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傅里叶级数及其在信号处理中的应用傅里叶级数是一种数学工具，用于解析周期性信号，可以将周期性信号分解成无数个正弦和余弦波的叠加。
这种分解方法是由法国数学家傅里叶在18世纪末首次提出，并在信号处理、通信系统、图像处理与声音等方面广泛应用，是多媒体技术和通信技术中不可或缺的数学基础。
一、什么是傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数分解成无数个正弦和余弦波的叠加的数学表达式，也称为周期函数傅里叶展开。
简单的说，周期函数f(x)可以表示为：f(x) = a0 + a1 sin(x) + b1 cos(x) + a2 sin(2x) + b2 cos(2x) + ... + an sin(nx) + bn cos(nx)其中a0、an、bn都是常数，表示分解后每个正弦、余弦波的振幅大小，以及f(x)本身的偏移量。
二、傅里叶级数的应用傅里叶级数几乎融入了所有现代的通信与信号处理技术中。
傅里叶级数的应用范围非常广泛，从基础的音频和视频信号处理，到用于调节机器、诊断疾病、安全加密和经济分析等其他领域。
下面我们将详细介绍一些傅里叶级数的具体应用。
1. 调制解调调制解调是指通过改变信号的频率、幅度或相位等特征，将数字信号转换成模拟信号或将模拟信号转化成数字信号的过程。
在通信系统中，调制解调技术是信号传输的基础。
在频分多路复用(FDM)技术中，每个信道都有一个特定的频带宽度和中心频率，以允许它传输特定的信号。
傅里叶级数可以极大地简化我们对于这些信号的分析和处理过程，因为他们已经被分解成了特定频率的正弦和余弦波。
2. 声音和图像处理傅里叶级数在音频和图像处理方面得到了广泛应用。
在音频信号处理中，将模拟信号进行数字化后可以利用傅里叶级数对其进行频域分析，在消除噪声、音调准备、音乐合成、过滤操作等方面发挥重要作用。
在图像处理中，傅里叶级数被广泛用于图像压缩、图像滤波、图像边缘检测等方面。
例如，在jpeg压缩中，傅里叶级数的频域分析可以有效消除图像中的高频噪声，使图像更清晰并减小文件大小。
傅里叶级数与傅里叶变换是高等数学中重要的概念和工具。
它们在多个领域的应用广泛，并且在现代科学和工程中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数与傅里叶变换的基本概念，并说明它们在高等数学中的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是由法国数学家傅里叶在19世纪初提出的。
傅里叶级数的基本思想是，任何连续的周期函数都可以用一组正弦和余弦函数的无穷级数表示。
这个级数是以回归到周期函数自身的形式展开的，其中每个正弦和余弦函数称为一个谐波。
傅里叶级数的应用非常广泛。
首先，它在电工学和电子工程中起着关键作用。
以交流电为例，交流电的波形可以通过傅里叶级数展开为一系列正弦和余弦函数，这样可以方便地分析电流或电压的各个谐波分量。
这对于电力系统的设计和运行至关重要。
其次，傅里叶级数在信号处理和通信工程中也有重要应用。
信号可以看作是一系列波形的叠加，通过傅里叶级数分析可以得到信号的频谱信息，进而可以进行信号滤波或频谱调整等操作。
这对于音频、视频和图像的处理与传输非常有用。
例如，在音频压缩算法中，可以通过傅里叶级数将音频信号转换为频谱，然后根据频谱的特性进行有损或无损的压缩。
傅里叶变换是傅里叶级数在非周期函数中的推广，它是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
傅里叶变换可以将一个非周期函数表示为一系列复指数函数的积分，其中每个复指数函数具有不同的频率和幅度。
傅里叶变换在数学、物理学、信号处理和图像处理等领域中有广泛的应用。
在数学领域，傅里叶变换在微分方程的解、偏微分方程的解和边值问题的求解中起着重要的作用。
通过傅里叶变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。
此外，傅里叶变换还在信号处理中广泛使用，比如在图像处理中，可以通过傅里叶变换将图像从时域转换为频域，然后进行滤波、增强或压缩等操作。
总之，傅里叶级数与傅里叶变换是高等数学中的重要概念和工具。
它们在电工学、信号处理、通信工程和图像处理中的应用非常广泛。
浅谈傅里叶变换及其应用小论文(1)傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、电子电路、图像处理等领域有很广泛的应用。
本文就浅谈傅里叶变换及其应用。
一、傅里叶变换的原理傅里叶变换的基本思想是将时域上的信号表示为频域上的频谱，即任意周期函数可以表示为若干余弦函数和正弦函数的和。
通俗地说，就是将一个时域上的信号拆分成若干个正弦波，然后对每个正弦波进行变换，得到这个函数在频域上的表示。
二、傅里叶变换的应用1. 信号滤波在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波。
当我们需要将一个信号中的某个频率分量去除时，就可以使用傅里叶变换，找到这个频率分量对应的正弦波，然后将其去除。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换也是一个重要的工具。
对于一张图像，可以将其转换为频域上的频谱，并进行滤波处理，最后再将其转换回时域上的图像。
3. 电子电路分析在电子电路分析中，傅里叶变换可以用于求解电路中的各种频率分量。
通过傅里叶变换，可以将电路中的交流信号转换为频域上的表达形式，然后方便地进行分析和设计。
三、傅里叶变换的实现方式傅里叶变换在数学上可以使用积分公式进行求解，但是在实际应用中，一般采用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行计算，这样可以提高计算速度。
四、总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，在通信、信号处理、图像处理、电子电路等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，可以通过离散傅里叶变换或快速傅里叶变换进行计算。
对于需要进行信号处理或电路设计的人来说，掌握傅里叶变换的原理和应用是非常重要的。
傅立叶级数及其应用傅立叶级数是一种用正弦函数和余弦函数构成的三角函数系列来表示各种周期信号的方法。
在数学和工程学中，傅立叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、控制系统等领域。
本文将从傅立叶级数的基本理论和相关数学原理入手，探讨傅立叶级数的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。
1. 傅立叶级数的定义和基本原理傅立叶级数是将任意周期为T的函数f(t)表示为一组正弦函数和余弦函数的线性组合的方法。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅立叶级数可以表示为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{2n\pi t}{T}) + b_n \sin(\frac{2n\pi t}{T})) \]其中a0、an、bn是待定系数，它们可以通过傅立叶级数的求解公式来计算：\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \]\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(\frac{2n\pi t}{T}) dt \]\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(\frac{2n\pi t}{T}) dt \]这些系数描述了原始函数f(t)在正弦函数和余弦函数上的投影，通过它们的计算，可以得到原始函数f(t)的傅立叶级数展开。
2. 傅立叶级数的性质傅立叶级数具有许多重要的性质，其中最基本的便是它的线性性质。
对于两个具有傅立叶级数展开的函数f(t)和g(t)，它们的和、差、数乘仍然可以表示为傅立叶级数，而且有很好的数学性质。
傅立叶级数还具有Parseval定理，它描述了傅立叶级数的能量守恒特性，为信号处理和通信系统的分析提供了重要的理论基础。
傅立叶级数还有复数形式和指数形式的表示方法，这些都拓展了傅立叶级数的应用范围。
论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究作者：吴晓龙院系：物理系专业：物理学（师范）学号： 1070600080指导教师：郭怀明日期： 2011年5月9日中文提要傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。
傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。
本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。
本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。
