傅里叶级数和应用毕业论文

傅里叶级数及其应用一、傅里叶级数的定义与性质傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它由三角函数的线性组合构成。

该级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

傅里叶级数的基本性质包括：1.任何周期函数都可以表示为无穷级数；2.傅里叶级数的系数是该函数的傅里叶系数；3.傅里叶级数在数学上具有收敛性，即级数的和收敛于原函数；4.傅里叶级数具有唯一性，即不同的周期函数不能用相同的傅里叶级数表示。

二、傅里叶级数的展开与系数傅里叶级数的展开需要使用三角函数的正交性，通过正交分解法得到级数的系数。

对于一个具有周期的函数，其傅里叶级数的展开可以表示为：f(t)=a0+Σ(an*cos(2πnft)+bn*sin(2πnft))其中，f是函数的周期，an和bn是傅里叶系数，可以通过积分计算得到。

三、傅里叶变换与逆变换傅里叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的方法，而逆变换则是将频域函数转换为时域函数的方法。

通过傅里叶变换与逆变换，我们可以更好地理解函数的性质及其在时域和频域中的表现。

四、傅里叶级数在信号处理中的应用在信号处理领域，傅里叶级数被广泛应用于频谱分析和信号调制等方面。

通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地分析信号的频率成分和特征。

此外，傅里叶级数还被用于数字信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）算法。

五、傅里叶级数在图像处理中的应用在图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波等方面。

通过傅里叶变换，我们可以将图像从空间域转换到频域，从而更好地分析图像的频率成分和特征。

例如，我们可以使用傅里叶变换进行图像压缩和去噪，以及实现图像的滤波和增强。

六、傅里叶级数在数值计算中的应用在数值计算中，傅里叶级数被广泛应用于求解偏微分方程和积分方程等方面。

通过傅里叶变换，我们可以将问题从时域或空间域转换到频域，从而简化问题的求解。

此外，傅里叶级数还被用于数值求解振动问题和热传导问题等。

毕业设计（论文）题目：基于FFT的连续信号谱分析摘要离散傅里叶变换(DFT)的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真等各个领域中都得到了广泛的应用。

各种应用一般都以卷积和相关运算的具体计算为依据，或者以DFT为连续傅里叶变换的近似为基础。

本文主要涉及用FFT对连续信号的频谱分析，概述了信号的频谱分析，介绍了谱分析的重要性，连续信号谱分析的过程，FFT算法的思想及性质；利用matlab 软件编制信号产生子程序，对典型信号进行谱分析并用仿真实现，绘制不同采样下的时域波形和频谱特性；根据谱分析的结果验证DFT的共轭对称性；了解可能出现的分析误差及其原因。

