下载文档原格式
求幂级数的收敛域和函数幂级数是一类特殊的无穷级数，形如：$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$其中$a_n$为一定的常数，$x$为变量。
幂级数在数学中有着广泛的应用，如解微分方程、计算函数值等等。
我们通常研究一个幂级数的收敛性和收敛域。
收敛性指的是该级数在某些特定变量下是否收敛，收敛域则是指使得该级数收敛的变量范围。
1. 收敛域对于一个幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，令$r$为级数的收敛半径。
则幂级数可以满足以下任意一种情况：（1）当$|x| < r$时，幂级数绝对收敛；经过证明可知，收敛半径$r$满足以下公式：$$r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$$其中，如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = \infty$，则$r = \infty$；如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = 0$，则$r = 0$；如果$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$存在，则$r$等于该极限值。
当$x$在幂级数的收敛域内时，和函数$f(x)$就是幂级数的和。
在收敛域外，则是幂级数的延拓函数。
通常情况下，求幂级数的和函数需要多次对幂级数求导和积分。
而对于三种特殊情况，我们可以通过基本初等函数来求解。
根据幂级数的定义，当$n=0$时，幂级数的和为$1$，即$e^0=1$。
然后，对该幂级数求导、积分，可以证明它在整个实数轴上收敛。
这两个级数是很常见的三角函数展开式。
可以用欧拉公式和幂级数展开式证明它们的收敛性和收敛域。
其中$\alpha$为实数，$\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$。
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
![[全]高等数学之幂级数收敛域和和函数问题方法总结[下载全]](https://uimg.taocdn.com/71509259f8c75fbfc67db201.webp)
高等数学之幂级数收敛域和和函数问题方法总结
幂级数是考研数学的重点考察的知识点，数学一基本上每年都考级数这一章的知识。
幂级数这一章大题的考点主要有如下两个：
（1）幂级数的收敛域及和函数；
对级数这一章，数一的同学要将幂级数的和函数作为重点知识来复习，考研中幂级数的和函数的考题最多。
幂级数的和函数又分为先导后积、先积后导。
两种方法大家都要掌握。
幂级数收敛半径：
幂级数收敛半径计算方法
（2）幂级数的展开式；
幂级数的分析性质：
常用函数的麦克劳林公式：
题型一：求幂级数的收敛域
方法总结：先求收敛半径，然后再判定在端点出幂级数的敛散性，便可求得收敛域。
例1：求下列幂级数的收敛域。
解：
题型二：求幂函数的和函数
常用方法如下：
（1）常见的麦克劳林公式；
（2）幂级数的逐项可导性和逐项可积性；
（3）求幂函数满足的微分方程，求解微分方程；常用的技巧如下：
例2：求下列幂级数的和函数
分析：充分利用常用的麦克劳林公式进行求解解：。
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义[1]u x n 是定义在数集E上的一个函数列，则称1、设()(1,2,3)n12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
幂级数的收敛域
指数和对数函数在数学中十分重要，它们都可以表示为幂级数展开形式。
由指数函数
及其对数函数的幂级数的性质可以得出收敛域的概念——收敛域指数和对数函数存在的
一组值。
收敛域的基本定义
收敛域是一组值，它们满足两个条件：（1）它们让指数函数或者对数函数的值与其
自身的值接近；（2）它们满足给定幂级数的公式。
例如，当给定函数y=2^x时，它的收
敛域为[0,∞]，因为此处指数函数2^x的值是总是近似于函数自身，即满足给定的幂级数
的条件。
收敛域不但能够用数值描述，也可以用符号表示。
对于指数函数y=ax，其收敛域可以用数式[0, ∞]表示；而对于对数函数y=logax，其收敛域可以用[0, a]表示。
收敛域的计算方法可以分为数值计算法和数学推导法两种。
数值计算法是根据不断提
高以及减少取值范围来缩小解域，以此计算出收敛域的范围。
另一种方法，则是利用指数
函数对应的基数或幂次，从而获得收敛域的函数表示。
收敛域的应用可以分为数学、物理和化学等方面，数学上的应用包括用于计算指数函
数或者对数函数的近似值，从而计算出函数的结果值逼近真实值。
在物理学上，收敛域也
有着重要的作用，它可以用是计算物质的累积而最终变成稳定状态，而收敛域也可用到预
测量子计算结果，从而预测物质体系的最终状态。
在化学等领域，收敛域也有着许多应用，可以用来解答某种特定物质的反应特征等问题。
收敛域是指数和对数函数的重要概念，在计算指数或者对数函数的近似值时，收敛域
十分有用，也在物理、化学等诸多领域有广泛应用。
幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。
其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。