关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化AbstractFourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization目录一、引言 (1)二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用 (1)2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 (1)2.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现 (2)2.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用 (3)三、DFT、FFT的可视化及应用 (4)3.1 DFT、FFT的数学依据 (4)3.2 FFT的Matlab可视化实现 (5)3.3 FFT的实际应用 (6)四、广义傅里叶级数的可视化及应用 (8)4.1 广义傅里叶级数的数学依据 (8)4.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现 (9)4.3 广义傅里叶级数的实际应用 (9)五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义 (11)六、总结及结论 (12)附录 (13)参考文献 (17)致谢 (18)英文原文 (19)中文译文 (30)一、引言傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫·傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT ）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。
摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
傅里叶级数在信号处理与通信系统中的应用研究引言：信号处理和通信系统是现代科技中不可或缺的一部分，它们在我们的日常生活中起着重要的作用。
而傅里叶级数作为一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理和通信系统中。
本文将探讨傅里叶级数在信号处理与通信系统中的应用研究。
一、傅里叶级数的基本原理傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷三角函数级数的方法。
它的基本原理是任何一个周期为T的函数f(t)，都可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这些正弦和余弦函数的频率是原始函数频率的整数倍。
二、信号处理中的傅里叶级数应用在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域。
在频域中，我们可以清楚地看到信号的频率成分和强度分布。
这对于识别信号中的噪声、滤除干扰以及提取有用信息非常重要。
例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的正弦波成分。
这样一来，我们可以对音频信号进行频谱分析，找到其中的音调和音乐元素。
同时，我们还可以通过合成不同频率的正弦波，将这些成分重新组合成原始音频信号。
这种方法在音频编码和压缩中得到了广泛应用，例如MP3格式。
三、通信系统中的傅里叶级数应用在通信系统中，傅里叶级数也扮演着重要的角色。
通信系统中的信号往往经过调制、传输和解调等过程，而傅里叶级数可以帮助我们理解和优化这些过程。
首先，傅里叶级数可以用于调制和解调技术中。
调制是将信息信号转换为适合传输的载波信号的过程，而解调则是将传输的载波信号转换回原始信息信号的过程。
通过使用傅里叶级数，我们可以将信息信号和载波信号在频域中进行分析，找到合适的频率范围进行调制和解调。
其次，傅里叶级数还可以用于信道估计和均衡。
在信道传输过程中，信号会受到多径传播、噪声和干扰等影响，导致信号失真和衰减。
通过使用傅里叶级数，我们可以对信道进行建模和分析，估计信道的频率响应，并设计合适的均衡算法来抵消信道带来的影响。
浅谈傅里叶变换及其应用一．由来傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
二．概要介绍1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
——（1）2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
三．计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
四．应用领域傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
五．简介离散傅里叶变换的应用。
DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
傅里叶级数的定义及应用傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数和正弦函数之和的数学工具。
它在信号处理、图像处理和电子通信等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义及其在实际中的应用。
第一部分：傅里叶级数的定义傅里叶级数是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的。
它将周期函数表示为无穷级数的形式，其中每一项为三角函数或正弦函数的乘积。
一个周期为T的函数f(t)可以表示为以下无穷级数的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))在公式中，a₀是常数项，aₙ和bₙ是系数，n是正整数，ω₀是基波角频率。
根据傅里叶级数的定义，周期函数f(t)可以通过确定其系数来表示。
系数的计算可以通过将函数f(t)与三角函数进行内积运算来实现。
这种数学上的运算使得我们能够将任意周期函数表示为一系列简单的三角函数的和，从而更好地理解和分析函数的特性。
第二部分：傅里叶级数在信号处理中的应用傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
信号处理是指对信号进行分析、合成、编码和解码的过程，傅里叶级数为信号处理提供了有效的工具。
首先，傅里叶级数可以将时域信号转换为频域信号。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以将信号的频谱表示出来，了解信号在不同频率下的成分情况。
这对于音频信号的合成、滤波、去噪等处理非常有用。
其次，傅里叶级数在通信系统中起着重要的作用。
在数字通信中，信号需要经过调制、解调等处理。
傅里叶级数可以帮助我们理解信道传输中的信号畸变情况，从而对传输信号进行补偿和恢复。
此外，傅里叶级数还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是由像素点组成的二维数组，每个像素点的灰度值可以用一个周期为1的函数表示。
通过对图像进行傅里叶级数分析，我们可以提取图像中的频域特征，如边缘、纹理等。
这对于图像压缩、增强和恢复等处理具有重要意义。
第三部分：傅里叶级数在其他领域的应用除了信号处理领域，傅里叶级数还在许多其他领域有着广泛的应用。
傅里叶级数分析范文在傅里叶级数分析中，我们首先将一个周期为T的函数表示为以下级数形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是系数，n为正整数，ω为基频，ω=2π/T。
分析傅里叶级数的过程包括求解系数a0、an和bn的值。
根据傅里叶级数的公式，可以通过对周期函数f(t)在一个周期内的积分来计算系数的值。
具体而言，可以利用函数的正交性质，将f(t)乘以正弦或余弦函数，再在一个周期内进行积分，即可得到相应系数的值。
在傅里叶级数分析中，还需要考虑函数f(t)的奇偶性。
如果函数f(t)是偶函数，即满足f(t) = f(-t)，则所有的bn项都为零，只有an项存在；如果函数f(t)是奇函数，即满足f(t) = -f(-t)，则所有的an项都为零，只有bn项存在。
对于一般的周期函数，既包含偶函数分量又包含奇函数分量。
由于傅里叶级数是一个无限项的级数，实际计算中无法计算出所有的项。
通常情况下，只需计算前几个重要的项，即可近似表示原函数。
根据采样定理，选择足够高的采样频率，可以减小近似误差。
傅里叶级数分析的结果对于理解信号频谱特性和滤波器设计非常重要。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的频谱图，了解信号中各个频率分量的强度和相位。
在通信系统中，傅里叶级数分析可以帮助我们设计滤波器来去除不需要的频率分量，实现信号的解调和调制。
总之，傅里叶级数分析是一种重要的信号处理技术，通过将周期函数表示为正弦和余弦函数的无限和，可以获得信号的频谱特性，用于信号处理、图像处理和通信等领域。
傅里叶级数理论与应用傅里叶级数是数学中重要的理论之一，它是数学分析领域中的一种拓展和广义化的方法。
通过傅里叶级数理论，我们可以将任意周期函数分解成谐波的叠加，这为信号处理、物理学、工程学等领域提供了强大的工具。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念、理论原理以及在应用中的具体情况。
傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是20世纪初法国数学家傅里叶提出的一种数学方法，用来描述一个周期函数在一定时间内的周期性。
