傅里叶分析及其应用

在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出了任意周期 函数都可以用三角基来表示的想法
第二章 傅里叶分析的产生
a0 (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1

实型三角级数， 其中 a0 ，ak ， bk (k 0,1, 2,) 是实数列
k
i z u ( x , z ) NU ( x ) e 假设其解的形式为: 则方程可化为: 1 2U 2 2 U N U U 0 2 2 x
第四章 在偏微分方程中的应用
求解原理
对方程两边同时对 x 做傅里叶变换，可得： 1 2U 2 2 itx itx ( U N U U ) e dx 0 e dx 2 2 x 应用傅里叶变换的微分性质,可得：
第一章 绪论
结构 安排 傅里叶分 析的产生 傅里叶分 析的发展
傅里叶变 换的定义
傅里叶变换 的基本性质
傅里叶变换 的主要类型
傅里叶变换应 用于波动方程
傅里叶变换应用于 非线性偏微分方程
结 论
第二章 傅里叶分析的产生
法国科学家傅里叶由于当时工业上处理 金属的需要，从事着热传导的研究。
1807年向巴黎科学院呈交的题为 《热的解析理论》
实型Fourier级数
1 ak f ( x)cos kxdx, k 0,1,2, 1 bk f ( x)sin kxdx, k 1,2,
f ( x)= ck eikx
k
实型Fourier级数的 系数由公式决定
复型Fourier级数
上式计算 a 时，对每个确定的n，要做N次乘法，总 共要做 N 2 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同 的项合并），当 N 2m 时，就可以把乘法总数由 N 2 减 N 少到 2 ln N。当数很大时，计算速度明显提高。这 种“快速傅里叶变换”的算法是1965年由CooleyTukey提出的
2
考虑d-维波动方程的Cauchy(柯西)问题：
2u u t 2 u ( x, 0) f ( x) u ( x, 0) g ( x) t
其中, f , g S ( R d )
第四章 在偏微分方程中的应用
求解波动方程柯西问题的通解 假设 u为该波动方程Cauchy问题的解。我们使用 的技巧是对空间变量 x1 ,, xd 作Fourier变换，降低 求解的难度。 利用Fourier变换的求导性质，对原偏微分方程两 端做定义为 ˆ ( ) f ( x )e 2 ix dx, R d f
傅里叶变换的基本性质 （1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。
f1 (t ) F1 ( j)
f2 (t ) F2 ( j) 即
af1 (t ) bf2 (t ) aF1 ( j) bF2 ( j)
其中a,b均为常数，其证明只需要根据傅里叶 变换的定义既可以得出。
第三章 傅里叶变换
ce
k

ikx
复型三角级数， 其中 ck (k 0, 1, 2,) 是复数列
三角函数系 三角函数系 （复数形式）
1,cos x,sin x,,cos kx,sin kx,
e (k 0, 1, 2,)
ikx
第二章 傅里叶分析的产生
a0 f ( x)= (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
(2 t ) ˆ ˆ( , t ) f ( )cos(2 t ) g ˆ ( ) u 2
在对上式关于 作Fourier逆变换，得到：
ˆ (2 t ) 2 ix ˆ ( ) u ( x, t ) f ( ) cos(2 t ) g e d 2 Rd
傅里叶变换的基本性质 （2）奇偶虚实性：
f (t ) F ( ) 则
f (t ) F ()
（3）对称性：
f (t ) F ( )
则
F (t ) 2 f ()
（4）尺度变换性：
f (t ) F () 则
f (at ) 1 F( ) a a
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的主要类型
简称 DTFT FT FS DFS DFT 全称 离散时间傅里叶变 换 傅里叶变换 傅里叶级数 离散傅里叶级数 离散傅里叶变换 英文全称 Discrete-time Fourier Transform Fourier Transform Fourier Series Discrete Fourier Series Discrete Fourier Transform 信号连续 性 离散 连续 连续 离散 离散 信号周期 非周期 非周期 周期 周期 非周期
对傅里叶 系数的积 分求解有 重要意义
第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况 Lebesgue（勒贝格）积分理论
Lebesgue积分 Lebesgue测度 推进了黎曼的 工作 发散级数的求 和理论 新的求和方法 重要的进展 傅里叶级数与 单位圆内解析 函数的理论有 着非常密切的 联系
Fejer（费耶尔）求法 Luzin(卢津)猜想
第三章 傅里叶变换
快速傅里叶变换 由于加法运算通常比乘法运算快，所以快速算法 的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)， 用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一 次乘法。 由
1 an N
n
kn A W k N , k 0
N 1
n 0,1,, N 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本定义
考虑定义在 (, )的函数，设 f L(R) 称：
ˆ f (t ) f ( x)e2 ixt dx
为 f 的Fourier变换。 同时