通过matlab软件，我们演示了部分基本信号的波形和变换，使我们可以直观的了解和掌握信号与系统，数字信号处理的一些基本知识。

关键词：谱分析；DFT；FFT；matlab；连续信号ABSTRACTDigital signal processing course is a basic course of the telecommunications, in which the signal spectrum analysis is very common in practical applications. The emergence of the fast algorithm FFT of DFT, makes DFT have been widely used in various fields of system analysis and simulation such as in digital communications, speech signal processing, image processing, power spectrum estimation and so on. The various applications are generally based on the specific calculation of the convolution and correlation calculation, or the approximation of continuous Fourier Transform .This paper introduce the signal spectrum analysis,and summarizes the importance of spectrum analysis ,the processes of spectral, the ideas and nature of FFT (Fast Fourier Transform); use the matlab software to develop signal generation subroutine to achieve the typical signal spectral analysis and simulation, draw time-domain waveform and spectrum characteristics under different sampling; verify the conjugate symmetry of DFT Based on the results of spectral analysis; understand errors and their causes of the possible analysis. In that experiment,we demonstrate some waveforms and transforms of the basic signals, so that we can intuitively understand and grasp the Basic knowledge of signals and systems and digital signal processing.Key words:spectrum analysis;Discrete Fourier Transform;Fast Fourier Transform; matlab;Continuous signal目录1 引言 (2)1.1 数字信号处理概述 (2)1.2 连续信号的频谱分析 (2)1.3 谱分析的研究意义 (3)2 离散傅里叶变换（DFT） (3)2.1 离散傅里叶变换的性质 (4)2.2 利用DFT计算模拟信号的傅里叶变换 (4)2.2.1 连续信号谱分析原理 (4)2.2.2 对连续非周期信号的傅里叶变换的DFT逼近 (5)2.2.3 对连续时间周期信号的傅里叶级数的DFS逼近 (7)2.2.4 利用DFT对非周期连续时间信号傅里叶变换逼近的误差分析 (8)3 快速傅里叶变换(FFT) (9)3.1 FFT的来源 (9)3.2 按时间抽选（DIT）的基-2FFT算法（库利-图基算法） (10)3.2.1 算法原理 (10)3.2.2 运算量 (16)3.2.3 按时间抽选FFT算法的特点 (17)4 数字信号处理MATLAB实现的基本知识 (19)4.1 MATLAB简介 (19)4.2 利用Matlab计算FFT的子函数 (20)4.3 利用MATLAB实现信号仿真 (21)5 总结与展望 (28)5.1 总结 (28)5.2 展望 (28)致谢 (28)参考文献 (29)1 引言1.1 数字信号处理概述数字信号处理是从20世纪60年代以来，随着信息学科和计算机学科的高速发展而迅速发展起来的一门新兴学科。

傅里叶变换摘要本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。

本文从四个角度来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离散非周期和时域离散周期。

由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频谱。

关键字：傅里叶变换、DFT 、理想抽样AbstractThis article aims to analyze the origin, classification and applicationof Fourier transform. From the perspective of four Fourier transform,Arenon-periodic continuous time domain, time domain successive cycles, discrete non-periodic time-domain and time-domain discrete cycles. Ideal sampling discrete periodic sequence by sampling a continuous time signal, DFT processing is introduced and a computer processing the signal spectrumof the signal derived.Keywords: Fourier transform, DFT, over a sample一、引言傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。

毕业论文文献综述数学与应用数学利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。

数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。

但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。

这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。

傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。

有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。

傅里叶级数，即Fourier series ，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数()f t 满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。

设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换xt l π=或ltx π=可以把f 变换成以2π为周期的t 的函数()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可积，这时函数F 的傅里叶级数展开式是：()01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， （1） 其中1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....n n a F t ntdt n b F t ntdt n ππππππ--====⎰⎰ （2） 因为x t l π=，所以()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭。

于是由（1）和（2）式分别01()~cos sin 2n n n a n x n x f t a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ （3） 与 1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l lππ--====⎰⎰ （4） 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数，（3）式是f 的傅里叶系数。

浅谈傅里叶变换及其应用小论文(1)傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、电子电路、图像处理等领域有很广泛的应用。

本文就浅谈傅里叶变换及其应用。

一、傅里叶变换的原理傅里叶变换的基本思想是将时域上的信号表示为频域上的频谱，即任意周期函数可以表示为若干余弦函数和正弦函数的和。

通俗地说，就是将一个时域上的信号拆分成若干个正弦波，然后对每个正弦波进行变换，得到这个函数在频域上的表示。

二、傅里叶变换的应用1. 信号滤波在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波。

当我们需要将一个信号中的某个频率分量去除时，就可以使用傅里叶变换，找到这个频率分量对应的正弦波，然后将其去除。

2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换也是一个重要的工具。

对于一张图像，可以将其转换为频域上的频谱，并进行滤波处理，最后再将其转换回时域上的图像。

3. 电子电路分析在电子电路分析中，傅里叶变换可以用于求解电路中的各种频率分量。

通过傅里叶变换，可以将电路中的交流信号转换为频域上的表达形式，然后方便地进行分析和设计。

三、傅里叶变换的实现方式傅里叶变换在数学上可以使用积分公式进行求解，但是在实际应用中，一般采用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行计算，这样可以提高计算速度。