在傅里叶级数中，一个任意周期函数可以表示为无穷级数的形式，即：$$ f(t) = a_0 + \\sum_{n=1}^{\\infty} [a_n \\cos(n \\omega t) + b_n \\sin(n\\omega t)] $$其中，a0,a n,b n是系数，$\\omega$是基本频率，t表示时间。
这个公式说明了一个周期函数f(t)可以由一组谐波的叠加来表示。
傅里叶级数的理论原理傅里叶级数的理论原理是基于正弦、余弦函数的基础上，通过系数的确定来描述一个周期函数的振动情况。
在傅里叶级数中，系数a0,a n,b n的求解是傅里叶分析的核心问题。
通常情况下，可以通过傅里叶变换或者傅里叶级数展开公式来求解这些系数。
傅里叶级数的主要思想是利用频域分析来研究一个周期函数的频谱结构，即将时域信号转化为频域信号，这对信号处理、通信等领域有着重要的应用。
通过对傅里叶级数的分析，我们可以了解一个信号中包含的各种频率成分，为信号处理和分析提供了一种有效的工具。
傅里叶级数的应用傅里叶级数在各个领域都有着广泛的应用。
在信号处理领域，我们可以利用傅里叶级数来分析和处理信号，实现信号的滤波、解调等功能。
在通信领域，傅里叶级数可以帮助我们理解和设计各种调制解调技术，提高通信系统的性能。
此外，傅里叶级数还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
在物理学中，傅里叶级数可以帮助我们分析和描述物体的振动情况，研究声波、光波等现象。
在工程学中，傅里叶级数可以应用于电路分析、控制系统设计等方面，提高系统的稳定性和性能。
傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：目录引言 (3)1 傅立叶级数的计算 (5)1.1 傅立叶级数的几何意义 (5)1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10)1.3 傅里叶级数的展开 (11)1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16)1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19)2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21)2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21)2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28)3 微分中值定理在复数域上的推广 (32)3.1 复数域上的中值定理 (32)3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．关键词：n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time. Keywords:n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n元微分学即1n 维空间以及复数域上得以使用．本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．1傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数siny a wt=或余弦函数cos=表示．但是，y a wt复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题．傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．1.1 一元函数中值定理及其几何意义从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量u和v，从u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p．这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。
傅里叶级数在微积分中的应用傅里叶级数是许多科学领域中的一个重要概念，尤其在微积分学中有着广泛的应用。
在本文中，将探讨傅里叶级数在微积分中的应用，以及它对我们理解和应用微积分的帮助。
傅里叶级数是由法国数学家傅里叶于18世纪末发明的，它是任何一个连续函数可分析的一种方法。
在图像、语音、视频和其他数字信号处理中，傅里叶级数是一种处理信号的重要方法。
而在微积分学中，傅里叶级数常常被用作分析某些周期性现象。
在微积分学中，傅里叶级数可以用来表示周期性函数，这是因为周期函数可以用一定级数的正弦余弦函数相加来表示。
对于任何一个周期为T的连续函数f(x)，我们可以把它展开成如下傅里叶级数：$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{2\pi}{T}nx) + b_n\sin(\frac{2\pi}{T}nx)$$其中，$a_0,a_n$和$b_n$是函数f(x)的系数。
这个级数即为 f(x) 的傅里叶级数。
这个式子看起来很复杂，但它相当简单。
可以看到，这个级数是由一个常数项$\frac{a_0}{2}$和一些正弦余弦函数相加得到的。
这些正弦余弦函数，称为傅里叶基函数，是由公式$$\cos(\frac{2\pi}{T}nx)$$和$$\sin(\frac{2\pi}{T}nx)$$得到的。
其中，n是一个整数。
这些基函数有一个很特殊的性质，就是它们在整个周期T内（从0到T）形成了一个完整的集合。
也就是说，如果我们把足够多的这些函数加起来，可以得到任意一个周期性函数。
那么，如何确定f(x)的系数？答案就是积分。
我们可以把f(x)拆分成各个傅里叶基函数的线性组合，然后对每个基函数进行积分。
具体地，我们计算$$a_n$$和$$b_n$$的值通过如下公式：$$ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos(\frac{2\pi}{T}nx)dx $$$$ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}nx)dx $$这个过程可能有点抽象，但是大致上就是将$f(x)$乘上傅里叶基函数，再对整个周期$f(x)$进行积分。
编号研究类型理论研究分类号O17学士学位论文（设计）Bachelor’s Thesis论文题目傅里叶分析及其应用目录1．前言 (1)2．傅里叶级的计算 (5)2.1 三角函数系 (5)2.2 傅里叶级数的计算 (10)3．傅里叶级数收敛定理 (19)3.1傅里叶级数收敛定理 (19)3.2傅里叶级数收敛定理的应用 (20)4．傅里叶级数展开式的计算 (28)4.1傅里叶级数展开式的一般计算 (29)4.2傅里叶级数展开式的简便算法4.3傅里叶展开式的一些别的方法5.Fourier级数的应用6.复数型的Fourier级数傅里叶分析及其应用摘要:生物质的快速热解是一种新型生物能源转化技术。
其主要产物生物油可以取代传统矿物能源作为燃料,也可作为原料合成具有特殊用途的化工产品。
本文主要介绍了快速热解的基本原理与技术特征,介绍了不同类型反应器的结构特征,总结了反应工艺要求,综述了生物油的潜在应用领域。
以实际废弃木材的快速热解说明了该技术在污染生物质处理中的潜在应用。
关键词:傅里叶分析；傅里叶级数；傅里叶展开式Review on Fast Pyrolysis of Biomass ForbioollAbstract : Fast pyrolysis of biomass for biooil is a kind of new technology of energy conversion which attracts grow ing research rapidly. Bio-oilcan replacetraditionalmineralfuelsor beusedasraw materialtoproducespecialchemi cals such as slowreleasing fertilizers. In the present article, the principle, characteristics, reactors, andspecial require ments for the fast pyrolysis of biomass were reviewed. The potentialapplication fields of bio-oil were summarized. A practical study show edtheapplication of this technology on waste wood and indicated the potential applicationof this approach to control contaminations.Keywords : fast pyrolysis; biomass; bio-oil傅里叶分析及其应用1．前言傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学史上，虽然早在18世纪初期，有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D ’Alembert,L.Euler 等人的工作中出现，但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier 迈出的。
