、解答题：16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=-----------------------3分 ∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分 2231126132326=⋅+⋅=----------------------------------------------------12分17．解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：--3分 --7分 （2）设iA 表示大事“此人于当月i 日到达该市”（ i =1,2，…，10）.则1()10i P A =（ i =1,2，…，10）-------------------------------------------------8分依题意可知，ξ的全部可能取值为0,1,2且P(ξ=0)= P(A 5)+P(A 6)=21105=, ----------------------------------------------------9分 P(ξ=1)= P(A 1)+P(A 4)+P(A 7)+P(A 10)=42=105，---------------------------------------10分 P(ξ=2)= P(A 2)+P(A 3) +P(A 8)+P(A 9) =42105=，--------------------------------------11分所以ξ的数学期望12260125555E ξ=⨯+⨯+⨯=．-----------------------------------12分 18.（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，-------------------1分又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------4分 （2）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆--------------------------------5分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=---------------------6分331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅11611642=⨯⨯⨯=-------------------8分1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.-----------------8分]（3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 与CD 所在的直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则(000)C ，，,(100),(010),(106)B D A ，，，，，16116(,0(,222E F ， ∴16(,02BE =-，,116(,)22BF =-，,---------------10分 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n a b c =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 1602116022a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令6c =6,0a b ==，∴(6,0,6)n =，------------------12分 ∵6)BA =是平面BCD 的法向量，设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角大小为θ，则7cos 7||||642n BA n BA θ⋅===⋅⨯,∴所求二面角的余弦值为7．---------------------------------------------------14分19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分（3）证明：322323132n n n b S n n n n ===<++-++------------------10分32312(3231)332+313231n n n n n n n n +-=+-+-+--（）（)(）--------------------11分∴122[(52)(85)(3231)]3n b b b n n +++<-+-+++---------------13分22(322)3233n n =+<+----------------------------------------14分20.解：(1)设(,)M x y ,由//MB OA 得(,1)B x -,-------------------------------------1分又(01)A ，，∴(,1)MA x y =--, (0,1)MB y =--, (,2)AB x =-.--------------------3分 由MA AB MB BA ⋅=⋅得()0MA MB AB +⋅=即(,2)(,2)0x y x --⋅-=24x y ⇒=， ∴曲线C 的方程式为24x y =.----------------------------------------------------5分（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线2l的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=------------------------------------------10分∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=---------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必需有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---------14分21.解：（1）∵()ln F x ax x =-，(0)x >∴1'()F x a x =-，---------------------------------------------------------------1分①若0a ≤，则对任意的(0,)x ∈+∞都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减， 函数()F x 在(0,)+∞上无极值；----------------------------------------------------2分②若0a >，由'()0F x =得1x a =，当1(0,)x a ∈时'()0F x <，当1(,)x a ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴函数()F x 在1x a =处有微小值，∴1()F a 11ln 1a =-=，∴1a =.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 且当(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x⇒->1sin(1)lnx x ⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+∴22211(1)sin ln ln1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分∴222 22211123(1) sin sin sin ln ln ln 23(1)1324(2)nn n n+ +++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n nn n n++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln2<，即211sin ln2(1)nkk=<+∑．--------------------------------------------------------14分。

★开封前注意保密揭阳市２０２０—２０２１学年度高中三年级教学质量测试数　学本试题共６页，考试时间１２０分钟，满分１５０分注意事项：１．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。

２．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

３．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考试结束后，请将本试题及答题卡交回。

一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．设集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ}－３＜０，Ｂ＝{ｘ２≤ｘ≤}４，则Ａ∩Ｂ＝＜４＜３Ｂ．{ｘ－１≤ｘ}Ａ．{ｘ２≤ｘ}Ｃ．{ｘ２＜ｘ≤}３Ｄ．{ｘ－１＜ｘ≤}４，则ｚ的虚部为２．已知复数ｚ＝４－２ｉ１＋２ｉＡ．２Ｂ．－２Ｃ．２ｉＤ．－２ｉ３．某学校有东、南、西、北四个校门，受疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有２名教师和３名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有Ａ．６种Ｂ．１２种Ｃ．２４种Ｄ．３２种４．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线．其构成方式如下：如图１将线段ＡＢ等分为ＡＣ，ＣＤ，ＤＢ，如图２以ＣＤ为底向外作等边三角形ＣＭＤ，并去掉线段ＣＤ．在图２的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图３的曲线．设线段ＡＢ的长度为１，则图３曲线的长度为图１图２图３Ａ．２Ｂ．８３Ｃ．６４２７Ｄ．３５．中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是Ａ．１３５ Ｂ．１７０ Ｃ．１８４０ Ｄ．１１６８０图４６．在疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒．教室内每立方米空气中的含药量ｙ（单位：毫克）随时间ｔ（单位：小时）的变化情况如图４所示．在药物释放的过程中，ｙ与ｔ成正比；药物释放完毕后，ｙ与ｔ的函数关系式为ｙ＝１０ａ－ｔ（ａ为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到０ ２毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（参考数值ｌｇ２≈０ ３０１０３）Ａ．４２分钟后 Ｂ．４８分钟后Ｃ．５０分钟后 Ｄ．６０分钟后７．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＡＤ上的动点，且满足２ＡＭ＋ＡＮ＝１，设→ ＡＣ＝→ ｘＡＭ＋→ｙＡＮ，则２ｘ＋３ｙ的最小值为Ａ．４８Ｂ．４９Ｃ．５０Ｄ．５１８．已知函数ｆ（ｘ）定义域为Ｒ，满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），且对任意１≤ｘ１＜ｘ２均有（ｘ１－ｘ２）·［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］＜０成立，则满足ｆ（２ｘ－１）－ｆ（３－ｘ）≥０的ｘ的取值范围是Ａ．（－∞，－２］∪２３，＋[)∞Ｂ．（－∞，０］∪４３，＋[)∞Ｃ．－２，[]２３Ｄ．０，[]４３二、选择题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。

广东省揭阳一中、潮州金山中学2020届高三下学期期初联考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2,2AB BC AC ===，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为A ．50081πB ．4πC ．259πD ．1009π2．偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[-2,2] C ．[0,4] D ．[-4,4] 3．设实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）A ．-1B ．C ．0D ．4．设a r 、b r 是夹角为60︒的单位向量，则2a b +r r和32a b -r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与1D F 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u r u u u r ，则EC ED •u u u r u u u r的值是（ ）A ．45- B ．1516-C ．14-D ．58-7．已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为A ．25B ．35 C ．115π-D ．15π8．设椭圆E 的两焦点分别为12,F F ,以1F 为圆心,12F F 为半径的圆与E 交于,P Q 两点.若12PF F ∆为直角三角形,则E 的离心率为A．21- B ．512- C ．22 D ．21+9．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2013,2018]上的（ ） A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为7810．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A ．305B ．2305C ．275D ．4711．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π4，若向量2m a =u r r ，4n a b λ=-r r r ，且m n ⊥u r r ，则n =r ( )A ．2-B ．2C ．4D ．612．设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省揭阳一中、潮州金山中学届高三数学下学期开学初联考试卷及
答案（理科）中学试卷
广东省揭阳、金中2014届高三下学期开学初联考试题
数学（理科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z＝1＋i，
A．－2i B．－i C．i D．2i
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.