四、总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，在通信、信号处理、图像处理、电子电路等领域都有广泛的应用。

在实际应用中，可以通过离散傅里叶变换或快速傅里叶变换进行计算。

对于需要进行信号处理或电路设计的人来说，掌握傅里叶变换的原理和应用是非常重要的。

关于傅里叶变换的毕业论文傅里叶变换是数学中的一种重要工具，它可以将一个函数分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

傅里叶变换具有广泛的应用领域，包括信号处理、图像处理、通信等。

本文将介绍傅里叶变换的基本原理和应用，并探讨其在图像处理中的具体应用。

首先，我们来介绍傅里叶变换的基本原理。

傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程。

具体而言，对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，e^(-jωt)表示复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换可以将函数f(t)分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，F(ω)即是每个频率分量的幅度和相位。

傅里叶变换可以用于信号处理中的频谱分析。

对于一个信号，它可以看作是由不同频率的波形叠加而成。

利用傅里叶变换，我们可以将信号分解成各个频率分量，并分析每个频率分量的贡献。

这对于了解信号的特征和处理信号具有重要意义。

傅里叶变换还可以用于图像处理中的频域滤波。

在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪、增强或者去除某些频率分量等操作。

利用傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，然后对频域图像进行操作，最后再将频域图像转换回时域，得到处理后的图像。

这种频域滤波的方法可以更好地处理一些特定问题，比直接在时域进行图像处理要有效。

本文将主要研究傅里叶变换在图像处理中的应用。

首先，我们将介绍离散傅里叶变换(DFT)的算法和实现方法。

然后，我们将探讨图像的频谱分析和频域滤波方法，并通过实验验证其效果。

最后，我们将讨论傅里叶变换在图像压缩和图像识别中的应用，并对其进行探讨和分析。

在实验部分，我们将选取一些常见的图像进行频谱分析和频域滤波。

首先，我们将通过傅里叶变换将图像转换到频域，并绘制出图像的频谱图。

然后，我们将对频域图像进行滤波操作，例如去除高频分量或者增强低频分量。

最后，我们将将处理后的频域图像转换回时域，并与原始图像进行对比和分析。

摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的分析工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。

本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的原理，以及它们在实际应用中的一些例子。

一、傅里叶级数的原理与应用傅里叶级数是将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数的和，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，f(t)表示周期函数，ω为基本频率，A_n和B_n分别为正弦和余弦函数的系数。

傅里叶级数的应用非常广泛，例如在电力系统中，我们需要分析电压和电流的波形，使用傅里叶级数可以将复杂的波形分解成一系列基本频率的波形，从而更好地分析、计算电力传输和能效。

二、傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的数学工具，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，F(ω)表示原信号在频域上的变换结果，f(t)表示原信号在时域上的函数，e^(-iωt)为指数函数。

傅里叶变换在信号处理中经常用于频谱分析和滤波器设计。

例如在音频处理中，我们常常需要对音频信号进行频率分析，使用傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，得到音频的频谱图，从而帮助我们理解音乐的频率成分和谐波等特性。

三、傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上有密切的联系。

事实上，傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊应用。

傅里叶变换将非周期函数转换为连续频谱，而傅里叶级数则是将周期函数转换为离散频谱。

两者可以通过极限的方式进行转换。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，使用傅里叶级数或傅里叶变换来分析信号。

