4,5,6 静电场的环路定理

q 4πε0R2
E
∝r
R
−2
场强分布曲线
O
r
−1
U
电势分布曲线
q 4πε0R
∝r
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O
R
r
三、由电势叠加原理求电势 例3 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r =10cm 和 1 r2 = 20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心 的两个同心球面上。设无限远处电势为零， 处的电势为 U0 = 300V 。 （1）求电荷面密度 ） ； （2）求两球间的电势差。 ）求两球间的电势差。
等势面与电场线的关系
r r dA = q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl ⋅ cosθ = 0
正负点电荷周围电势分布特点。 正负点电荷周围电势分布特点。
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点电荷系的电势 电势叠加原理：点电荷系的电场中， 电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi U =∑ πε0 ri i 4
dl
dU =
dq 4πε 0 r
1
+ + R+ o + + + + + +
r x p x
qdl = 4πε 0 2πRr
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=
qdl 8π 2ε 0 R R 2 + x 2
整个圆环在p 点的电势为U = ∫ dU Nhomakorabea=∫
2πR 2
qd qdl 8π ε 0 R R + x
2 2
0
=
q 4πε 0 R + x

静电场的环路定理物理学第五版一、静电场力所做的功0d d A q E l=⋅l rrεqq d ˆπ4200⋅=020d d 4πqq A r εr= 点电荷的电场qq Ar ABBr Errˆl d θrd r θl l rd cos d d ˆ==⋅物理学第五版20d 4πBAr r qq r A εr=⎰)11(π400BA r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，与路径无关20d d 4πqq A r εr=qq Ar ABBr Errˆl d θrd物理学第五版任意带电体的电场∑=iiE E 0d lA q E l =⋅⎰⎰∑⋅=li ilE qd 0结论：静电场力做功，与路径无关。

静电场力是保守力。

（点电荷的组合）++=+⋅+⋅=⎰⎰212010A A l d E q l d E q baba物理学第五版二、静电场的环路定理⎰⎰⋅=⋅ADCABCl E q l E qd d 000)d d (0=⋅+⋅⎰⎰CDAABCl E l E qd =⋅⎰ll E静电场是保守场结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.EABCD物理学第五版静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。

它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。

根据斯托克斯公式s d E l d E ls⋅⨯∇=⋅⎰⎰)(0=⨯∇E静电场的旋度为零，静电场是无旋场物理学第五版例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。

证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理El⎰⎰⎰>==⋅lEdl Edl l d E 0cos 0与 ⎰=⋅ll d E 0相矛盾说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合物理学第五版例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。

带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -物理学第五版+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰=⋅ll d E⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DACD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0相矛盾，A B CD说明：假设不正确。

例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q

视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r



L

s

V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r

dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr

1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP

u1
u2

q
4 0r1

q
4 0r2

q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos

28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32


qxdx
Edx
xp