三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
广东省揭阳、金中2014届高三理科数学下学期开学初联考试卷参考答案。

绝密★启用前 高考数学模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B U 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为A.5 B.5C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==r r（-），若a b ⊥r r ，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=-L ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角 △ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？18．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===o，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF I 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ． 19. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<L ． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．15．依题意得22BE =，因△BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = 2257BC BE EC =+=．三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+=得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分 ∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=-----------------------------------------6分∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分22311261332+=⋅+⋅=----------------------------------------------------12分17．解：（1）[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分由（1）知EF⊥平面ABC，∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EFS FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113232=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]（3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++Q --------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+L L 111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分 200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=---u u u u r u u u r --------------------------------------10分∵点N在以MQ为直径的圆上，∴2222 0002(1)()(1)20(*)244x x xNM NQ n n n n n⋅=--+-=-++-=u u u u r u u u r--------------12分要使方程(*)对x恒成立，必须有21020nn n-=⎧⎨+-=⎩解得1n=，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1)．--------14分④⑤联立解得0,1.xy=⎧⎨=⎩或0,1.xy=⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为(0,1)或(0,1)-，将(0,1)的坐标代入③式得，左边=0002(1)2(1)()[]yy xx--+--002(1)2(1)0y y=-+-==右边，将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=0002(1)()[]2(1)yx yx---=-不恒等于0，------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为(0,1)．--14分]（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分。

揭阳一中—学年度高三平时测试一数 学〔文科〕第I 卷 〔选择题〕〔50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．}2,1{=A ，}21|{<≤∈=x R x B ，那么B A 为( ) A.}2,1{ B.}1{ C.}21|{≤≤x x D.}1|{≥x x2．不等式0322>--x x 的解集是〔 〕 A.1|{<x x 或}3->x B.1|{-<x x 或}3>x C.}11|{<<-x xD.}13|{<<-x x3．以下命题中的真命题是 ( )A.x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B.(0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C.(,0),23x x x ∃∈-∞< D.(0,),sin cos x x x π∀∈>4．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )5．某种商品的零售价年比 年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使年的物 价仅比 年上涨10％，那么年比年的物价下降〔 〕 A.15％ B.12％ C.10％ D.5％ 6．函数f 〔x 〕=2-+x e x的零点所在的一个区间是〔 〕A.〔-2,-1〕B.〔-1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕 7．记函数()f x 的反函数为1()fx -,假设x x f a log )(=且2)9(=f ，那么)2log (91--f 的值是〔 〕A.2B.2C.22D.2log 3 8．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A.),4[]1,(+∞--∞ B.),4()1,(+∞--∞ C.(,4][1,)-∞-+∞D.),4[)1,(+∞--∞10．假设实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，那么称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件第II 卷〔非选择题〕〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分． 11．幂函数3222)1(--•--=m m xm m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值为12．假设2,4==b a ，那么4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅=13．函数||sin 1()()||1x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=______14．以下几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，那么0a <；②函数y =③函数()f x 的值域是[2,2]-，那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，那么m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．〔此题总分值12分〕p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2≤ 0 (m ＞0)，假设⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16．〔此题总分值12分〕函数)10,0(132)(22≤≤>-+-=x a a ax x x f ，求)(x f 的最大 值和最小值．17．〔此题总分值14分〕商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：〔1〕买一个茶壶赠送一个茶杯；〔2〕按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个〔不少于4个〕，假设以购置茶杯数为x 个，付款数为y 〔元〕，试分别建立两种优惠方法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．18．〔此题总分值14分〕函数()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1). (1) 求()f x 的定义域；(2) 判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3) 当1a >时，求使()0f x >成立的x 的取值范围．