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极限分布的概念极限分布是概率论中的一个重要概念，它描述了一系列随机变量在试验次数趋于无穷大时的最终分布。
它的概念源于大数定律，大数定律表明当重复进行某个随机实验时，随着试验次数的增加，其结果将趋于一个稳定的值。
而极限分布则进一步描述了这个稳定值的分布情况。
首先，需要明确极限分布的基本概念。
考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，每个随机变量都有其特定的分布。
当试验次数n趋于无穷大时，随机变量的累积分布函数（CDF）F(x)将趋于一个极限分布函数G(x)，即：limₙ→∞Fₙ(x) = G(x)其中Fₙ(x)表示第n次试验后的随机变量Xₙ的累积分布函数。
极限分布的性质主要有以下几个方面：1. 极限分布的存在性：对于满足一定条件的随机变量序列，存在极限分布。
具体而言，序列{X₁, X₂, X₃, ...}需要满足独立同分布（IID）的条件，即每个随机变量都是相互独立且具有相同的分布。
只有在满足这个条件的情况下，极限分布才存在。
2. 极限分布的唯一性：在某些情况下，极限分布是唯一的。
例如，当随机变量序列服从一个稳定分布时，其极限分布就是这个稳定分布。
但在其他情况下，极限分布可能有多个。
3. 极限分布的性质：极限分布具有一些特定的性质。
例如，对于随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}的极限分布G(x)，其期望值E[G(x)]等于随机变量X₁的期望值E[X ₁]，即：E[G(x)] = E[X₁]这意味着在试验次数趋于无穷大时，极限分布的期望值会趋近于随机变量的期望值。
4. 极限分布的应用：极限分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
例如，在大样本推断中，可以利用极限分布的性质进行参数估计和假设检验。
此外，在随机过程的研究中，极限分布也起到重要的作用。
总之，极限分布是描述随机变量序列在试验次数趋于无穷大时的最终分布。
它的存在性和唯一性取决于随机变量序列的特性，而极限分布的性质和应用则与概率论和统计学的相关理论密切相关。
三种分布随机变量序列最大值的极限分布及其逐点收敛速度的开题报告一、研究背景极限理论是概率论中的一个重要分支，在统计学、金融工程等领域中有着广泛的应用。
在极限理论中，研究随机变量序列的收敛性质是一个基本问题。
特别地，对于随机变量序列最大值的极限分布及其收敛速度的研究，具有重要的理论和实际意义。
在实际中，很多问题都需要用到随机变量序列的最大值，例如风险评估、信用评级等。
而随着数据量的增加，我们往往需要推断随机变量序列的总体分布，进而获取其中的有用信息。
利用随机变量序列最大值的极限分布及其收敛速度进行这类推断具有重要的应用价值。
二、研究内容和方法本文将探讨三种分布（指数分布、对数正态分布和Weibull分布）随机变量序列最大值的极限分布及其逐点收敛的速度。
具体来说，研究内容分为以下几个方面：1. 推导三种分布随机变量序列最大值的极限分布，包括定理的证明和严格的推导过程；2. 分析随机变量序列最大值的逐点收敛性质，包括证明逐点收敛的充分必要条件和收敛速度的估计；3. 利用模拟实验验证理论分析的结果，并进行误差分析。
研究方法包括理论证明和数值模拟两部分。
理论证明主要利用概率论和数学分析的方法，对随机变量序列的极限分布和收敛速度进行推导和分析。
数值模拟利用计算机编程和统计学方法，模拟序列的最大值，验证理论分析的结果，并进行误差分析。
三、研究意义本文的研究对理论和实践都有重要意义。
具体包括以下几个方面：1. 提供了获得三种分布随机变量序列最大值的极限分布及其收敛速度的方法，为高维极限理论的研究提供了新的思路；2. 拓展了已有的随机变量序列最大值的收敛性质的研究，丰富了极限理论的研究内容；3. 对于实际中需要推断随机变量序列总体分布的问题，本文提供了有效的方法和工具，具有重要的应用价值。
四、研究计划本文的研究计划如下：1. 收集相关文献，深入理解三种分布随机变量序列最大值的极限分布及其收敛速度的研究现状和前期工作，对理论和方法进行梳理和总结。