傅里叶变换及其应用一． 傅里叶变换傅里叶变换（Fourier 变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换是一种线性的积分变换，在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。
正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
二． 计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f （t ）的积分形式。
可以把傅里叶变换也成另外一种形式：t j e t f F ωπω),(21)(= 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。
)(2,21)(2121Ω-Ω==⎰Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j下面从公式解释下傅里叶变换的意义因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t j e ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。
可以理解为f(t)在t j eω上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t j eω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。
傅里叶逆变换的公式为下面分析傅里叶逆变换的意义对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。
名师指导Famousteacherguidance98教育前沿 Cutting Edge Education傅里叶级数的应用文/罗悦悦 罗树霞 赵秀兰 邱克娥摘要：傅里叶级数是数学分析中的重要内容，它的实际应用价值十分广泛，主要列举其在数学物理等方面的一些具体应用。
关键词：傅里叶级数；数学；物理；工业；应用1 引言傅里叶级数是数学分析的基础内容，教材介绍了傅里叶级数展开和其相关的定理，书中却很少列举其实际应用情况，因此在学习中，由于理论学习和实际应用的脱离，常常很难深入理解傅里叶级数的含义。
事实上，傅里叶级数不仅对偏微分方程的发展有很大的推动力，在数学物理和工程领域都有重大的应用，文章以理论为依据，详细介绍了傅里叶级数的实际学习及生活应用情况。
2 傅里叶级数傅里叶级数指的是法国著名数学家J.B.J.傅里叶发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后人称该级数为一种特殊的三角级数。
在中国，程民德首次成功证明了傅里叶级数的多元簇和三角级数的球形和的唯一性，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
定义 若函数ƒ(χ)在区间[-π,π]可积，则称是函数ƒ(χ)的傅里叶系数。
以函数ƒ(χ)的傅里叶系数为系数的三角函数称为函数的傅里叶级数，记为：3 傅里叶级数的应用3.1 傅里叶级数在数学领域的应用3.1.1 利用傅里叶级数证明等式证明两个式子相等的方法有很多，利用傅里叶级数进行证明两式相等，通常是将其中的一个式子变成傅里叶级数的展开式加以证明。
例1：把函数展开成傅里叶级数。
解：由系数公式得：当故的傅里叶级数展开式为：3.1.2 利用傅里叶级数证明不等式傅里叶级数的二次收敛的特性可以使得一个新的式子首先可以展开成为一个傅里叶展开级数后，再与另一个新的式子一起展开成傅里叶展开级数，从而可以使用傅里叶展开级数方法来证明不等式成立。
例2：如果及其导函数在上都是可积的， ，证：由题意可设当由贝塞尔等式得：故该命题成立3.1.3 使用傅里叶级数来求级数和的等式利用傅里叶级数求解级数的和，通过计算找到一个函数，使该函数的傅里叶级数可以展开来成为所求的级数和。
本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生：（签字）论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：目录引言 (3)1 傅立叶级数的计算 (5)1.1 傅立叶级数的几何意义 (5)1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10)1.3 傅里叶级数的展开 (11)1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16)1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19)2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21)2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21)2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28)3 微分中值定理在复数域上的推广 (32)3.1 复数域上的中值定理 (32)3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．关键词：n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theoremin complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time.Keywords:n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field引言微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n元微分学即1n 维空间以及复数域上得以使用．本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．1傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数siny a wt=或余弦函数cos=表示．但是，y a wt复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题．傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．1.1 一元函数中值定理及其几何意义从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量u和v，从u 的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p．这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。
图中的系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标”．可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量u和v都是代数形式的，怎么用代数的方法求c？图片1：向量u 到v 所在直线的投影知道u cv -这个向量是“正交”于v 的，用数学语言表达就是()0u cv Tv -=． 马上就可以得到 c 的表达式如下：T T u v c v v= (1) 如下图所示，现在引进一组正交基 12{,}v v ，那么u 可以展开成以下形式 1122u c v c v =+ (2)图片2：向量u 在正交基12{,}v v 上的展开从图上来看，(2)式其实说的是可以把u “投影”到 1v 和2v 这两个坐标轴上，1c 和2c 就是u 的新“坐标”. 问题是：怎么求1c 和2c 呢？利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式：111T T u v c v v = ； 222T T u v c v v = ；如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的v 换成新坐标轴就好了. 这些东西跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是21的周期函数() f x ，它的傅里叶级数为：()01cos sin n n n n x n x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑ ()4其中系数表达式如下：()1102f x dx a l-=⎰；()11cos,1n n xf x dx l a n l π-=≥⎰ ()11sin,1n n x f x dx l b n lπ-=≥⎰从几何角度来看，()f x 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，22{1,cos,sin,cos,sin ,......}xxx xl ll lππππ 从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.1.2 傅里叶级数的敛散性问题定义１ 若函数()f x 在区间[],a b 除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数()f x 在[],a b 逐段连续． 