19．〔此题总分值14分〕函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=－f(x)〔1〕求证：f(x)是周期函数；〔2〕假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; 〔3〕在(2)的条件下．求使f(x)=－21在［0，2 011］上的所有x 的个数．20．〔此题总分值14分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =．(1) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线〞．设22a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由．文科数学答案一. 选择题 BBBDB CCAAC二. 填空题 11. 2 12. 2 13. 2 14. ①⑤三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15、解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3，…………………2分 q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．…………………4分那么 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．……6分由 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ． …………………8分 从而 310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ．…………………11分(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．………12分16．(1)解：12)(132)(2222-+-=-+-=a a x a ax x x f ……………2分 由0>a 知，当1≥a 时，由于)(x f 在[0，1]上是减函数，故)(x f 的最大值为,13)0(2-=a f 最小值为;23)1(2a a f -= ……………6分当210<<a 时， )(x f 的最大值为a a f 23)1(2-=，最小值为;12)(2-=a a f …………9分 当112a <<时， )(x f 的最大值为,13)0(2-=a f ，最小值为.12)(2-=a a f …………12分17．解：由优惠方法〔1〕可得函数关系式为：y 1=20×4+5(x －4)= 5x +60(x ≥4); …………3分由优惠方法〔2〕得：y 2=(5x +20×4)×92%=4．6x +73．6(x ≥4), …………………6分 对以上两种优惠方法比拟得：y 1－y 2=0．4x －13．6(x ≥4),令y 1－y 2=0,得x =34． ……………9分可知当购置34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分当4≤x ≤34时，y 1<y 2,优惠方法〔1〕省钱；…………………12分 当x ≥34时，y 1>y 2,优惠方法〔2〕省钱． …………………14分 18、解：〔1〕因为()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1)∴⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ………… 3分故所求函数)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ………… 4分〔2〕由〔1〕知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ，关于原点对称………… 5分 又()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-………… 7分 故)(x f 为奇函数. ………… 8分〔3〕因为当1a >时，()f x 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数，………… 10分 所以1()011x f x x+>⇔>-，解得10<<x ………… 13分 所以，使得()0f x >成立的x 的取值范围是}10|{<<x x . ………… 14分19解：〔1〕证明:∵f〔x+2〕=－f 〔x 〕，∴f〔x+4〕=－f 〔x+2〕=－［－f 〔x 〕］=f 〔x 〕，…… 2分∴f〔x 〕是周期函数，且4为一个周期． …………… 4分〔2〕解 当0≤x≤1时，f(x)=21x,设-1≤x≤0,那么0≤-x≤1,∴f〔-x 〕=21〔-x 〕=-21x ． ∵f(x)是奇函数，∴f〔-x 〕=-f 〔x 〕,∴-f 〔x 〕=-21x ，即f(x)=21x ． ……………6分故f(x)= 21x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x ＜3,那么-1＜x-2＜1,∴f(x -2)= 21(x-2), 又∵f〔x-2〕=-f 〔2-x 〕=-f 〔〔-x 〕+2〕=-［-f 〔-x 〕］=-f 〔x 〕，∴-f 〔x 〕=21〔x-2〕，∴f〔x 〕=-21〔x-2〕〔1＜x ＜3〕．∴f〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x …………… 10分由f(x)=- 21,解得x=-1．∵f〔x 〕是以4为周期的周期函数． ∴f(x)=- 21的所有解为x=4n-1 (n∈Z )． ……………12分令0≤4n -1≤2 011,那么41≤n≤503,又∵n∈Z ，∴1≤n≤503 〔n∈Z 〕,∴在［0，2 011］上共有503个x 使f(x)=- 21． ……………14分20.解：〔1〕22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞ …………2分 〔2〕不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， …………4分 令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，那么另一个零点一定在区间[3,2)--， …………6分故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． …………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，…………4分[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， …………6分 所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分 〔3〕设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，那么2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，那么()f x 与()g x 的图象在x =)2e． ………10分设()f x 与()g x 存在 “分界线〞，方程为(2ey k x -=，即2ey kx =+-由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，那么2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k = ………12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，那么()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，那么()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线〞方程为：2ey =-． …………14分。

揭阳第一中学2020-2021学年度高一级（下）期末联合测试数 学 试 卷本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟．第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|lg },{|1}A x y x B x x ===≤，则A B =（ ）A. (0,)+∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,1]-∞2．设复数z 满足()12z i ⨯+=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．323.如图，平行四边形''''O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中''5O A =，''2O C =，'''30A O C ∠=︒，则原图形的面积是（ ）A ．4B ．42C ．102D ．64． 在右图的正方体中，M ．N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5.函数),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.)32sin(2π+=x y B.)32sin(2π-=x y C.)32sin(2π-=x y D.)322sin(2π+=x y6．已知向量（ ）A ．1B ．C ．2D ．47． ①工作组到某学校检查工作，需在高一年级的学号为001-800的学生中抽调20人参加综合座谈； ①该校高一年级这800名学生期中考试的数学成绩有180人在120分以上（包括120分），460人在120以下90分以上（包括90分），其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈；①该校高一年级这800名学生参加义卖活动，要产生20名“幸运之星”以上三件事，合适的抽样方法依次为（ ）A ．