在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。
一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。
一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。
在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。
二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。
收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。
三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。
幂级数的收敛性归纳幂级数是数学中一类重要的级数，其收敛性归纳讨论了幂级数收敛的条件以及推导收敛域的方法。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如 $\sum a_n x^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是系数，$x$ 是变量。
2. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于其收敛域，即幂级数在哪些点处收敛。
2.1 收敛域的定义收敛域是指幂级数收敛的一组点构成的范围。
幂级数在收敛域内收敛，在收敛域外发散。
2.2 收敛域的边界收敛域的边界由收敛性定理决定，常见的收敛性定理有比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等。
3. 幂级数的收敛性归纳幂级数的收敛性归纳是一种推导其收敛域的常用方法。
其基本思路是分析收敛域的边界点是否属于收敛域。
3.1 归纳收敛域的步骤- 步骤1：使用比值判别法或根值判别法等判断幂级数的绝对值收敛域；- 步骤2：根据比值判别法或根值判别法的结果，分析边界点是否收敛；- 步骤3：如果边界点收敛，则将边界点添加到绝对值收敛域得到完整的收敛域。
3.2 示例以幂级数 $\sum a_n x^n$ 为例，假设使用比值判别法得出其收敛域为 $|x|<1$。
接下来我们分析边界点 $x=1$ 和 $x=-1$ 的收敛性。
对于 $x=1$，幂级数变为 $\sum a_n$，如果 $\sum a_n$ 收敛，则 $x=1$ 是收敛点。
对于 $x=-1$，幂级数变为 $\sum (-1)^n a_n$，如果 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则 $x=-1$ 是收敛点。
假设 $\sum a_n$ 收敛，而 $\sum (-1)^n a_n$ 发散，那么收敛域为 $|x|\leqslant 1$。
如果同时 $\sum a_n$ 和 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则收敛域为 $|x|<1$。
4. 总结幂级数的收敛性归纳是一种确定幂级数收敛域的有用方法。
通过分析边界点的收敛性，结合比值判别法、根值判别法等，可以得到幂级数的完整收敛域。
§9.3. 幂 级 数一、 幂级数的收敛域1．幂级数的定义：形如+-++-+-+=-∑∞=nn n n n a y a a y a a y a a a y a )()()()(22100 的函数级数称为幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 为常数，称为幂级数的系数. 令x a y =-，则幂级数化简为：)1(22100+++++=∑∞=nnn n n x a x a x a a x a2．定理1.(阿贝尔第一定理)1)若幂级数(1)在00≠x 收敛,则幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2) 若幂级数(1)在1x 发散,则幂级数(1)在1:x x x >∀都发散.证明: 1)若级数∑∞=00n nn x a 收敛,由收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a ,因此数列{}nn x a 0有界,即,,2,1,0,0 =∀>∃n M 有M xa nn≤00:x x x <∀,即10<x x,有 nn nnn nn x xM x x x a x a 000≤= 由于几何级数nn x xM∑∞=收敛,所以幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2)用反证法: 假设1:x >∃∀ξξ,幂级数(1)在ξ收敛,由上述1)的结论,可知幂级数(1)在1x 绝对收敛, 这与已知条件矛盾,所以级数(1)在1:x x x >∀都发散.成:发散收敛2)令 {}的收敛点是幂级数)1(sup x x r =,易证明幂级数(1)在 r :<∀x x 绝对收敛；在r :>∀x x r 称为幂级数（1）的收敛半径.3）当幂级数(1)仅在原点0收敛,则收敛半径0r =；幂级数(1)D 在R 收敛,则收敛半径+∞=r ；其它情况下，+∞<<r 0.4）若幂级数(1)的收敛半径是r ，则在)r -r,(幂级数(1)都绝对收敛，在区间端点r 或r -处的收敛性则要另外判断.3．