随机变量序列的极限

⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性依概率收敛：设{X n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有P(|X n−X|≥ϵ)→0(n→∞)则称序列{X n}依概率收敛于X，记作X n P →X依概率收敛的性质：若X n P →aY n P →b则：X n±Y n P→a±bX n Y n P→abX n÷Y n P→a÷b弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X1,X2…的分布函数为F(x),F1(x),F2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有lim n→∞F n(x)=F(x)则称分布函数序列{F n(x)}弱收敛于F(x),记作F n(x)W→F(x)也称{X n}按分布收敛于X,记作X n L →X特征函数特征函数：设X是⼀个随机变量，则φ(t)=E(e itX)为X的特征函数。

常⽤分布的特征函数0-1分布：φ(t)=pe it+q泊松分布:φ(t)=∑e itx λk e−λk!=e−λ∑(λe it)kk!=eλ(e it−1)均匀分布:φ(t)=∫b ae itxb−a dx=e itb−e itait(b−a)标准正态分布:φ(t)=e−1 2t2证明：φ(t)=∫∞−∞e itx1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞∞∑n=0(itx)nn!e−12x2dx=∞∑n=0(it)nn![∫∞−∞x n1√2πe−12x2]dx=∞∑n=0(it)nn!E(X n)当n为奇数时，E(X n)=∫∞−∞x n1√2πe−12x2dx=0当n为偶数时，E(X n)=E(X2m)=∫∞−∞x2m1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞−x2m−1d(e−12x2)=1√2π(2m−1)∫∞−∞x2m−2e−12x2dx=(2m−1)(2m−3)…1∫∞−∞1√2πe−12x2dx=(2m−1)!!=2m!2m(m−1)!故φ(t)=∞∑m=0(it)2m(2m)!E(X2m)=∞∑m=0(it)2m(2m)!2m!2m(m−1)!=∞∑m=0(−t22)mm!=e−1 2t2指数分布的特征函数:φ(t)=(1−it λ)−1证明：φ(t)=∫∞0e itxλe−λx dx=λ[∫∞0cos(tx)e−λx dx+i∫∞0sin(tx)e−λx dx]I=∫∞0cos(tx)e−λx dx=∫∞01t e−λx dsin(tx)=λt∫∞sin(tx)e−λx dx=−λt2[−1+λ∫∞cos(tx)e−λx dx]=−λ2t2I+λt2故I=λλ2+t2φ(t)=λ(λλ2+t2+itλ2+t2)=λλ2+t2(λ+it)=λλ−it=(1−it λ)−1特征函数的性质|φ(t)|≤φ(0)=1证明:|φ(t)|=|∫e itx f(x)dx|≤∫|e itx|f(x)dx=1若Y=aX+b，则φY(t)=e ibtφX(at)证明：φY(t)=∫e it(ax+b)f(x)dx=e itb∫e itax f(x)dx=e ibtφX(at)若X和Y相互独⽴，则有φX+Y(t)=φX(t)φY(t)证明：E(e it(X+Y))=E(e itx e ity)=E(e itx)E(e ity)=φX(t)φY(t)若E(X l)存在，则X的特征函数l次可导，且对1≤k≤l有φ(k)(0)=i k E(X k)证明：φ(k)(t)=∫i k x k e ixt f(x)dx将t=0代⼊得φ(k)(0)=i k∫x k f(x)dx=i k E(X k)⼤数定律 概率是频率的稳定值，其中稳定是什么意思？⼤数定律详细的描述了这个问题。

slutsky 定理Slutsky定理是经济学中一个基本的定理，它描述了随机变量序列的极限分布。

该定理由Eugen Slutsky在1927年提出，被认为是概率论和经济学中最重要的定理之一。

本文将详细介绍Slutsky定理的定义、证明、应用及其在经济学中的作用。

一、定义Slutsky定理描述了两个随机变量序列的极限分布之间的关系。

具体来说，假设有两个随机变量序列Xn和Yn，满足以下条件：1. Xn和Yn都是随机变量序列；2. Xn和Yn收敛于相应的随机变量X和Y；3. 对于任意实数t，有limn→∞P(Xn≤t)=limn→∞P(X≤t)和limn→∞P(Yn≤t)=limn→∞P(Y≤t)。