第42卷第4期2020年7月㊀湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)㊀Vol.42㊀No.4㊀㊀July 2020收稿日期:20190811作者简介:井照敬(1992),女,硕士,助教,研究方向为概率统计,E-mail:187****0363@文章编号:10002375(2020)04037205m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度井照敬(巢湖学院数学与统计学院,安徽巢湖238000)摘要:令m -相依的随机变量{X k ,k ȡ1}是一同分布且平稳的序列,且存在随机数列{N n ,n ȡ1}与序列{X k ,k ȡ1}独立,关于该序列的部分和为S Nn=ðNn j =1X j.则在Nn的某些假设条件下可得到随机变量X k 的部分和序列{S N n,n ȡ1}的极限分布,以及其与标准正态分布逼近速度的估计.关键词:中心极限定理;m -相依序列;逼近速度;柯尔莫哥洛夫距离中图分类号:O211.4㊀㊀文献标志码:A㊀㊀DOI :10.3969/j.issn.1000-2375.2020.04.003著录信息:井照敬.m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度[J].湖北大学学报(自然科学版),2020,42(4):372-376.Jing Z J.The central limit theorem and the approximation rate of m -dependent random variables [J].Journal of Hubei University (Natural Science),2020,42(4):372-376.The central limit theorem and the approximation rate ofm -dependent random variablesJING Zhaojing(School of Mathematical and Statistics,Chaohu University,Chaohu 238000,China)Abstract :Let the m -dependent random variables {X k ,k ȡ1}be a stationary sequence with a commondistribution,and there is a random number {N n ,n ȡ1},independent of the sequence {X k ,k ȡ1},S N n =ðN nj =1X j express the partial sums of sequence {X k ,k ȡ1}.So under some conditions for the random number N n ,we can get the results on limit distribution of the sequence {S N n ,n ȡ1},and an estimate of the rate ofapproximation after suitable normalization.Key words :central limit theorem;m -dependent random variables;approximation rate;Kolmogorovdistance0㊀引言中心极限定理最早在18世纪就被提出,是概率理论中非常重要的一类定理,并且在金融㊁网络通信和医学研究等领域被广泛应用.随着时间的发展,中心极限定理的研究也越来越深入,其研究对象也越来越广泛,由最初的独立随机变量到如今各种相依类型的随机变量.其中m -相依序列随机和渐近正态性的讨论也逐渐被一些学者提出[1-3],由此就得到了一些随机变量分布趋近于正态分布的逼近速度的问题,并且这个问题的讨论是由Tomkó[4]和Sreehari [5]提出的.近些年,我们关注到一些相依序列正态性逼近定理的文章,其中Prakasa Rao [6-7]分析了相依序列的第4期井照敬:m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度373㊀渐近正态性,并运用柯尔莫哥洛夫距离计算其与正态分布的的逼近速度.本研究在此基础上对m -相依随机变量序列做了一些改善,并进一步讨论N n 的极限分布和对m -相依随机变量序列逼近速度的估计.1㊀主要定义与定理定义1.1[8]㊀对于随机变量{X n ,n ȡ1},若存在一个整数m ,和任意的n ,j ȡ1,有(X n +m +1, ,X n +j )与(X 1, ,X n )独立.则称随机变量{X n ,n ȡ1}是m -相依的.特别地,当m =0时,随机变量{X n ,n ȡ1}是独立序列.定理1.2[9]㊀对于平稳的m -相依随机变量序列{X k ,k ȡ1},E (X 1)=μ,V (X 1)=E (X 1-μ)2=σ2<ɕ,Cov (X 1,X 1+j )=b j ,σ2+2ðmj =1b j >0.则有S n -E (S n )V (S n )dңZ 1~N (0,1)n ңɕ,其中dң表示依分布收敛.