幂级数收敛域(绝好课件)

幂级数的收敛域幂级数是一类重要的无穷级数，它具有广泛的应用和深刻的数学理论。

在研究幂级数的性质时，我们常常关心的一个问题是它的收敛域，也就是幂级数在哪些点上收敛。

一、定义首先，让我们来回顾一下幂级数的定义。

给定一个复数序列{$c_n$}，以及一个复数$z$，我们定义幂级数为：$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$$其中，$c_n$称为幂级数的系数，$z$是一个复数变量。

在幂级数中，$z$的幂次逐渐增加，系数$c_n$则随着$n$的增加而变化。

幂级数可以理解为无穷项的多项式，而收敛域则决定了该幂级数在哪些点上收敛。

二、收敛半径幂级数的收敛域可以通过收敛半径来刻画。

收敛半径是一个非负实数$R$，满足以下性质：当复数$z$满足$|z| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z| > R$时，幂级数发散；当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。

根据幂级数的收敛半径，我们可以将收敛域划分为三种情况：上确界收敛区间、下确界收敛区间和间断点。

1. 上确界收敛区间当$|z| < R$时，幂级数绝对收敛的区间称为上确界收敛区间，记为$I_u = (-R, R)$。

在上确界收敛区间内，幂级数的每一项都绝对收敛，因此任意有限项之和也收敛。

2. 下确界收敛区间当$|z| > R$时，幂级数发散的区间称为下确界收敛区间，记为$I_l = (-\infty, -R) \cup (R, \infty)$。

在下确界收敛区间内，幂级数的每一项都发散，因此任意有限项之和也发散。

3. 间断点当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。

这些点称为幂级数的间断点。

在间断点上，幂级数的性态不能确定，需要进一步的讨论。

三、求解收敛域的方法确定幂级数的收敛域通常需要利用数学工具和技巧，下面介绍一些经典的方法。

1. 比值判别法比值判别法是判断幂级数收敛半径的一种常用方法。

设幂级数为$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$，则收敛半径$R$满足以下关系：$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$其中，如果极限存在，则取反之，然后求出绝对值。