四、傅里叶级数和傅里叶变换的实际应用举例1. 通信系统：在数字通信系统中，信号经过调制、解调等过程，需要将信号从时域转换到频域进行处理。

傅里叶变换被广泛应用于调制技术、频谱分析和信号压缩等方面。

2. 图像处理：傅里叶变换可以对图像进行频域分析，帮助我们理解图像的特征和纹理。

在图像压缩和图像增强等领域，傅里叶变换也发挥了重要作用。

浅谈傅里叶‎变换及其应‎用一．由来傅里叶变换‎（Fouri‎er变换）是一种线性‎的积分变换‎。

因其基本思‎想首先由法‎国学者约瑟‎夫·傅里叶系统‎地提出，所以以其名‎字来命名以‎示纪念。

二．概要介绍1.傅里叶变换‎能将满足一‎定条件的某‎个函数表示‎成三角函数‎（正弦和/或余弦函数‎）或者它们的‎积分的线性‎组合。

在不同的研‎究领域，傅里叶变换‎具有多种不‎同的变体形‎式，如连续傅里‎叶变换和离‎散傅里叶变‎换。

最初傅里叶‎分析是作为‎热过程的解‎析分析的工‎具被提出的‎。

——（1）2.傅里叶变换‎的逆变换容‎易求出，而且形式与‎正变换非常‎类似。

3.正弦基函数‎是微分运算‎的本征函数‎，从而使得线‎性微分方程‎的求解可以‎转化为常系‎数的代数方‎程的求解。

在线性时不‎变的物理系‎统内，频率是个不‎变的性质，从而系统对‎于复杂激励‎的响应可以‎通过组合其‎对不同频率‎正弦信号的‎响应来获取‎。

三．计算方法连续傅里叶‎变换将平方‎可积的函数‎f（t）表示成复指‎数函数的积‎分或级数形‎式。

这是将频率‎域的函数F‎(ω)表示为时间‎域的函数f‎（t）的积分形式‎。

连续傅里叶‎变换的逆变‎换 (inver‎se Fouri‎er trans‎form)为即将时间域‎的函数f（t）表示为频率‎域的函数F‎(ω)的积分。

一般可称函‎数f（t）为原函数，而称函数F‎(ω)为傅里叶变‎换的像函数‎，原函数和像‎函数构成一‎个傅里叶变‎换对（trans‎form pair）。

四．应用领域傅里叶变换‎在物理学、声学、光学、结构动力学‎、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域‎都有着广泛‎的应用。

例如在信号‎处理中，傅里叶变换‎的典型用途‎是将信号分‎解成幅值分‎量和频率分‎量。

五．简介离散傅‎里叶变换的‎应用。

DFT在诸‎多多领域中‎有着重要应‎用，下面仅是颉‎取的几个例‎子。

毕业(设计)论文题目快速傅里叶变换及其应用学生姓名辛鹏宇专业班级R计算081班所在院系理学院指导教师刘立伟职称副教授所在单位理学院教研室主任周大勇完成日期2013 年6月18日摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换。

虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。

关键字：快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用ABSTRACTFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.Key Words：Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录一、快速傅里叶变换原理及性质 (1)（一）快速傅里叶变换原理 (1)（二）快速傅里叶变换的优越性 (1)（三）快速傅里叶变换的意义 (2)二、快速傅里叶变换的算法 (4)（一）快速傅里叶变换算法 (4)三、快速傅里叶变换的应用 (6)（一）利用FFT计算连续时间信号的傅里叶变换 (6)（二）利用FFT计算离散信号的线性卷积 (9)（三）利用FFT进行离散信号压缩 (11)（四）利用FFT对离散信号进行滤波 (14)（五）利用FFT提取离散信号中的最强正弦分量 (17)谢辞 (22)参考文献 (23)一、快速傅里叶变换原理及性质数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。

傅里叶级数分析范文在傅里叶级数分析中，我们首先将一个周期为T的函数表示为以下级数形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是系数，n为正整数，ω为基频，ω=2π/T。

分析傅里叶级数的过程包括求解系数a0、an和bn的值。

根据傅里叶级数的公式，可以通过对周期函数f(t)在一个周期内的积分来计算系数的值。

具体而言，可以利用函数的正交性质，将f(t)乘以正弦或余弦函数，再在一个周期内进行积分，即可得到相应系数的值。

在傅里叶级数分析中，还需要考虑函数f(t)的奇偶性。

如果函数f(t)是偶函数，即满足f(t) = f(-t)，则所有的bn项都为零，只有an项存在；如果函数f(t)是奇函数，即满足f(t) = -f(-t)，则所有的an项都为零，只有bn项存在。