{N n ,n ȡ1}为一非负整数值随机变量序列,设其在n ȡ1时与随机变量序列{X k ,k ȡ1}独立,且N n 标准化后依分布收敛于随机变量Z 2(Z 2为标准正态随机变量).则:S N n -E (S N n )V (S N n )dңZ∗n ңɕ(1)其中Z ∗为随机变量Z 1和Z 2的线性组合.随后主要计算(1)式的逼近速度.下文中不同地方的C 表示不同的正常数值.2㊀假设和引理假设非负的整数值随机变量序列{N n ,n ȡ1}满足:㊀㊀i)当n ңɕ时,EN n nңν>0,V (N n )nңτ2<ɕ,㊀㊀ii)当n ңɕ时,有:sup x P (N n -EN n ɤx V (N n ))-Q (x )ɤδn .其中Q 为连续分布函数且满足:存在常数C >0,使得sup xQ (x +y )-Q (x )<Cy ,y >0,且当n ңɕ时,序列δn ң0.对于m -相依随机变量序列{X k ,k ȡ1},令Cov (X 1,X 1+j )=b j ,在定理1.2的条件下,当n >m时有:V (S n )=nσ2+2n ðm j =1b j -2ðmj =1jb j =nη2(n ),其中η2(n )=V (S n )/n ,η2=σ2+2ðmj =1b j >0,且当n ңɕ时,η2(n )ңη2.且在满足假设i)㊁ii)的情况下,亦有下列成立:㊀㊀①N n -EN n V (N n )Pң0,n ңɕ.㊀㊀②V (S N n )=E (N n )(σ2+2ðmj =1b j )-2ðmj =1jb j +μ2V (N n )+αn (m ),令p n ,k =P (N n =k ),k =0,1 ,则αn (m )=ðm k =02kp n ,kðmj =1b j{I (k ȡj +1)-1}-ðm k =02p n ,kðmj =1jb j{I (k ȡj +1)-1}.㊀㊀③在②的结论下,当n ңɕ时,有V (S N n )nңνη2+μ2τ2.374㊀湖北大学学报(自然科学版)第42卷注记:结论②已被Prakasa Rao 和Sreehari [6]证明,①㊁③易证.定理2.1[10]㊀令Φ(x )为标准正态随机变量的分布函数,若0<δɤ1时,E X 12+δ<ɕ,则sup xP S n -ES n ɤx V (S n )()-Φ(x )ɤ75(10m +1)1+δnE X 12+δ[nδ2+2n ðm j =1a j -2ðmj =1ja j ]1+δ/2.引理2.1[7]㊀令V 是一个与随机变量U n 和U 独立的随机变量,且E V <ɕ.设R (x )是U 的分布函数,且满足:存在一个常数α>0使得sup xR (x +θ)-R (x )ɤαθ,θ>0.令G :R ңR ,则对任意的常数c >0,δ>0,∀z ,x ɪR ,有P (U n +VG (U n )ɤz )-P (U +cV ɤz )ɤαδE V +sup xP (U n ɤx )-P (U ɤX )+P (G (U n )-c >δ).3㊀结论和证明下面,我们介绍一些符号.U 和V 为两个任意的随机变量,令d K (U ,V )=sup xP (U ɤx )-P (V ɤx )表示随机变量U 与V 的分布函数之间的柯尔莫可洛夫距离.并定义:T n =S N n -ES N nV (S N n )=S N n -μN n V (S N n )+(N n -EN n )μV (S N n ),T n (Z 1)=N nV (S N n )η(N n )Z 1+(N n -EN n )μV (S N n ),Tᶄn (Z 1)=N n V (S N n )ηZ 1+(N n -EN n )μV (S N n ),T (Z 1,Z 2)=μτνη2+μ2τ2[ηνμτZ 1+Z 2].其中Z 2服从假设ii)中给出的分布函数Q ,同时与随机变量Z 1独立.定理3.1㊀{X n ,n ȡ1}是一平稳的m -相依随机序列,E (X 1)=μ,V (X 1)=σ2,Cov (X 1,X 1+j )=b j ,N n 是非负的正实数值随机变量,且对于任意的n ȡ1,都有{N n }与{X k }独立且满足假设i).令0<δɤ1,0<θ<12,δn =n -θ,E X 12+δ<ɕ.则存在一个常数C >0,使得对任意的n ,有d K (T n ,T (Z 1,Z 2))ɤCn-min{δ2,θ,1-2θ}.定理3.1的证明㊀由三角不等式:d K (T n ,T (Z 1,Z 2))ɤd K (T n ,T n (Z 1))+d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1))+d K (Tᶄn (Z 1)n ,T (Z 1,Z 2)).