初高中数学衔接：第三讲含绝对值的不等式的解法.docx

学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1．绝对值的意义是：⎩⎨⎧<-≥=)0x (x )0x (x x .2．｜x ｜＜a （a ＞0)的解集是{x ｜－a ＜x ＜a ｝．|x |＞a (a ＞0）的解集是{x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．【思考导学】1．｜ax ＋b |＜b （b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？答：含绝对值的不等式｜ax ＋b ｜＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么?答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】[例1］解不等式2＜｜2x －5|≤7．解法一：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或∴原不等式的解集为{x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 （Ⅰ）⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x(Ⅱ)⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x不等式组（Ⅰ）的解集为｛x |27＜x ≤6｝不等式组（Ⅱ)的解集是｛x |－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是{x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6}解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ）2＜2x －5≤7 （Ⅱ）2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ）的解集为｛x ｜27＜x ≤6}不等式(Ⅱ)的解集是{x ｜－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． [例2]解关于x 的不等式： （1)|2x ＋3｜－1＜a (a ∈R ）; （2）｜2x ＋1｜＞x ＋1．解：(1）原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1）＜2x ＋3＜a ＋1 －24+a ＜x ＜22-a当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式的解集为∅,综上,当a ＞－1时,原不等式的解集是{x |－24+a ＜x ＜22-a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是∅．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ）⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或（Ⅱ)⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x不等式组（Ⅰ)的解为x ＞0不等式组(Ⅱ）的解为x ＜－32∴原不等式的解集为{x ｜x ＜－32或x ＞0｝点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f （x ）|＜a (a ≤0）的解集为∅．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1）对变量分类，解集必须合并如（2）．[例3］解不等式|x －|2x ＋1|｜＞1．解：∵由｜x －|2x ＋1｜｜＞1等价于（x －|2x ＋1｜）＞1或x －｜2x ＋1|＜－1 （1）由x －|2x ＋1｜＞1得｜2x ＋1|＜x －1∴⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或均无解 (2）由x －|2x ＋1|＜－1得｜2x ＋1|＞x ＋1∴⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－32或x ＞0｝．点评:这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外"向“里”,反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x |＞0的解集是( ） A ．∅ B ．RC ．{x |x ≠38，x ∈R ｝D ．｛38}答案: C2．下列不等式中，解集为R 的是（ ) A ．｜x ＋2｜＞1 B ．｜x ＋2｜＋1＞1C ．（x －78）2＞－1D ．（x ＋78）2－1＞0 答案： C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A ．｛x ｜－2＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x |x ≥2或x ≤－2｝解析: 所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集． 答案： C4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是（ ) A ．｛x ｜x ＜1} B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x |x ＜－1或x ＞2｝解析: 由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2 答案： B5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．解析： 由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9,∴x ＞5或x ＜－13 答案： ｛x |x ＞5或x ＜－13}6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax |＜a 的解集是________． 解析： 由原不等式得｜ax －b ｜＜a,∴－a ＜ax －b ＜a ∴a b －1＜x ＜ab＋1 ∴{x |a b －1＜x ＜ab＋1}答案： ｛x |a b －1＜x ＜ab＋1}【强化训练】1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( ) A ．{x ｜－1＋a ＜x ＜1＋a B ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a } C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a |}D ．｛x ｜x ＜－1－｜a |或x ＞1－｜a ｜} 解析： 由｜x ＋a |＜1得－1＜x ＋a ＜1 ∴－1－a ＜x ＜1－a 答案： B2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是（ ) A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9} B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝ C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝ D ．｛x ｜4≤x ≤9}解析： 不等式等价于⎩⎨⎧≤-≤≥-63103x x 或⎩⎨⎧≤-≤<-63103x x解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．答案： A3．下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3}的不等式是( ) A ．|x －2｜＞5 B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜2x －1｜≤21D ．1－｜2x －1|＜21解析: A 中，由｜x －2|＞5得x －2＞5或x －2＜－5∴x ＞7或x ＜－3同理，B 的解集为{x ｜x ＞27或x ＜－1｝C 的解集为｛x |x ≤1或x ≥3｝D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝ 答案: D4．已知集合A ＝{x |｜x －1｜＜2}，B ＝｛x ｜|x －1｜＞1｝,则A ∩B 等于（ ) A ．｛x ｜－1＜x ＜3｝ B ．{x |x ＜0或x ＞3｝ C ．{x ｜－1＜x ＜0}D ．{x ｜－1＜x ＜0或2＜x ＜3｝解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1｜＞1的解为x ＜0或x ＞2． ∴A ∩B ＝{x ｜－1＜x ＜0或2＜x ＜3｝． 答案： D5．已知不等式｜x －2|＜a （a ＞0)的解集是｛x |－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ． 解析： 不等式｜x －2|＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝ 由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a }＝{x ｜－1＜x ＜b ｝ ∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-53212c a c a a ∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13 答案: 136．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．解析： ∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解． 当x ＋2＜0时，|x ＋2｜＝－（x ＋2)＞0＞x ＋2 ∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2 答案: ｛x ｜x ＜－2} 7．解下列不等式：(1)｜2－3x ｜≤2；(2)｜3x －2｜＞2．解：(1）由原不等式得－2≤2－3x ≤2,各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得34≥x ≥0,解集为｛x ｜0≤x ≤34｝．（2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}．8．解下列不等式：(1）3≤|x －2｜＜9；（2)｜3x －4|＞1＋2x ． 解：(1）原不等式等价于不等式组由①得x ≤－1或x ≥5；由②得－7＜x ＜11,把①、②的解表示在数轴上(如图)， ∴原不等式的解集为｛x ｜－7＜x ≤－1或5≤x ＜11｝．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①⎩⎨⎧+>-≥-;2143,043x x x ②⎩⎨⎧+>--<-.21)43(,043x x x 由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜53．∴原不等式的解集为{x |x ＜53或x ＞5｝．9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜｜x ＋2｜＜1｝,求集合M ，使其同时满足下列三个条件： (1）M ⊆［(A ∪B )∩Z ］； （2）M 中有三个元素； （3)M ∩B ≠∅解：∵A ＝｛x ｜|2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2} B ＝{x ｜|x ＋2｜＜1}＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝∴M ⊆[（A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2}∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝{x ｜－3＜x ≤2｝∩Z ＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M ∩B ≠∅，∴－2∈M ． 又∵M 中有三个元素∴同时满足三个条件的M 为： ｛－2，－1,0｝，｛－2，－1,1}，｛－2,－1，2｝,｛－2，0,1｝，｛－2，0,2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组）． ｜x ｜＜a 与｜x |＞a （a ＞0）型的不等式的解法及利用数轴表示其解集． 不等式|x ｜＜a (a ＞0）的解集是｛x |－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为（见图1-7)：不等式｜x ｜＞a （a ＞0）的解集是｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝，其解集在数轴上表示为(见图1-8):把不等式｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0）中的x 替换成ax ＋b ,就可以得到｜ax ＋b ｜＜b 与｜ax ＋b ｜＞b (b ＞0）型的不等式的解法．。

⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。

2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。

是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。

把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。

当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。

答案为{x - 1 < x < 5}。

(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

好的，以下是含绝对值的不等式解法知识点的教案：含绝对值的不等式解法知识点绝对值的定义绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的解法绝对值的定义绝对值是一个数到0的距离，用符号||表示，其中是一个实数。

如果是正数，则||=；如果是负数，则||=−绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的基本形式为：$|x|<a$其中是一个正实数绝对值不等式的解法1.||<的解当是正数时，||=，因此<当是负数时，||=−，因此−<，即>−综上所述，||<的解为−<<2.||>的解当是正数时，||=，因此>或<−当是负数时，||=−，因此−>，即<−或>综上所述，||>的解为<−或>3.||≤的解当是正数时，||=，因此≤当是负数时，||=−，因此−≤，即≥−综上所述，||≤的解为−≤≤4.||≥的解当是正数时，||=，因此≥或≤−当是负数时，||=−，因此−≥，即≤−或≥综上所述，||≥的解为≤−或≥例题和解答解不等式|−2|<3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x-2|<3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3<x-2<3$移项得到：$-1<x<5$因此，不等式|−2|<3的解为−1<<5解不等式|+1|>2解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x+1|>2$根据绝对值不等式的解法，得到：$x+1>2\text{或}x+1<-2$移项得到：$x>1\text{或}x<-3$因此，不等式|+1|>2的解为>1或<−3解不等式|2−1|≤3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|2x-1|\leq3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3\leq2x-1\leq3$移项得到：$-2\leq2x\leq4$因此，不等式|2−1|≤3的解为−1≤≤2总结：含绝对值的不等式是高中数学中的重要知识点。

一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。