若函数()f x 与它的导函数()'f x 都逐段连续， 则称函数()f x 在[],a b 逐段光滑．显然，逐段光滑的函数是可积的．1.2.1 相关定理定理１ 若()f x 是n 元函数f 在凸区域R 上以2π为周期的在[],ππ-逐段光滑的函数，则函数()f x 的傅里叶级数在R 收敛，其和函数式()()1002f x f x ++-⎡⎤⎣⎦，即[],x ππ∀∈-，有()()1002f x f x ++-⎡⎤⎣⎦=()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑．，使得()10120201,,,0inx n n i i f xx x x x x x θθθ='+∆+∆+∆∆=∑L ．特别地，当1=n 时，()10120201,,,0inx n n i i f x x x x x x x θθθ='+∆+∆+∆∆=∑L 变为()()()0000f x x x x x θ'=+--．因为0x x ≠，所以，()()()000,0.1f x x x θθ'+-=∈．即()0f c '=，()0,c x x ∈．这就是一元函数的罗尔定理的公式．n 元函数罗尔定理的几何意义：在1+n 维空间里，闭区域D 上有连续超曲面()10200,,,n y f x x x =L ，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与121n x x x -L 面平行，则超曲面上至少有一点()()1212,,,,,,,n n C f ξξξξξξL L ，使得过该点的超切平面平行于121n x x x -L 面．定理2（n 元函数拉格朗日定理） 设n 元函数f 在凸区域n R D ⊂上连续，在D 的所有内点都可微，对D 内任意两点，()11012020,,,n n P x x x x x x +∆+∆+∆L ，()210200,,,n P x x x D ∈L ，()1,0∈∃θ，使得()()101202010200,,,,,,n n n f x x x x x x f x x x +∆+∆+∆-L L()10120201,,,i nx n n i i f x x x x x x x θθθ='=+∆+∆+∆∆∑L ． (2-1)证明 令()()1012020,n n t f x t x x t x x t x ϕ=+∆+∆+∆L ，()01t ≤≤．它是定义在[]1,0上的一元函数，由定理中的条件知()t φ在[]1,0上连续，在()1,0内可微，于是根据一元函数微分中值定理，()1,0∈∃θ，使得()()()10ϕϕϕθ'-=．由复合函数的求导法则()()10120201,,,ix n n f x x x x x x x ϕθθθθ''=+∆+∆+∆∆++L L()1012020,,,nx n n n f x x x x x x x θθθ'+∆+∆+∆∆L ．()10120201,,,inx n n i i f x x x x x x x θθθ='=+∆+∆+∆∆∑L ，()0,1θ∈．而()()01φφ-=()()101202010200,,,,,,n n n f x x x x x x f x x x +∆+∆+∆-L L ．所以，()()101202010200,,,,,,n n n f x x x x x x f x x x +∆+∆+∆-L L()10120201,,,i nx n n i i f x x x x x x x θθθ='=+∆+∆+∆∆∑L ．特别地，当1=n ，则由(2-1)式有()()()()()0000f x f x f x x x x x θ'-=+--，()01θ<<．这就是一元函数的拉格朗日中值公式．n 元函数拉格朗日定理的几何意义：在1+n 维空间里，闭区域D 上有连续超曲面()10200,,,n y f x x x =L ，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面α所切得面β，则超曲面上至少有一点()()1212,,,,,n n C f ξξξξξξL L ，使得过该点的超切曲面平行于面β．定理3（n 元函数柯西中值定理） 设n 元函数f 和g 在凸开域n R D ⊂上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P Λ，21012020(,,,)n n P x x x x x x D +∆+∆+∆∈L ，∑=≠∆∆+∆+'ni i n n x x x x x x g i 101100),,(θθΛ，则有10101001010100(,,)(,,)(,,)(,,)n n n n n n f x x x x f x x g x x x x g x x +∆+∆-+∆+∆-L L L L1010110101(,,)(,,)iinx n n i i nx n n ii f xx x x x g xx x x x θθθθ=='+∆+∆∆='+∆+∆∆∑∑L L ，(01)θ<<．证明 首先证明0),,(),,(0100110≠-∆+∆+n n n x x g x x x x g ΛΛ，用反证法．假设0),,(),,(0100110=-∆+∆+n n n x x g x x x x g ΛΛ．即),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g ΛΛ=∆+∆+．根据n 元函数的罗尔定理，)1,0(∈∃θ，使得0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xg iθθΛ，与已知条件∑=≠∆∆+∆+'ni i n n x x x x x x g i101100),,(θθΛ矛盾．其次作辅助函数--∆+∆+=ψ),,(),,()(0100110n n n x x f x t x x t x f t ΛΛ)],,(),,([),,(),,(),,(),,(010011001001100100110n n n n n n n n n x x g x t x x t x g x x g x x x x g x x f x x x x f ΛΛΛΛΛΛ-∆+∆+-∆+∆+-∆+∆+，其中10≤≤t ．由定理中的条件知)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且(1)0ψ=，(0)0ψ=，根据一元函数的罗尔定理，存在)10(<<θθ使得0)(=ψ'θ．由复合函数的求导法则-∆∆+∆+'=ψ'∑=ni i n n x x x x x x f i 10110),,()(θθθΛ1010100101011010100(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)i nn n n x n n i i n n n f x x x x f x x g x x x x x g x x x x g x x θθ=+∆+∆-'+∆+∆∆+∆+∆-∑L L L L L ． 又0)(=ψ'θ．所以，),,(),,(),,(),,(01001100100110n n n n n n x x g x x x x g x x f x x x x f ΛΛΛΛ-∆+∆+-∆+∆+∑∑==∆∆+∆+'∆∆+∆+'=ni in n x ni i n n x x x x x xg x x x x xf ii1011010110),,(),,(θθθθΛΛ，(01)θ<<．函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置关系．那么当函数变为n 元函数时，中值定理又对应着怎样的几何意义呢？通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：在n 元函数与高阶导数有怎样的关系，泰勒中值定理又会变成怎样的形式呢？定理4（n 元函数的泰勒中值定理） 设函数12(,,,)n u f x x x =L 在点010200(,,,)n P x x x L 的某一邻域()0U P 内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数，10120200(,,,)()n n x x x x x x U P +∆+∆+∆∈L ，则(0,1)θ∃∈，使得),,,(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+Λ102001020011(,,,)(,,,)nn n i i if x x x f x x x x R x =∂=+∆+∂∑L L ，其中∑∑==∆∆∂∂∆+∆+∆+∂=n i n i j j i ji n n x x x x x x x x x x f R 1022011021),,,(!21θθθΛ．证明 考虑函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+=Λφ，10≤≤t ．则),,,()0(02010n x x x f Λ=φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+=Λφ．由于函数),,,(21n x x x f u Λ=在点),,,(020100n x x x P Λ的某一邻域)(0P U 内连续，并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+=Λφ在0=t 的邻域内对t 有连续的一阶及二阶导数．