定理2 有幂级数（1），即∑∞=0n nn n x a ，若l a a nn n =+∞→1lim（ l a nn n =∞→lim ），则幂级数（1）的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞==∞++∞<<=.,0,0,,0,1l l l l r 证明：讨论正项级数∑∞=0n n n x a .根据§9.1达朗贝尔判别法（或柯西判别法），有 x l x a a u u nn n n n n ⋅=⋅=+∞→+∞→11lim lim . 1）,0+∞<<l 当1<⋅x l 或l x 1<，幂级数(1)绝对收敛；当1>⋅x l 或l x 1>，幂级数(1)发散.于是，收敛半径lr 1=.2）R x l ∈∀=,0，有10<=⋅x l ，即,R x ∈∀幂级数(1)绝对收敛.于是，收敛半径+∞=r .3）R x l ∈∀+∞=,，且0≠x ，有+∞=⋅x l ，即0,≠∈∀x R x ，幂级数(1)发散.于是，收敛半径0=r .例1.求幂级数nn n x n∑∞=12的收敛半径，并讨论收敛域.解：已知 .12,211+==++n a na n n nn .212lim 212lim 1=+=+=∞→+∞→n nn n l n n n n 于是，收敛半径21=r . 幂级数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-21,21端点的敛散性须分别讨论：21=x ，级数∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛111212n nn n nn 发散.21-=x ，级数()∑∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-111212n nnn nn n 收敛.于是，幂级数的收敛域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21.例2. 求幂级数nn x n ∑∞=0!1的收敛半径.解： 已知 .)!1(1,!11+==+n a n a n n.011lim !1)!1(1lim =+=+=∞→∞→n n n l n n 于是，收敛半径+∞=r ，即收敛域是R.例3．求幂级数n n n x n ∑∞=1的收敛半径.解： 已知 .)1(,11+++==n n nn n a n a.11)1(lim )1(lim 1+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=∞→+∞→nn n n n n n n n l于是，收敛半径0=r ，即仅在0收敛，收敛域{0}.例4. 求幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径，并讨论收敛域.解： 设.2y x =- .1)2(11212n n n n y nx n ∑∑∞=∞==- 已知 212)1(1,1+==+n a n a n n .,11lim 1)1(1lim222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→n n n n l n n 即幂级数n n y n ∑∞=121的收敛半径是1.1±=y ，幂级数n n y n ∑∞=121nn y n∑∞=121的收敛域是[]1,1-.于是，幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径是1，收敛域是[]3,1.1 二、幂级数和函数的分析性质1.定理 3.（阿贝尔第二定理） 若幂级数（1）的收敛半径0>r ，则幂级数（1）在任意闭区间[]()r r a a ,,-⊂-都一致收敛.证明： []a a x ,-∈∀，即)0(r a a x <<≤，有 n n n n a a x a ≤.已知级数n n na a∑∞=0收敛.根据 M 判别法，幂级数（1）在闭区间[]a a ,-一致收敛.注：称幂级数在收敛区间内的任意闭区间都一致收敛的性质为内闭一致收敛. 2.定理4. 若幂级数nn nxa∑∞=0与11)(-∞=∞=∑∑='n n n nn n x na x a 的收敛半径分别是正数1r 与2r，则21r r =.证法： 首先证明21r r ≤，即往证，若0x 是nn n x a ∑∞=0的收敛点，则0x 也是)(0'∑∞=nn n x a 21r r ≥.于是21r r =. 证明：证明21r r ≤.1101100:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=01n n n x a 收敛.,+N ∈∀n 有 n n nn n x a x x x n x na 110010=- .已知极限0lim10=∞→nn x x x n ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧nx x x n 10有界，即+N ∈∀>∃n M ,0，有M x x x n n≤10.于是， n n n n x a M x na 110≤- .根据比较判别法，级数101-∞=∑n n n x na绝对收敛，即21r r ≤.同法证明，21r r ≥.2101200:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=-111n n n xna收敛.,+N ∈∀n 有 111100--=n n n nn x na x x n x x a .