则可以得到以下结论：1. Xn+Yn收敛于X+Y；2. XnYn收敛于XY；3. 如果Y不等于0，则Xn/Yn收敛于X/Y。

二、证明Slutsky定理可以通过利用连续映射定理证明。

具体来说，我们可以将X和Y表示为函数f(x)和g(x)关于x的连续函数，然后利用连续映射定理得到Xn和Yn的极限分布。

对于第一条结论，我们可以使用以下证明方法：设Zn=Xn+Yn，则有：P(Zn≤t)=P(Xn+Yn≤t)=∫∫I(x+y≤t)fXn(x)fYn(y)dxdy其中，I(x+y≤t)为指示函数。

将fXn(x)和fYn(y)表示为关于x和y的连续函数f(x)和g(y)，则有：P(Zn≤t)=∫∫I(x+y≤t)f(x)g(y)dxdy由于f(x)和g(y)都是连续函数，因此可以使用Fubini定理交换积分顺序，得到：P(Zn≤t)=∫∞−∞(∫t−xf(x)g(t−x−y)dy)dx由于X和Y收敛于相应的随机变量，因此可以得到：lim n→∞P(Zn≤t)=limn→∞(∫∞−∞(∫t−xfX(x)fY(t−x−y)dy)dx)= ∫∞−∞(limn→∞(F(X)(x))limn→∞(G(Y)(t−x)))dx= ∫−∞^+ ∞F(X)(x)dG(Y)(t−x)= F(X+Y)(t)因此，我们得到了结论：Zn=Xn+Yn收敛于X+Y。

Lebesgue 控制收敛定理简述
Lebesgue 控制收敛定理是概率论中一个非常重要的定理之一，它给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。

该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。

本文将简述 Lebesgue 控制收敛定理的概念和基本性质。

让我们假设我们有一个随机变量序列 {Xn} ,它在这个序列中的每个元素都是随机变量。

我们想要定义控制收敛性，这是指随机变量序列 {Xn} 的控制集 (control set) 随 n 的增大而不断减小。

控制集是指 {Wn:Wn 是一个随机变量，且 P(Wn)=1} 。

Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。

该定理指出，如果随机变量序列 {Xn} 是可列可加的，并且其均值函数 (mean function) 可积，那么该序列的控制集 {Wn} 的极限 (as n→∞) 是一个确定的随机变量，称为随机变量序列 {Xn} 的控制极限。

更具体地说，如果 {Xn} 是一个可列可加的随机变量序列，并且其均值函数 F(x) 可积，那么有:
- 当 Xn 是独立随机变量时，控制集的极限为 Xn 的期望值: limn→∞P(Wn)=E(Xn)
- 当 Xn 是独立同分布随机变量时，控制集的极限为 Xn 的均值:
limn→∞P(Wn)=E(Xn)
Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控
制收敛性的定义和性质。