系统抽样，分层抽样，系统抽样B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样8. 已知实数满足，则的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知函数)2sin()(π-=x x f ，下面结论正确的是 （ ）A.函数)(x f 的最小正周期为π2B.函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C.函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D.函数)(x f 为奇函数10．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是：（ ） A ．x y cos -= B ． C ．2y x =- D ．11. 已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于直线a 的直线，下列选项错误的是（ ）A. 只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在α内C. 只有一条，且在平面α内D. 有无数条，一定在α内12．在△ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．,则三、填空题（每题5分共20分）．13．已知关于的不等式的解集为，则实数＝ 等于则垂直与若a b a n b n a ,),,1(),,1(-==2,a b 240,2ab a b b -+-=>且2a b +1--=x y x x e e y -+=A B <sin sin A B <sin sin A B <A B <A B >11tan 2tan 2A B >A B <22cos cos A B >x 210x ax -+<1(,2)2a14.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于 15．函数1()lg ()2x f x x =-的零点个数为16.已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan 四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.(10分)已知奇函数()()1,1,-∈=x x f y 在()1,`1-上是减函数，解不等式()()0311<-+-x f x f17.（本小题满分10分）（概率1）某位老师对两个班100名同学进行了是否经常做家务的调查，数据如下表：如果随机地问这两个班中的一名学生，下面事件发生的概率是多少？（1）经常做家务；（2）是二班的同学且不经常做家务．18．（本小题满分12分）已知 、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）. （Ⅰ）若||，且，求的坐标；（Ⅱ）若||=，且与垂直，求与的夹角的余弦值.19．（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的最大值．c 52=a c //c 1a b +2a b -θABC ∆,,A B C ,,a b c cos (2)cos b C a c B =-B b =a c +20.（本小题满分12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点.(1)求证://PA 平面BDF ;(2) 求证:平面PAC ⊥平面BDF .P FA BB C21.（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈--+-=),4cos()4sin(2)32cos()(πππ（1）将)(x f 化为),0,0(,)sin()(πϕωϕω<>>++=A b x A x f ；（2）若对任意]2,12[ππ-∈x ，都有a x f ≥)(成立，求a 的取值范围；22.（本题满分为12分）已知函数22()+42)1f x x a x a =-++（．（1）若函数在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）设12121[()()],()22x x P f x f x Q f +=+=，试比较P 与Q 的大小；。

广东省揭阳市第一中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：D略2. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.3. 直线与抛物线交点的个数是（）A. 0B.1C.2D. 0或1参考答案：B4. 双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是A．①②B．③④C．②③D．①④参考答案：C6. 袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是A. B . C. D.参考答案：C略7. 设函数若，则的值为………（）A. B. C. D.参考答案：D8. 直线经过A（2，1）、B（1，）（m∈R）两点，那么直线的倾斜角的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D9. 已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程无实根，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：D10. 设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞1，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③；④.其中正确结论的序号是__________．参考答案：②③12. 椭圆＋=1的离心率e=，则实数m的值为▲。

广东省揭阳、潮州金山高三下学期开学考试联考数学（理）试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ( )．A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是( )． A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥ B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥则m β⊥ D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（ ）．A ．30B ．60C ．70D ．804．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）.A.14B.24C.28D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x = ( )．A ．32B ．24C ．18D ．166. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)Pxy 为该抛物线上的动点，又点(1,0),A -则||||PF PA 的最小值是（ ）．A ．12B．2C．2D．37. 设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为（ ）．A ．310-B ．103C ．0D ．2 8. 将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图 3），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：图 1图 2PA图 3①()f x 的值域为[0,2]；②()f x 是周期函数； ③( 1.9)()(2013)f f f π-<<；④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为：（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.9. 已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ． 10. 不等式222log 2log x x x x -<+的解集为 ． 11. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = . 12. 函数)0)(sin(3)(>+=ϕϕωx x f 的部分图象如图 4所示，点)3,(),0,(21x B x A ,C )3,(4-x ，若2A B B C A B=，则ω等于 ．13. 如图 5，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分）随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆4cos ρθ=上的点到直线(s i n cos )2ρθθ-=的最大距离为 ． 15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆O 交于F ，若2π=∠DB C ,6π=∠BCD ,6=AB ，则=EC ________．三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知函数()sin sin(),02f x x x πωωω=++>且函数()f x 的最小正周期为2π．(1)求()f x 的最大值及取得最大值的x 值；(2)若(0,),απ∈且3()4f α=，求cos α的值． 