§9.3. 幂 级 数一、 幂级数的收敛域1．幂级数的定义：形如+-++-+-+=-∑∞=nn n n n a y a a y a a y a a a y a )()()()(22100 的函数级数称为幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 为常数，称为幂级数的系数. 令x a y =-，则幂级数化简为：)1(22100+++++=∑∞=nnn n n x a x a x a a x a2．定理1.(阿贝尔第一定理)1)若幂级数(1)在00≠x 收敛,则幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2) 若幂级数(1)在1x 发散,则幂级数(1)在1:x x x >∀都发散.证明: 1)若级数∑∞=00n nn x a 收敛,由收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a ,因此数列{}nn x a 0有界,即,,2,1,0,0 =∀>∃n M 有M xa nn≤00:x x x <∀,即10<x x,有 nn nnn nn x xM x x x a x a 000≤= 由于几何级数nn x xM∑∞=收敛,所以幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2)用反证法: 假设1:x >∃∀ξξ,幂级数(1)在ξ收敛,由上述1)的结论,可知幂级数(1)在1x 绝对收敛, 这与已知条件矛盾,所以级数(1)在1:x x x >∀都发散.成:发散收敛2)令 {}的收敛点是幂级数)1(sup x x r =,易证明幂级数(1)在 r :<∀x x 绝对收敛；在r :>∀x x r 称为幂级数（1）的收敛半径.3）当幂级数(1)仅在原点0收敛,则收敛半径0r =；幂级数(1)D 在R 收敛,则收敛半径+∞=r ；其它情况下，+∞<<r 0.4）若幂级数(1)的收敛半径是r ，则在)r -r,(幂级数(1)都绝对收敛，在区间端点r 或r -处的收敛性则要另外判断.3．定理2 有幂级数（1），即∑∞=0n nn n x a ，若l a a nn n =+∞→1lim（ l a nn n =∞→lim ），则幂级数（1）的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞==∞++∞<<=.,0,0,,0,1l l l l r 证明：讨论正项级数∑∞=0n n n x a .根据§9.1达朗贝尔判别法（或柯西判别法），有 x l x a a u u nn n n n n ⋅=⋅=+∞→+∞→11lim lim . 1）,0+∞<<l 当1<⋅x l 或l x 1<，幂级数(1)绝对收敛；当1>⋅x l 或l x 1>，幂级数(1)发散.于是，收敛半径lr 1=.2）R x l ∈∀=,0，有10<=⋅x l ，即,R x ∈∀幂级数(1)绝对收敛.于是，收敛半径+∞=r .3）R x l ∈∀+∞=,，且0≠x ，有+∞=⋅x l ，即0,≠∈∀x R x ，幂级数(1)发散.于是，收敛半径0=r .例1.求幂级数nn n x n∑∞=12的收敛半径，并讨论收敛域.解：已知 .12,211+==++n a na n n nn .212lim 212lim 1=+=+=∞→+∞→n nn n l n n n n 于是，收敛半径21=r . 幂级数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-21,21端点的敛散性须分别讨论：21=x ，级数∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛111212n nn n nn 发散.21-=x ，级数()∑∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-111212n nnn nn n 收敛.于是，幂级数的收敛域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21.例2. 求幂级数nn x n ∑∞=0!1的收敛半径.解： 已知 .)!1(1,!11+==+n a n a n n.011lim !1)!1(1lim =+=+=∞→∞→n n n l n n 于是，收敛半径+∞=r ，即收敛域是R.例3．求幂级数n n n x n ∑∞=1的收敛半径.解： 已知 .)1(,11+++==n n nn n a n a.11)1(lim )1(lim 1+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=∞→+∞→nn n n n n n n n l于是，收敛半径0=r ，即仅在0收敛，收敛域{0}.例4. 求幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径，并讨论收敛域.解： 设.2y x =- .1)2(11212n n n n y nx n ∑∑∞=∞==- 已知 212)1(1,1+==+n a n a n n .,11lim 1)1(1lim222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→n n n n l n n 即幂级数n n y n ∑∞=121的收敛半径是1.1±=y ，幂级数n n y n ∑∞=121nn y n∑∞=121的收敛域是[]1,1-.于是，幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径是1，收敛域是[]3,1.1 二、幂级数和函数的分析性质1.定理 3.（阿贝尔第二定理） 若幂级数（1）的收敛半径0>r ，则幂级数（1）在任意闭区间[]()r r a a ,,-⊂-都一致收敛.证明： []a a x ,-∈∀，即)0(r a a x <<≤，有 n n n n a a x a ≤.已知级数n n na a∑∞=0收敛.根据 M 判别法，幂级数（1）在闭区间[]a a ,-一致收敛.注：称幂级数在收敛区间内的任意闭区间都一致收敛的性质为内闭一致收敛. 2.定理4. 若幂级数nn nxa∑∞=0与11)(-∞=∞=∑∑='n n n nn n x na x a 的收敛半径分别是正数1r 与2r，则21r r =.证法： 首先证明21r r ≤，即往证，若0x 是nn n x a ∑∞=0的收敛点，则0x 也是)(0'∑∞=nn n x a 21r r ≥.于是21r r =. 证明：证明21r r ≤.1101100:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=01n n n x a 收敛.,+N ∈∀n 有 n n nn n x a x x x n x na 110010=- .已知极限0lim10=∞→nn x x x n ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧nx x x n 10有界，即+N ∈∀>∃n M ,0，有M x x x n n≤10.于是， n n n n x a M x na 110≤- .根据比较判别法，级数101-∞=∑n n n x na绝对收敛，即21r r ≤.同法证明，21r r ≥.2101200:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=-111n n n xna收敛.,+N ∈∀n 有 111100--=n n n nn x na x x n x x a .