它为我们提供了一种在概率意义下控制随机变量序列的方法，并且为我们提供了一种计算随机变量序列的控制极限的方法。

该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。

第42卷第4期2020年7月㊀湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)㊀Vol.42㊀No.4㊀㊀July 2020收稿日期:20190811作者简介:井照敬(1992),女,硕士,助教,研究方向为概率统计,E-mail:187****0363@文章编号:10002375(2020)04037205m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度井照敬(巢湖学院数学与统计学院,安徽巢湖238000)摘要:令m -相依的随机变量{X k ,k ȡ1}是一同分布且平稳的序列,且存在随机数列{N n ,n ȡ1}与序列{X k ,k ȡ1}独立,关于该序列的部分和为S Nn=ðNn j =1X j.则在Nn的某些假设条件下可得到随机变量X k 的部分和序列{S N n,n ȡ1}的极限分布,以及其与标准正态分布逼近速度的估计.关键词:中心极限定理;m -相依序列;逼近速度;柯尔莫哥洛夫距离中图分类号:O211.4㊀㊀文献标志码:A㊀㊀DOI :10.3969/j.issn.1000-2375.2020.04.003著录信息:井照敬.m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度[J].湖北大学学报(自然科学版),2020,42(4):372-376.Jing Z J.The central limit theorem and the approximation rate of m -dependent random variables [J].Journal of Hubei University (Natural Science),2020,42(4):372-376.The central limit theorem and the approximation rate ofm -dependent random variablesJING Zhaojing(School of Mathematical and Statistics,Chaohu University,Chaohu 238000,China)Abstract :Let the m -dependent random variables {X k ,k ȡ1}be a stationary sequence with a commondistribution,and there is a random number {N n ,n ȡ1},independent of the sequence {X k ,k ȡ1},S N n =ðN nj =1X j express the partial sums of sequence {X k ,k ȡ1}.So under some conditions for the random number N n ,we can get the results on limit distribution of the sequence {S N n ,n ȡ1},and an estimate of the rate ofapproximation after suitable normalization.Key words :central limit theorem;m -dependent random variables;approximation rate;Kolmogorovdistance0㊀引言中心极限定理最早在18世纪就被提出,是概率理论中非常重要的一类定理,并且在金融㊁网络通信和医学研究等领域被广泛应用.随着时间的发展,中心极限定理的研究也越来越深入,其研究对象也越来越广泛,由最初的独立随机变量到如今各种相依类型的随机变量.其中m -相依序列随机和渐近正态性的讨论也逐渐被一些学者提出[1-3],由此就得到了一些随机变量分布趋近于正态分布的逼近速度的问题,并且这个问题的讨论是由Tomkó[4]和Sreehari [5]提出的.近些年,我们关注到一些相依序列正态性逼近定理的文章,其中Prakasa Rao [6-7]分析了相依序列的第4期井照敬:m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度373㊀渐近正态性,并运用柯尔莫哥洛夫距离计算其与正态分布的的逼近速度.本研究在此基础上对m -相依随机变量序列做了一些改善,并进一步讨论N n 的极限分布和对m -相依随机变量序列逼近速度的估计.1㊀主要定义与定理定义1.1[8]㊀对于随机变量{X n ,n ȡ1},若存在一个整数m ,和任意的n ,j ȡ1,有(X n +m +1, ,X n +j )与(X 1, ,X n )独立.则称随机变量{X n ,n ȡ1}是m -相依的.特别地,当m =0时,随机变量{X n ,n ȡ1}是独立序列.定理1.2[9]㊀对于平稳的m -相依随机变量序列{X k ,k ȡ1},E (X 1)=μ,V (X 1)=E (X 1-μ)2=σ2<ɕ,Cov (X 1,X 1+j )=b j ,σ2+2ðmj =1b j >0.则有S n -E (S n )V (S n )dңZ 1~N (0,1)n ңɕ,其中dң表示依分布收敛.