对于一般的周期函数，既包含偶函数分量又包含奇函数分量。

由于傅里叶级数是一个无限项的级数，实际计算中无法计算出所有的项。

通常情况下，只需计算前几个重要的项，即可近似表示原函数。

根据采样定理，选择足够高的采样频率，可以减小近似误差。

傅里叶级数分析的结果对于理解信号频谱特性和滤波器设计非常重要。

通过傅里叶级数，我们可以得到信号的频谱图，了解信号中各个频率分量的强度和相位。

在通信系统中，傅里叶级数分析可以帮助我们设计滤波器来去除不需要的频率分量，实现信号的解调和调制。

总之，傅里叶级数分析是一种重要的信号处理技术，通过将周期函数表示为正弦和余弦函数的无限和，可以获得信号的频谱特性，用于信号处理、图像处理和通信等领域。

傅里叶级数的应用傅里叶级数是一种数学方法，用于描述周期性函数。

它可以将任意周期函数分解成一组余弦和正弦函数的和，从而使我们能够更好地理解和分析周期性现象。

傅里叶级数的应用非常广泛，在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域都有重要的作用。

本文将介绍傅里叶级数的基本原理和其在不同领域中的应用。

一、傅里叶级数的基本原理傅里叶级数是由法国数学家傅里叶提出的，它基于一个关键的思想：任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。

具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数表示如下：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))在上式中，a0表示零频率分量，an和bn表示各个频率分量的振幅，n为正整数，ω为角频率（等于2π/T）。

傅里叶级数的关键就在于确定这些振幅以及零频率分量。

二、傅里叶级数在信号处理中的应用傅里叶级数在信号处理中起到了至关重要的作用。

信号处理是一门研究如何处理和分析信号的学科，其中很多方法都依赖于傅里叶级数。

首先，傅里叶级数可以帮助我们理解信号的频谱特性。

通过将信号表示为一系列频率分量的和，我们可以清楚地看到信号中各个频率的贡献，从而更好地理解信号的频域特性。

其次，傅里叶级数还可以用于信号的滤波。

滤波是指通过对信号进行加权或去权以达到目标处理效果的过程。

利用傅里叶级数分解信号后，我们可以选择性地去除或增强特定频率的分量，从而实现信号的滤波处理。

此外，傅里叶级数还可以应用于信号的压缩和解压缩。

在传输和存储信号时，通常需要将信号进行压缩以减小数据量。

傅里叶级数可以将信号表示为有限个频率分量的和，从而可以实现对信号的压缩编码。

在解压缩时，只需利用傅里叶级数的逆变换将频率分量恢复，就可以获得原始信号。

三、傅里叶级数在图像处理中的应用傅里叶级数在图像处理中也有广泛的应用。

图像可以看作是一个二维函数，傅里叶级数可以将图像分解为一系列二维正弦和余弦函数的和，从而提供了不同频率、不同方向的空域信息。

毕业(设计)论文题目快速傅里叶变换及其应用学生姓名辛鹏宇专业班级R计算081班所在院系理学院指导教师刘立伟职称副教授所在单位理学院教研室主任周大勇完成日期2013 年6月18日摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换。

虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。

关键字：快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用ABSTRACTFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.Key Words：Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录一、快速傅里叶变换原理及性质 (1)（一）快速傅里叶变换原理 (1)（二）快速傅里叶变换的优越性 (1)（三）快速傅里叶变换的意义 (2)二、快速傅里叶变换的算法 (4)（一）快速傅里叶变换算法 (4)三、快速傅里叶变换的应用 (6)（一）利用FFT计算连续时间信号的傅里叶变换 (6)（二）利用FFT计算离散信号的线性卷积 (9)（三）利用FFT进行离散信号压缩 (11)（四）利用FFT对离散信号进行滤波 (14)（五）利用FFT提取离散信号中的最强正弦分量 (17)谢辞 (22)参考文献 (23)一、快速傅里叶变换原理及性质数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。

傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：目录引言 (3)1 傅立叶级数的计算 (5)1.1 傅立叶级数的几何意义 (5)1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10)1.3 傅里叶级数的展开 (11)1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16)1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19)2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21)2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21)2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28)3 微分中值定理在复数域上的推广 (32)3.1 复数域上的中值定理 (32)3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．关键词：n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time. Keywords:n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n元微分学即1n 维空间以及复数域上得以使用．本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．1傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数siny a wt=或余弦函数cos=表示．但是，y a wt复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题．傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．1.1 一元函数中值定理及其几何意义从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量u和v，从u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p．这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。

傅里叶级数在微积分中的应用傅里叶级数是许多科学领域中的一个重要概念，尤其在微积分学中有着广泛的应用。

在本文中，将探讨傅里叶级数在微积分中的应用，以及它对我们理解和应用微积分的帮助。

傅里叶级数是由法国数学家傅里叶于18世纪末发明的，它是任何一个连续函数可分析的一种方法。

在图像、语音、视频和其他数字信号处理中，傅里叶级数是一种处理信号的重要方法。

而在微积分学中，傅里叶级数常常被用作分析某些周期性现象。

在微积分学中，傅里叶级数可以用来表示周期性函数，这是因为周期函数可以用一定级数的正弦余弦函数相加来表示。

对于任何一个周期为T的连续函数f(x)，我们可以把它展开成如下傅里叶级数：$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{2\pi}{T}nx) + b_n\sin(\frac{2\pi}{T}nx)$$其中，$a_0,a_n$和$b_n$是函数f(x)的系数。

这个级数即为 f(x) 的傅里叶级数。

这个式子看起来很复杂，但它相当简单。

可以看到，这个级数是由一个常数项$\frac{a_0}{2}$和一些正弦余弦函数相加得到的。

这些正弦余弦函数，称为傅里叶基函数，是由公式$$\cos(\frac{2\pi}{T}nx)$$和$$\sin(\frac{2\pi}{T}nx)$$得到的。

其中，n是一个整数。

这些基函数有一个很特殊的性质，就是它们在整个周期T内（从0到T）形成了一个完整的集合。

也就是说，如果我们把足够多的这些函数加起来，可以得到任意一个周期性函数。

那么，如何确定f(x)的系数？答案就是积分。

我们可以把f(x)拆分成各个傅里叶基函数的线性组合，然后对每个基函数进行积分。

具体地，我们计算$$a_n$$和$$b_n$$的值通过如下公式：$$ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos(\frac{2\pi}{T}nx)dx $$$$ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}nx)dx $$这个过程可能有点抽象，但是大致上就是将$f(x)$乘上傅里叶基函数，再对整个周期$f(x)$进行积分。

傅里叶变换及其应用一． 傅里叶变换傅里叶变换（Fourier 变换）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

傅里叶变换是一种线性的积分变换，在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。

正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。

在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

二． 计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f （t ）的积分形式。

可以把傅里叶变换也成另外一种形式：t j e t f F ωπω),(21)(= 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

)(2,21)(2121Ω-Ω==⎰Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j下面从公式解释下傅里叶变换的意义因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t j e ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。

可以理解为f(t)在t j eω上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t j eω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为下面分析傅里叶逆变换的意义对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。

论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究作者：吴晓龙院系：物理系专业：物理学（师范）学号： 1070600080指导教师：郭怀明日期： 2011年5月9日中文提要傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。

傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。

本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。

本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。

关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化AbstractFourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization目录一、引言 (1)二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用 (1)2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 (1)2.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现 (2)2.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用 (3)三、DFT、FFT的可视化及应用 (4)3.1 DFT、FFT的数学依据 (4)3.2 FFT的Matlab可视化实现 (5)3.3 FFT的实际应用 (6)四、广义傅里叶级数的可视化及应用 (8)4.1 广义傅里叶级数的数学依据 (8)4.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现 (9)4.3 广义傅里叶级数的实际应用 (9)五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义 (11)六、总结及结论 (12)附录 (13)参考文献 (17)致谢 (18)英文原文 (19)中文译文 (30)一、引言傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫·傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT ）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。