当前位置：文档之家 › 材料力学截面的几何性质.

材料力学截面的几何性质.

  • 格式：ppt
  • 大小：1.35 MB
  • 文档页数：45

下载文档原格式

  / 45

合集下载

材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩

材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩

IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
返回 下一张 上一张 小结
第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
返回 下一张 上一张 小结
六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交

材料力学 截面的几何性质

材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z

ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为

材料力学 截面图形几何性质

材料力学 截面图形几何性质

（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
9
材料力学Ⅰ电子教案
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
1
材料力学Ⅰ电子教案
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xc=0
3
y y1 200
C O
10 150 yC x1
x
目录
材料力学Ⅰ电子教案
求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
y
d A 2 r2 y2 • d y
dA
dy
yC
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 y2 )d y 2 r3 3
Cr
y

材料力学截面的几何性质课件

材料力学截面的几何性质课件
材料力学截面的几何 性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。

第4章(截面的几何性质)重要知识点总结(材料力学)

第4章(截面的几何性质)重要知识点总结(材料力学)

【陆工总结材料力学考试重点】之（第4章）截面的几何性质1、静矩与形心？答：图形几何形状的中心称为形心。

对于图示的任意平面图形，任取一微元dA，设其坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的静矩：S z=∫ydAA平面图形对于y轴的静矩：S y=∫zdAA定义平面图形对于坐标轴（y，z）的惯性积：I yz=∫yzdAA根据积分的性质可知：当选取的y、z轴不一样时，则惯性积I yz也不一样。

若对于某对坐标轴y0、z0使得I y=0，则该对坐标轴y0、z0称为主轴，过0z0形心的主轴称为形心主轴（注：求主轴非常麻烦，大家只需记住以下结论）。

结论：1）圆截面的任何两条过圆心的且互相垂直的直径都是形心主轴；2）矩形截面的两条对称轴就是形心主轴；3）若截面有2跟对称轴，此两轴即为形心主轴，若截面只有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，令一形心主轴为通过形心且与该对称轴垂直的轴。

2、简单截面的惯性矩与极惯性矩？答：（1）惯性矩与极惯性矩的定义如图，任意图形的面积为A，在其上任取微元dA，坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的惯性矩为：I z=∫y2dAA平面图形对于y轴的惯性矩为：I y=∫z2dAA平面图形对坐标原点O点的极惯性矩为：I p=∫ρ2dAA式中：ρ为该微元dA到原点的距离，由图可知：y2+z2=ρ2则：I p=I y+I z。

（2）常用截面的惯性矩和极惯性矩①实心圆截面（注：直径为d，对于形心主轴（即y、z轴过圆心O））I p=πd432，又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πd464②空心圆截面（注：外径为D，内径为d，空心比α=dD，对于形心主轴）I p=πD432（1−α4），又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πD464（1−α4）③矩形截面（注：设z轴方向宽度为b，y轴方向高度为h，对于形心主轴）I y=ℎb312I z=bℎ3123、组合截面的惯性矩与平行移轴公式？答：（1）组合截面惯性矩的计算对于图所示的组合截面（从圆截面中挖掉一个正方形后剩下的阴影部分），则根据负面积法求组合截面对轴的惯性矩：Iz组=Iz圆−Iz矩（2）惯性矩的平行移轴公式I z1=I z+Aa2式中：A为平面图形的面积，a为z轴与z1轴之间的距离。

材料力学截面的几何性质课件

材料力学截面的几何性质课件

截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能

材料力学 3 截面的几何性质


大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2


a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d

材料力学第四章截面的几何性质

确定截面的剪切中心
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。

截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)

三、平行移轴公式
1、平行移轴公式
右图任意截面，zc、yc 轴为通过截面形心C的一对正交轴，z、y轴为分别与zc、yc 轴平行的轴，
两平行轴之间的距离分别为a和b。
根据定义，图形对zc、yc 轴的惯性矩和惯性积分别为
Izc yc2dA, I yc zc2dA, Izc yc yc zcdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
例题 求T形截面对其形心轴 zC 的惯性矩（单位为mm）。
解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 y 上。
取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作z轴。
A1
20140
2800mm2 ,
Iz c
I1 zc
I2 zc
7.68106
4.43106
12.11106 mm4
20 140
yc
20
1
a1 zc
y1 a2 yc z
2
100
a2A b2A
c
I zy I zc yc abA
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
y
z yc
b
zc
dA
C
yc
a y zc
O
z
2、组合截面的惯性矩、惯性积
组合截面对某轴的惯性矩、惯性积，等于各简单图形对此轴的惯性矩、惯性积的代数和。
n
Iz Iz i
i 1
n
I y I y
i1 i
n
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A