{N n ,n ȡ1}为一非负整数值随机变量序列,设其在n ȡ1时与随机变量序列{X k ,k ȡ1}独立,且N n 标准化后依分布收敛于随机变量Z 2(Z 2为标准正态随机变量).则:S N n -E (S N n )V (S N n )dңZ∗n ңɕ(1)其中Z ∗为随机变量Z 1和Z 2的线性组合.随后主要计算(1)式的逼近速度.下文中不同地方的C 表示不同的正常数值.2㊀假设和引理假设非负的整数值随机变量序列{N n ,n ȡ1}满足:㊀㊀i)当n ңɕ时,EN n nңν>0,V (N n )nңτ2<ɕ,㊀㊀ii)当n ңɕ时,有:sup x P (N n -EN n ɤx V (N n ))-Q (x )ɤδn .其中Q 为连续分布函数且满足:存在常数C >0,使得sup xQ (x +y )-Q (x )<Cy ,y >0,且当n ңɕ时,序列δn ң0.对于m -相依随机变量序列{X k ,k ȡ1},令Cov (X 1,X 1+j )=b j ,在定理1.2的条件下,当n >m时有:V (S n )=nσ2+2n ðm j =1b j -2ðmj =1jb j =nη2(n ),其中η2(n )=V (S n )/n ,η2=σ2+2ðmj =1b j >0,且当n ңɕ时,η2(n )ңη2.且在满足假设i)㊁ii)的情况下,亦有下列成立:㊀㊀①N n -EN n V (N n )Pң0,n ңɕ.㊀㊀②V (S N n )=E (N n )(σ2+2ðmj =1b j )-2ðmj =1jb j +μ2V (N n )+αn (m ),令p n ,k =P (N n =k ),k =0,1 ,则αn (m )=ðm k =02kp n ,kðmj =1b j{I (k ȡj +1)-1}-ðm k =02p n ,kðmj =1jb j{I (k ȡj +1)-1}.㊀㊀③在②的结论下,当n ңɕ时,有V (S N n )nңνη2+μ2τ2.374㊀湖北大学学报(自然科学版)第42卷注记:结论②已被Prakasa Rao 和Sreehari [6]证明,①㊁③易证.定理2.1[10]㊀令Φ(x )为标准正态随机变量的分布函数,若0<δɤ1时,E X 12+δ<ɕ,则sup xP S n -ES n ɤx V (S n )()-Φ(x )ɤ75(10m +1)1+δnE X 12+δ[nδ2+2n ðm j =1a j -2ðmj =1ja j ]1+δ/2.引理2.1[7]㊀令V 是一个与随机变量U n 和U 独立的随机变量,且E V <ɕ.设R (x )是U 的分布函数,且满足:存在一个常数α>0使得sup xR (x +θ)-R (x )ɤαθ,θ>0.令G :R ңR ,则对任意的常数c >0,δ>0,∀z ,x ɪR ,有P (U n +VG (U n )ɤz )-P (U +cV ɤz )ɤαδE V +sup xP (U n ɤx )-P (U ɤX )+P (G (U n )-c >δ).3㊀结论和证明下面,我们介绍一些符号.U 和V 为两个任意的随机变量,令d K (U ,V )=sup xP (U ɤx )-P (V ɤx )表示随机变量U 与V 的分布函数之间的柯尔莫可洛夫距离.并定义:T n =S N n -ES N nV (S N n )=S N n -μN n V (S N n )+(N n -EN n )μV (S N n ),T n (Z 1)=N nV (S N n )η(N n )Z 1+(N n -EN n )μV (S N n ),Tᶄn (Z 1)=N n V (S N n )ηZ 1+(N n -EN n )μV (S N n ),T (Z 1,Z 2)=μτνη2+μ2τ2[ηνμτZ 1+Z 2].其中Z 2服从假设ii)中给出的分布函数Q ,同时与随机变量Z 1独立.定理3.1㊀{X n ,n ȡ1}是一平稳的m -相依随机序列,E (X 1)=μ,V (X 1)=σ2,Cov (X 1,X 1+j )=b j ,N n 是非负的正实数值随机变量,且对于任意的n ȡ1,都有{N n }与{X k }独立且满足假设i).令0<δɤ1,0<θ<12,δn =n -θ,E X 12+δ<ɕ.则存在一个常数C >0,使得对任意的n ,有d K (T n ,T (Z 1,Z 2))ɤCn-min{δ2,θ,1-2θ}.定理3.1的证明㊀由三角不等式:d K (T n ,T (Z 1,Z 2))ɤd K (T n ,T n (Z 1))+d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1))+d K (Tᶄn (Z 1)n ,T (Z 1,Z 2)).我们将分别计算d K (T n ,T n (Z 1)),d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)),d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2))的上界.首先,令A n ={N n -nνɤnν2},Aᶄn 为A n 的补集.则d K T n ,T n (Z 1)()ɤP (Aᶄn )+ð3nν/2k =nν/2pn ,ksup x P T n ɤx |N n =k ()-P T n (Z 1)ɤx |N n =k ()=P (Aᶄn )+ð3nν/2k =nν/2pn ,ksup xP S k -kμη(k )kɤt ()-P Z 1ɤt ().