已知极限0lim110=-∞→n n x x n x ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1100n x x n x 有界，即 +N ∈∀>∃n M ,0，有M x x n x n ≤-110.于是， 110-≤n n nn x na M x a .根据比较判别法，级数nn nx a00∑∞=绝对收敛，即21r r ≥.综上所证，21r r =.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0与10001+∞=∞=∑∑⎰+=n n n nn xn x n a dt t a 的收敛半径1r 与2r ，则21r r =.证明： 因为n n n n n n x a x n a ∑∑∞=∞=+='⎪⎭⎫⎝⎛+0011，根据定理4，所以21r r =. 注： 虽然幂级数nn n x a ∑∞=0，)(0'∑∞=nn n x a ，dt t a nn xn ∑⎰∞=0的收敛半径相等，但是它的收敛域可能不相同.例如，幂级数∑∞=12n nn x ， 收敛半径1=r ，收敛域是[]1,1-. ∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112n n n n n x n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1[-. 22121-∞=∞=∑∑-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n n n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1(-. 3.定理 5. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -连续.证明： ,0),,(>∃-∈∀ηr r x 使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理6，和函数)(x S 在x 连续，从而，和函数)(x S 在区间),(r r -连续.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛半径0>r ，且在)(r r -收敛，则和函数)(x S 在)(r r -左连续（右连续），且))(lim (lim 000n n n n n n rx n n n n n nrxr a x a r a x a-==∑∑∑∑∞=∞=-→∞=∞=→+-.证明： 由§9.2例8，幂级数n n n x a ∑∞=0在区间[]r ,0一致收敛. 根据§9.2定理6，和函数)(x S 在r 左连续，且())(lim lim 0r S r a x a x a nn n rx nn n nn n rx ===∑∑∑∞=→∞=∞=→--. 同法可证在r -的情况.4.定理 6. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则),,(r r x -∈∀它的和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .证明： 0),,(>∃-∈∀ηr r x ，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理7，和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .根据定理4，此幂级数的收敛半径也是r. 5.定理7. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn nn xna xa x S .证明： 根据定理4，幂级数11-∞=∑n n n x na 的收敛半径也是r. ),(r r x -∈∀，0>∃η，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理8，和函数)(x S 在x 可导，从而和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有 ()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn n nxna x a x S .推论 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -存在任意阶导数，且+N ∈∀-∈∀k r r x ),,(，有()k n kn n n k n n k x a k n n n xa x S-∞=∞=∑∑+--==)1()1()(0)()( ，此幂级数的收敛半径也是r.小结：由定理1～7看到，幂级数nn n x a ∑∞=0（收敛半径0>r ）具有以下性质： 1. 收敛域是以原点为心的区间（可能是开区间、闭区间、半开区间，特殊情况可能是R 或退化为原点）.2. 在区间),(r r -内闭一致收敛.3. 和函数在区间),(r r -连续.4. 和函数在任意闭区间[]),(,r r b a -⊂可积，且可逐项积分，特别是，),,(r r x -∈∀由0到x 可逐项积分，逐项积分得到的幂级数的收敛半径也是r.5. 和函数在区间),(r r -存在任意阶导函数，且可逐项微分.逐项微分得到的幂级数的收敛半径也是r.例5. 求下列幂级数的和函数：1）n x nn n ∑∞=--11)1(； 2） ∑∞=+0)1(n n x n .解：1）不难计算它的收敛半径是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有 +-+-=-=∑∞=-432)1()(43211x x x x n x x f n n n . 根据定理7，逐项微分，有xx x x xx f n n n +=+-+-=-='-∞=-∑111)1()(32111 . )1,1(-∈∀x ，对上式等号两端从0到x 积分，有⎰⎰+='xxtdtdt t f 001)( 或 )1ln()0()(x f x f +=-. 已知0)0(=f .于是，)1ln()(x x f +=，即)1,1(-∈∀x ，有+-+-=+432)1ln(432x x x x x . 根据定理5的推论，当1=x 时，有 +-+-=41312112ln . 2）不难计算它的收敛半径也是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=∑∞=3204321)1()(x x x x n x f n n . 根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有.132)1()(43202000xx x x x x dt t tdt dt dtt n dt t f xx xn xn x-=++++=+++=+=⎰⎰⎰∑⎰⎰∞=对上式等号两端求导数，有 2)1(1)(x x f -= ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=-∑∞=32024321)1()1(1x x x x n x n n .例6. 求幂级数n n x n∑∞=12的和函数.解： 不难计算幂级数的收敛半径是1.设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有nn x n x f ∑∞==12)(.