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随机过程高阶统计量方法一、概述高阶统计量(Higher-order Statistics)是指比二阶统计量更高阶的随机变量或随机过程的统计量。
二阶统计量有：随机变量（矢量）：方差、协方差（相关矩）、二阶矩。
随机过程：自相关函数、功率谱、互相关函数、互功率谱、自协方差函数等。
高阶统计量有：随机变量（矢量）：高阶矩(Higher-order Moment) ，高阶累积量(Higher-order Cumulant) 从统计学的角度，对正态分布的随机变量（矢量），用一阶和二阶统计量就可以完备地表示其统计特征。
如对一个高斯分布的随机矢量，知道了其数学期望和协方差矩阵，就可以知道它的联合概率密度函数。
对一个高斯随机过程，知道了均值和自相关函数（或自协方差函数），就可以知道它的概率结构，即知道它的整个统计特征。
但是，对不服从高斯分布的随机变量（矢量）或随机过程，一阶和二阶统计量不能完备地表示其统计特征。
或者说，信息没有全部包含在一、二阶统计量中，更高阶的统计量中也包含了大量有用的信息。
高阶统计量信号处理方法，就是从非高斯信号的高阶统计量中提取信号的有用信息，特别是从一、二阶统计量中无法提取的信息的方法。
从这个角度来说，高阶统计量方法不仅是对基于相关函数或功率谱的随机信号处理方法的重要补充，而且可以为二阶统计量方法无法解决的许多信号处理问题提供手段。
可以毫不夸张地说，凡是使用功率谱或相关函数进行过分析与处理，而又未得到满意结果的任何问题，都值得重新试用高阶统计量方法。
高阶统计量的概念于1889 年提出。
高阶统计量的研究始于六十年代初，主要是数学家和统计学家们在做基础理论的研究，以及针对光学、流体动力学、地球物理、信号处理等领域特定问题的应用研究。
直到八十年代中、后期，在信号处理和系统理论领域才掀起了高阶统计量方法的研究热潮。
高阶统计量方法已在雷达、声纳、通信、海洋学、电磁学、等离子体物理、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域的信号处理问题中获得应用。
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22TTx m XX X X X n n XTT jUX X X X X n X MX M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
二．矢量量化进一步为了减少存储、运算资源的要求，及提高量化效率，可以考虑采用如下技术。
1．分裂矢量量化 (Splitted VQ)分裂矢量量化：首先将一个K 维矢量分裂成P （P>1）个子矢量，然后对各个子矢量分别独立进行矢量量化。
例1：用 20个比特对10维的LSF 参数进行量化。
全搜索方案，码本容量为20210⨯。
若实时实现，对硬件的存储容量和运算能力要求太高；分裂矢量量化方案，将10维的LSF 矢量分裂为两个5维的矢量，分别用10比特进行VQ ，这样，码本容量降为()10225⨯⨯。
分裂矢量量化可以大大降低了码本的存储量和对最佳矢量搜索的计算量。
2．多级矢量量化 (Cascaded VQ)1) 多级矢量量化器的构造多级矢量量化器可以较大幅度的降低矢量量化器的计算复杂度和存贮量。
多级矢量量化器由码本大小分别为12,,...,m N N N ， 的m 个小码本构成。
图4所示的是m 级矢量量化器的编码器原理图。
e X Y i 1=-e e E m m j m ()()()---=-122112j E e e -=图4 多级矢量量化器的编码器m 级矢量量化器的量化原理：⏹ 第一级量化：原始矢量X 。
输入矢量为X ，在码本1中搜索失真最小的码字i Y ，将其索引标号i 编码输出。
（量化误差：1e ）⏹ 第二级量化：矢量X 与第一级器量化输出矢量1e 的误差。
第二级输入误差矢量i Y X e -=1，在码本2中搜索与1e 失真最小的码字1j E ，并将其索引标号j1编码输出。
（量化误差：2e ）⏹ 第三级量化器的输入矢量是：第二级的输入矢量1e 与第二级的输出矢量1j E 之差的误差矢量112j E e e -=。
同样在码本3中搜索与2e 失真最小的码字2j E ，并将其索引标号j2编码输出。
依此类推，第m 级量化器的输入矢量()2m e -与第(m-1)级的输出矢量()2j m E -之差的误差矢量()()()221----=m j m m E e e 。