已知极限0lim110=-∞→n n x x n x ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1100n x x n x 有界，即 +N ∈∀>∃n M ,0，有M x x n x n ≤-110.于是， 110-≤n n nn x na M x a .根据比较判别法，级数nn nx a00∑∞=绝对收敛，即21r r ≥.综上所证，21r r =.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0与10001+∞=∞=∑∑⎰+=n n n nn xn x n a dt t a 的收敛半径1r 与2r ，则21r r =.证明： 因为n n n n n n x a x n a ∑∑∞=∞=+='⎪⎭⎫⎝⎛+0011，根据定理4，所以21r r =. 注： 虽然幂级数nn n x a ∑∞=0，)(0'∑∞=nn n x a ，dt t a nn xn ∑⎰∞=0的收敛半径相等，但是它的收敛域可能不相同.例如，幂级数∑∞=12n nn x ， 收敛半径1=r ，收敛域是[]1,1-. ∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112n n n n n x n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1[-. 22121-∞=∞=∑∑-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n n n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1(-. 3.定理 5. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -连续.证明： ,0),,(>∃-∈∀ηr r x 使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理6，和函数)(x S 在x 连续，从而，和函数)(x S 在区间),(r r -连续.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛半径0>r ，且在)(r r -收敛，则和函数)(x S 在)(r r -左连续（右连续），且))(lim (lim 000n n n n n n rx n n n n n nrxr a x a r a x a-==∑∑∑∑∞=∞=-→∞=∞=→+-.证明： 由§9.2例8，幂级数n n n x a ∑∞=0在区间[]r ,0一致收敛. 根据§9.2定理6，和函数)(x S 在r 左连续，且())(lim lim 0r S r a x a x a nn n rx nn n nn n rx ===∑∑∑∞=→∞=∞=→--. 同法可证在r -的情况.4.定理 6. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则),,(r r x -∈∀它的和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .证明： 0),,(>∃-∈∀ηr r x ，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理7，和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .根据定理4，此幂级数的收敛半径也是r. 5.定理7. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn nn xna xa x S .证明： 根据定理4，幂级数11-∞=∑n n n x na 的收敛半径也是r. ),(r r x -∈∀，0>∃η，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理8，和函数)(x S 在x 可导，从而和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有 ()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn n nxna x a x S .推论 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -存在任意阶导数，且+N ∈∀-∈∀k r r x ),,(，有()k n kn n n k n n k x a k n n n xa x S-∞=∞=∑∑+--==)1()1()(0)()( ，此幂级数的收敛半径也是r.小结：由定理1～7看到，幂级数nn n x a ∑∞=0（收敛半径0>r ）具有以下性质： 1. 收敛域是以原点为心的区间（可能是开区间、闭区间、半开区间，特殊情况可能是R 或退化为原点）.2. 在区间),(r r -内闭一致收敛.3. 和函数在区间),(r r -连续.4. 和函数在任意闭区间[]),(,r r b a -⊂可积，且可逐项积分，特别是，),,(r r x -∈∀由0到x 可逐项积分，逐项积分得到的幂级数的收敛半径也是r.5. 和函数在区间),(r r -存在任意阶导函数，且可逐项微分.逐项微分得到的幂级数的收敛半径也是r.例5. 求下列幂级数的和函数：1）n x nn n ∑∞=--11)1(； 2） ∑∞=+0)1(n n x n .