17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ．图 4图 6图 5π- π(1) 求文娱队的人数；(2) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ．18.（本题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图7甲).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图7乙).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ；（2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.19.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足217a =-，()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n n n n ． （1）求1a 的值；（2）求证：数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是等比数列； （3）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，32<n T ．20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线2x =的距离之比为2，动点Q 是动圆C 2：222(1x y r r +=<<上一点．（1）求曲线C 1的轨迹方程；（2）若点P 为曲线C 1上的点，直线PQ 与曲线C 1和动圆C 2均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离｜PQ ｜的最大值．21．（本题满分14分）已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈.（1）若函数()y f x =在,,x a x b x c ===处取到极值,且,,a b c 成等差数列，求t 的值；（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立.求正整数m 的最大值．高三理科数学测试题参考答案三．解答题：16. 解：24f (x )sin x sin(x )sin x cos x x )ππωωωωω=++=+=+……2分f (x )的最小正周期为2π，21,Tπω∴==………………………………4分 （1）)(x f 的最大值为2，当242x k ,πππ+=+即24x k (k Z )ππ=+∈时)(x f 取得最大值；…………………………………………………………………………………………6分（2）因为43)(=αf ，即3sin cos 4αα+=⋅⋅⋅①, ………………………………7分 72sin cos 16αα⇒=-且2(,)παπ∈………………………………………………9分272311616(cos sin ),cos sin αααα-=+=∴-=-②，……………………11分由①、②解得388cos α=-12分17. (1)解法1：∵107)0(P 1)1(P )0(P ==-=≥=>ξξξ， ∴3P 010()ξ==． ……………………………………………………………………2分 即103C C 2x 722x 7=--， ∴103)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----， ∴x=2．………………………………5分故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。

2021年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题，每小题5分，共60分）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1. 已知集合A ＝{x|x 2−5x +4<0}，集合B ＝{x|x >2}，则A ∩B ＝（ ） A.(−1, 0) B.(−1, 4) C.(2, 4) D.(0, 4)2. 若复数z =m(m −1)+(m −1)i 是纯虚数，实数m =( ) A.1 B.0 C.0或1 D.1或−13. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =1，直线AD 与直线BC 1所成的角为60∘，则该长方体的体积为( ) A. 2√2 B.√2 C.2√3 D.√34. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂ ，已知∑x i 10i=1=220，∑y i 10i=1=1610，b ̂=4 ，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为( )厘米． A.165 B.169 C.173 D.1785. 已知抛物线x 2=4y 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( ) A.√2 B.2 C.√5 D.56. 已知函数f(x)=|x −1|⋅(x +1)，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实数解，则实数k 的值为( ) A.0 B.1 C.0和−1 D.0和17. 已知倾斜角为α的直线l:y =kx −2与圆x 2+(y −1)2=1相切，则1−cos 2αcos (π2+α)的值为( ) A.−4√23B.4√23C.−4√33D.4√338. 已知四棱锥S −ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于2√3，则球O 的体积等于( )A.4π3B.8π3C.16π3D.22π3（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）判断平面α与平面β平行的条件可以是( )A.平面α内有无数条直线都与β平行B.直线a⊂α，b⊂β，且a // β，b // αC.平面γ // α，且平面γ // βD.平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β下列判断正确的是( )A.“am2>bm2”是“a>b”的充分不必要条件B.命题“∃x∈R，使x2+x−1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x−1>0”C.若随机变量ξ服从二项分布：B(4,14)，则E(ξ)=1D.若随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，则( )A.函数f(x)+g(x)的图象的一个对称中心为(π8,0)B.函数f(x)⋅g(x)是奇函数C.函数f(x)+g(x)在(0, π)上的单调递减区间是[π8,5π8]D.函数f(x)⋅g(x)的图象的一个对称轴方程为x=−π8给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数．记f′′(x)=(f′(x))′，若f′′(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0,π2)上是凸函数的是( )A.f(x)=sin x−cos xB.f(x)=ln x−2xC.f(x)=−x3+2x−1D.f(x)=−xe−x二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）(x3−1x)4展开式中常数项为________．新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为________．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为________尺．已知定义域为R 的函数是奇函数，则不等式解集为________．三、解答题（本题共6道小题，共70分.解答题要写出证明过程或解题步骤.）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =4，b =2√7， 面积S =√32ac cos B . (1)求sin A 的值；(2)点D 在线段AB 上，满足2BD →=DA →，求线段CD 的长．已知数列{a n }满足2a n =S n +n ，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求证：{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n a n ⋅a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n <1.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ，且AB =AC =A 1B =2．(1)证明：平面A 1AC ⊥平面ABB 1；(2)求二面角C 1−AB −A 1的大小．某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9, 10)，[10, 11)，[11, 12)，[12, 13)，[13, 14)，五个小组（所调查的芯片得分均在[9, 14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中a −b ＝0.18．