由一元函数的泰勒公式可以得到2)(!21)0()0()(t t t t θφφφφ''+'+=，10<<θ． (2-2) 因为()10120201,,,()nn n i i i f x t x x t x x t x t x x ϕ=∂+∆+∆+∆'=∆∂∑L ，10120201(,,,)()nn n i i i f x t x x t x x t x d t x dt x ϕ=⎛⎫∂+∆+∆+∆''=∆ ⎪∂⎝⎭∑L()2101202011,,,nnn n i j i j i jf x t x x t x x t x x x x x ==∂+∆+∆+∆=∆∆∂∂∑∑L ．所以，()102001,,,(0)nn i i if x x x x x ϕ=∂'=∆∂∑L ，()2101202011,,,()nnn n i j i j i jf x t x x t x x t x t x x x x θθθϕθ==∂+∆+∆+∆''=∆∆∂∂∑∑L ．把)(),0(),0(t θφφφ'''代入(2-2)式后再令1=t ，便得到泰勒公式()1012020,,,n n f x x x x x x +∆+∆+∆L+=),,,(02010n x x x f Λ()1020011,,,nn i i if x x x x R x =∂∆+∂∑L ，其中()2101202011,,,12!n n n n i j i j i i jf x x x x x x R x x x x θθθ==∂+∆+∆+∆=∆∆∂∂∑∑L ． 如果设函数),,,(21n x x x f u Λ=在点),,,(020100n x x x P Λ的某一邻域)(0P U 内连续且具有1+n 阶连续偏导数，)(),,,(00220110P U x x x x x x n n ∈∆+∆+∆+Λ，则)1,0(∈∃θ，使得()1012020,,,n n f x x x x x x +∆+∆+∆L()10200,,,n f x x x =+L ()102001020011(,,,)1,,,!knn n i n n k i i f x x x x f x x x R k x ==⎛⎫∂∆+ ⎪∂⎝⎭∑∑L L ， 其中()()11020010101(,,,)1,,1!n n n n i n n i i f x x x R x f x x x x n x θθ+=⎛⎫∂=∆+∆+∆ ⎪+∂⎝⎭∑L L ，这称为拉格朗日余项．证明 作辅助函数()1012020(),,,n n t f x t x x t x x t x ϕ=+∆+∆+∆L ，10≤≤t ． 则),,,()0(02010n x x x f Λ=φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+=Λφ．因为∑=∆∂∆+∆+∆+∂=ni i in n x x x t x x t x x t x f dt d 10220110),,,(Λφ()1020010101(,,,),,n n i n n i i f x x x x f x t x x t x x =⎛⎫∂=∆+∆+∆ ⎪∂⎝⎭∑L L ，2210200101021(,,)(,,)n n i n n i i f x x x d x f x t x x t x dt x ϕ=⎛⎫∂=∆+∆+∆ ⎪∂⎝⎭∑L L ． 用数学归纳法可以得到()1020010101(,,,)()(,,)kn k n i n n i i f x x x t x f x t x x t x x ϕ=⎛⎫∂=∆+∆+∆ ⎪∂⎝⎭∑L L ，),,2,1(n k Λ=．由一元泰勒公式)()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(θφφφφφφ+++++''+'+=n n n n Λ，)10(<<θ． (2-3) 将),,,()0(02010n x x x f Λ=φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+=Λφ，)0()(n φ代入(2-3)式得()1010,,n n f x x x x +∆+∆L102001001001(,,,)(,,)(,,)n n n i n i i f x x x f x x x f x x x =⎛⎫∂=+∆+ ⎪∂⎝⎭∑L L L2102001001(,,,)1(,,)2!n n i n i i f x x x x f x x x =⎛⎫∂∆++ ⎪∂⎝⎭∑L L L()102001001(,,,)1,,!nn n i n n i i f x x x x f x x R n x =⎛⎫∂∆+ ⎪∂⎝⎭∑L L ， 其中()11020010101(,,,)1,,(1)!n n n n i n n i i f x x x R x f x x x x n x θθ+=⎛⎫∂=∆+∆+∆ ⎪+∂⎝⎭∑L L ，)10(<<θ．2.2 利用n 元函数微分中值定理研究函数的性质例2.1 设n 元函数f 在凸开域n R D ⊂上可微，D 上取定一点),,,(020100n x x x P Λ且D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+∀),,,(0220110Λ，有n i P f ix ,,2,1,0)(Λ=='，则D P ∈∀，有C P f =)(（常数），即)(P f 是常数函数． 证明 n 元函数f 在D 上满足n 元函数的拉格朗日定理的条件，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈∃θ，使得),,,(),,,(020*********n n n x x x f x x x x x x f ΛΛ-∆+∆+∆+()10120201,,,i nx n n i i f x x x x x x x θθθ='=+∆+∆+∆∆∑L ．因为点D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+),,,(02201101θθθΛ，所以，0)(1='P f ix ．即),,(),,,(020*********n n n x x x f x x x x x x f ΛΛ=∆+∆+∆+．取C x x x f n =),,,(02010Λ，D P ∈∀，有C P f =)(，即()f P 是常数函数． 例2.2 若n 元函数f 和g 在凸开域n R D ⊂上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，D 上取定一点),,,(020100n x x x P Λ，且对任意的点10120(,P x x x +∆+20,,)n n x x x D ∆+∆∈L ，有()()i i x x f P g P ''=，1,2,,i n =L ．而且10101(,,)i nx n n i g x x x x θθ='+∆+∆∑L不为零．则D P ∈∀，有C P g P f +=)()(，其中C 是常数，01θ<<．证明 因为n 元函数f 和g 在D 满足n 元函数的柯西定理的条件，则),,(),,(),,(),,(01001100100110n n n n n n x x g x x x x g x x f x x x x f ΛΛΛΛ-∆+∆+-∆+∆+1010110101(,,)(,,)iinx n n i i nx n n ii f xx x x x g xx x x x θθθθ=='+∆+∆∆='+∆+∆∆∑∑L L ，(01)θ<<．又D x x x x P n n ∈∆+∆+),,(01101θθΛ，所以，)()(11P g P f iix x '='，n i ,,2,1Λ=．即∑∑==∆'=∆'ni ix n i ix xP g x P f ii1111)()(．所以，1010100(,,)(,,)n n n f x x x x f x x +∆+∆-L L 1010100(,,)(,,)n n n g x x x x g x x =+∆+∆-L L ．即)]()([)()(00P g P f P g P f -+=．设C P g P f =-)()(00，则D P ∈∀，有C P g P f +=)()(，其中C 是常数． 例2.3 证明：设n 元函数f 在凸开域n R D ⊂上可微，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P Λ，21012020(,,,)n n P x x x x x x D +∆+∆+∆∈L ，有),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f ΛΛ=∆+∆+，且D P a P f i x ∈∀=',)(（a 是常数且0≠a ）其中()1,2,,i n =L ．则01=∆∑=ni ix．证明 因为n 元函数f 在D 上满足n 元函数的罗尔定理的条件，所以，)1,0(∈∃θ，使得0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xf iθθΛ，由已知条件，点D x x x x P n n ∈∆+∆+),,(01103θθΛ，有a P f ix =')(3，n i ,,2,1Λ=．所以，01=∆∑=ni ixa ，01=∆∑=ni i x a ．因此，01=∆∑=ni i x ．例2.4 若(,,)sin sin sin f x y z x y z =，证明对某)1,0(∈θ有6cos 4sin 3sin 66sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 386πθπθπθππθπθπθππθπθπθπ++=． 