解：1）不难计算它的收敛半径是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有 +-+-=-=∑∞=-432)1()(43211x x x x n x x f n n n . 根据定理7，逐项微分，有xx x x xx f n n n +=+-+-=-='-∞=-∑111)1()(32111 . )1,1(-∈∀x ，对上式等号两端从0到x 积分，有⎰⎰+='xxtdtdt t f 001)( 或 )1ln()0()(x f x f +=-. 已知0)0(=f .于是，)1ln()(x x f +=，即)1,1(-∈∀x ，有+-+-=+432)1ln(432x x x x x . 根据定理5的推论，当1=x 时，有 +-+-=41312112ln . 2）不难计算它的收敛半径也是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=∑∞=3204321)1()(x x x x n x f n n . 根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有.132)1()(43202000xx x x x x dt t tdt dt dtt n dt t f xx xn xn x-=++++=+++=+=⎰⎰⎰∑⎰⎰∞=对上式等号两端求导数，有 2)1(1)(x x f -= ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=-∑∞=32024321)1()1(1x x x x n x n n .例6. 求幂级数n n x n∑∞=12的和函数.解： 不难计算幂级数的收敛半径是1.设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有nn x n x f ∑∞==12)(.为了逐项积分，将它改写为112)(-∞=∑=n n x n x x f . ()1lim lim )(lim 101211200===-→∞=-∞=→→∑∑n x n n n x x x n x n x x f . 将函数x x f )(在0作连续开拓⎪⎭⎫⎝⎛==1)(,0x x f x 定义. )1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有∑∑⎰∑⎰∞=-∞=-∞====11101120)(n n n nx n n xnx x nx dt t n dt t t f)4321(32 ++++=x x x x . 由例5.2，有 20)1()(x x dt t t f x-=⎰. 对上式等号两端求导数，有342)1(1)1()1(2)1()(x x x x x x x x f -+=--⋅+-=， 于是， 3)1()1()(x x x x f -+= .三、泰勒级数1. 定理8. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数，即),(r a r a x +-∈∀，有n n n a x a x f )()(0-=∑∞=， （2）则函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 ,2,1,0,!)()(==k k a f a k k . 证明：根据定理7的推论，函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 k n kn n k a x a k n n n x f-∞=-+--=∑)()1()1()()(+-++=+)(2)1(!1a x a k k a k k k .令k k a k a f a x !)(,)(==，即 !)()(k a f a k k =.推论 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数（2），则其幂级数展开式是唯一的，即),(r a r a x +-∈∀，有nn na x ax f )()(0-=∑∞= 与 n n n a x b x f )()(0-=∑∞= ，则 ,2,1,0,==n b a n n .证明： 根据定理8，!)(,!)()()(n a f b n a f a n n n n ==，有 ,2,1,0,==n b a n n .注：定理8指出，（1）若函数)(x f 在a 的邻域能展成幂级数，则)(x f 在此邻域必存在任意阶导数，并且幂级数的系数k a 由函数)(x f 的k 阶导数在a 的值唯一确定，即!)()(k a f a k k = .（2）如果函数)(x g 在a 存在任意阶导数，我们总能形式地写出相应的幂级数： +-++-''+-'+n n a x n a g a x a g a x a g a g )(!)()(!2)()(!1)()()(2， 称为函数)(x g 在a 的泰勒级数，表为 nn n a x n a g x g )(!)(~)(0)(-∑∞=， （3）其中符号“～”表示（3）式右端的泰勒级数是函数)(x g 生成的.特别是，函数)(x g 在0的泰勒级数，即nn n x n g x g ∑∞=0)(!)0(~)(称为函数)(x g 的麦克劳林级数.注意：泰勒级数（3）在区间),(r a r a +-收敛，但它的和函数并不是函数)(x g .因此（3）式用符号“～”，而不用等号“=”.