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，P(2√2,0)，Q (1,√72)是椭圆C 上的两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线与椭圆C 交于A ，B 两点，交y 轴于点M (0,m )，使|OA →+2OB →|=|OA →−2OB →|成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ln x−(m+2)x，k(x)=−mx2−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；,1]，使得不等式f(x)<k(x)成立，求m的取值范围．(2)设m>0，若存在x∈[12参考答案与试题解析2021年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题，每小题5分，共60分）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x>2}，∴A∩B＝(2, 4)．2.【答案】B【考点】复数的基本概念【解析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，∴m(m−1)=0，m−1≠0，∴m=0.故选B．3.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】利用直线与直线所成角求解长方体的高，然后求解该长方体的体积．【解答】解：∵BC // AD，直线AD与直线BC1所成的角为60∘，∴∠C1BC是AC1与BC所成的角，∴∠C1BC=60∘，AB=2，BC=1，∴CC1=√3，∴该长方体的体积V=2×1×√3=2√3．故选C．4.【答案】B【考点】求解线性回归方程 【解析】由题意首先确定样本中心点，然后求得回归方程，最后估计学生的身高即可． 【解答】解：由题意，得x ¯=22010=22，y ¯=161010=161，回归方程经过样本中心点(22,161)， 则161=4×22+a ̂， 解得a ̂=73， 所以回归方程为y ̂=4x +73，所以其身高为4×24+73=169厘米． 故选B ． 5.【答案】 A【考点】双曲线的渐近线 双曲线的离心率 双曲线的准线方程【解析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，判断双曲线的渐近线的斜率，推出a ＝b ，由离心率公式即可得到所求． 【解答】解：因为抛物线x 2=4y 的准线方程为y =−1，平行坐标轴， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两条渐近线关于y 轴对称， 抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等腰直角三角形， 所以双曲线的渐近线的斜率为±1， 得a =b ， 所以c =√2a ， 所以e =c a =√2．故选A ． 6.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】画出函数f(x)的图像，结合图像求出k 的值即可． 【解答】解：f(x)=|x −1|⋅(x +1)={x 2−1,x >1,−(x 2−1),x ≤1,画出函数f(x)的图象，如图所示，结合函数图象，得k =1或k =0时， 方程f(x)=k 有两个不同的实数解． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】 圆的切线方程 诱导公式 二倍角的余弦公式 直线与圆的位置关系【解析】由已知结合直线与圆相切的性质可求斜率k ，然后结合直线倾斜角与斜率关系可求tan α，进而可求sin α，再由诱导公式进行化简可求． 【解答】解：因为y =kx −2与圆x 2+(y −1)2=1相切， 所以2=1，解得k =±2√2， 即tan α=±2√2. 因为α∈(0,π)， 所以sin α=2√23，所以1−cos 2αcos (π2+α)=2sin 2α−sin α=−2sin α=−4√23． 故选A ． 8.【答案】 A【考点】球的表面积和体积 球内接多面体【解析】当此四棱锥体积取得最大值时， SO ⊥底面ABCD ，设正方形ABCD 的边长=a ，可得4×12a √(12a)2+(√22a)2=2√3,解得a ，进而得出结论．【解答】解：如图，当此四棱锥体积取得最大值时，SO⊥底面ABCD，设正方形ABCD的边长为a，则4×12a(12a)(√22a)=2√3，解得a=√2，则球的半径r=√22a=1，则球O体积V=4π3×13=4π3．故选A．（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）【答案】C,D【考点】平面与平面平行的判定空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】对于A，α与β相交与平行；对于B，α与β相交与平行；对于C，由面面平行的判定定理得α // β；对于D，由面面平行的判定定理得α // β．【解答】解：平面α内有无数条直线都与β平行，则α与β相交与平行，故A错误；直线a⊂α，b⊂β，且a // β，b // α，则α与β相交与平行，故B错误；平面γ // α，且平面γ // β，由面面平行的判定定理，得α // β，故C正确；平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β，由面面平行的判定定理，得α // β，故D正确．故选CD．【答案】A,C,D【考点】命题的真假判断与应用不等式的基本性质命题的否定二项分布的应用正态分布的密度曲线【解析】直接利用不等式的性质，命题的否定，二项分布，正态分布的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 【解答】解：对于A ，当“am 2>bm 2”时，则“a >b ”成立， 当“a >b ”且m =0时，“am 2>bm 2”不成立，故“am 2>bm 2”是“a >b ”的充分不必要条件，故A 正确； 对于B ，命题“∃x ∈R ，使x 2+x −1<0”的否定是： “∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0”，故B 错误；对于C ，随机变量ξ服从二项分布：B(4,14)，则E(ξ)=4×14=1，故C 正确； 对于D ，随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤4)=0.79， 则P(ξ≤−2)=1−P(ξ≤4)=1−0.79=0.21，故D 正确． 故选ACD ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 余弦函数的对称性 正弦函数的单调性 函数奇偶性的判断【解析】根据“左加右减”的平移原则和诱导公式可知g(x)＝cos 2x ，由辅助角公式可得f(x)+g(x)＝sin (2x +），由二倍角公式可得f(x)⋅g(x)＝sin 4x ，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断四个选项即可．【解答】解：由题意，得g (x )=sin 2(x +π4)=cos 2x ，选项A ，f (x )+g (x )=sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)，令2x +π4=kπ，k ∈Z ，则x =kπ2−π8，k ∈Z ，所以函数f (x )+g (x )的对称中心为(kπ2−π8,0)，k ∈Z ， 不包含点(π8,0)，故选项A 错误；选项B ，f (x )⋅g (x )=sin 2x ⋅cos 2x =12sin 4x ， 则f(x)为奇函数，故选项B 正确； 选项C ，f (x )+g (x )=√2sin (2x +π4)， 令2x +π4∈[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k ∈Z ，则x∈[π8+kπ,5π8+kπ]，k∈Z，则函数f(x)+g(x)的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ]，k∈Z，则函数f(x)+g(x)在x∈(0,π)单调递减区间为[π8,5π8]，故选项C正确；选项D，f(x)⋅g(x)=12sin4x，令4x=π2+kπ，k∈Z，则x=π8+kπ4，k∈Z，当k=−1时，函数f(x)⋅g(x)的图象的一个对称轴方程为x=−π8，故选项D正确．故选BCD．【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的单调性函数新定义问题【解析】根据凸函数的定义,分别对各选项求二阶导,然后判断f′′(x)是否小于0,从而得到正确选项．【解答】解：A，∵f(x)=sin x−cos x，得f′(x)=cos x+sin x，∴f″(x)=−sin x+cos x=√2cos(x+π4).∵x∈(0,π2)，∴当x=π4时，f″(x)=√2cosπ2=0，故A错误；B，∵f(x)=ln x−2x，∴f′(x)=1x−2，∴f″(x)=−1x2<0在(0,π2)上恒成立，故B正确；C，由f(x)=−x3+2x−1，得f′(x)=−3x2+2，∴f″(x)=−6x，∵x∈(0,π2)，∴f′′(x)=−6x<0恒成立，故C正确；D，由f(x)=−xe−x，得f′(x)=e−x(x−1)，∴f′′(x)=e−x(2−x)．∵x∈(0,π2)，∴2−x>0，e−x>0，∴f″(x)=e−x(2−x)>0恒成立，故D错误．故选BC．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】−4【考点】二项式系数的性质【解析】利用二项展开式的通项公式T r+1=C4r•(x3)4−r⋅(−1x)r即可求得展开式中的常数项．【解答】解：设(x3−1x )4展开式的通项为T r+1，则T r+1=C4r•(x3)4−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅C4r⋅x12−4r•令12−4r=0得r=3．∴开式中常数项为：(−1)3⋅C43=−4．故答案为：−4．