我们将分别计算d K (T n ,T n (Z 1)),d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)),d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2))的上界.首先,令A n ={N n -nνɤnν2},Aᶄn 为A n 的补集.则d K T n ,T n (Z 1)()ɤP (Aᶄn )+ð3nν/2k =nν/2pn ,ksup x P T n ɤx |N n =k ()-P T n (Z 1)ɤx |N n =k ()=P (Aᶄn )+ð3nν/2k =nν/2pn ,ksup xP S k -kμη(k )kɤt ()-P Z 1ɤt ().其中t =1η(k )V (S N n )kx -(k -EN n )μV (S N n ){}.由切比雪夫不等式和定理2.1给出的边界,并对充分大的n 可得d K T n ,T n (Z 1)()ɤ4V (N n )(EN n )2+ðk ȡnν/2pn ,kCkE X 12+δk η(k )()2+δ<C n δ/2.㊀㊀接着估计d K T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)().d K T n (Z 1),Tᶄn (Z 1)()=sup xP T n (Z 1)ɤx ()-P Tᶄn (Z 1)ɤx ()=第4期井照敬:m -相依随机变量序列的中心极限定理及逼近速度375㊀sup xP Tᶄn (Z 1)+N nV (S N n )η(N n )-η()Z 1ɤx ()-P Tᶄn (Z 1)ɤx ()=ʏ+ɕ-ɕsup xP Tᶄn (z )+N nV (S N n )η(N n )-η()z ɤx ()-P Tᶄn (z )ɤx ()d Φ(z )ɤʏ+ɕ-ɕsup xP Tᶄn (z )ɤx +zδn ()-P Tᶄn (z )ɤx ()+PN nV (S N n )(η(N n )-η)>δn()d Φ(z )ɤαδn E Z 1+PN nV (S N n )η(N n )-η()>δn ().其中P N nV (S N n )η(N n )-η()>δn ()=P -2ðmj =1jb j(η(N n )+η)N nN nV (S N n )>δn ()=PCN n (η(N n )+η)2>δnV (S N n )()ɤPCN n η2(N n )>δnV (S N n )()ɤCδ2nV 2(S N n )=O (n 2θ-2).则有d K (T n (Z 1),Tᶄn (Z 1))ɤCδn +Cn 2θ-2ɤCn -θ+Cn 2θ-2.最后估计d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2)).由Z 2服从假设ii)中的分布函数Q 及假设i)和结论③可得:N n -EN n V (N n )μV (N n )V (S N n )dңμτνη2+μ2τ2Z 2,n ңɕ.由引理2.1,可得d K (Tᶄn (Z 1),T (Z 1,Z 2))=sup xP ηN nV (S N n )Z 1+(N n -EN n )μV (S N n )ɤx ()-P ηννη2+μ2τ2Z 1+μτνη2+μ2τ2Z 2ɤx ()ɤsup xP(N n -EN n )μV (S N n )ɤx ()-Pμτνη2+μ2τ2Z 2ɤx()+PηN nV (S N n )-ηννη2+μ2τ2>δn()+αδn E Z 1ɤCδn +PN nV (S N n )-ννη2+μ2τ2>1ηδn ().令δᶄn =1ηδn ,h =ννη2+μ2τ2.当n 足够大时,我们得到PN nV (S N n )-ννη2+μ2τ2>1ηδn ()=P N nV (S N n )-h >δᶄnN nV (S N n )+h()()ɤP N n -hV (S N n)>δᶄnN n V (S N n )()ɤE N n -hV (S N n )()2δᶄn 2N n V (S N n )=V (N n )+E (N n )-hV (S N n )[]2δᶄn 2N n V (S N n )=Onτ2+nν-hn νη2+ν2τ2()[]2δᶄn 2n 2ννη2+ν2τ2()[]()=O1nδᶄn 2()=O (n 2θ-1).所以d K Tᶄn Z 1(),T Z 1,Z 2()()ɤCn-θ+Cn 2θ-1.376㊀湖北大学学报(自然科学版)第42卷综上,由三角不等式可得dK(T n,T(Z1,Z2))ɤdK(T n,T n(Z1))+d K(T n(Z1),Tᶄn(Z1))+d K(Tᶄn(Z1)n,T(Z1,Z2))ɤ{}.Cn-minδ2,θ,1-2θ注记㊀i)Islak[12]获得了m-相依序列的中心极限定理但没有涉及逼近速度的计算.Prakasa Rao和Sreehari[6-7]分析了相依序列的渐近正态性,并运用柯尔莫哥洛夫距离计算其与正态分布的逼近速度.