如函数)(x g 的麦克劳林级数是：+++''+'+nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0(~)()(2 . （4）但0)(,0≠≠∀x g x 时， +++''+'+≠nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0()()(2. 由此可见，幂级数（3）在区间),(r a r a +-不一定收敛于函数)(x g .2.定理9. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且),(r a r a x +-∈∀，泰勒公式的余项)(0)(∞→→n x R n ，则),(r a r a x +-∈∀，有∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f . 证明：由§6.3泰勒公式，),(r a r a x +-∈∀，有)(0)()(!)()(0)(∞→→=--∑∞=n x R a x k a f x f n k k k ，即 ∑∞=-=)()(!)()(n n n a x n a f x f . 3.定理10. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且,0>∃M ),(r a r a x +-∈∀， ,2,1,0=∀n，有M x f n ≤)()(，则 ∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f ， ),(r a r a x +-∈. （5） 证明：由§6.3，带有拉格朗日余项的泰勒公式，有[])10()(!)()()(1<<-+-=-θθa x a f n a x x R n n n[]M n ra x a f n a x n n n!)(!)(≤-+-=θ.已知0!lim =∞→n r nn ，有0)(lim 1=-∞→x R n n .根据定理9，（5）式成立. 四、初等函数的幂级数展开几个常用的初等函数的幂级数展开式：1. R x n x x x x x f n n∈++-++-==+,)!12()1(!3sin )(123R x n xx x x f n n ∈+-++-==,)!2()1(!21cos )(22由§5.5例3，有 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+==2sin sin )()()(πn x x x fn n .,2,1,0,=∀∈∀n R x ，有12sin )()(≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x x f n . 根据定理10，函数x sin 0=a ，有,1)0(,0)0(,1)0(,0)0(-='''=''='=f f f f .于是，R x n x x x x n n∈++-++-=+,)!12()1(!3sin 123用同样方法，可把函数x cos 在R 展成幂级数R x n x x x nn ∈+-++-=,)!2()1(!21cos 22 .2.R x n x x x e x f nx∈+++++==,!!2!11)(2已知 ,2,1,0=∀n，有()x n x n e e x f ==)()()(.当0=a 时，有1)0(0)(==e f n .,2,1,0),,(,0=∀-∈>∀n r r x r ，有 r x n e e x f≤=)()(.根据定理10，函数x e 在),(r r -可展成幂级数.因为r 是任意的，所以函数x e 在R 可展成幂级数，即R x n x x x e nx∈+++++=,!!2!112 .特别是，当1=x 时，有 +++++=!1!21!111n e . 3. 1,)1(32)1ln()(12<+-+-+-=+=-x nxx x x x x f nn已知+-+-=+32111x x x x. 不难计算，这个幂级数的收敛半径是1.根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰dt t dt t tdt dt tdt x x x x x03020001， 即 1,)1(32)1ln(12<+-+-+-=+-x nx x x x x n n .当1=x 时，有 +-++-+-=-nn 1)1(41312112ln 1. 4.()()++--++-++=+=n x n n x x x x f !11!2)1(!11)1()(2ααααααα（α是常数）,,)1)(1()(,)1()(21 --+-=''+='αααααx x f x x f ()()(),111)()(nn x n x f-++--=αααα .当0=a 时，有 () ,1)0(,)0(,1)0(-=''='=αααf f f ，()() ,11)0()(+--=n f n ααα .从而，函数()αx +1的麦克劳林级数是 ()()++--++-++n x n n x x !11!2)1(!112αααααα. （6）当+N ∈=n α时，已知,n k >∀有0)()(≡x f k .这是，函数n x )1(+的麦克劳林级数就是牛顿二项式公式，即n n x n n x n n x n x !!!2)1(!11)1(2++-++=+ n n n n n n x C x C x C C ++++=2210.当+N ∈≠n α时，有极限 11lim lim1=+-=∞→+∞→n na a n nn n α.即幂级数（6）的收敛半径是1.