材料力学第六章截面图形的几何性质_new

IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交

附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z

ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为

主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
I y
Iy
Iz
I y Iz cos2
I
2
2
z
I yz sin2
主形心轴 主形心轴
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
1
1
yc1 A1 yc2 A2 yc3 A3
n
n
yc
Sz A
Si
i 1
A
i 1
yci Ai A
Sz
S(整) z
S(孔) z
y
c
S(整) z
A( 整 )
S(孔) z
A(孔)
负面积法
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
50
A1
z
60
A2
10
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
第六章 弯曲应力
A-4 转轴公式与惯性矩
一、 转轴公式 y1 ycos zsin z1 zcos ysin
I y1z1 A( ycos zsin )(zcos ysin )dA
：始边y轴，为正
I y1z1
Iy
2
Iz
sin2
I yzcos2
I y1 I y Iz I y Iz cos2

§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2

I zc I yc

2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2

I zc I yc

2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y