高中文科数学第8章-第1节

高三一轮总复习
1．必会结论 (1)直线系方程 ①与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． ②与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (2)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1： A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2： A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条件 是：A1B2－A2B1＝0.
1．求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待 定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． 2．解决直线方程问题的注意点 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为 0.
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【解析】 (1)由 l1∥l2 得 a(a－1)＝2，解得 a＝2 或 a＝－1，经验证当 a＝2 或 a＝－1 时 l1∥l2. (2)由 l3⊥l4 得(a＋2)(a－2)＋(2－a)(3a－4)＝0， 解得 a＝2 或 3.
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知识点 3 两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 平行 斜率的关系
k1＝k2 ________
k1 与 k2 都不存在
两条不重合的直线 l1，l2， 斜率分别为 k1，k2
垂直
k1k2＝－1 __________
k1 与 k2 一个为零、另一个不存在
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1 ≥2 12＋2
4 1 －9k· ＝2×(12＋12)＝12. －k
4 2 当且仅当－9k＝ 时，即 k＝－3时，等号成立． －k
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即△ABO 面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x＋3y－12＝0.
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———|规律方法|—————————————————————————
●命题角度 1
求直线方程
1．(2016· 沧州模拟)直线 l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12，则 直线 l 的方程为________．
x y 【解析】 由题意知，截距不为 0，设直线 l 的方程为a＋ ＝1. 12－a －3 4 又直线 l 过点(－3,4)，从而 a ＋ ＝1， 12－a 解得 a＝－4 或 a＝9，故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0.
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(3)两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是： A1A2＋B1B2＝0. 2．必清误区 (1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应 对斜率是否存在加以讨论． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关 的问题中，要注意讨论截距是否为零．
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理 知 识 三 层 固 基 研 考 题 指 点 迷 津
第八章 第一节
平面解析几何
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
攻 考 向 三 级 提 能
课 时 强 化 练 四 十 五
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[ 考纲传真]
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计
算公式． 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3.掌握确定直 线位置的几何要素． 4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次 函数的关系.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．(教材改编)若过点 A(m,4)与点 B(1，m)的直线与直线 x－2y＋4＝0 平行， 则 m 的值为( A．2 C．4
【解析】
) B．3 D．5
m－4 1 由题意知 ＝ ，解得 m＝3. 1－m 2
【答案】 B
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3．(2014· 福建高考)已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心，且与直线 x＋y＋1 ＝0 垂直，则直线 l 的方程是( A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 )
【解析】 如图所示， 为使直线 l 与线段 AB 相交， 则直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPA 或 k≤kPB， －3－2 0－2 1 又 kPA＝ ＝5. kPB＝ ＝－2， －2－－1 3－－1 则
1 k∈－∞，－2∪[5，＋∞)．
【答案】
1 －∞，－ ∪[5，＋∞) 2
3 3 设直线的倾斜角为 θ，则－ 3 ≤tan θ≤ 3 . π 5π 所以 0≤θ≤6或 6 ≤θ<π，故选 B.
【答案】 B
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2．若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为 (1，－1)，则直线 l 的斜率为( 1 A.3 1 B．－3 3 C．－2 ) 2 D.3
知识点 4 直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1(x1＝x2) 和直线 y＝y1(y1＝y2)
点斜式 斜率 k 与点(x0， y0) 斜截式 斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b 两点(x1，y1)，(x2， y2)
y－y0＝k(x－x0) _______________ y＝kx＋b __________
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( (2)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( ) ) )
(3)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
1 △ABO 的面积 S＝2ab， ∵直线 l 过点 P(3,2)， 3 2 ∴a＋b＝1≥2 6 ab，即 ab≥24.
3 2 当且仅当a＝b，即 a＝6，b＝4 时取等号． 1 ∴S＝2ab≥12，当且仅当 a＝6，b＝4 时有最小值 12. x y 此时直线 l 的方程为6＋4＝1，即 2x＋3y－12＝0.
B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0
【解析】 圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心为点(0,3)，又因为直线 l 与直线 x＋y＋1 ＝0 垂直，所以直线 l 的斜率 k＝1.由点斜式得直线 l：y－3＝x－0，化简得 x－y ＋3＝0.
【答案】 D
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4． 直线 l： ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 则实数 a＝________.
高三一轮总复习 两条直线平行、垂直的关系
(1)若直线 l1：ax＋2y－6＝0 与直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0 平行， 则 a＝________. (2)若直线 l3： (a＋2)x＋(2－a)y＝1 与直线 l4： (a－2)x＋(3a－4)y＝2 互相垂直， 则 a 的值为________．
π π π 5π A.6，2∪2， 6 5π C.0， 6 π 5π B.0，6∪ 6 ，π π 5π D.6， 6
)
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3 3 3 【解析】 直线的斜率 k＝－ 3 cos α∈－ ， ， 3 3
【答案】 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0
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●命题角度 2 与直线方程有关的最值问题
3．已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，如 图 811 所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程．
图 811
【解】 法一
高三一轮总复习 x y 设直线 l 的方程为a＋b＝1(a＞0，b＞0)，则 A(a,0)，B(0，b)，
(4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 －x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
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【解析】 (1)错误．当直线垂直于 x 轴时，没有斜率． (2)错误．l1 与 l2 可能重合． (3)错误．可能一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在． (4)正确．把两点式方程转化为整式方程，故(4)正确．
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———|规律方法|—————————————————————————
1．已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为 90° )． (2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围． 2．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)当 (2)当
【答案】 4x－y＋16＝0 (2016· 大连模拟)若 A(1，－2)，B(5,6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐 标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为________．
【解析】 由题意知 M(3,2)，若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0，即直线 l 过 2 (0,0)及(3,2)，所以直线 l 的方程为 y＝3x，即 2x－3y＝0.若直线 l 在两坐标轴上的 3 2 x y 截距不为 0，则设直线 l 的方程为a＋a＝1，又点(3,2)在直线 l 上，所以a＋a＝1， 解得 a＝5，因此直线 l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
【解析】
设 P(x,1)，Q(7，y)，
x＋7 y＋1 则 2 ＝1， 2 ＝－1， ∴x＝－5，y＝－3，即 P(－5,1)，Q(7，－3)， －3－1 1 故直线 l 的斜率 k＝ ＝－3.故选 B. 7＋5 【答案】 B
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3．(2016· 开封模拟)若直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端 点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是________．