下面证明麦克劳林级数（6）在区间)1,1(-收敛于函数()αx +1()αx +1的麦克劳林公式的柯西余项（见§6.3定理2）是()()()()1111!1)(--++---=n n n nx n n x x R αθαααθ()()()11111!1-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=αθθθαααx x xn n nn ， （7） 其中10<<θ.不难证明，（7）式中的因式nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11与()11-+αθx 有界.事实上，1->∀x ，有x θθ+<-<110或1110<+-<xθθ，从而+N ∈∀-∈∀n x ),1,1(，有1110<⎪⎭⎫⎝⎛+-<nx θθ.因为10:<≤∀x x ，有x x +<+≤111θ， 01:≤<-∀x x ，有111<+≤+x x θ， 所以)1,1(-∈∀x ，有()(){}111,1max 1--+≤+ααθx x （与n 无关）.又已知，)1,1(-∈∀x ，有极限 ()()0!1lim1=--+∞→n n x n n ααα .于是，由（7）式，)1,1(-∈∀x ，有 0)(lim =∞→x R n n .根据定理9，函数()αx +1在区间()1,1-可展成幂级数（6），即()()++--++-++=+n x n n x x x !11!2)1(!11)1(2ααααααα，称为二项式展开公式.二项式展开公式的几个特殊情况（1<x ）：1-=α，是+-+-=+32111x x x x. k -=α，是 +++-++-=+!3)2)(1(!2)1(!11)1(1k k k k k x k x k.21=α，是 +⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅-+=+4328642164214212111x x x x x . 5. .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin )(123<++-++⋅+==+x x n n n x x x x f n.1,12)1(3arctan )(123<++-++-==+x n x x x x x f n n已知 ()2122)1(11arcsin --=-='x xx .由二项式展开公式，有.1,!)!2(!)!12(21111222<+-+++=-x x n n x xn)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+++=-⎰⎰⎰⎰dt t n n dt t dt tdt x nx xx020202!)!2(!)!12(211， 即 .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin 123<++-++⋅+=+x x n n n x x x n用同样方法，可把函数x arctan 在)1,1(-展成幂级数..1,12)1(3arctan 123<++-++-=+x n x x x x n n五、幂级数的应用1. 数π的近似计算2. 数e 的近似计算3. 对数的近似计算六、指数函数与三角函数的幂级数定义1. 指数函数的定义定义 设幂级数∑∞=0!n nn x 的和函数是)(x E ，即,!!2!11)(2 +++++=n x x x x E n称为指数函数（就是以e 为底的指数函数）. 指数函数)(x E 的性质和运算公式：1）指数函数)(x E 的定义域是R. 2）指数函数)(x E 在定义域R 连续. 3）.1)0(=E4）R y x ∈∀,，有)()()(y x E y E x E +=⋅. 5）R x ∈∀，有 1)()(=-⋅x E x E .6）R x ∈∀，有0)(≠x E ，且[]1)()(-=-x E x E .7）)()(x E x E ='. 2. 三角函数的分析定义定义 设幂级数)!2()1(20n x n n n∑∞=-与)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n的和函数分别是)(x C 与)(x S ，即=+-+-= !6!44!21)(642x x x x C )!2()1(20n x nn n∑∞=- 与 +-+-=!7!5!3)(753xx x x x S =)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n，称)(x C 是余弦函数，)(x S 是正弦函数.余弦函数与正弦函数的性质和运算公式：1）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 的定义域都是R. 2）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 在定义域R 都连续. 3）.0)0(.1)0(==S C 4）R y x ∈∀,，有).()()()()(),()()()()(y S x C y C x S y x S y S x S y C x C y x C ⋅+⋅=+⋅-⋅=+5）余弦函数)(x C 在R 上是偶函数，正弦函数)(x S 在R 上是奇函数. 6）[][].1)()(22=+x S x C7）1)(lim0=→x x S x 与 .21)(1lim 20=-→xx C x 8）[])()(x S x C -=' 与 []).()(x C x S ='9）存在数220(<<ππ），使 02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πC 与.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛πS余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 都是以π2为周期的周期函数.。