材料力学截面性质


二 零次矩 一次矩
S y = xdA
A
次
矩 极惯性矩
I p = ( x 2 + y 2 )dA
A
惯性矩
I x = y 2dA
A
惯性积
I xy = xydA
A
定义
A = dA
A
∫
∫ ∫
∫ ∫
S x = ydA
A
I y = x dA
2 A
Байду номын сангаас
∫
∫
符号 单位
轴过 形心 关于 形心 计算
恒正
m2
可正可负
m3
恒正
A A 2 2 2 极惯性矩 I p = ∫ ( x + y )dA = ∫r dA A A
惯性积 I xy = ∫ xy dA
A
常用图形的惯性矩
I xy = I x′y abA ′ +
平行移轴公式 转轴公式
+ I x = I x′ a 2 A
+ I y = I y ′ b 2 A
I xy = ∫ xy dA
A
3 7 = 3a 2 · – a + 3a 2 · –a = 15a 3 Sy 2 2 A = 2 · 3a 2 5 ∴ yc = – a 2
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
I p = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫r 2 dA
1 性矩为 Ix = — π D 4(1–α 4 ) ，极惯性矩为 64
α 为内径与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
三、平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

dS
y
zdA
A
z
① 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言 dA 的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也 就不同；
y
② 静矩的数值可正、可负、也可等于零；
z
③ 静矩的量纲是长度的三次方。
2
二、静矩与形心的关系 由力矩的等效关系得到静矩的 另一公式： 形心坐标
zC yC
zd A S
A
y
A
A
则
z
y
dA
A
I p 2dA y 2dA z 2d A
A A A
Iz I y
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。

o
z
y
惯性积
定义
z
y
dA
A
I yz yzdA
A

为图形对y、z轴的惯性积 。
z
y 惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
o
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
z
I yz yzdA 0
A
y
dA
y
dA
z
y
o
2.5 常见图形的惯性矩、惯性积
1. 均质矩形板
z1
zc
z2
dz
质量为m，长度为l的均质杆，建 立图示坐标系，则有
h2 h2
dA C
z
yc
3 bh I yc z 2dA z 2bdz A h 2 12 h2
b2
b2
很容易得到下列结果
z1
zc dy z 2
I zc y dA
2 A
b 2 b 2
3 b h 2 y hdy 12
h2 h2
dA C
yc
I z1 I z2 y 2 dA
A

b
0
3 b h 2 y hdy 3
b2
b2
圆形
z
直径为d的圆形，选取图示圆环形积分 微元，
z
y
dA
A

o
z
y
惯性半径
定义
2 I y A iy , I z A iz2
或
iy
Iy A
, iz
Iz A
iy和iz分别称为图形对于y
轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为 正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯 性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。
由于
2 y2 z2
Sz A yc
y
S y A zc

A
y dA A
Sz A
z
dA
C
zC
y
yC
z
(1)若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。 即：截面对其形心轴的静矩等 于零。反之，若截面对某轴的 静矩为零，则该轴必过其形心。 (2) 对于有对称轴的截面, 对称轴必然是形心轴.
h
h
b( y )
dy
y
形心坐标yc为
1 2 bh y 1 6 h 1 A 3 bh 2
o
b
x
yc

s
例3、求左图示组合图形的静矩。
解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形， 要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。
z
100 20
I
z
100 20
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：

o
z
y
惯性矩
z
2 2
A y
dA
I y z dA, I z y dA
A A
分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯 性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性 矩是恒正的量。

o
z
y
惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。
惯性矩的大小不仅与图 形面积有关，而且与图形面 积相对于坐标轴的分布有关。 面积离坐标轴越远，惯性矩 越大；反之，面积离坐标轴 越近，惯性矩越小。
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
o
D
d
y
I p dA 2 d
2 3 A
D 2 0
D
32
4
1 D 4 I y Iz Ip 2 64
圆环形
I P 2 3d
D 2 d 2
D
4
32

d
4
z
y
4
32

32
( D4 d 4 )
D 4
32
1
90 20 100 20 y
90 20
II
20 y
100
对图形I和图形II,有
I
z
100 20
yI c 50mm yII c 60mm zI c 45mm zII c 45mm 2 2 A 9000 mm A 4000 mm I II
S y S yi Ai zci AI zcI AII zcII
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A AH/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
y
b( h y ) 1 2 s x A y dA 0 y h dy 6 bh
n i
组合截面对某一轴的静矩应等 于其各组成部分对该轴静矩的 代数和。
xc
Ax
i
ci
A
i
n
yc
A y
i i
n
ci
i
A
i
n
i
附 例题
录
一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试
求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。
Y
解：
H/2
y1
h A b( y 1 ) 2
yc1
2 2
90 20
II
20 y
100
9000 45 4000 45 225000mm 3
i 1
i 1
Sz 210000mm 3
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩
定义
z
A y
dA
I p dA
2 A
为图形对坐标原点o的极惯性矩。 极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长 度]4，常用单位为m4和mm4。