证明 三元函数z y x z y x f sin sin sin ),,(=在凸开域3R D ⊂上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点1111(,,)P x y z ，2111111(,,)P x x y y z z D +∆+∆+∆∈，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈∃θ，使得),,(),,(111111111z y x f z z y y x x f -∆+∆+∆++∆∆+∆+∆+'=1111111),,(x z z y y x x f x θθθ+∆∆+∆+∆+'1111111),,(y z z y y x x f y θθθ1111111(,,)z f x x y y z z z θθθ'+∆+∆+∆∆．即111111111sin sin sin )sin()sin()sin(z y x z z y y x x -∆+∆+∆+ +∆∆+∆+∆+=1111111)sin()sin()cos(x z z y y x x θθθ+∆∆+∆+∆+1111111)sin()cos()sin(y z z y y x x θθθ 1111111)cos()sin()sin(z z z y y x x ∆∆+∆+∆+θθθ令6,4,3111πππ=∆=∆=∆z y x ，则111111sin sin sin )6sin()4sin()3sin(z y x z y x -+++πππ+⋅+++=3)6sin()4sin()3cos(111πθπθπθπz y x111sin()cos()sin()3464x y z ππππθθθ+++⋅+6)6cos()4sin()3sin(111πθπθπθπ⋅+++z y x ．取1110x y z ===，则++=θπθπθππθπθπθπππππ6sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 36sin4sin3sinsin sin cos 6346ππππθθθ， 即6cos 4sin 3sin 66sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 386πθπθπθππθπθπθππθπθπθπ++=． 例2.5 若在区域n R D ⊂内f 的诸偏导数)(P f ix '),,2,1(n i Λ=存在且有界，则函数f 在D 内连续．证明 假设M P f ix ≤'|)(|，D P ∈，n i ,,2,1Λ=．任取D P ∈，设),,,(2211n n x x x x x x P P ∆+∆+∆+=∆+Λ，与连接P 及P P ∆+的直线段(设||P P ∆=充分小)全部包含在D 内，则由n 元函数的拉格朗日定理，得|)(||)()(|1∑=∆∆+'=-∆+ni i x x P P f P f P P f iθ|||||)(|1P nM xP P f ini x i∆≤∆⋅∆+'≤∑=θ∑=∆=ni ix nM12)(，10<<θ．于是，0>∀ε，nM /εδ=∃，使得当δ<∆=||P P 时，有ε<-∆+|)()(|P f P P f ．所以，函数f 在点P 连续．由P 的任意性知，函数f 在D 内连续．例2.6 将函数xyz z y x z y x f 3),,(333-++=在点()1,1,1展成泰勒公式． 解 0)1,1,1(=f ．0)1,1,1()1,1,1()1,1,1(='='='z y x f f f ，6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(=''=''=''zz yy xxf f f ，3)1,1,1()1,1,1()1,1,1(-=''=''=''zx yz xy f f f ， 6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(333='''='''='''z y x f f f ，3)1,1,1(-='''xyz f ， 0)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(222222='''='''='''='''='''='''xz zy yx zx yz xyf f f f f f ， 且高于3阶的偏导数都恒为0．于是，由n 元函数的泰勒公式，有xyz z y x z y x f 3),,(333-++=223[(1)(1)x y =-+-+2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)]z x y y z z x ----------+)1)(1)(1(3)1()1()1(333-----+-+-z y x z y x ．小结 n 元函数微分中值定理的表述形式与二元函数中值定理的形式类似，都是函数值与各偏导数和增量乘积的关系．在证明上也是采用了构造“辅助函数”的方法．在实数域中，微分中值定理联系了函数与导数，无论是一元函数、二元函数还是n 元函数，微分中值定理都对研究函数性质有重要的辅助作用，那么如果函数定义在复数域中，微分中值定理还适用吗？3 微分中值定理在复数域上的推广由于二元函数在固定某个变量为暂时常量下可以看作一元函数，再由偏导数的定义，我们可先将一元微分中值定理推广到二元实函数上．而二元实函数与复函数都是以有序数对为自变量的函数，它们之间有着密切的联系，因此在有关性质上也应该有着密切联系，所以又可利用二元实函数的微分中值定理，将实数域上的微分中值定理推广到复数域上，得到解析函数的微分中值定理，为应用导数研究解析函数的性质提供了新工具，构建了有用的平台．3.1 复数域上的中值定理引理1（可微的充要条件） 设函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内一点iy x z +=可微的充要条件是：(1)二元函数()y x u ,、()y x v ,在点()y x ,可微； (2)()y x u ,、()y x v ,在点()y x ,满足..R C -方程，即xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 上述条件满足时，()z f 在点iy x z +=的导数可以表示为下列形式之一：()u v v uf z i i x x y y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ xvi y v y u i x u ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=． 证明 ()⇒ 设()z f 在D 内一点z 可微，则()()f z f z z z η'∆=∆+∆，其中η是随0→∆z 而趋于零的复数．若令()f z i αβ'=+，z x i y ∆=∆+∆，()f z u i v ∆=∆+∆，则()()f z f z z z η'∆=∆+∆可写成()21ηηαββαi y x i y x v i u ++∆+∆+∆-∆=∆+∆，这里()()z x ∆⋅=∆⋅=ηηηηIm ,Re 21是()()22y z z ∆+∆=∆的高阶无穷小．比较上式两端的实、虚部，即得1ηβα+∆-∆=∆y x u ， 2ηαβ+∆+∆=∆y x v ．由数学分析二元函数的微分定义即知，()y x u ,与()y x v ,在点()y x ,可微，且x y u v α==，y x u v β=-=-．()⇐ 由()y x u ,与()y x v ,的可微性即知，在点()y x ,有1η+∆-∆=∆y u x u u y x ， 2η+∆+∆=∆y v x v v y x ．其中1η与2η是()()22y z ∆+∆的高阶无穷小．再由..R C -方程，可设βα-=-===x y y x v u v u ,．于是，有()21ηαβηβα+∆+∆++∆-∆=∆+∆=∆y x i y x v i u f()()21ηηβαi y i x i ++∆+∆+=．所以，βαi zfz +=∆∆→∆0lim．即 ()u v v uf z i i i x x y y αβ∂∂∂∂'=+=+=-∂∂∂∂ xv i y v y u i x u ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=． 定理1（费马定理）设函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域内一点000iy x z +=的某领域()0z U 内有定义，并且在0z 处可导，若对任意iy x z +=∈()0z U 有()()y x u y x u ,,00≤或()()y x u y x u ,,00≥， ()()y x v y x v ,,00≤或()()y x v y x v ,,00≥．则必有()00f z '=．证明 根据引理可知函数()y x u ,和函数()y x v ,在点()00,y x 可微，且()0f z '=()()0000,,x x u x y iv x y +．要使()00f z '=，只需()00,0x u x y =，()00,0x v x y =．先证()0,00=y x u x ．由于()y x u ,在定义域内一点()00,y x 可微，则()y x u ,在该点关于每一个自变量的偏导数存在．又因为()y x u ,在点()00,y x 的邻域内的任一点()y x ,有()()y x u y x u ,,00≤或()()y x u y x u ,,00≥．故()0,00=y x u x ．同理可证()0,00=y x v x ．定理2（罗尔定理） 若()()()y x iv y x u z f ,,+=满足下列条件： (1)在有界闭区域D 上连续； (2)在D 内解析；(3)()()21z f z f =，其中21,z z 为D 内的两定点111z x iy =+，222z x iy =+． 