如何使用幂级数求和函数求解问题幂级数求和函数是数学学科中的一个重要分支，可以用来求解许多复杂问题。
以下将介绍如何使用幂级数求和函数求解问题。
首先，让我们介绍什么是幂级数：幂级数是一种无穷级数，其中每一项都是一个自变量的幂次函数。
幂级数的形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... ，其中a0,a1,a2,a3,...为常数。
现在，我们来介绍如何使用幂级数求和函数求解问题。
假设我们要求解一个函数在某个点x0处的值，但是这个函数的具体形式不可知。
我们可以使用幂级数将这个函数近似地表达出来，然后再计算x0处的值。
给定一个函数f(x)，我们可以将它展开成一个幂级数f(x) = a0+ a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... 。
然后，我们可以使用幂级数求和函数将幂级数求和，并计算出f(x0)的近似值。
幂级数求和函数的形式如下：S(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，x是自变量，而S(x)则是幂级数的和。
使用幂级数求和函数求解问题的步骤如下：1.确定自变量x，以及该函数在x点处的近似值。
2.将该函数展开成幂级数的形式。
3.使用幂级数求和函数将幂级数求和，得到该函数在x点处的近似值。
4.汇总计算结果，得出最终答案。
使用幂级数求和函数求解问题有很多优点。
首先，幂级数是一种非常灵活的数学工具，可以用来近似表达各种函数。
其次，幂级数求和函数具有较高的精度。
最后，幂级数求和函数可以用来求解多种不同类型的问题，如微积分、物理学和工程学中的问题等。
总结起来，幂级数求和函数是数学学科中的一个重要工具，可以用来求解各种复杂问题。
使用幂级数求和函数求解问题的关键在于将该函数展开成幂级数的形式，并使用幂级数求和函数将幂级数求和。
这种方法不仅具有较高的精度，而且可以应用于多种不同类型的问题。
幂级数收敛域的求法一、幂级数的定义及基本性质幂级数是指形如 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n 的无限级数，其中 a n 和 x 0 是常数，x 是变量。
对于幂级数，我们关注的一个重要问题是它的收敛域的求法。
收敛域指的是使得幂级数收敛的变量的取值范围。
二、常数项判别法对于幂级数 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n ，我们首先考虑它的常数项 a 0。
常数项判别法给出了判定收敛性的一些基本条件。
1. a 0=0如果 a 0=0，那么幂级数化为 ∑a n ∞n=1(x −x 0)n 。
在这种情况下，常数项不直接影响收敛性的判断。
2. a 0≠0如果 a 0≠0，那么常数项 a 0 就会直接影响收敛性的判断。
•当 x =x 0 时，幂级数收敛。
• 当 x ≠x 0 时，幂级数的收敛性需要进一步的分析。
三、收敛半径的求法对于 x ≠x 0 的情况，我们需要求出幂级数的收敛半径，即满足幂级数绝对收敛的最大范围。
1. 关于收敛半径的Cauchy-Hadamard 定理对于幂级数 ∑a n ∞n=0(x −x 0)n ，假设它的收敛半径为 R ，则有以下结论：• 如果 lim n→∞√|a n |n =L ，那么该幂级数的收敛半径 R =1L 。
2. 求解收敛半径的步骤按照Cauchy-Hadamard 定理，我们可以求解收敛半径的步骤如下：1. 计算极限 lim n→∞√|a n |n 。
2. 根据极限的值求得收敛半径 R 。
3. 例子以幂级数 ∑(x−1)n 2n ∞n=0 为例，我们来求解它的收敛半径。
1. 计算极限 lim n→∞√|12n |n =lim n→∞12=12。
2. 根据Cauchy-Hadamard 定理，收敛半径 R =112=2。
所以，幂级数 ∑(x−1)n 2n ∞n=0 的收敛域为 x ∈(1−2,1+2)，即收敛域为 (−1,3)。
四、边界点处的收敛性在求得收敛半径后，我们需要进一步分析收敛域的边界点处的收敛性。
高等数学之幂级数收敛域和和函数问题方法总结
幂级数是考研数学的重点考察的知识点，数学一基本上每年都考级数这一章的知识。
幂级数这一章大题的考点主要有如下两个：
（1）幂级数的收敛域及和函数；
对级数这一章，数一的同学要将幂级数的和函数作为重点知识来复习，考研中幂级数的和函数的考题最多。
幂级数的和函数又分为先导后积、先积后导。
两种方法大家都要掌握。
幂级数收敛半径：
幂级数收敛半径计算方法
（2）幂级数的展开式；
幂级数的分析性质：
常用函数的麦克劳林公式：
题型一：求幂级数的收敛域
方法总结：先求收敛半径，然后再判定在端点出幂级数的敛散性，便可求得收敛域。
例1：求下列幂级数的收敛域。
解：
题型二：求幂函数的和函数
常用方法如下：
（1）常见的麦克劳林公式；
（2）幂级数的逐项可导性和逐项可积性；
（3）求幂函数满足的微分方程，求解微分方程；常用的技巧如下：
例2：求下列幂级数的和函数
分析：充分利用常用的麦克劳林公式进行求解解：。