为了逐项积分，将它改写为112)(-∞=∑=n n x n x x f . ()1lim lim )(lim 101211200===-→∞=-∞=→→∑∑n x n n n x x x n x n x x f . 将函数x x f )(在0作连续开拓⎪⎭⎫⎝⎛==1)(,0x x f x 定义. )1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有∑∑⎰∑⎰∞=-∞=-∞====11101120)(n n n nx n n xnx x nx dt t n dt t t f)4321(32 ++++=x x x x . 由例5.2，有 20)1()(x x dt t t f x-=⎰. 对上式等号两端求导数，有342)1(1)1()1(2)1()(x x x x x x x x f -+=--⋅+-=， 于是， 3)1()1()(x x x x f -+= .三、泰勒级数1. 定理8. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数，即),(r a r a x +-∈∀，有n n n a x a x f )()(0-=∑∞=， （2）则函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 ,2,1,0,!)()(==k k a f a k k . 证明：根据定理7的推论，函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 k n kn n k a x a k n n n x f-∞=-+--=∑)()1()1()()(+-++=+)(2)1(!1a x a k k a k k k .令k k a k a f a x !)(,)(==，即 !)()(k a f a k k =.推论 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数（2），则其幂级数展开式是唯一的，即),(r a r a x +-∈∀，有nn na x ax f )()(0-=∑∞= 与 n n n a x b x f )()(0-=∑∞= ，则 ,2,1,0,==n b a n n .证明： 根据定理8，!)(,!)()()(n a f b n a f a n n n n ==，有 ,2,1,0,==n b a n n .注：定理8指出，（1）若函数)(x f 在a 的邻域能展成幂级数，则)(x f 在此邻域必存在任意阶导数，并且幂级数的系数k a 由函数)(x f 的k 阶导数在a 的值唯一确定，即!)()(k a f a k k = .（2）如果函数)(x g 在a 存在任意阶导数，我们总能形式地写出相应的幂级数： +-++-''+-'+n n a x n a g a x a g a x a g a g )(!)()(!2)()(!1)()()(2， 称为函数)(x g 在a 的泰勒级数，表为 nn n a x n a g x g )(!)(~)(0)(-∑∞=， （3）其中符号“～”表示（3）式右端的泰勒级数是函数)(x g 生成的.特别是，函数)(x g 在0的泰勒级数，即nn n x n g x g ∑∞=0)(!)0(~)(称为函数)(x g 的麦克劳林级数.注意：泰勒级数（3）在区间),(r a r a +-收敛，但它的和函数并不是函数)(x g .因此（3）式用符号“～”，而不用等号“=”.如函数)(x g 的麦克劳林级数是：+++''+'+nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0(~)()(2 . （4）但0)(,0≠≠∀x g x 时， +++''+'+≠nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0()()(2. 由此可见，幂级数（3）在区间),(r a r a +-不一定收敛于函数)(x g .2.定理9. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且),(r a r a x +-∈∀，泰勒公式的余项)(0)(∞→→n x R n ，则),(r a r a x +-∈∀，有∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f . 证明：由§6.3泰勒公式，),(r a r a x +-∈∀，有)(0)()(!)()(0)(∞→→=--∑∞=n x R a x k a f x f n k k k ，即 ∑∞=-=)()(!)()(n n n a x n a f x f . 3.定理10. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且,0>∃M ),(r a r a x +-∈∀， ,2,1,0=∀n，有M x f n ≤)()(，则 ∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f ， ),(r a r a x +-∈. （5） 证明：由§6.3，带有拉格朗日余项的泰勒公式，有[])10()(!)()()(1<<-+-=-θθa x a f n a x x R n n n[]M n ra x a f n a x n n n!)(!)(≤-+-=θ.已知0!lim =∞→n r nn ，有0)(lim 1=-∞→x R n n .根据定理9，（5）式成立. 四、初等函数的幂级数展开几个常用的初等函数的幂级数展开式：1. R x n x x x x x f n n∈++-++-==+,)!12()1(!3sin )(123R x n xx x x f n n ∈+-++-==,)!2()1(!21cos )(22由§5.5例3，有 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+==2sin sin )()()(πn x x x fn n .,2,1,0,=∀∈∀n R x ，有12sin )()(≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x x f n . 根据定理10，函数x sin 0=a ，有,1)0(,0)0(,1)0(,0)0(-='''=''='=f f f f .于是，R x n x x x x n n∈++-++-=+,)!12()1(!3sin 123用同样方法，可把函数x cos 在R 展成幂级数R x n x x x nn ∈+-++-=,)!2()1(!21cos 22 .2.R x n x x x e x f nx∈+++++==,!!2!11)(2已知 ,2,1,0=∀n，有()x n x n e e x f ==)()()(.当0=a 时，有1)0(0)(==e f n .,2,1,0),,(,0=∀-∈>∀n r r x r ，有 r x n e e x f≤=)()(.根据定理10，函数x e 在),(r r -可展成幂级数.因为r 是任意的，所以函数x e 在R 可展成幂级数，即R x n x x x e nx∈+++++=,!!2!112 .特别是，当1=x 时，有 +++++=!1!21!111n e . 3. 1,)1(32)1ln()(12<+-+-+-=+=-x nxx x x x x f nn已知+-+-=+32111x x x x. 不难计算，这个幂级数的收敛半径是1.