【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】每市随机分配2名医生，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人被分配在不同城市的概率．【解答】新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数m＝＝4，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为P＝＝．【答案】12.5【考点】等差数列的通项公式等差数列的性质【解析】由题意构造等差数列{a n}，然后得到关于a1和d的关系，求出a1和d，然后利用等差数列的通项公式求解a4即可．【解答】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，所以，解得，所以立春的日影子长为a4＝a1+3d＝12.5尺．【答案】（，1)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即＝-，变形分析可得m的值，即可得函数的解析式，由此分析函数的单调性，结合函数的奇偶性、单调性将原不等式转化，求出不等式的解集，即可得答案．【解答】根据题意，定义域为R的函数是奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，即＝-，变形可得：(2x−1)(m−2)＝0，必有m＝2，则f(x)＝-＝-(1−），故f(x)在R上为减函数，则⇒f(−log3x)+f[log3(1−x)]>0⇒−f(log3x)+f[log3(1−x)]>0⇒f[log3(1−x)]>f(log3x)，则有，解可得<x<1，即不等式的解集为（，1)．三、解答题（本题共6道小题，共70分.解答题要写出证明过程或解题步骤.） 【答案】 解：(1)因为S =√32ac cos B =12ac sin B ，所以tan B =√3. 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3， 由正弦定理，得4sin A =√7√32，所以sin A =√217. (2)因为a =4， b =2√7，B =π3， 由余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 得28=16+c 2−2×4×c ×12， 即c 2−4c −12=0，解得c =6或c =−2（舍去）， 因为2BD →=DA →，可得BD =2， 所以在△BDC 中，由余弦定理，得CD =√BD 2+a 2−2BD ⋅a ⋅cos B =√22+42−2×2×2×4×12=2√3.【考点】 正弦定理 余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知结合三角形的面积公式进行化简可得tan B ，结合B 的范围求出B ，然后结合正弦定理得到sin A 的值，(Ⅱ)由已知利用余弦定理可得c 2−4c −12=0，解方程可得c 的值，由已知可求BD 的值，在△BDC 中，由余弦定理可求得CD 的值． 【解答】 解：(1)因为S =√32ac cos B =12ac sin B ，所以tan B =√3.因为B ∈(0,π)， 所以B =π3， 由正弦定理，得4sin A =√7√32，所以sin A =√217.(2)因为a =4， b =2√7，B =π3，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 得28=16+c 2−2×4×c ×12， 即c 2−4c −12=0，解得c =6或c =−2（舍去）， 因为2BD →=DA →，可得BD =2， 所以在△BDC 中，由余弦定理，得CD =√BD 2+a 2−2BD ⋅a ⋅cos B =√22+42−2×2×2×4×12=2√3. 【答案】证明：(1)∵ 2a n =S n +n ，当n ≥2时，2a n−1=S n−1+(n −1)， 两式作差，得2a n −2a n−1=a n +1， 即a n =2a n−1+1，∴ a n +1=2(a n−1+1)， ∴ a n +1an−1+1=2，当n =1时，2a 1=a 1+1，得a 1=1，∴ 数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴ a n +1=2⋅2n−1=2n ，∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1. (2)∵ b n =2n a n ⋅a n+1=2n(2−1)(2−1)=12n −1−12n+1−1，∴ S n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−1−122−1)+(122−1−123−1) +⋯+(1n −1n+1)=1−12n+1−1<1，∴ S n <1.【考点】 数列递推式等比数列的通项公式 数列与不等式的综合 数列的求和【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a n ＝2a n−1+1，由此构造等比数列{a n +1}，求其通项公式后可得数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)b n=2na n⋅a n+1=12n−1−12n+1−1，由此利用裂项求和法即可证明S n<1．【解答】证明：(1)∵2a n=S n+n，当n≥2时，2a n−1=S n−1+(n−1)，两式作差，得2a n−2a n−1=a n+1，即a n=2a n−1+1，∴a n+1=2(a n−1+1)，∴a n+1a n−1+1=2，当n=1时，2a1=a1+1，得a1=1，∴数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1=2⋅2n−1=2n，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n−1.(2)∵b n=2na n⋅a n+1=2n(2−1)(2−1)=12n−1−12n+1−1，∴S n=b1+b2+⋯+b n=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12−1<1，∴S n<1.【答案】(1)证明：如图，连接A1C.因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，所以A1B⊥平面ABC，所以A1B⊥AC.因为AB⊥AC，且A1B∩AB=B，A1B⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1，所以AC⊥平面ABB1，又AC⊂平面A1AC，所以平面A1AC⊥平面ABB1．(2)解：因为AC // A1C1，AB⊥AC，所以AB⊥A1C1，因为A1B⊥平面ABC，所以AB⊥A1B，所以AB⊥平面A1BC1，所以AB⊥C1B，AB⊥A1B，所以∠A1BC1为二面角C1−AB−A1的平面角，因为AC // A1C1，A1B⊥AC，所以A1C1⊥A1B，又因为AC=A1B，AC=A1C1，所以A1B=A1C1，所以∠A1BC1=45∘，即二面角C1−AB−A1的大小为45∘．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)寻找二面角的平面角，转化到等腰直角三角形中求解．【解答】(1)证明：如图，连接A1C.因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，所以A1B⊥平面ABC，所以A1B⊥AC.因为AB⊥AC，且A1B∩AB=B，A1B⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1，所以AC⊥平面ABB1，又AC⊂平面A1AC，所以平面A1AC⊥平面ABB1．(2)解：因为AC // A1C1，AB⊥AC，所以AB⊥A1C1，因为A1B⊥平面ABC，所以AB⊥A1B，所以AB⊥平面A1BC1，所以AB⊥C1B，AB⊥A1B，所以∠A1BC1为二面角C1−AB−A1的平面角，因为AC // A1C1，A1B⊥AC，所以A1C1⊥A1B，又因为AC=A1B，AC=A1C1，所以A1B=A1C1，所以∠A1BC1=45∘，即二面角C1−AB−A1的大小为45∘．【答案】依题意，(0.05+a +b +0.35+0.28)×1＝1， 故a +b ＝0.32．又因为a −b ＝0.18．所以a ＝0.25，b ＝0.07，所求平均数为x ¯=9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07＝11.57（万分）；由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p ＝1−0.05−0.25＝0.7．设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500， P(X ＝600)＝0.32＝0.09，P(X ＝900)＝0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3＝0.469，P(X ＝1200)=C 31×0.3×0.72×0.3=0.1323，P(X ＝1500)=C 31×0.3×0.72×0.7=0.3087， 故每颗芯片的测试费用的数学期望为E(X)＝600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087＝1097.91（元）， 因为100×1097.91>100000，所以预算经费不够测试完这100颗芯片．【考点】频率分布直方图 【解析】（1）依题意，(0.05+a +b +0.35+0.28)×1＝1，再由a −b ＝0.18．求出a ＝0.25，b ＝0.07，由此能求出这100颗芯片评测分数的平均数．（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p ＝1−0.05−0.25＝0.7．