则至少存在一点000iy x z +=使得()00f z '=．证明 由解析函数的定义知()z f 在D 内任意一点()y x ,可导，根据引理得到()y x u ,和()y x v ,在D 内任一点()y x ,可微，且()()()y x iv y x u z f ,,+=的求导公式为()x x y y f z u iv v iu '=+=-．由于()()21z f z f =，其中21,z z 为D 内的两定点111z x iy =+，222z x iy =+．并且()()2211,,y x u y x u =，()()2211,,y x v y x v =．令()()()y x v y x u y x F ,,,-=，则函数()y x F ,在有界闭区域D 上连续，在D 内可微，并且有()()2211,,y x F y x F =．则至少有一点()D y x ∈00,，使得()0,00=y x F x ，()0,00=y x F y ．因为()()()000000,,,y x v y x u y x F x x x -=，()()()000000,,,y x v y x u y x F y y y -=．所以，()()0,,0000=-y x v y x u x x ，()()0,,0000=-y x v y x u y y ．根据引理可知x y y x v u v u -==,，于是，有()()0,,0000=-y x v y x u y x ，()()0,,0000=+y x v y x u x y ．所以，()()()00000,,0x x f z u x y iv x y '=+=．定理3（拉格朗日定理） 若复函数()()()y x iv y x u z f ,,+=满足下列条件： (1)在有界闭区域D 上连续； (2)在D 内解析；(3)1z 与2z 是D 内的两个定点21z z ≠． 则至少存在一点D z ∈0，使得()()()21021f z f z f z z z -'=-．证明 令()()()()()()112121z z z z z f z f z f z f z F -----=，则函数()z F 在有界闭域D 上连续，在D 内解析，并且()()21z F z F =，()()()()2121f z f z F z f z z z -''=--．根据罗尔定理可得至少存在一点D z ∈0，使得()()()()21210f z f z F z f z z z -''=-=-．即()()()2121f z f z f z z z -'=-．定理4（柯西中值定理） 若函数()f z 与()g z 满足下列条件： (1)复函数()z f 与()z g 在有界闭区域D 上连续； (2)复函数()z f 与()z g 在D 内解析； (3)()f z '与()g z '在D 内不同时为零；(4)()()21z g z g ≠，1z 与2z 是D 内的两个定点21z z ≠．则至少存在一点D z ∈0，使得()()()()()()021021f z f z f z g z g z g z '-='-．证明 做辅助函数()()()()()()()()()()112121z g z g z g z g z f z f z f z f z F -----=． 易见F 在D 内满足罗尔定理，故存在D z ∈0，使得()()()()()()()21000210f z f z F z f z g z g z g z -'''=-=-．因为()00g z '≠，所以，有()()()()()()021021f z f z f z g z g z g z '-='-． 微分中值定理不仅在实数域内建立了函数与导数的桥梁，在复数域内也适用联系函数与导数．这使中值定理在函数性态研究中有了更全面的理论和更广泛的应用．3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质例3.1 设函数()z f 在复数域D 内解析，并且D z ∈∀，有()0f z '=，证明()z f 在D 内为常数．证明 任取D 内的两个互异的点1z 和2z ，若____21z z 含于D ．与拉格朗日中值定理可得()()()12012f z f z f z z z -'=-．由已知条件，()0f z '=．所以，()()21z f z f =．____21z z 含于D ，在D 中取有限个点210,z z n ==ξξΛ，使线段_______1j j ξξ-含于D 中()n j Λ,2,1=，有()()()()211z f f f z f n ===ξξΛ．所以，()z f 在D 内为常数．例3.2 若函数f 和g 在复数域D 上连续，在D 内解析，D 内任取一点0z ，使得D z z ∈∆+0且有()()00f z g z ''=．则D z ∈∀，有C z g z f +=)()(，其中C 是常数．证明 函数f 和g 在复数域D 上连续，在D 内解析，D 内取有两互异点0z 和z z ∆+0．即点0z 和点的点z z ∆+0的连线在D 内．根据柯西中值定理，得()()()()()()0000-f z f z f z z g z g z g z z ξξ'+∆='-+∆，其中ξz 在D 内．因为()()f z g z ξξ''=，所以，()()00f z f z z -+∆=()()00g z g z z -+∆．即()()()()z z g z z f z g z f ∆+-∆++=0000．取()()C z z g z z f =∆+-∆+00，则D z ∈∀，有C z g z f +=)()(，C 为常数．小结 微分中值定理在复数域上仍然成立，罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理与二元函数中值定理有类似的形式．证明也是采用了构造“辅助函数”的方法．在利用导数研究函数性态中，复数域上微分中值定理同样起到了桥梁作用．微分中值定理不仅在实数域中是研究函数性质的有力工具，在复数域中中值定理仍有形式近似的相关结论，并且对研究复数域函数性质也有所帮助．因此解析函数的微分中值定理为应用导数研究解析函数的性质提供了新的工具，构建了有用的平台．结论经过对微分中值定理的探究，对中值定理有了进一步的认识，整篇文章归纳为以下几点：(1)本文将一元函数罗尔中值公式、拉格朗日中值公式、柯西中值公式、泰勒中值公式都统一于一个中值公式．从这个公式重新认识了微分中值定理．(2)二元函数微分中值定理同样包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理．罗尔中值公式和拉格朗日中值公式都可以统一于柯西中值公式．(3)n元函数微分中值定理的表述形式与二元函数微分中值定理的形式类似，都是函数值的改变量与各偏导数与对应增量乘积的关系．定理证明是通过构造辅助函数的方法完成的．(4)微分中值定理在复数域的推广得到了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理．(5)不论是一元函数二元函数还是n元函数，或是复数域上微分中值定理，定理的证明都采用了构造“辅助函数”的方法并将其转化为一元函数得以完成．致谢在本次论文的撰写过程中，我得到了老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；老师高度的敬业精神和责任感值得我学习．在此，我对徐老师表示诚挚的感谢以及真心的祝福．参考文献[1] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(上册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：203～346[2] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(下册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：309～417[3] 胡龙桥. n元函数的微分中值定理[J]. 工科数学,2010.4：263-264[4] 马恒俊. 二元函数的微分中值定理[J]. 山东建筑工程学院学报,2009.12：80-81[5] 路见可. 关于微分中值定理的思考[J]. 高等数学研究,2010.9：10-13[6] 李晓玲. 微分中值定理在复数域内的推广[J]. 佳木斯大学学报,2009.9：791-792[7] 胡江. 实函数与复函数上微分中值定理内在联系的探究[J]. 科技咨询导报,2007.450：22-24[8] 胡江, 王玉. 复数域上微分中值定理新证[J]. 高等数学研究,2008.13：177-178[9] 李超. 柯西微分中值定理在多元函数中的推广[J]. 韶关学院学报, 2010.22(3)：1-5[10] 陈伟丽, 赵晨霞, 张秋娜, 崔玉环. 复分析中的微分中值定理[J]. 高校理科研究,2011.3：44-48[11] 胡江. 实函数与复函数上微分中值定理内在联系的探究[J]. 中国科教创新刊,2007.6：267-270[12] 程希旺. 二元函数微分中值定理中值点的分析性质[J]. 数学理论与应用,2009.16：30-34[13] 吴俊. n元函数的微分中值定理及其应用[J]. 高等数学研究,2010.2：24-26[14] 黄土森. 高维空间中的微分中值定理[J]. 宁波大学学报,2010.12：45-47[15] 王尚户. 多元函数之微分中值定理[J]. 包头钢铁学院学报,2007.6：36-39[16] 华东师范大学数学系，数学分析(上册)[M].高等教育出版社，2005。