根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰dt t dt t tdt dt tdt x x x x x03020001， 即 1,)1(32)1ln(12<+-+-+-=+-x nx x x x x n n .当1=x 时，有 +-++-+-=-nn 1)1(41312112ln 1. 4.()()++--++-++=+=n x n n x x x x f !11!2)1(!11)1()(2ααααααα（α是常数）,,)1)(1()(,)1()(21 --+-=''+='αααααx x f x x f ()()(),111)()(nn x n x f-++--=αααα .当0=a 时，有 () ,1)0(,)0(,1)0(-=''='=αααf f f ，()() ,11)0()(+--=n f n ααα .从而，函数()αx +1的麦克劳林级数是 ()()++--++-++n x n n x x !11!2)1(!112αααααα. （6）当+N ∈=n α时，已知,n k >∀有0)()(≡x f k .这是，函数n x )1(+的麦克劳林级数就是牛顿二项式公式，即n n x n n x n n x n x !!!2)1(!11)1(2++-++=+ n n n n n n x C x C x C C ++++=2210.当+N ∈≠n α时，有极限 11lim lim1=+-=∞→+∞→n na a n nn n α.即幂级数（6）的收敛半径是1.下面证明麦克劳林级数（6）在区间)1,1(-收敛于函数()αx +1()αx +1的麦克劳林公式的柯西余项（见§6.3定理2）是()()()()1111!1)(--++---=n n n nx n n x x R αθαααθ()()()11111!1-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=αθθθαααx x xn n nn ， （7） 其中10<<θ.不难证明，（7）式中的因式nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11与()11-+αθx 有界.事实上，1->∀x ，有x θθ+<-<110或1110<+-<xθθ，从而+N ∈∀-∈∀n x ),1,1(，有1110<⎪⎭⎫⎝⎛+-<nx θθ.因为10:<≤∀x x ，有x x +<+≤111θ， 01:≤<-∀x x ，有111<+≤+x x θ， 所以)1,1(-∈∀x ，有()(){}111,1max 1--+≤+ααθx x （与n 无关）.又已知，)1,1(-∈∀x ，有极限 ()()0!1lim1=--+∞→n n x n n ααα .于是，由（7）式，)1,1(-∈∀x ，有 0)(lim =∞→x R n n .根据定理9，函数()αx +1在区间()1,1-可展成幂级数（6），即()()++--++-++=+n x n n x x x !11!2)1(!11)1(2ααααααα，称为二项式展开公式.二项式展开公式的几个特殊情况（1<x ）：1-=α，是+-+-=+32111x x x x. k -=α，是 +++-++-=+!3)2)(1(!2)1(!11)1(1k k k k k x k x k.21=α，是 +⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅-+=+4328642164214212111x x x x x . 5. .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin )(123<++-++⋅+==+x x n n n x x x x f n.1,12)1(3arctan )(123<++-++-==+x n x x x x x f n n已知 ()2122)1(11arcsin --=-='x xx .由二项式展开公式，有.1,!)!2(!)!12(21111222<+-+++=-x x n n x xn)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+++=-⎰⎰⎰⎰dt t n n dt t dt tdt x nx xx020202!)!2(!)!12(211， 即 .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin 123<++-++⋅+=+x x n n n x x x n用同样方法，可把函数x arctan 在)1,1(-展成幂级数..1,12)1(3arctan 123<++-++-=+x n x x x x n n五、幂级数的应用1. 数π的近似计算2. 数e 的近似计算3. 对数的近似计算六、指数函数与三角函数的幂级数定义1. 指数函数的定义定义 设幂级数∑∞=0!n nn x 的和函数是)(x E ，即,!!2!11)(2 +++++=n x x x x E n称为指数函数（就是以e 为底的指数函数）. 指数函数)(x E 的性质和运算公式：1）指数函数)(x E 的定义域是R. 2）指数函数)(x E 在定义域R 连续. 3）.1)0(=E4）R y x ∈∀,，有)()()(y x E y E x E +=⋅. 5）R x ∈∀，有 1)()(=-⋅x E x E .6）R x ∈∀，有0)(≠x E ，且[]1)()(-=-x E x E .7）)()(x E x E ='. 2. 三角函数的分析定义定义 设幂级数)!2()1(20n x n n n∑∞=-与)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n的和函数分别是)(x C 与)(x S ，即=+-+-= !6!44!21)(642x x x x C )!2()1(20n x nn n∑∞=- 与 +-+-=!7!5!3)(753xx x x x S =)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n，称)(x C 是余弦函数，)(x S 是正弦函数.余弦函数与正弦函数的性质和运算公式：1）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 的定义域都是R. 2）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 在定义域R 都连续. 3）.0)0(.1)0(==S C 4）R y x ∈∀,，有).()()()()(),()()()()(y S x C y C x S y x S y S x S y C x C y x C ⋅+⋅=+⋅-⋅=+5）余弦函数)(x C 在R 上是偶函数，正弦函数)(x S 在R 上是奇函数. 6）[][].1)()(22=+x S x C7）1)(lim0=→x x S x 与 .21)(1lim 20=-→xx C x 8）[])()(x S x C -=' 与 []).()(x C x S ='9）存在数220(<<ππ），使 02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πC 与.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛πS余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 都是以π2为周期的周期函数.。