设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500，分别求出相应的概率，由此能求出每颗芯片的测试费用的数学期望1097.91元，从而求出预算经费不够测试完这100颗芯片． 【解答】依题意，(0.05+a +b +0.35+0.28)×1＝1， 故a +b ＝0.32．又因为a −b ＝0.18．所以a ＝0.25，b ＝0.07，所求平均数为x ¯=9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07＝11.57（万分）；由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p ＝1−0.05−0.25＝0.7．设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500， P(X ＝600)＝0.32＝0.09，P(X ＝900)＝0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3＝0.469，P(X ＝1200)=C 31×0.3×0.72×0.3=0.1323，P(X ＝1500)=C 31×0.3×0.72×0.7=0.3087， 故每颗芯片的测试费用的数学期望为E(X)＝600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087＝1097.91（元）， 因为100×1097.91>100000，所以预算经费不够测试完这100颗芯片． 【答案】{a 2=b 2+c 2，解得b 2=2，c 2=6， 故椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)假设直线存在，由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为y =kx +m ， 由 {y =kx +m ，x 28+y 22=1，整理，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0， Δ=16(8k 2−m 2+2)>0，， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−84k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =m 2−8k 24k 2+1，∵ |OA →+2OB →|=|OA →−2OB →|， ∴ OA →⊥OB →， 即OA →⋅OB →=0， ∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴ 8k 2=5m 2−8≥0， 解得m >2√105或m <−2√105， 即m 的取值范围为(−∞,−2√105)∪(2√105,+∞). 【考点】椭圆的应用 椭圆的标准方程向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】(Ⅰ)由椭圆过点P ，Q ，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．(Ⅱ)假设存在这样的直线，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线方程为y ＝kx +m ，联立椭圆的方程，结合韦达定理，可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，由|+2|＝|−2|，得⊥，即x 1x 2+y 1y 2＝0，即8k 2＝5m 2−8≥0，代入△>0，即可得出答案．【解答】{a 2=b 2+c 2，解得b 2=2，c 2=6， 故椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)假设直线存在，由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为y =kx +m ， 由 {y =kx +m ，x 28+y 22=1，整理，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0， Δ=16(8k 2−m 2+2)>0，， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−84k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =m 2−8k 24k 2+1，∵ |OA →+2OB →|=|OA →−2OB →|， ∴ OA →⊥OB →， 即OA →⋅OB →=0， ∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴ 8k 2=5m 2−8≥0， 解得m >2√105或m <−2√105， 即m 的取值范围为(−∞,−2√105)∪(2√105,+∞). 【答案】解：(1)∵ f (x )=ln x −(m +2)x 的定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=1x −(m +2).当m +2≤0，即m ≤−2时，f ′(x )=1x−(m +2)>0恒成立，∴ 函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；当m +2>0，即m >−2时，令f ′(x )>0，解得0<x <1m+2， 令f ′(x )<0，解得x >1m+2，∴ 函数f (x )在(0,1m+2)上单调递增，在(1m+2,+∞)上单调递减， 综上，当m ≤−2时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；当m >−2时，函数f (x )在(0,1m+2)上单调递增，在(1m+2,+∞)上单调递减.(2)若存在x ∈[12,1]使得不等式f (x )<k (x )成立， 即存在x ∈[12,1]使mx 2−(m +2)x +ln x +2<0成立，令g (x )=mx 2−(m +2)x +ln x +2，x ∈[12,1]， 则g (x )min <0.g ′(x )=2mx 2−(m+2)x+1x=2m(x−12)(x−1m )x ， ①当m ≥2时，1m≤12，g ′(x )≥0，函数g (x )在[12,1]上单调递增， g (x )min =g (12)=m 4−m+22+ln 12+2<0， 解得m >4(1−ln 2)；②当1<m <2时，12<1m <1，g (x )在[12,1m ]上单调递减，在[1m ,1]上单调递增，g (x )min =g (1m )=1m +ln 1m −(m +2)×1m+2 =−ln m −1m +1.令ℎ(x )=−ln x −1x +1，x ∈(1,2)， ℎ′(x )=−1x +1x 2=1−x x 2<0恒成立，即函数ℎ(x )在x ∈(1,2)上单调递减.又ℎ(1)=−ln 1−11+1=0，所以ℎ(x )=−ln x −1x +1<0在x ∈(1,2)上恒成立，即g (x )min =−ln m −1m +1<0，解得m ∈(1,2)，符合题意；③当0<m ≤1时，1m ≥1，g ′(x )≤0在[12,1]上恒成立，所以函数g (x )在[12,1]上单调递减，所以g (x )min =g(1)=m +ln 1−(m +2)×1+2=0，不符题意.综上，m 的取值范围是(1,+∞).【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(Ⅱ)将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −(m +2)x 的定义域为(0,+∞)，∴ f ′(x )=1x −(m +2).当m +2≤0，即m ≤−2时，f ′(x )=1x −(m +2)>0恒成立， ∴ 函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；当m +2>0，即m >−2时，令f ′(x )>0，解得0<x <1m+2，令f ′(x )<0，解得x >1m+2，∴ 函数f (x )在(0,1m+2)上单调递增，在(1m+2,+∞)上单调递减，综上，当m ≤−2时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；当m >−2时，函数f (x )在(0,1m+2)上单调递增，在(1m+2,+∞)上单调递减.(2)若存在x ∈[12,1]使得不等式f (x )<k (x )成立，即存在x ∈[12,1]使mx 2−(m +2)x +ln x +2<0成立， 令g (x )=mx 2−(m +2)x +ln x +2，x ∈[12,1]，则g (x )min <0.g ′(x )=2mx 2−(m+2)x+1x=2m(x−12)(x−1m )x ， ①当m ≥2时，1m ≤12，g ′(x )≥0，函数g (x )在[12,1]上单调递增，g (x )min =g (12)=m 4−m+22+ln 12+2<0， 解得m >4(1−ln 2)；②当1<m <2时，12<1m <1， g (x )在[12,1m ]上单调递减，在[1m ,1]上单调递增，g (x )min =g (1m )=1m +ln 1m −(m +2)×1m+2 =−ln m −1m +1.令ℎ(x )=−ln x −1x +1，x ∈(1,2)，ℎ′(x)=−1x +1x2=1−xx2<0恒成立，即函数ℎ(x)在x∈(1,2)上单调递减.又ℎ(1)=−ln1−11+1=0，所以ℎ(x)=−ln x−1x+1<0在x∈(1,2)上恒成立，即g(x)min=−ln m−1m+1<0，解得m∈(1,2)，符合题意；③当0<m≤1时，1m ≥1，g′(x)≤0在[12,1]上恒成立，所以函数g(x)在[12,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=m+ln1−(m+2)×1+2=0，不符题意. 综上，m的取值范围是(1,+∞).。