本研究在此基础上运用三角不等式进行分段估计,得到了m-相依序列的中心极限定理及其逼近速度.这是有一定实际意义的工作.ii)本研究是在条件0<θ<12下获得的主要结果.今后可进一步讨论12<θ<1时,是否依然有相应的定理成立.4 参考文献[1]Hoeffding W,Robbins H.The central limit theorem for dependent random variables[J].Duke Mathematical Journal,1948 (15):773-780.[2]Bergström,H.A comparison method for distribution functions of sums of independent and dependent random variables[J]. Theory of Probability and Its Applications,1970,15(3):430-457.[3]Shang Y.A central limit theorem for randomly indexed m-dependent random variables[J].Filomat,2012,26(4):713-717.[4]TomkóJ.On the estimation of the remainder term in the central limit theorem for sums of a random number of summands [J].Theory of Probability and Its Applications,1971,16(1):164-172.[5]Sreehari M.Rate of convergence in the random central limit theorem[J].Jl MS University of Baroda,1975,24:1-8.[6]Prakasa Rao B L S,Sreehari M.Random central limit theorem for associated random variables and the order of approximation[J].Statistics and Probability Letters,2016,111:1-7.[7]Prakasa Rao B L S,Sreehari M.On the order of approximation in the random central limit theorem for m-dependent random variables[J].Probability and Mathematical Statistics-Poland,2016,36(1):47-57.[8]Li X P.A central limit theorem for m-dependent random variables under sublinear expectations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,English Series,2015,31(2):435-444.[9]Diananda P H.The central limit theorem for m-dependent variables[C]ʊMathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,Cambridge University Press,1955,51(1):92-95.[10]Chen L H Y,Shao Q M.Normal approximation under local dependence[J].The Annals of Probability,2004,32(3):1985-2028.[11]Prakasa Rao B L S.Remark on the rate of convergence in the random central limit theorem for mixing sequences[J].Zeitschrift Für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete,1975,31(2):157-160.[12]Islak U.Asymptotic normality of random sums of m-dependent random variables[J].Mathematics,2013,21(1):23-37.(责任编辑㊀赵燕)。