ˆ (t )e2 ixt dt f
f 、称为 的Fourier积分。
第三章 傅里叶变换
复变函数论方法 p 经典的 H 空间概念
第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况
50年代以后的研 究，逐渐向多维 和抽象空间推广 满足偏微分方程 等许多数学分支 发展的需要
标志了傅里叶分 析进入了一个新 的历史时期
极大函数
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论 研究一类相当广泛的奇异积分算子
( x y) Tf ( x) lim f ( y)dy 0 x y x y
之后验证，通过Fourier变换、Fourier逆 变换所得的解确实为原方程的解，即解满 足波动方程，亦满足初始条件
第四章 在偏微分方程中的应用
实例，1-维波动方程柯西问题 1-维的波动方程Cauchy问题可以表示为：
2u 2u x 2 t 2 u ( x, 0) f ( x) u ( x, 0) g ( x) t
的微分方程。
主要类型 半线性方程 拟线性方程 完全非线性
第四章 在偏微分方程中的应用
求解原理 傅里叶变换 傅里叶逆变换
F (t )

f ( x) F (t )eitx dt


f ( x)eitx dx
以非线性薛定谔方程为例，非线性薛定谔方程 在 （1+1）维可写为：
u i 2u 2 i u u 2 z 2 x
1 ck ck ( f ) 2
f ( x)e


ikx
dx
复型Fourier级数的 系数由公式决定
第二章 傅里叶分析的发展
早期发展概况 傅里叶提出任意函数可以用级数表示
未得到严 格的数学 论证 Dirichlet -Jordan 判别法
狄利克雷是历史上第一个给出函数 f ( x) 的傅 里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家 黎曼在《用三角级数来表示函数》的论文中， 为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来 表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼 积分的概念及其性质。
利用上面解出的通式，可以获得解得表达式：
ˆ sin(2 t ) 2 ix ˆ ( ) u ( x, t ) f ( )cos(2 t ) g e d 2

第四章 在偏微分方程中的应用
实例，1-维波动方程柯西问题 利用 1 2 i t 2 i t cos(2 t ) (e e ) 2
sin(2 t ) 2 1 2 i t 2 i t (e e ) 4 i
化简，得：
1 1 x t u ( x, t ) ( f ( x t ) f ( x t )) g ( y)dy 2 2 x t
即为D’Alembert公式。
第四章 在偏微分方程中的应用
Rd
的Fourier变换，得到关于 t 的一个常微分 方程，易得通解为：
ˆ( , t ) A( )cos(2 t) B( )sin(2 t) u
B( ) 是由初始条件决定的关于 的 其中 A( ) ， 函数。
第四章 在偏微分方程中的应用
求解波动方程柯西问题的通解
再对初始条件进行Fourier变换，得到：
题目：傅里叶分析及其应用
答辩人：黄昶昊 班级：08110801 学号：0811080116
指导教师：刘芳
目 次
第一章 绪论
第二章 傅里叶分析的产生与发展 第三章 傅里叶变换 第四章 在偏微分方程中的应用 结论
第一章 绪论
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学 发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的 论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人 的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家 Fourier迈出的，他在著作《热的解析理论》中，系 统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。 此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以及Jordan等都曾从事于这一领域的研究， 不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展 了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的 应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种 振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。
非线性偏微分方程简述 所谓的非线性偏微分方程，是指在偏微分方程 中含有未知函数和（或）未知函数导数的高次项， 而不能写成如下线性形式（以两个自变量的二阶 线性微分方程为例）
A( x, y)uxx 2B( x, y)uxy C( x, y)u yy D( x, y)ux E( x, y)u y F ( x, y)u f ( x, y)
第三章 傅里叶变换
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加 任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶 变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线 性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分 解为组成该函数的连续频率谱。
离散傅里叶变换 离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将 T 以离散时间 nT（其中 n Z ，为采样间隔）作为变量的函 数（离散时间信号）f (nT ) 变换到连续的频域，即产生 这个离散时间信号的连续频谱 F (eiw ) ，值得注意的是这 一频谱是周期的。
2u 2 c u f ( x, t ) 2 t
第四章 在偏微分方程中的应用
求解波动方程柯西问题的通解
首先限制所涉及的函数都来自一个特定的空间
d
S ( Rd )
d S ( R ) f C ( R ) : sup x ( ) f ( x) , , x xRd
第三章 傅里叶变换
光学 仪器 数字信 号处理 图像 处理
傅Байду номын сангаас叶变换
偏微分 方程 经济学
密码学
第四章 在偏微分方程中的应用
波动方程
波动方程或称波方程（wave equation）是一种 重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波 动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。 波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 波动方程是双曲形偏微分方程的最 典型代表，其最简可表达为：关于位置 和时间 的标量函数满足