其中t =1η(k )V (S N n )kx -(k -EN n )μV (S N n ){}.由切比雪夫不等式和定理2.1给出的边界,并对充分大的n 可得d K T n ,T n (Z 1)()ɤ4V (N n )(EN n )2+ðk ȡnν/2pn ,kCkE X 12+δk η(k )()2+δ<C n δ/2.㊀㊀接着估计d K T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)().d K T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)()=sup xP T n (Z 1)ɤx ()-P Tᶄn (Z 1)ɤx ()=第4期井照敬:m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度375㊀sup xP Tᶄn (Z 1)+N nV (S N n )η(N n )-η()Z 1ɤx ()-P Tᶄn (Z 1)ɤx ()=ʏ+ɕ-ɕsup xP Tᶄn (z )+N nV (S N n )η(N n )-η()z ɤx ()-P Tᶄn (z )ɤx ()d Φ(z )ɤʏ+ɕ-ɕsup xP Tᶄn (z )ɤx +zδn ()-P Tᶄn (z )ɤx ()+PN nV (S N n )(η(N n )-η)>δn()d Φ(z )ɤαδn E Z 1+PN nV (S N n )η(N n )-η()>δn ().其中P N nV (S N n )η(N n )-η()>δn ()=P -2ðmj =1jb j(η(N n )+η)N nN nV (S N n )>δn ()=PCN n (η(N n )+η)2>δnV (S N n )()ɤPCN n η2(N n )>δnV (S N n )()ɤCδ2nV 2(S N n )=O (n 2θ-2).则有d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1))ɤCδn +Cn 2θ-2ɤCn -θ+Cn 2θ-2.最后估计d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2)).由Z 2服从假设ii)中的分布函数Q 及假设i)和结论③可得:N n -EN n V (N n )μV (N n )V (S N n )dңμτνη2+μ2τ2Z 2,n ңɕ.由引理2.1,可得d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2))=sup xP ηN nV (S N n )Z 1+(N n -EN n )μV (S N n )ɤx ()-P ηννη2+μ2τ2Z 1+μτνη2+μ2τ2Z 2ɤx ()ɤsup xP(N n -EN n )μV (S N n )ɤx ()-Pμτνη2+μ2τ2Z 2ɤx()+PηN nV (S N n )-ηννη2+μ2τ2>δn()+αδn E Z 1ɤCδn +PN nV (S N n )-ννη2+μ2τ2>1ηδn ().令δᶄn =1ηδn ,h =ννη2+μ2τ2.当n 足够大时,我们得到PN nV (S N n )-ννη2+μ2τ2>1ηδn ()=P N nV (S N n )-h >δᶄnN nV (S N n )+h()()ɤP N n -hV (S N n)>δᶄnN n V (S N n )()ɤE N n -hV (S N n )()2δᶄn 2N n V (S N n )=V (N n )+E (N n )-hV (S N n )[]2δᶄn 2N n V (S N n )=Onτ2+nν-hn νη2+ν2τ2()[]2δᶄn 2n 2ννη2+ν2τ2()[]()=O1nδᶄn 2()=O (n 2θ-1).所以d K Tᶄn Z 1(),T Z 1,Z 2()()ɤCn-θ+Cn 2θ-1.376㊀湖北大学学报(自然科学版)第42卷综上,由三角不等式可得dK(T n,T(Z1,Z2))ɤdK(T n,T n(Z1))+d K(T n(Z1),Tᶄn(Z1))+d K(Tᶄn(Z1)n,T(Z1,Z2))ɤ{}.Cn-minδ2,θ,1-2θ注记㊀i)Islak[12]获得了m-相依序列的中心极限定理但没有涉及逼近速度的计算.Prakasa Rao和Sreehari[6-7]分析了相依序列的渐近正态性,并运用柯尔莫哥洛夫距离计算其与正态分布的逼近速度.本研究在此基础上运用三角不等式进行分段估计,得到了m-相依序列的中心极限定理及其逼近速度.这是有一定实际意义的工作.ii)本研究是在条件0<θ<12下获得的主要结果.今后可进一步讨论12<θ<1时,是否依然有相应的定理成立.4　参考文献[1]Hoeffding W,Robbins H.The central limit theorem for dependent random variables[J].Duke Mathematical Journal,1948 (15):773-780.[2]Bergström,H.A comparison method for distribution functions of sums of independent and dependent random variables[J]. 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